劉洪燕,劉丹丹,江利情,蔣 敏

(貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院,貴陽 550025)

近年來,對多物種或多化學(xué)信號的趨化模型推廣在數(shù)學(xué)生物學(xué)領(lǐng)域引起了極大關(guān)注,例如Tao等[1]提出的覓食者-掠奪者模型:

(1)

其中,x表示覓食者、掠奪者、食餌所在的位置,t表示時(shí)間,u=u(x,t)、v=v(x,t)、w=w(x,t)分別表示覓食者、掠奪者、食餌的種群密度,-λ(u+v)w表示食餌的消耗,非負(fù)函數(shù)r=r(x,t)表示食餌的生產(chǎn)率,參數(shù)χ1、χ2、λ、μ分別表示趨化項(xiàng)系數(shù)(覓食者被食物吸引、掠奪者跟隨覓食者、2組動(dòng)物都在隨機(jī)擴(kuò)散、乙組動(dòng)物在接觸時(shí)消耗營養(yǎng)),食餌消耗率以及食餌自身死亡率均為正,主要研究當(dāng)空間維數(shù)n=1時(shí)模型(1)經(jīng)典解的全局存在性和一致有界性;接著,在高維空間中,Wang等[2]通過對初始數(shù)據(jù)以及參數(shù)進(jìn)行限制得到了模型(1)的有界性。除此之外,Cao等[3]和Liu[4]研究了擬線性覓食者-掠奪者模型經(jīng)典解的存在性和有界性。對于具有奇異性、非線性項(xiàng)或者非線性擴(kuò)散項(xiàng)的覓食者-掠奪者模型的研究,可以參考文獻(xiàn)[5-7]。這類模型可以用來描述剪水鹱通過追蹤三趾鸻尋找食物的過程,在生物學(xué)和生態(tài)學(xué)上有著廣泛的應(yīng)用。但是,以上研究都沒有考慮到帶競爭機(jī)制的覓食者-掠奪者模型,所以Wang等[8]考慮到這一點(diǎn),研究了帶有競爭機(jī)制的覓食者-掠奪者模型:

(2)

其中,μ1u、-μ1u2、-a1μ1uv分別表示覓食者的增殖、死亡、競爭,μ2v、-μ2v2、-a2μ2uv分別表示掠奪者的增殖、死亡、競爭,第1種趨化機(jī)制-(uwx)x表示覓食者向食餌梯度增加的方向移動(dòng),而掠奪者則跟隨覓食者去尋找食餌(對應(yīng)第2種趨化機(jī)制-(vux)x),Wang等證明了模型(2)解的全局有界性以及大時(shí)間行為。

結(jié)合以上分析可知,對含有競爭機(jī)制的覓食者-掠奪者模型,已有文獻(xiàn)都沒有對高維空間進(jìn)行研究,基于此,研究在高維空間中具有競爭機(jī)制的覓食者-掠奪者模型:

(3)

χ,ξ,λ,μ,a1,a2,b1,b2,δ1,δ2>0和α,β>1;

(4)

初值(u0,v0,w0)滿足

(u0,v0,w0)∈(W2,∞(Ω))3和u0,v0,w0≥0;

(5)

非負(fù)函數(shù)r滿足

(6)

(7)

則有如下主要結(jié)果:

定理1設(shè)Ω?n(n≥3)為具有光滑邊界的有界域,假設(shè)r滿足式(6)(7),p>n/2+1,(p表示p次冪可積),且式(4)成立。若

(8)

此外,存在常數(shù)C>0使得對任意t>0,有

(9)

在下文中,對時(shí)間t在空間Ω上的積分符號dt均省略。

1 準(zhǔn)備工作

在證明主要結(jié)果之前,先給出模型(3)經(jīng)典解的局部存在性。

引理1[9]假設(shè)Ω?n(n≥3)為具有光滑邊界的有界域,式(5)(7)成立,則存在時(shí)間的最大值Tmax∈(0,∞]使得模型(3)存在唯一非負(fù)經(jīng)典解對任意t>0,滿足u,v,w>0。此外,若Tmax<∞,則有∞。

下面給出證明定理1需要用到的一些重要的引理。

引理2[1]假設(shè)引理1的條件成立,則對任意t∈(0,Tmax),模型(3)的解滿足

(10)

引理3假設(shè)引理1的條件成立,則對任意t∈(0,Tmax),模型(3)的解滿足

(11)

(12)

該引理的證明可以參考文獻(xiàn)[7],此處省略其詳細(xì)的證明過程。

y(t)≤max{y(0)+C2,(C2/C1τ)+2C2}。

其中,z0滿足z0∈W2,∞(Ω),z0>0,且在?Ω上?νz0=0,則存在常數(shù)C>0,使得t∈(0,Tmax-θ),

成立,特別地,存在常數(shù)C*>0使得函數(shù)z滿足

2 解的有界性及定理1的證明

本節(jié)將給出(u,v,w)的有界性證明,并由此證明定理1。

引理6設(shè)p>1并且式(5)～(7)成立,則存在常數(shù)M1>0使得

(13)

證明首先,對參數(shù)γ>0定義輔助函數(shù)

g(s)=eγs2,?s∈[0,M],

(14)

其中,M為定理1給定的。因此,可以得到

g′(s)=2γsg(s),

(15)

g″(s)=2γ(1+2γs2)g(s),

(16)

1≤g(s)≤eγM2。

(17)

利用模型(3)中的第1個(gè)和第3個(gè)方程,再結(jié)合式(15)(16),對?t∈(0,Tmax)有

(18)

再由Young不等式可以得到

(19)

(20)

應(yīng)用Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式,結(jié)合式(7)(10)(15)(17),存在任意常數(shù)C3>0,有

(21)

其中,d1=eγM2(2γMr+2a1p+r),a=(np-(n/2))/(1+np-(n/2))。將式(19)～(21)代入式(18),結(jié)合式(10)(15)(16),有

(22)

對常數(shù)s∈R,令

因此,當(dāng)f(s)=0時(shí),h(s)至少存在1個(gè)正解,則可以找到γ>0滿足

使得

由式(22)可以得到

再由式(17)和引理4可得式(13)。

引理7[11]假設(shè)定理1的條件成立,則存在常數(shù)M2>0和M3>0使得對?t∈(0,Tmax),有

(23)

(24)

引理8假設(shè)定理1的條件成立,則存在常數(shù)M4>0使得對?t∈(0,Tmax),有

(25)

(26)

接下來,由式(11)(23)和B(t)的定義,有

(27)

其中,θ=2(p-1)q/(2(p-1)-q)>1。令f(u)=a1u-a1b1uα,則存在任意常數(shù)C4>0使得

結(jié)合Neumann熱半群光滑估計(jì)[12]可以得到對任意t∈(0,Tmax),存在任意常數(shù)C5,C6>0,使得

(28)

再由內(nèi)插不等式可知,存在任意常數(shù)C7>0,對?t∈(0,Tmax),有

(29)

其中,1/q=a+(1-a)/2p(a∈(0,1))。將式(27)～(29)代入式(26),則存在任意常數(shù)C8,C9>0使得對任意t∈(0,Tmax),有

引理9假設(shè)定理1的條件成立,則存在常數(shù)M5,M6>0,使得對?t∈(0,Tmax),有

(30)

(31)

證明由模型(3)中的第1個(gè)方程可知

(32)

由文獻(xiàn)[13],有

(33)

由文獻(xiàn)[14]和式(25),有

(34)

(35)

對于I2(t),由文獻(xiàn)[15]中的式(3.35)～(3.38),有

(36)

(37)

將式(35)～(37)代入式(32),可以得到

(38)

由Young不等式和式(34),有

再根據(jù)式(12),則式(38)可以寫成

(39)

根據(jù)模型(3),令f(x,t)=-λ(u+v)w-μw+r(x,t),則w滿足

因此,結(jié)合式(7)(10)(11)(25),存在任意常數(shù)C11>0使得對?t∈(0,Tmax-τ),有

(40)

引理10假設(shè)定理1的條件成立,則存在常數(shù)M7>0,使得對任意t∈(0,Tmax),有

(41)

證明當(dāng)p>1+(n/2)時(shí),可以找到任意常數(shù)q滿足n

后面的證明與引理8類似,因此可以得到引理10的證明。

引理11[7]假設(shè)定理1的條件成立,則存在常數(shù)M8>0使得對任意t∈(0,Tmax),有

(42)

引理12假設(shè)定理1的條件成立,則存在常數(shù)M9>0使得對任意t∈(0,Tmax),有

(43)

證明對模型(3)的第1個(gè)式子進(jìn)行計(jì)算,有

此時(shí),可以用類似于引理9的方法計(jì)算得到

由模型(3),可令f(x,t)=-ξ?·(v?u)+a2v(1-b2vβ-1-δ2u)滿足

最后,根據(jù)引理2、引理8～12,再結(jié)合引理1,可以得到Tmax=∞和定理1的證明。

3 結(jié)論

通過應(yīng)用Lp估計(jì)、Young不等式、H?lder不等式、內(nèi)插不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式和Neumann熱半群理論等,發(fā)現(xiàn)當(dāng)初值和參數(shù)滿足一定的正則性和限制條件時(shí),可以得到在高維空間中模型(3)解的全局存在性和有界性。最終結(jié)果表明,通過提高空間維度,可使對模型(3)的研究更有難度,同時(shí)在生物學(xué)上更具有實(shí)用性。