李雅芝,張香紅,劉利利

(1.黔南民族師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,貴州 都勻 558000;2.西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 400715;3.山西大學(xué) 復(fù)雜系統(tǒng)研究所,太原 030006)

新型冠狀病毒感染肺炎疫情在我國已流行3年有余,在“乙類甲管”的強(qiáng)有力控制下,我國經(jīng)受住了全球疫情的多輪沖擊。根據(jù)國務(wù)院應(yīng)對(duì)新型冠狀病毒感染疫情聯(lián)防聯(lián)控機(jī)制綜合組制定的《關(guān)于對(duì)新型冠狀病毒感染實(shí)施“乙類乙管”的總體方案》,2023年1月8日起,我國對(duì)新型冠狀病毒感染疫情開始實(shí)施“乙類乙管”。對(duì)新型冠狀病毒感染者不再實(shí)行隔離措施,不再判定密切接觸者;不再劃定高低風(fēng)險(xiǎn)區(qū),檢測(cè)策略調(diào)整為“愿檢盡檢”[1]。

使用數(shù)學(xué)模型研究傳染病的傳播特征及防控措施對(duì)實(shí)際工作有一定的指導(dǎo)作用,國內(nèi)外對(duì)傳染病流行規(guī)律和發(fā)展趨勢(shì)的數(shù)學(xué)建模與定量研究已有多年歷史。1927年Kermack等構(gòu)造了著名的“易感者-感染者-恢復(fù)者(susceptible-infective-recovered,SIR)”模型,并在1932年提出了“易感者-感染者-易感者(susceptible-infective-susceptible,SIS)”模型,提出了疾病是否流行的“閾值理論”,為傳染病模型研究奠定了基礎(chǔ)[2]。近20年來,我國傳染病動(dòng)力學(xué)的研究進(jìn)展極為迅速,大量的數(shù)學(xué)模型被用于分析各類傳染病問題。在新型冠狀病毒感染疫情暴發(fā)初期,陜西師范大學(xué)唐三一教授團(tuán)隊(duì)和西安交通大學(xué)肖燕妮教授團(tuán)隊(duì)做了非常多有意義的工作[3-6]。近期,張晶等[7]提出了一個(gè)改進(jìn)的蟲口模型描述新型冠狀病毒的傳播動(dòng)力學(xué)過程,利用少量疫情相關(guān)數(shù)據(jù)對(duì)局部地區(qū)暴發(fā)的某一特定疫情進(jìn)行了預(yù)測(cè)。于振華等[8]考慮了政府管控和個(gè)人防護(hù)等措施,在經(jīng)典的SIR模型基礎(chǔ)上引入了低風(fēng)險(xiǎn)群體,提出了一種新型冠狀病毒傳播動(dòng)力學(xué)“易感者-低風(fēng)險(xiǎn)人群-感染者-恢復(fù)者(susceptible-low-risk-infective-recovered,SLIR)”模型,并驗(yàn)證了模型的有效性。任建強(qiáng)等[9]提出了一個(gè)基于機(jī)器學(xué)習(xí)的新型冠狀病毒傳播3步預(yù)測(cè)模型,將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和隨機(jī)森林等機(jī)器學(xué)習(xí)算法引入到新型冠狀病毒的傳播預(yù)測(cè)中。李淑萍等[10]建立了帶有環(huán)境病毒的新型冠狀病毒傳播模型,分析了模型的動(dòng)力行為,并將帶有環(huán)境病毒、不帶環(huán)境病毒的模型與我國早期新型冠狀病毒感染數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合。

現(xiàn)有文獻(xiàn)主要集中于“乙類甲管”期間的研究,論文將研究建立符合防控政策的新型冠狀病毒傳播模型。全國整體疫情處于局部零星散發(fā)狀態(tài),但新型冠狀病毒并未消失,病毒在人群中的傳播仍持續(xù)存在,而且人口的流動(dòng)也大幅增加,而最有效的防控措施仍是接種疫苗和個(gè)人防護(hù)。因此,將建立具有外部輸入、疫苗接種、自我防護(hù)的新型冠狀病毒傳播模型,探討其最優(yōu)控制策略[11]。

1 模型建立

首先,將人群分為5個(gè)艙室,分別為:易感者S(t)、疫苗接種者V(t)、無癥狀感染者A(t)、有癥狀感染者I(t)和恢復(fù)者R(t)。記N(t)=S(t)+V(t)+A(t)+I(t)+R(t)。

其次,做如下模型假設(shè):

1) 考慮無癥狀感染者和有癥狀感染者的外部輸入;2) 考慮免疫消退和疫苗失效;3) 只考慮有癥狀感染者的因病死亡;4) 當(dāng)前醫(yī)療資源已非常充足,感染后需要住院都可以得到滿足,故不考慮住院艙室;5) 恢復(fù)者在短期內(nèi)不會(huì)再被傳染。

基于假設(shè)1)～5),為了研究自我防護(hù)和疫苗接種的力度隨著時(shí)間的變化情況,分別加入控制u1(t)和u2(t)。由于易感者和接種者從感染新型冠狀病毒到具有傳播力是有一定滯后的,故可建立時(shí)滯微分方程模型(1),該模型的建立可為常態(tài)化防控傳染病提供建模思路。

(1)

模型(1)中各參數(shù)的含義如表1所示。由表1可知所用的14個(gè)參數(shù)的含義。

表1 模型(1)參數(shù)含義Tab.1 Description of the parameters of model (1)

模型(1)的初始條件為

S(θ)=φ1(θ),V(t)=φ2(θ),A(t)=φ3(θ),I(t)=φ4(θ),R(t)=φ5(θ),

(2)

其中,φi(θ)∈C且φi(θ)≥0(i=1,2,3,4,5),θ∈[-τ,0]。

定理1在初始條件(2)下,模型(1)的解是非負(fù)且最終有界的。

定義函數(shù)G2(t)=A(t)+I(t)+R(t),由于βA和βI均小于1,則

dII(t)-μ(A(t)+I(t)+R(t))<

D1+D2+(1-u1)(S(t-τ)+σV(t-τ))-μ(A(t)+I(t)+R(t))≤

2 最優(yōu)控制問題

主要探討模型(1)的最優(yōu)控制問題,實(shí)際控制總是希望在實(shí)施控制的時(shí)間段內(nèi)以最少的成本使得感染者數(shù)量達(dá)到最少,故定義目標(biāo)泛函為

(3)

2.1 最優(yōu)控制的存在性

2.2 最優(yōu)控制的特征

具體地,λi(t)(i=1,2,3,4,5)滿足下面方程組:

(4)

橫斷條件為

λi(T)=0,i=1,2,3,4,5。

(5)

關(guān)于最優(yōu)控制的特征,有如下結(jié)論:

再結(jié)合控制約束集Λ的上下界,即可得到最優(yōu)控制的特征表達(dá)。

3 數(shù)值模擬

主要通過數(shù)值模擬討論以下3方面的內(nèi)容:外部輸入對(duì)模型動(dòng)力學(xué)行為的影響,最優(yōu)控制隨時(shí)間的變化,以及控制對(duì)無癥狀和有癥狀感染者感染規(guī)模的影響。數(shù)值模擬的參數(shù)選取為b=300,μ=2.06×10-5,v=0.3,vd=0.1,σ=0.3,βA=0.4,βI=0.5,rA=0.3,rI=0.3,rA=0.3,rI=0.3,δ=0.1,dI=0.01,p=0.5。時(shí)滯選取為τ=7。初值選取為:S(θ)=1000,S(θ)=1000,V(θ)=50,A(θ)=5,I(θ)=5,R(θ)=0,θ∈[-τ,0]。

3.1 輸入率的影響

當(dāng)控制不存在時(shí),通過數(shù)值模擬探討外部輸入對(duì)易感者、接種者、無癥狀和有癥狀感染者規(guī)模的影響,結(jié)果如圖1所示。

(a) 易感者數(shù)量時(shí)間序列 (b) 疫苗接種者數(shù)量時(shí)間序列

由圖1可知,當(dāng)無癥狀感染者A(t)和有癥狀感染者I(t)存在外部輸入時(shí),1個(gè)月內(nèi)各類人群規(guī)模的變化。由圖1(a)和圖1(b)可知,由于A(t)和I(t)數(shù)量的增加,導(dǎo)致更多的易感染者S(t)被感染,因此易感者數(shù)量有所下降,相應(yīng)使得接種者數(shù)量下降。對(duì)比圖1(c)和圖1(d)可以看出:在第30d時(shí),若無外部輸入,A(t)的量約為40,I(t)的量約為80;但當(dāng)存在外部輸入時(shí),A(t)的量約為100,I(t)的量約為220,是無外部輸入情形下數(shù)量的兩倍多。因此,外部輸入會(huì)擴(kuò)大傳染病在當(dāng)?shù)氐穆?需要引起足夠重視。

3.2 最優(yōu)控制變量的時(shí)間序列

當(dāng)控制存在時(shí),輸入率選取為D1=1.5,D2=1,且在實(shí)際中,控制很難做到100%,故控制最大值選取為0.8。

4組不同控制成本下最優(yōu)控制隨時(shí)間變化的結(jié)果如圖2所示。由圖2(a)可知,自我防護(hù)控制成本遠(yuǎn)大于疫苗接種控制成本,自我防護(hù)在高成本情形下在最大值持續(xù)時(shí)間短,為了達(dá)到更好的防控效果,疫苗接種由于其成本低可以維持在較高水平。由圖2(b)可知,自我防護(hù)控制成本遠(yuǎn)小于疫苗接種控制成本,自我防護(hù)在低成本情形下可以在最大值持續(xù)較長時(shí)間,而為了節(jié)約成本,疫苗接種始終處于低水平。由圖2(c)可知,自我防護(hù)和疫苗接種控制成本一樣且取值較小,此時(shí),自我防護(hù)在最大值持續(xù)時(shí)間較長,而疫苗接種力度保持中等水平。由圖2(d)可知,自我防護(hù)和疫苗接種控制成本一樣且取值較大,此時(shí),自我防護(hù)在最大值持續(xù)時(shí)間很短便開始下降,而疫苗接種始終維持在較低水平。

(a) B1=12,B2=1時(shí)控制變量時(shí)間序列 (b) B1=1,B2=12時(shí)控制變量時(shí)間序列

對(duì)比圖2(a)和圖2(b)可知,自我防護(hù)控制成本無論是低還是高,其控制力度都較大,說明自我防護(hù)對(duì)于預(yù)防新型冠狀病毒傳染起著無可替代的作用,即使成本高,也應(yīng)積極采取自我防護(hù)措施;而疫苗接種成本一旦升高,只要自我防護(hù)做得好,本著節(jié)約成本的原則,可以采取低水平疫苗接種控制。對(duì)比圖2(c)和圖2(d)可知,當(dāng)2種控制措施成本同時(shí)升高時(shí),自我防護(hù)不能長時(shí)間維持在高水平,疫苗接種控制也只能維持在低水平。對(duì)比圖2(a)和圖2(c)可知,當(dāng)疫苗接種成本較低且保持不變時(shí),若自我防護(hù)成本降低,可以通過加大自我防護(hù)控制,適當(dāng)降低疫苗接種力度;反之,若自我防護(hù)成本升高,其控制力度會(huì)減弱,但可以通過增大疫苗接種力度達(dá)到最佳控制效果的目的。對(duì)比圖2(b)和圖2(d)可知,當(dāng)疫苗接種成本較高且保持不變時(shí),雖然可以通過加大疫苗接種力度彌補(bǔ)自我防護(hù)力度的減弱,但疫苗接種力度始終維持在較低水平。

3.3 不同控制力度的影響

為了探討不同控制策略對(duì)無癥狀感染者A(t)和有癥狀感染者I(t)感染規(guī)模的影響,分別給出3組常數(shù)控制及其最優(yōu)控制下A(t)和I(t)的數(shù)量變化,輸入率選取為D1=1.5,D2=1,目標(biāo)函數(shù)中權(quán)重選取為B1=12,B2=1,結(jié)果如圖3所示。

由圖3可知不同控制組合下無癥狀感染者和有癥狀感染者的數(shù)量變化。對(duì)比圖3(a)和圖3(b)可知,對(duì)于常數(shù)控制,隨著控制變量的增大,A(t)和I(t)的數(shù)量均在下降,并且在最優(yōu)控制情況下,A(t)和I(t)的數(shù)量達(dá)到最少。對(duì)比圖3(c)和圖3(d)可知,自我防護(hù)的單一控制效果優(yōu)于疫苗接種的單一控制效果。

4 建議和結(jié)論

基于以上發(fā)現(xiàn),為了做好疫情常態(tài)化防控,相關(guān)部門應(yīng)特別注意在旅游旺季或某些大型活動(dòng)等人流量較大的情形下,做好外部輸入引發(fā)疫情的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)判以及應(yīng)急管理等。當(dāng)前人們對(duì)采取防護(hù)措施已經(jīng)有所松懈,社區(qū)或媒體仍應(yīng)做好自我防護(hù)的宣傳和教育,以提高大家的自我防護(hù)意識(shí)。此外,疫苗接種仍是疫情防控的有效措施,但在無條件接種疫苗的情況下,做好自我防護(hù)是最有效的防控措施。最后,在實(shí)際工作中,應(yīng)追求最優(yōu)綜合控制措施,以達(dá)到最佳控制效果。

研究了基于外部輸入的實(shí)際情況,考慮了自我防護(hù)和疫苗接種,建立了1個(gè)五維時(shí)滯微分方程模型刻畫新型冠狀病毒在人群中的傳播,以花費(fèi)最少的成本達(dá)到感染者最少為目標(biāo),探討了最優(yōu)控制策略?；跇O值原理得到了最優(yōu)控制的特征表達(dá),并通過數(shù)值模擬討論了外部輸入對(duì)疫情的影響,不同控制成本組合對(duì)最優(yōu)控制變量的影響,以及不同控制組合的控制效果。發(fā)現(xiàn):1) 外部輸入使得感染者數(shù)量出現(xiàn)大幅增加,進(jìn)而導(dǎo)致更多的易感者被感染;2) 無論控制成本如何,自我防護(hù)的控制力度始終維持在較高水平,但疫苗接種力度會(huì)因?yàn)榭刂瞥杀镜纳叨蠓陆?3) 對(duì)于常數(shù)控制的不同組合,控制力度越大,感染者數(shù)量越少,且最優(yōu)控制效果最佳;自我防護(hù)單一控制力度優(yōu)于疫苗接種單一控制力度。

研究結(jié)果對(duì)實(shí)踐具有一定的參考價(jià)值,可對(duì)未來應(yīng)對(duì)處于常態(tài)化防控且具有類似特征的傳染病提供防控經(jīng)驗(yàn),然而還有一些方面需要改進(jìn)。首先,當(dāng)新發(fā)傳染病暴發(fā)時(shí),決策者很難及時(shí)識(shí)別其傳染性和危害性,因此,實(shí)施有效防控措施具有一定的滯后。其次,死亡病例主要集中在患有某些潛在疾病的老年人身上,因此,感染具有一定的年齡結(jié)構(gòu)。另外,疾病往往在某個(gè)區(qū)域暴發(fā),然后向四周蔓延,因此,空間分布也是疾病傳播的一個(gè)因素。基于以上因素,建立更符合實(shí)際的數(shù)學(xué)模型,得到更豐富的研究結(jié)果,是未來努力的方向。