王靜妍 張勇

摘要：通過探討用戶需求和騎行時間不確定的有樁自行車共享系統(tǒng)（docked bike-sharing system， DBSS）建立吞吐率的近似模型及算法。一個具有固定自行車數(shù)量的DBSS可視為封閉的排隊網(wǎng)絡(luò)，每個站點都是有限的M/M/1隊列，由此建立了DBSS吞吐率的近似模型及其算法。該算法不僅能夠計算道路上期望的自行車數(shù)量、騎行時間、車站的期望庫存及停留時間，還能計算最優(yōu)自行車投放量，即吞吐率最大值對應(yīng)的最小的自行車投放量。同時，給出了給定用戶需求、路由矩陣和車樁分配下站點自行車集聚與空缺的判斷方法。將該近似算法在真實的DBSS中進行了應(yīng)用。結(jié)果表明，隨著自行車投放量的增加，系統(tǒng)吞吐率呈階梯形遞增但存在上限；自行車投放量一旦超過最優(yōu)數(shù)量將產(chǎn)生閑置，并且自行車集聚與空缺站點分布也將固定。

關(guān)鍵詞：有樁自行車共享系統(tǒng)；運營效率；封閉排隊網(wǎng)絡(luò)；吞吐率；空滿樁站點；自行車投放量

中圖分類號：U491?? 文獻標(biāo)志碼：A?? 文章編號：1002-4026（2023）06-0074-12

An approximate model and algorithm for throughput rate of

a docked bike-sharing system

WANG Jingyan， ZHANG Yong*

（School of Rail Transportation， Soochow University， Suzhou 215131， China）

Abstract∶In this paper， an approximate model and algorithm for the throughput rate are established by studying a docked bike-sharing system （DBSS） using stochastic user demands， routing matrix， and cycling times. A DBSS with a fixed number of bikes can be considered a closed queuing network with a buffered M/M/1 queue at each station， thus establishing an approximate model and algorithm for the throughput rate of DBSS. This algorithm can calculate the average number of bikes on roads and at stations. Moreover， it can estimate the average cycling time on roads and bike dwell time at stations and further determine the optimal number of bikes achieving the maximum throughput rate in the DBSS. Additionally， this paper proposes a method to determine whether a station is a bike surplus station or a bike deficient station under given user demands， routing matrix， cycling time matrix， and dock allocation. Finally， the approximate algorithm is verified in a real-world DBSS. The results show that the throughput rate of the DBSS increases in a step-wise manner with the increasing bike input under an superior limit. When the number of bike inputs exceeds the optimal quantity， there will be idle bikes， and the spatial distribution of bike surplus stations and bike deficient stations will remain unchanged.

Key words∶docked bike-sharing system; operational efficiency; closed queuing network;system throughput rate; bike surplus and deficient stations; bike input

有樁自行車共享系統(tǒng)（docked bike-sharing system，DBSS）是基于固定站點提供借還自行車服務(wù)的服務(wù)系統(tǒng)［1］。近年來在全球得到了廣泛應(yīng)用，截至2022年12月，全球建設(shè)了1 900多個有樁自行車共享系統(tǒng)，自行車運營數(shù)量超過897萬輛［2］。公共自行車對于解決公共交通“最后一公里”難題，倡導(dǎo)綠色出行發(fā)揮了重要作用。而現(xiàn)實中自行車站點常常出現(xiàn)無車可借、無樁可還的情況。此時，如何計算自行車系統(tǒng)的服務(wù)能力以及在規(guī)劃DBSS時，如何判斷哪些站點將發(fā)生空滿樁現(xiàn)象，對這些問題的研究對于科學(xué)開展DBSS規(guī)劃與運營調(diào)度具有重要的意義。

目前對于DBSS的研究主要聚焦主題有：自行車道網(wǎng)絡(luò)設(shè)計［3］、自行車站選址設(shè)計［4］、車隊規(guī)模設(shè)計［5］、自行車搬遷［6-7］、自行車庫存水平管理［8-9］以及與公共交通的整合［10］。這些研究試圖通過優(yōu)化算法實現(xiàn)自行車共享系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計與運營。DBSS有兩個顯著的特性：（1）用戶到達站點的時間間隔是隨機的，自行車從租車點到還車點間的騎行時間因用戶騎行的異質(zhì)性也呈隨機性，故用戶還車間隔也是隨機的；（2）投入到自行車共享系統(tǒng)的自行車總數(shù)是固定的，且只能在站點停留或在站點間循環(huán)。因此，所有的自行車只有兩種狀態(tài)，在站點停留和在道路騎行。從自行車角度來看，這兩個特征決定了DBSS本質(zhì)上屬于封閉排隊網(wǎng)絡(luò)。

為了提高DBSS的運營效率，目前的研究主要考慮不確定的有樁自行車共享系統(tǒng)規(guī)劃。George等［11］基于封閉排隊網(wǎng)絡(luò)研究了自行車可用性與車隊規(guī)模問題，基于利潤最大化給出了最優(yōu)車隊規(guī)模。Fricker等［5］提出了同質(zhì)自行車系統(tǒng)的隨機模型，研究了用戶到達不確定性對“空滿樁”現(xiàn)象的影響及最優(yōu)車隊規(guī)模問題。這些研究盡管考慮了需求的不確定性，但忽略了站點停車樁容量限制，從而無法準(zhǔn)確分析有樁自行車共享系統(tǒng)服務(wù)能力和水平。為此，部分研究引入了停車樁容量限制，考慮借還車失敗次數(shù)［12-13］、站點空滿樁持續(xù)時間［14-15］等約束，尋求用戶需求最大化目標(biāo)下的最優(yōu)站點選址與容量分配方案。但大部分研究未能考慮站點容量限制，無法揭示自行車系統(tǒng)的服務(wù)水平與自行車、停車樁分配之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，也就無法探索“無車可借，無樁可還”的發(fā)生問題。即使有些研究考慮了站點容量限制，但是還沒有公開的解決方案和方法來量化DBSS的吞吐率，與現(xiàn)實仍存在一定的差距。

本文對DBSS的服務(wù)能力進行了定義，構(gòu)建了近似的DBSS模型，開發(fā)出一種用于計算系統(tǒng)的服務(wù)績效近似算法；同時，探索了自行車系統(tǒng)的運營性質(zhì)，包括系統(tǒng)吞吐率與自行車投放量的關(guān)系，以及站點出現(xiàn)自行車集聚與空缺的判斷條件；最后通過一個實際案例驗證提出的近似算法和結(jié)論，展示其在DBSS中的初步應(yīng)用。

1 模型構(gòu)建

1.1 問題描述及假設(shè)

考慮一個有樁自行車共享系統(tǒng)，衡量其服務(wù)效率最直接指標(biāo)為單位時間內(nèi)服務(wù)的有效用戶人數(shù)，即封閉排隊網(wǎng)絡(luò)中的吞吐率［16］，因此本文將在封閉排隊網(wǎng)絡(luò)理論框架下求解有樁自行車共享系統(tǒng)的吞吐率，即用戶借車成功離開站點、真正得到站點提供服務(wù)的速率。根據(jù)上述自行車借還過程，為便于建模特作如下假設(shè)：

A1 有樁自行車共享系統(tǒng)由m個站點和n輛自行車組成，每個站點有Bi（i =1，2，…，m）個停車樁，并且任意一對自行車站點之間至少可以雙向路徑連通；

A2 假設(shè)用戶到達站點i的時間間隔服從參數(shù)λi（i=1，2，…，m）的負(fù)指數(shù)分布，各站點用戶相互獨立，用戶在站點i以先到先服務(wù)規(guī)則借還車；

A3 用戶從站點i騎自行車到站點j （i， j=1，2，…，m）的選擇概率為pij≥0，且∑mj=1pij=1，本文稱P=pij為路由矩陣；

A4 用戶在站點i、 j間騎行的旅行時間服從參數(shù)為τij的獨立負(fù)指數(shù)分布；

A5 對于用戶借還車活動，若站點沒有可用的自行車時，用戶會離開系統(tǒng)；對于用戶還車活動，若目的地站點滿樁時，用戶會騎行至該站點最近站點還車，直至成功為止。

1.2 封閉排隊網(wǎng)絡(luò)分析

對于有樁自行車共享系統(tǒng)構(gòu)成的封閉排隊網(wǎng)絡(luò)，用戶在站點i完成借車后以概率pijj=1，…，m騎行至站點j，該概率滿足∑mj=1pij=1 （i=1，…，m），即路由矩陣P是一個馬爾可夫轉(zhuǎn)移矩陣，假定該矩陣不可約，以π=π1，π2，…，πm記這個馬爾科夫鏈的平穩(wěn)概率，即π是

πj=∑mi=1πipij，? ∑mj=1πj=1（1）

的唯一正解。

如果記站點j的自行車平均到達率或平均離開率為aj（n），其中j=1，2，…，m，那么滿足

aj（n）=∑mi=1ai（n）pij。（2）

由平穩(wěn)概率方程可以得到

aj（n）=a（n）πj，其中a（n）=∑mj=1aj（n）。（3）

從該方程可以看到，a（n）是整個系統(tǒng)的自行車平均離開速率，其包括了系統(tǒng)的有效吞吐速率和還車失敗速率兩部分。

引理1 如果X1，…，Xq是服從均值為λi的獨立的泊松隨機變量（q=1， 2， …， m），那么Y：=∑qi=1Xi服從均值為∑qi=1λi的泊松分布。

證明 采用數(shù)學(xué)歸納法證明。設(shè)X1～Possionλ1，X2～Possionλ2，X1和X2相互獨立，那么對于任意y∈N，

pX1+X2y=∑xpX1kpX2y－k=∑yk=0λk1e－λ1k！·λy－k2e－λ2y－k！

=e－λ1+λ2·λy2·∑yk=0λ1λ2kk！y－k！ =e－λ1+λ2y！λ1+λ2y。（4）

因此，X1+X2～Possionλ1+λ2?，F(xiàn)在，假設(shè)X1，…，Xq-1是服從均值為λi（ i =1，2，…，q-1）的獨立的泊松隨機變量，那么X′：=∑q－1i=1Xi服從均值為∑q－1i=1λi的泊松分布。若Xq是獨立于X′且服從均值為λq的泊松隨機變量，則由公式（4）可得，

pX′+Xqy=e－∑q－1i=1λi+λqy！∑q－1i=1λi+λqy，

p∑qi=1Xiy=e－∑qi=1λiy！∑qi=1λiy。

因此，∑qi=1Xi～Possion∑qi=1λi，證明完畢。

命題1 在有樁自行車共享系統(tǒng)中，如果用戶到達站點i服從速率為λi的獨立的泊松分布，那么到達站點i的自行車數(shù)量也是獨立的泊松隨機變量。

證明 根據(jù)自行車借還過程可知，到站的自行車分為兩種類型：第一種是用戶自愿歸還至目的地站點的自行車；第二種是用戶因目的地站點滿樁而被迫歸還至該站點的自行車。為了證明自行車到達站點的過程服從泊松分布，需通過引理1證明自愿用戶和被迫用戶的到達過程都服從獨立的泊松分布。

如果用戶成功將自行車歸還到意愿目的地站點，則稱這類用戶為自愿用戶。本文首先證明自愿用戶到達站點服從獨立的泊松分布。假設(shè)用戶按速率為λi （i=1，2，…，m） 的泊松過程到達站點i，忽略用戶從借到車至離開站點所花費的時間。一個在時刻ss≤t到達站點i的用戶，以概率Prent， 1is借車成功，以概率Prent， 2is借不到車（其中∑2j=1Prent，? jis=1）。利用文獻［16］中命題5.3可知，直到時刻t為止，在站點i成功借車用戶數(shù)Nrent， 1it是具有均值ENrent， 1it=λi∫t0Prent， 1isds的獨立泊松隨機變量。同樣，將在站點i （i=1，2，…，m）成功借車的用戶分為m 類，每類用戶是從站點i自愿還車至每個站點的用戶。由于借車成功的用戶從每個站點出發(fā)是泊松過程，因此從站點i（i=1，2，…，m）至還車站點j（j=1，2，…，m）的自愿用戶的到達過程也是獨立泊松過程。由引理1可知，任意站點的自愿用戶的到達過程也是一個獨立的泊松過程。

同理可得，任意站點的被迫用戶的到達過程也是一個獨立的泊松過程。綜上，任意站點的自行車到達數(shù)為自愿用戶數(shù)和被迫用戶數(shù)的總和。利用引理1可得，任意站點的自行車到達服從泊松分布。

值得注意的是，由命題1可知自行車到達站點過程服從泊松分布，那么自行車到達站點的時間間隔服從負(fù)指數(shù)分布。因此有樁自行車共享系統(tǒng)在時間長度上是一個無記憶的系統(tǒng)。

基于經(jīng)典的平均值分析法［17］，可通過兩個主要定理（到達定理和Little定律）推導(dǎo)有樁自行車共享系統(tǒng)的吞吐率的近似算法。根據(jù)到達定理［16］可知，在有n輛自行車的封閉網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，騎自行車到達站點i的到達者所看到的系統(tǒng)的分布與只有n-1輛自行車的同樣的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的平穩(wěn)分布相同。因此，令ENi（n）為網(wǎng)絡(luò)中有n輛自行車時停在站點i的平均自行車數(shù)量；ETi（n）為網(wǎng)絡(luò)中有n輛自行車時在站點i的自行車平均停留時間。對一輛到達自行車看到在站點i的自行車數(shù)量Ci取期望值，推出

ETi（n）=1+E［Ci］λi=1+ENi（n－1）λi。（5）

系統(tǒng)中的自行車包括在站點停放和正在被使用兩類自行車，故n=∑mi=1ENi（n）+∑mi=1∑mj=1ENij（n）。而在站點i的自行車停留的時間為ETi（n），其他站點騎行至站點i的平均旅行時間為∑mj=1pjiτji。因此，系統(tǒng)的自行車平均到達率為

an=n/∑mi=1πiETi（n）+∑mi=1∑mj=1πipijτij。（6）

因此站點的有效吞吐速率為

Hi（n）=min a（n）πi，λi，

其中

Hn=∑mi=1Hi（n）。（7）

利用Little公式可以得到站點i的平均自行車數(shù)量為

ENi（n）=min Hi（n）ETi（n），Bi。（8）

根據(jù)命題1可知，對于擁有Bi個停車樁站點，自行車的借還過程可以看作是用戶與自行車的雙排隊系統(tǒng)。若站點無自行車，則用戶到達站點后即刻離開系統(tǒng)，故站點空樁就不存在顧客排隊。因此，任意站點i可以看作是M/M/1/Bi排隊系統(tǒng)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移如圖1所示。

在該排隊系統(tǒng)中，將用戶視為服務(wù)員，到達的自行車視為作業(yè)，則站點i處可停放的自行車上限為Bi個，因此有

λn=ai，????? n=0，1，…，Bi-1 0，??????? n=Bi，? Bi+1，… ，

μn=λi，???? n=0，1，…。

根據(jù)流入和流出每個狀態(tài)的期望速率必須相等的條件，可以得到狀態(tài)k的平衡方程：

aiPxi=k－1+λiPxi=k+1=ai+λiPxi=k，??? k=1，2，…，Bi－1。

結(jié)合∑Bik=0Pxi=k=1，即可得到站點i無車和滿樁的概率分別為

Pxi=0=1－ρi1－ρiBi+1，?????? ρi≠1 1Bi+1，??????????? ρi=1 ?，（9）

Pxi=Bi=1－ρiρiBi1－ρiBi+1，??? ρi≠1 1Bi+1，??????????? ρi=1 。（10）

因此，當(dāng)系統(tǒng)的總自行車投放量超過站點的最小容量時，站點開始存在用戶還車失敗的情形。根據(jù)假設(shè)A5可知用戶需要去目的地站點的最近站點繼續(xù)還車，自行車網(wǎng)絡(luò)的實際轉(zhuǎn)移概率發(fā)生變化，即站點j的車輛平均到達率由任意站點的意愿轉(zhuǎn)移速率和被迫轉(zhuǎn)移速率組成。故利用公式（9）～（10）可得由站點i向站點j的實際自行車轉(zhuǎn)移概率為

pij=λi1－Pxi=0pij+aiPxi=Biηij∑mj=1λi1－Pxi=0pij+aiPxi=Biηij=λiρi－ρiBi+1pij+ai1－ρiρiBiηij∑mj=1λiρi－ρiBi+1pij+ai1－ρiρiBiηij， （11）

其中，若站點j 是站點i的最近站點，則ηij=1；否則ηij=0。

1.3 吞吐率的近似算法

利用公式（5）～（11）可以建立計算自行車網(wǎng)絡(luò)中站點的平均自行車數(shù)量、平均等待時間和吞吐率的近似算法，步驟如下：

步驟1 計算初始的馬爾科夫鏈平穩(wěn)概率，πj=∑mi=1πipij，∑mj=1πj=1;

步驟2 Let ENi（0）=0，i=0，…，m and a（0）=0；

步驟3 For k=1，…，n do

ETi（k）=ENi（k－1）+1/λi;

If k≤min （Bi）then

ak=k/∑mi=1πiETi（k）+∑mi=1∑mj=1πipijτij;

ai（k）=a（k）πi;

Else

pij=λiai（k－1）λi－ai（k－1）λiBi+1pij+ai（k－1）1－ai（k－1）λiai（k－1）λiBiηij∑mj=1λiai（k－1）λi－ai（k－1）λiBi+1pij+ai（k－1）1－ai（k－1）λiai（k－1）λiBiηij;

πj=∑mi=1πipij，??? ∑mi=1πj=1;

ak=k/∑mi=1πiETi（k）+∑mi=1∑mj=1πipijτij;

ai（k）=a（k）πi;

End

Hi（k）=min ai（k），λi;

Hk=∑mi=1Hik;

ENik=min Hi（k）ETi（k），Bi;

End

1.4 系統(tǒng)的運營性質(zhì)

本小節(jié)通過考察系統(tǒng)吞吐率與投放自行車數(shù)量、停車樁數(shù)之間的相互關(guān)系，揭示站點產(chǎn)生“無車可借，無樁可還”的發(fā)生機制，并給出最優(yōu)自行車數(shù)量的定義，為運營商提升有樁自行車共享系統(tǒng)的服務(wù)效率，促進交通綠色可持續(xù)發(fā)展提供決策依據(jù)。

1.4.1 吞吐率

命題2 在一個有樁自行車共享系統(tǒng)中，如果自行車到達站點的時間越早，那么用戶騎自行車離開該站點的時間也越早。

證明 令A(yù)ik為第k 輛自行車到達站點i的時間，Dik為到達站點i的第k輛自行車的離開時間，Wik為到達站點i的第k輛自行車的停留時間。命題2意味著，對于站點i，若An+1ik≤Anik，k=1，2，…，K，則Dn+1ik≤Dnik，k=1，2，…，K。命題2采用歸納法進行證明。對于K=1， Dn+1i1=An+1i1+Wi1≤Ani1+Wi1=Dni1。假設(shè)引理針對K=l成立，即Dn+1il≤Dnil。那么對于K=l + 1， Dn+1i（l+1）=max Dn+1il，An+1i（l+1）+Wi（l+1）≤max Dnil，Ani（l+1）+Wi（l+1）=Dni（l+1），證明完畢。

性質(zhì)1 在給定停車樁的情況下，有樁自行車共享系統(tǒng)吞吐率隨自行車數(shù)量的增加呈非遞減性，即對于所有的t≥0，有H（n+1）≥H（n）。

證明 采用歸納法，在有n輛公共自行車和m個站點的系統(tǒng)中，令τn1<τn2<…為至少一輛自行車完成服務(wù)的瞬時時間，因此將tn定義為在有n輛自行車和n + 1輛自行車系統(tǒng)中至少有一輛自行車完成服務(wù)的時間序列，其中t0：=0;ts：=min minτniτni>ts－1，minτn+1iτn+1i>ts－1，s≥1。為了證明DBSS吞吐率隨系統(tǒng)自行車數(shù)量的增加呈非遞減性，即對于t≥0有H（n+1）≥H（n），由于H（n）=limt→∞∑mi=1Dni（t）/t，意味著要證明Dn+1i（t）≥Dni（t），i=1，2，…，m。

當(dāng)tk= t0 = 0時，Dn+1i（0）=Dni（0）=0，因此Dn+1i（t）≥Dni（t）成立。假設(shè)Dn+1i（t）≥Dni（t）對于t0， t1，…，tq成立。令Slj（t）為站點l中第j個離開的自行車在服務(wù)完成后將去往的站點。若i=j，則s（i， j）=1；否則為0。Tijk為從站點i到站點j的第k輛自行車的行程時間，Xi（0） 為站點i的初始自行車數(shù)量。利用命題2，對于k=1，2，…，q； b = 1， 2，…， m有

An+1i（tk）=∑ml=1∑Dn+1l（tk－Tlij）j=1σ（Slj（tk－Tlij），i）+Xi（0）+1·σ（b，i）

≥∑ml=1∑Dnl（tk－Tlij）j=1σ（Slj（tk－Tlij），i）+Xi（0）=Ani（tk）。

因為An+1i（tk）和Ani（tk）在［tk－1，tk）是恒定的，因此對于t≤tq，An+1i（t）≥Ani（t）。所以得到An+1ij≤Anij，j=1，…，Ani（tq）。根據(jù)命題2可知Dn+1ij≤Dnij，j=1，…，Ani（tq）。由于Wij>0，Anij≤tq，對于所有的j有Dnij≤tq+1，那么也遵循Dn+1ij≥Dnij，對于所有的站點j 有Dnij≤tq+1。因此Dn+1i（t）≥Dni（t）對于tq+1也成立，證明完畢。

性質(zhì)1表明有樁自行車共享系統(tǒng)的有效吞吐率隨著自行車數(shù)量的遞增呈非遞減性。然而，本文將在第2.2節(jié)中看到，有樁自行車共享系統(tǒng)的有效吞吐率隨著自行車數(shù)量的增加而增加，但存在一個上限。因此，可能存在一個自行車臨界值阻止吞吐率的增加。通過以下的定義，可以得出在DBSS中最優(yōu)的自行車數(shù)量以及如何尋找該最優(yōu)值。

定義1 最優(yōu)自行車數(shù)量：對于一個有樁自行車共享系統(tǒng)，若滿足以下條件，則可以確定系統(tǒng)的最優(yōu)自行車數(shù)量

nOPT=max kHk－Hk－1>0? 且? Hk+1－Hk=0且k∈argmax H（l），l∈Z+，k∈Z+。

值得注意的是，在本文設(shè)計的近似算法中，迭代計算了H（k）和H（k-1），因此系統(tǒng)的最優(yōu)自行車數(shù)量很容易確定。

1.4.2 空滿樁的判斷

在有樁自行車共享系統(tǒng)中，站點所有的車樁如果長時間出現(xiàn)空樁，用戶將無法借車；如果長時間出現(xiàn)滿樁，用戶將無法還車。如果自行車共享系統(tǒng)多個站點長時間空滿樁將顯著惡化用戶體驗，可能迫使公共自行車用戶轉(zhuǎn)移到其他交通方式。因此，有必要診斷有樁自行車共享系統(tǒng)站點是否會發(fā)生空滿樁。

定義2 對于一個帶有Bi個停車樁的站點i，若滿足

（1） 站點i的平均自行車數(shù)量低于φ1Bi的概率大于ω1，即Pxi<φ1Bi」>ω1，則稱該站點為自行車空缺的；

（2） 站點i的平均自行車數(shù)量高于φ2Bi的概率大于ω2，即Pxi>φ2Bi」>ω2，則稱該站點為自行車集聚的。

其中φ1和φ2為比例參數(shù)，且0<φ1，φ2，ω1，ω2<1；符號“·」”表示向下取整數(shù)。

命題3 自行車集聚與空缺的判斷條件：對于任意站點i，當(dāng)自行車到達率ai和用戶到達率λi滿足下列條件（1）～ （3）中的任意一條，可判斷該站點的自行車庫存情況：

（1） 若滿足下面的條件，則站點i會產(chǎn)生自行車集聚情況

aφ2Bi」+1i·λBi－φ2Bi」i－aBi+1iλBi+1i－aBi+1i>ω2，當(dāng)aiλi≠1時Bi－φ2Bi」Bi+1>ω2，???????????????????? 當(dāng)aiλi=1時；（12）

（2） 若滿足下面的條件，則站點i會產(chǎn)生自行車空缺情況

λBi+1i－aφ1Bi」i·λBi－φ1Bi」+1iλBi+1i－aBi+1i>ω1，當(dāng)aiλi≠1時φ1Bi」Bi+1>ω1，??????????????????????????? 當(dāng)aiλi=1時；（13）

（3） 若滿足下面的條件，則站點i自行車既不集聚也不空缺

λBi+1i－aφ1Bi」i·λBi－φ1Bi」+1iλBi+1i－aBi+1i≤ω1且aφ2Bi」+1i·λBi－φ2Bi」i－aBi+1iλBi+1i－aBi+1i≤ω2， 當(dāng)aiλi≠1時φ1Bi」Bi+1≤ω1且Bi－φ2Bi」Bi+1≤ω2，??????????????????????????????????????????????? 當(dāng)aiλi=1時。（14）

證明 在平穩(wěn)狀態(tài)下，若站點i自行車產(chǎn)生集聚，需要滿足

Pxi>φ2Bi」>ω2。（15）

當(dāng)ρi≠1（其中ρi=ai/λi）時，則不等式（15）可化簡為Pxi>φ2Bi」=ρφ2Bi」+1i－ρBi+1i/1－ρBi+1i>ω2，即滿足條件ρφ2Bi」+1i－ρBi+1i/1－ρBi+1i>ω，

則站點i自行車會產(chǎn)生集聚。當(dāng)ρi=1時，則不等式（15）可化簡為Pxi>φ2Bi」=Bi－φ2Bi」/Bi+1>ω2，即滿足條件Bi－φ2Bi」/Bi+1>ω2，則站點i自行車會產(chǎn)生集聚。站點自行車產(chǎn)生空缺或既不集聚也不空缺的證明與上述過程類似，不再贅述。

推論1 若定義自行車空缺站點為平均自行車數(shù)量為0的概率大于ω，即Pxi=0>ω；自行車集聚站點為平均自行車數(shù)量為Bi的概率大于ω，即Pxi=Bi>ω。那么對于任意站點i，當(dāng)自行車到達率ai和用戶到達率λi滿足下列條件（1）～ （3）中的任意一條，可判斷該站點的自行車庫存情況：

（1） 若滿足下面的條件，則站點i會產(chǎn)生自行車集聚情況

aBii∑Bik=0λBi－kiaki>ω，當(dāng)aiλi≠1時1Bi+1>ω，???????????? 當(dāng)aiλi=1時；（16）

（2） 若滿足下面的條件，則站點i會產(chǎn)生自行車空缺情況

λBii∑Bik=0λBi－kiaki>ω，當(dāng)aiλi≠1時1Bi+1>ω，???????????? 當(dāng)aiλi=1時；（17）

（3） 若滿足下面的條件，則站點i自行車既不集聚也不空缺

λBii∑Bik=0λBi－kiaki≤ω且aBii∑Bik=0λBi－kiaki≤ω，當(dāng)aiλi≠1時1Bi+1≤ω，????????????????????????????????????????????? 當(dāng)aiλi=1時。（18）

證明過程與命題3類似，在此不再贅述。

值得注意的是，為了避免空滿樁現(xiàn)象，有樁自行車共享系統(tǒng)均須開展自行車的再分布調(diào)度，以平衡各個站點的自行車數(shù)量。命題3及其推論1能夠揭示有樁自行車共享系統(tǒng)中哪些站點發(fā)生自行車空缺和集聚。這將為自行車共享系統(tǒng)的站點選址、自行車規(guī)劃提供決策支持，也能為公共自行車再分布調(diào)度中的取送起訖點及路徑規(guī)劃、空滿樁站點自行車取送數(shù)量等提供關(guān)鍵支撐。

2 案例應(yīng)用

2.1 案例介紹

本研究以蘇州獨墅湖科教創(chuàng)新區(qū)的自行車共享系統(tǒng)作為例，驗證本文模型。該系統(tǒng)共有37個自行車站點，停車樁總數(shù)為1 260個，平均自行車總數(shù)為442個，站點和停車樁的具體分布如圖2所示。系統(tǒng)運營商提供了該區(qū)域內(nèi)2019年10月12日24 h的2 078次自行車出行數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)記錄了高峰時期用戶借還自行車的時間及站點、車樁及用戶ID號。利用該數(shù)據(jù)統(tǒng)計得到自行車共享系統(tǒng)平均有效吞吐率為86.58人次/h。由于站點空樁情況下會出現(xiàn)用戶流失，故利用該數(shù)據(jù)統(tǒng)計各站點的空樁時段，將非空樁期間的用戶到達各站點次數(shù)按照時間比例填補到空樁時段，將其作為各個站點實際用戶到達率。利用原始數(shù)據(jù)還統(tǒng)計了行程時間矩陣、路由矩陣和各站點的最近站點（最近站點見表1所示）。由于篇幅原因，本文不再列出行程時間矩陣和路由矩陣。

2.2 結(jié)果分析

2.2.1 系統(tǒng)吞吐率

根據(jù)近似模型計算得到的系統(tǒng)有效吞吐率為88.36人次/h，與真實吞吐率相對誤差為2.04%。圖3給出了站點的平均用戶到達率和有效吞吐率。可以看到，只有4個站點（4號、5號、7號、34號）的用戶需求完全得到了滿足，即站點的有效吞吐率與用戶平均到達率相等。其余站點的供給與用戶需求不匹配，其中，1號、9號、22號、26號、27號、37號站點供不應(yīng)求的情況極為顯著，平均每小時有5名以上用戶不能借到自行車。這說明目前研究區(qū)域內(nèi)有樁自行車共享系統(tǒng)的自行車分布極不平衡，系統(tǒng)內(nèi)自行車自循環(huán)結(jié)果在很大程度上無法滿足用戶的需求。

圖4給出了系統(tǒng)有效吞吐速率與自行車投放量之間的關(guān)系。由圖可知，隨著自行車投放量的增加，系統(tǒng)有效吞吐率呈現(xiàn)階梯式的遞增趨勢，當(dāng)自行車投放量大于225輛后，系統(tǒng)有效吞吐率保持不變，驗證了性質(zhì)1。根據(jù)定義1可知，該有樁自行車共享系統(tǒng)的最優(yōu)自行車投放量為225輛，此時系統(tǒng)有效吞吐率達到最大值88.4人次/h。但是該系統(tǒng)實際的自行車投放量為442輛，故系統(tǒng)自行車數(shù)量明顯過剩。

2.2.2 空滿樁t分析

一般來說，如果自行車共享系統(tǒng)具有較好的服務(wù)水平，當(dāng)站點處于還車高峰時，站點仍需保留20%的空樁；反之，當(dāng)站點處于借車高峰時，站點也需要配備20%的車樁應(yīng)有的自行車數(shù)［18］。因此，結(jié)合空滿樁的定義，本文將定義2的比例參數(shù)設(shè)置為φ1=0.2，φ2=0.8，概率參數(shù)ω1=ω2=0.8。

圖5給出了站點自行車庫存的平均值以及平衡自行車數(shù)的區(qū)間。可以看出，絕大多數(shù)站點自行車庫存極為緊缺，少量站點庫存爆滿，還有極少數(shù)的站點的平均庫存處于平衡區(qū)間內(nèi)。圖6為自行車投放量442輛下各站點自行車平均停留時間?？梢钥闯?，自行車在站點4、5、7、34的平均停留時間超過10 h，在其他站點的停留時間在0.1～2.0 h范圍內(nèi)。上述進一步驗證了自行車在站點4、5、7、34的嚴(yán)重集聚狀態(tài)以及其他站點自行車庫存普遍緊缺情況。

自行車投放量的增加會改變自行車集聚與空缺站點的空間分布。利用命題3計算得到圖4中a、b、c、d、e、f等6個點對應(yīng)的自行車投放量下，站點的集聚和空缺概率，具體的空間分布如圖7所示。可以看出，隨著自行車投放量的增加，站點4、5、7、34從空缺站點逐漸轉(zhuǎn)化為集聚站點，站點29、36、39從空缺站點轉(zhuǎn)化為自行車既不集聚也不空缺站點，其他站點始終處于自行車空缺狀態(tài)。隨著自行車投放量的增長超過225輛，自行車集聚與空缺站點分布基本不再變化，投入的大量的自行車將迫使大量用戶在最近站點間騎行，試圖尋找最近站點還車。

3 總結(jié)

本文基于封閉排隊網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造了有樁自行車共享系統(tǒng)吞吐率近似算法，考察了系統(tǒng)的運營性質(zhì)。理論上證明了有樁自行車共享系統(tǒng)吞吐率隨自行車投放量的增加呈非遞減性，給出了站點產(chǎn)生自行車集聚與空缺的判斷依據(jù)。以蘇州市為例進行了上述算法的應(yīng)用與結(jié)論的驗證，給出了該有樁自行車共享系統(tǒng)的服務(wù)績效。研究表明，隨著自行車投放量增長，吞吐率呈階梯式遞增且達到最大值后保持不變；自行車投放量一旦超過最優(yōu)數(shù)量將產(chǎn)生閑置，并且自行車集聚與空缺站點分布也將固定。

依托本文建立的近似模型，可進一步從多個方面進行拓展，例如：本研究考慮的用戶到達自行車站點借車為平穩(wěn)隨機過程，未來可以考慮用戶到達存在早晚高峰的非平穩(wěn)過程；本研究中自行車最優(yōu)投放量并未考慮車站選址、車站間距、用戶騎行距離等因素，未來應(yīng)考慮這些因素對有樁自行車共享系統(tǒng)的最優(yōu)規(guī)劃設(shè)計問題。

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