張卓琳,張海霞,謝秀梅

(1.太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院,太原 030024;2.廣靈一中,山西 大同 037500)

2016年,Nikiforov在文獻(xiàn)[5]中提出了一種新的矩陣Aα(G),也稱為圖G的α-鄰接矩陣,其是度對(duì)角矩陣D(G)和鄰接矩陣A(G)的線性組合,即

Aα(G)=αD(G)+(1-α)A(G),

其中0≤α≤1.

容易得到,

A0(G)=A(G),A1(G)=D(G),

Aα(G)-Aβ(G)=(α-β)L(G),

其中L(G)和Q(G)分別為圖的拉普拉斯矩陣和無符號(hào)拉普拉斯矩陣。

注意到Aα(G)是實(shí)對(duì)稱矩陣,故而它的特征值都是實(shí)數(shù),記為ρ1≥ρ2≥…≥ρn,且稱為α-鄰接特征值。最大特征值ρ1,稱為Aα-譜半徑。2016年,Nikiforov在文獻(xiàn)[5]中首次給出了關(guān)于Aα-譜半徑的一些性質(zhì)及上下界。之后,許多的學(xué)者對(duì)不同圖的Aα-譜半徑的上下界及相應(yīng)的極值圖進(jìn)行了研究,關(guān)于更多圖的Aα-譜半徑的結(jié)果參考文獻(xiàn)[5-9].

2018年,Guo和Zhou在文獻(xiàn)[6]中將圖G的α-鄰接能量定義為Aα(G)特征值的平均偏差,即

隨后,Pirzada等人在文獻(xiàn)[10]中對(duì)圖的α-鄰接能量EAα(G)的上下界及相應(yīng)的極值圖進(jìn)行了研究。

本文中,首先得到了圖G的Aα-譜半徑ρ1的下界;此外,給出了圖G的α-鄰接能量EAα(G)的上界及相應(yīng)的極值圖。

1 Aα-譜半徑ρ1 的下界

為了方便,在不引起混淆的情況下,簡(jiǎn)記Aα(G)為Aα.本節(jié)給出了Aα-譜半徑的下界。

首先,先給出以下幾個(gè)引理。

引理1設(shè)G是一個(gè)圖且α∈[0,1),ρ1是Aα的最大特征值,如果G是連通圖,則存在一個(gè)正特征向量x使得Aαx=ρ1x.

引理2[11]設(shè)B為實(shí)對(duì)稱n×n矩陣,λ為B的特征值,其特征向量x的所有項(xiàng)全部為非負(fù)的,用si(B)表示B的第i行和,則:

此外,如果B的行和不都相等且x的所有項(xiàng)都是正的,則上述不等式都是嚴(yán)格成立的。

定理1設(shè)G是n階連通圖,ρ1是Aα的最大特征值且sv(Aα)是矩陣Aα的第v行和。如果P(x)是任意多項(xiàng)式,則

此外,如果P(Aα)的行和不都相等,則上述不等式是嚴(yán)格成立的。

證明由于G是連通圖,所以Aα是不可約的。Aα是非負(fù)矩陣,根據(jù)著名的Perron-Frobenius定理,Aα有一個(gè)對(duì)應(yīng)于ρ1的特征向量x,其所有項(xiàng)都是正的。由于P(Aα)有x作為特征值P(ρ1)的特征向量,根據(jù)引理2可得出結(jié)論。

若G是正則圖,則等式成立。

證明由于Aα=αD(G)+(1-α)A(G),則Aα的第i行和是

si(Aα)=αdi+(1-α)di=di,

為了方便,記D=D(G),A=A(G),則:

Aα2=

α2D2+α(1-α)DA+α(1-α)AD+(1-α)2A2,

計(jì)算得,

注意到:

故而:

αδ2+(1-α)[2m-di-(n-1-di)Δ] =

(1-α)(Δ-1)di+2m(1-α)+

αδ2-(1-α)(n-1)Δ

(1)

成立,即:

si(Aα2)≥(1-α)(Δ-1)si(Aα)+

2m(1-α)+αδ2-(1-α)(n-1)Δ,

所以:

si(Aα2-(1-α)(Δ-1)Aα)≥

2m(1-α)+αδ2-(1-α)(n-1)Δ.

由定理1,得:

ρ12-(1-α)(Δ-1)ρ1≥2m(1-α)+

αδ2-(1-α)(n-1)Δ.

求解這個(gè)一元二次不等式,如果:

4αδ2-(1-α)2(Δ-1)2],

則:

成立。

若G是正則圖,容易得到定理中的等式成立。

類似定理2,證明時(shí)只需將(1)中不等式

αδ2+(1-α)[2m-di-(n-1-di)Δ]

變?yōu)?

αdiδ+(1-α)[2m-di-(n-1-di)Δ]

即可得到以下推論。

推論1設(shè)G是有n個(gè)頂點(diǎn),m條邊的連通圖,且Δ和δ分別是G的頂點(diǎn)的最大度和最小度,

如果:

[4(1-α)(n-1)Δ-(αδ+(1-α)(Δ-1))2],

則:

若G是正則圖,則等式成立。

2 圖的α-鄰接能量的上界

在本節(jié)中,得到了α-鄰接能量EAα(G)的一些上界,首先,給出以下幾個(gè)引理。

引理3[10]設(shè)G是一個(gè)圖且α∈[0,1),圖G僅有兩個(gè)不同的α-鄰接特征值當(dāng)且僅當(dāng)G是完全圖。

引理4[10]設(shè)G是有n個(gè)頂點(diǎn)和m條邊的連通圖,ρ1是Aα(G)的最大特征值,則:

等式成立當(dāng)且僅當(dāng)G是正則圖。

(2)

其中

等式成立當(dāng)且僅當(dāng)G?Kn或G是連通正則圖,且有三個(gè)不同的特征值,分別為:

證明設(shè)Aα(G)的特征值是ρ1≥ρ2≥…≥ρn,則:

由柯西-施瓦茲不等式,得:

(3)

所以:

考慮函數(shù)

p1α2-2p2α+p3≥0,

(4)

其中:

p3=Zg(G)-2m.

若(i)α=0,p3>0,則不等式(4)成立。

(ii)α∈(0,1/2 ],設(shè)f(α)=p1α2-2p2α+p3,其中p2>0.

所以,

所以,不等式(4)成立。

由引理4得:

(5)

因此,

即:

成立。

假設(shè)(2)中的等號(hào)成立,則上述所有不等式中的等號(hào)都成立。由引理4可知,(5)中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G是正則圖。另外,(3)中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng):

|γ2|=|γ3|=…=|γn|=

由于G是正則圖,則:

所以

因此,考慮以下兩種情形:

(i)G是連通正則圖,且有兩個(gè)不同的α-鄰接特征值

由引理3可得,G?Kn.

(ii)G是連通正則圖,且有三個(gè)不同的特征值

和

相反,很容易可以證明在上述兩種情形,(2)中等號(hào)成立。

等式成立當(dāng)且僅當(dāng)G?Kn或G是連通正則圖且有三個(gè)不同的特征值,分別為:

和

3 結(jié)論

本文首先得出圖G的Aα-譜半徑的兩個(gè)下界,另外,給出了圖G的α-鄰接能量的上界并且刻畫了達(dá)到上界時(shí)圖的結(jié)構(gòu)特征。