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        借圖示表征,解“烙餅問題”

        2023-12-17 00:46:42安徽亳州市蒙城縣逍遙路小學(xué)233500潘冰寧
        小學(xué)教學(xué)參考 2023年29期
        關(guān)鍵詞:張餅烙餅方法

        安徽亳州市蒙城縣逍遙路小學(xué)(233500) 潘冰寧 付 芳

        圖示是指使用圖表、圖形、圖像或其他可視化方式來呈現(xiàn)信息、數(shù)據(jù)、概念或思想的過程。圖示表征可以將問題可視化,促進(jìn)思考、溝通聯(lián)系、分析問題。如圖1 所示,“烙餅問題”的目的是通過生活中常見的烙餅問題,讓學(xué)生經(jīng)歷探索多種解決方案的過程,從而選擇最優(yōu)方法,滲透優(yōu)化思想。

        圖1 “烙餅問題”情境

        在教學(xué)中,部分教師容易將“烙餅問題”上成一節(jié)“探索規(guī)律—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—總結(jié)方法”的課,課堂氛圍雖一片熱鬧,但缺乏冷靜思考。這導(dǎo)致學(xué)生僅僅學(xué)會套用方法,雖得其法卻不解其意,一旦變換題型就會束手無策。過于熱鬧的課堂和過于冷靜的課堂都不是好的教學(xué)狀態(tài)。因此,教師需要在必要的時機(jī)對學(xué)生的熱鬧進(jìn)行“冷處理”,利用圖示表征提高解決問題的效率。

        一、利用圖示表征理解題意,找準(zhǔn)課堂教學(xué)起點

        如果說智慧的大腦是解決問題的關(guān)鍵,那么理解題意就是解決問題的開端。在生活中,多數(shù)學(xué)生都會烙餅,但是將烙餅和數(shù)學(xué)相結(jié)合還是第一次,這也是讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活密切聯(lián)系的契機(jī)。因此,讀懂題意在此時顯得尤為重要。

        【教學(xué)片段1】

        師:“每次只能烙2張餅”是什么意思?

        生1:鍋里最多同時放2張餅。

        師:請你上來畫一畫。

        (生1畫出如圖2所示的圖形)

        圖2 “每次只能烙2張餅”示意圖

        師:“兩面都要烙”是什么意思?

        生2:一張餅有兩個面,如果用正面、反面表示,出現(xiàn)“正”字表示烙正面,出現(xiàn)“反”字表示烙反面(如圖3)。

        圖3 烙餅示意圖

        師:根據(jù)他們說的這些數(shù)學(xué)信息,你能提出什么問題?

        生3:烙3張餅要多長時間?

        生4:烙3張餅至少要多長時間?

        師:大家的理解能力越來越好了。烙3 張餅可能要1個小時或1天,而加了“至少”,說明你們用數(shù)學(xué)的眼光去看待問題了。

        【教學(xué)思考】教材中所給的情境看似貼近生活實際,實則離生活還有一定距離,因為生活中很少有或者說基本沒有關(guān)注烙餅要多久的問題。教師要幫助學(xué)生梳理圖中的信息,找到題眼——“每次只能烙2 張”“兩面都要烙”。在這一過程中,雖然可以讓學(xué)生用自己的話說一說,但是利用鍋和餅的圖示表征會更直觀,也更具說服力。教師利用圖示慢慢地剝離問題的生活情境,讓學(xué)生集中思考“烙3 張餅至少要多長時間”。這有助于學(xué)生直觀地理解問題的本質(zhì)、結(jié)構(gòu)和關(guān)系,從而更好地把握問題的核心。

        二、利用圖示表征尋找方法,突破學(xué)生學(xué)習(xí)難點

        直接進(jìn)入“烙3 張餅至少要多長時間”對學(xué)生而言有些難以接受,因此教師可以從最基礎(chǔ)的烙1張餅開始,利用表格表示烙餅過程(正面3 分鐘,反面3 分鐘,一共6 分鐘)。緊接著讓學(xué)生思考烙2 張餅的方法,這時候可能有學(xué)生受思維的局限,出現(xiàn)表1-1 的方法,也有學(xué)生經(jīng)過思考后給出表1-2 的方法。

        表1-1 烙2張餅的方法1

        【教學(xué)片段2】

        師:誰看懂了表1-1和表1-2中的烙法?

        生1:表1-1 的方法是鍋里每次放1 張餅,2 張餅烙完一共12 分鐘;表1-2 的方法是鍋里每次放2張餅,2張餅烙完一共6分鐘。

        生2:為什么烙1張餅是6分鐘,烙2張餅也是6分鐘?

        生3:因為2張餅可以同時放在鍋里一起烙。

        師:也就是說,要想烙餅所用時間最少,就要保證鍋里每次都有2張餅。怎樣將表1-1的方法進(jìn)行調(diào)整,才能做到用時最少呢?

        (學(xué)生進(jìn)行調(diào)整,見表2-1、表2-2)

        表2-1 方法1調(diào)整前

        師:調(diào)整后的方法(見表2-2)對嗎?

        生4:不對,因為1 張餅不可能同時烙兩個面,只能是先烙完一面再烙另一面。

        【教學(xué)思考】烙1 張餅很簡單,烙2 張餅的時候有的學(xué)生就忽略了“每次只能烙2 張餅”的信息,才會產(chǎn)生1 張1 張地烙的想法。此時,教師就需要及時借助圖示,讓這些學(xué)生學(xué)會2 張餅同時烙的省時方法。讓學(xué)生經(jīng)歷修正的過程,也是拉長學(xué)生思考的過程。在這個過程中讓學(xué)生感受只有在“滿鍋”的狀態(tài)下才最節(jié)省時間,提高學(xué)生思維的縝密性。這種思想也影響著接下來烙3 張餅的方法。解決“烙餅問題”時,利用圖示表征方法能夠有效地幫助學(xué)生克服難點,為問題的理解和解決提供了強(qiáng)有力的工具。

        學(xué)生想到的烙3 張餅的方法有很多,教師可選擇以下三種情況(見表3-1、表3-2、表3-3)來給學(xué)生講解。對第一種烙法教師進(jìn)行肯定,因為在一定程度上達(dá)到了節(jié)省時間的目的。對第二種烙法,教師需要學(xué)生回顧“1 張餅不可能同時烙兩個面”這個原則,以強(qiáng)化學(xué)生的優(yōu)化意識。

        表3-1 烙3張餅的方法1

        【教學(xué)片段3】

        師(出示表3-3):像他這么烙,烙幾次?

        生5:3次。

        師:除了這么烙還能怎么烙?

        生6:“3反”和“2反”互換位置。

        生7:“1正”和“1反”互換位置。

        師:結(jié)合大家的方法,誰還有什么想說的?

        生8:只要保證不出現(xiàn)同時烙1張餅的兩個面,其他怎么烙都行。

        師:現(xiàn)在請你們利用手中的學(xué)具,一邊畫一邊說3張餅怎么烙3次的情況。

        【教學(xué)思考】教師在教學(xué)過程中要善于傾聽學(xué)生不同的聲音。將烙3 張餅的方法按照順序依次出現(xiàn),是符合學(xué)生的知識發(fā)展和心理特點的。而交替式的烙餅方法是學(xué)生思考由淺入深的必然過程。相信當(dāng)學(xué)生看到不同的圖示時,都會有自己的觀察、比較、思考在其中。讓每個學(xué)生都能有所發(fā)展正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義所在。學(xué)生在經(jīng)歷烙2 張餅后,一定會對烙3 張餅有不一樣的思考,教師應(yīng)充分相信學(xué)生,充分相信合作的力量,給予學(xué)生充足的時間和空間去探索、去發(fā)現(xiàn)。

        烙3 張餅很難突破,只有讓學(xué)生直面教學(xué)難點,才能留下思考的痕跡。在這個環(huán)節(jié)中,利用圖示,學(xué)生可以直觀看到烙餅的方法,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)烙餅問題中的規(guī)律、模式及瓶頸,為問題求解提供新的思路和啟示。

        三、利用圖示表征辨別優(yōu)化,關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)節(jié)點

        當(dāng)學(xué)生明白2張餅、3張餅的烙法后,心中必然是有所得意,教學(xué)也進(jìn)入白熱化階段。教師可相機(jī)提出“烙4 張餅最少要用幾分鐘”。教師巡視發(fā)現(xiàn),有學(xué)生選擇2 張2 張地烙(見表4-1),有學(xué)生受烙3張餅的影響用交替烙的方法(見表4-2)。教師讓學(xué)生比較兩種方法,大部分學(xué)生覺得交替烙的方法勞心費神,且容易出錯。

        表4-1 烙4張餅的方法1

        【教學(xué)片段4】

        師:烙5張餅怎么烙呢?最少要用幾分鐘?

        生1:先按順序烙2 張,再用交替法烙3 張,一共烙5次,用時15分鐘。

        [生1邊說邊演示烙餅過程(見表5)]

        表5 烙5張餅的方法

        師:烙6張餅?zāi)兀?/p>

        生2:2 張2 張地烙,一共烙6 次,共用3×6=18(分)。

        師:烙7張餅?zāi)兀?/p>

        生3:按順序2 張2 張地烙,烙4 張后,剩下的3張用交替法烙3次。

        師:這么多餅都烙完了,你覺得烙幾張餅對我們解決問題最重要?

        生4:烙3張,我從中知道了交替烙的方法。

        生5:我覺得烙2張餅也很重要。

        師:為什么?

        生5:如果沒有烙2張餅的方法總結(jié),就解決不了烙5張餅的問題。

        師:掌聲送給會思考的孩子。

        (教師繼續(xù)教學(xué)烙6張餅、7張餅以及9張餅)

        【教學(xué)思考】對比烙4 張餅的2 種方法,讓學(xué)生打破思維定式進(jìn)一步感受“優(yōu)化”。有了這樣的體驗,學(xué)生在思考烙5 張餅時,會將思考的重心放在如何縮短時間上,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)烙2 張和烙3 張的重要意義,為后面用最少的時間烙更多的餅打下堅實的基礎(chǔ)。在烙餅問題中,圖示表征的優(yōu)勢顯而易見。通過簡潔明了的圖示,學(xué)生可以直觀地觀察每次烙餅的結(jié)果,無須進(jìn)行煩瑣的計算,進(jìn)而快速找到最優(yōu)策略。此外,隨著餅的數(shù)量的增加,圖示的優(yōu)勢更加凸顯,因為在復(fù)雜的烙餅序列中,圖示可以幫助學(xué)生更好地跟蹤和分析每一步的操作,也更容易發(fā)現(xiàn)問題中的關(guān)聯(lián)性,從而更全面地理解烙餅問題的整體架構(gòu)。

        四、利用圖示表征拓展思維,助力學(xué)生達(dá)成學(xué)習(xí)目的

        烙餅問題是有規(guī)律可循的,而有的教師僅僅通過簡單的講解便將公式“灌輸”給學(xué)生。正確的教學(xué)方法應(yīng)該是教師通過層層鋪墊,化繁為簡,從簡單的烙1 張餅開始教學(xué),到烙2 張餅、3 張餅,以及烙更多的餅。當(dāng)學(xué)生意識到烙更多餅的方法可以總結(jié)成一個公式時,就是揭示烙餅問題背后規(guī)律的最佳時機(jī)。

        【教學(xué)片段5】

        師:在烙餅的時候,你有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎?

        生1:有幾張餅就要烙幾次。

        師:為什么烙的次數(shù)和餅的張數(shù)相同呢?

        生2:烙餅的時候,每次烙2 個面,2 個面就是1張餅。

        生3:因為我們要利用鍋的最大空間,如果一個鍋一次可以烙2 張餅,那么烙餅次數(shù)=餅數(shù)×每個餅要烙的面數(shù)÷一個鍋最多放的餅數(shù)。

        師:觀察表6,烙餅所需的最少時間和什么有關(guān)?它們有怎樣的關(guān)系?

        表6 烙餅時間分析表

        生4:烙餅所需最少時間=烙1 面餅的用時×烙餅次數(shù)。

        師:這個公式適用于所有情況嗎?

        生5:不適合1 張餅的情況,因為1 張餅的兩面不能同時烙。

        生6:如果一次能烙3 張餅,每個餅烙的面數(shù)就不能和每次最多放的餅數(shù)相抵消了,所以這個公式只適合一次放2張餅的情況。

        【教學(xué)思考】通過觀察烙餅時間分析表,很多學(xué)生都能發(fā)現(xiàn)“烙的次數(shù)等于餅的張數(shù)”這一規(guī)律,但并不理解其背后的真正原因。而通過質(zhì)疑公式的局限性,能讓學(xué)生理解公式背后的真正含義,從而提升思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。烙餅問題這節(jié)課通過一系列的觀察、操作、歸納、總結(jié)、轉(zhuǎn)化,將學(xué)生的思維以一個動態(tài)發(fā)展的過程呈現(xiàn),讓思維得以提升、發(fā)展。

        綜上所述,圖示在烙餅問題中起著重要的作用,它通過可視化的方式展示烙餅的初始狀態(tài)和每次操作后的位置變化,幫助學(xué)生直觀地觀察和分析問題。通過圖示,學(xué)生也更清楚地理解烙餅的順序和位置關(guān)系,發(fā)現(xiàn)規(guī)律和性質(zhì),從而制定最優(yōu)的解題策略。在教學(xué)中,教師要善于借助圖示解決教學(xué)中的難點,讓學(xué)生的思維真正做到動態(tài)化。

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