汪 所

? 湖南省永順縣第一中學(xué)

“探究式”教學(xué)法又稱為發(fā)現(xiàn)法、研究法,是指學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中,教師只是一個引路人,給出某個具體問題,學(xué)生通過查閱資料、觀察實踐、思考辨析、討論講解等途徑去主動探究,獲得相應(yīng)規(guī)律和結(jié)論的一種方法.其核心思想是在教師的指導(dǎo)下,發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性,調(diào)動學(xué)生積極性,讓學(xué)生自覺地探索解決問題的方法,并從中找出規(guī)律,形成結(jié)論,建立自己的認(rèn)知模型和知識框架.在高中數(shù)學(xué)課堂中,應(yīng)該充分重視學(xué)生的主體地位,利用“探究式”教學(xué)方法提高課堂效率[1].

1 典例分析

圖1

故點M的軌跡是除去(-5,0),(5,0)兩點的橢圓.

2 問題探究

圖2

故點M的軌跡是除去(-5,0),(5,0)兩點的雙曲線(如圖2).

點評：探究一與例1均滿足斜率之積是常數(shù)這一條件,不同的是改變了定值的符號,從而導(dǎo)致結(jié)果由橢圓變成了雙曲線.

由此不難想到,能否將該常數(shù)一般化,通過對一般規(guī)律的探究又能得出哪些結(jié)論呢?

探究二：(普通高中教科書人教A版選擇性必修一第146頁復(fù)習(xí)參考題第11題)已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0),且邊AC,BC所在直線的斜率之積是m(m≠0),求頂點C的軌跡方程,并判斷其軌跡形狀.

所以,當(dāng)m>0時,點C的軌跡是除去(-5,0),(5,0)兩點的雙曲線;

當(dāng)m<0,且m≠-1時,點C的軌跡是除去點(-5,0),(5,0)的橢圓;

當(dāng)m=-1時,點C的軌跡是除去點(-5,0),(5,0)的圓.

點評：探究二是把斜率之積用常數(shù)m(m≠0)替代,可以通過幾何畫板對m取不同值時的動態(tài)演示,得出不同形狀的曲線,不僅體現(xiàn)了直觀性的教學(xué)效果,還體現(xiàn)了從特殊到一般的探究性思維方式.尤其是當(dāng)m=-1時,呈現(xiàn)出了圓的“直徑所對圓周角是直角”的性質(zhì),展現(xiàn)出幾何與代數(shù)的統(tǒng)一性.

如果將兩個定點一般化又會得到怎樣的結(jié)論呢?

探究三：將探究二中的點A,B的坐標(biāo)分別改為為(-a,0),(a,0),求頂點C的軌跡方程,并判斷軌跡形狀,進一步說明常數(shù)m的意義.

所以,當(dāng)m>0時,點C的軌跡是除去點(-a,0),(a,0)的雙曲線;

當(dāng)m<0,且m≠-1時,點C的軌跡是除去點(-a,0),(a,0)的橢圓;

當(dāng)m=-1時,點C的軌跡是除去點(-a,0),(a,0)的圓.

當(dāng)m=-1時,若認(rèn)為圓的離心率e=0,則也滿足m=e2-1.

點評：該探究是上述幾個探究問題的進一步推廣.把兩點坐標(biāo)和常數(shù)都一般化.不僅獲得了常見的幾種曲線軌跡方程,而且得出m=e2-1的結(jié)論.通過上述一般化的探究過程不難發(fā)現(xiàn),從“特殊到一般”的探究對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、培養(yǎng)解決數(shù)學(xué)問題能力、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要性.另外,對一般性結(jié)論“k1k2=e2-1”的總結(jié)歸納,還可以讓學(xué)生獲得快速解決此類問題的基本技能.

3 知識應(yīng)用

點評：通過本題不難發(fā)現(xiàn),在解決一些圓錐曲線問題中利用好一些常用結(jié)論可以起到事半功倍的作用.當(dāng)然,若本題作為解答題,則應(yīng)該對該二級結(jié)論進行推導(dǎo),以達(dá)到思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

總之,教師在教學(xué)過程中應(yīng)該充分利用好教材中的一些碎片化資源,并對其重組、融合和拓展,再結(jié)合多種多樣的現(xiàn)代教育技術(shù)逐步培養(yǎng)與滲透從特殊到一般的探究意識.在平時的教學(xué)過程中,還要在落實“四基”的同時培養(yǎng)“四能”,重視學(xué)生思維的形成和核心素養(yǎng)的培養(yǎng),要讓學(xué)生學(xué)會分析、學(xué)會思考并養(yǎng)成歸納的好習(xí)慣,最終完成立德樹人的任務(wù)[2].