郭 徽,王健安

(太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院,太原 030024)

由于多移動機(jī)器人編隊(duì)在執(zhí)行軍事、搜救等任務(wù)時具有明顯的優(yōu)勢,近幾年已成為控制領(lǐng)域和機(jī)器人領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)[1-3]。在多機(jī)器人編隊(duì)控制研究中一般需要考慮兩個性能指標(biāo),分別是多機(jī)器人之間的通信量和系統(tǒng)達(dá)到期望編隊(duì)的時間。

為了降低系統(tǒng)中由多機(jī)器人間相互通信引起不必要的資源浪費(fèi),事件觸發(fā)機(jī)制[4-6]被應(yīng)用到編隊(duì)控制策略中。事件觸發(fā)機(jī)制是設(shè)計一個觸發(fā)函數(shù),當(dāng)狀態(tài)誤差量達(dá)到觸發(fā)函數(shù)的閾值時控制器才會被觸發(fā),這樣可以有效降低通信次數(shù),從而減少自身能量的消耗。文獻(xiàn)[7]研究了移動機(jī)器人的自適應(yīng)輸出反饋編隊(duì)控制問題,提出了自適應(yīng)控制策略。文獻(xiàn)[8]研究了移動機(jī)器人的事件觸發(fā)編隊(duì)跟蹤問題,提出了一種新的事件觸發(fā)策略,避免了控制器的連續(xù)更新。文獻(xiàn)[9]針對兩輪差速輪式機(jī)器人采用線性反饋方法設(shè)計事件觸發(fā)編隊(duì)控制器,顯著降低了通信量。

多移動機(jī)器人在危險環(huán)境中執(zhí)行任務(wù)時,通常要求在極短時間內(nèi)完成才有意義。相比于傳統(tǒng)的漸進(jìn)控制,有限時間的編隊(duì)控制可以加快系統(tǒng)收斂到平衡狀態(tài)的時間,但其收斂時間依賴于初始狀態(tài),當(dāng)初始狀態(tài)無法提前獲知時,將給收斂時間的計算帶來困難。文獻(xiàn)[10]研究了二階多智能體系統(tǒng)的跟蹤控制問題,提出了一種基于事件觸發(fā)機(jī)制的固定時間跟蹤控制器。文獻(xiàn)[11]針對具有外加擾動的情況研究了移動機(jī)器人多變量固定時間編隊(duì)控制問題。固定時間控制不僅可以提高收斂速度,而且對于任何初始狀態(tài),均能在設(shè)定時間內(nèi)趨于穩(wěn)定,這樣更符合實(shí)際應(yīng)用。目前的研究很少將事件觸發(fā)機(jī)制和固定時間理論同時引入到多機(jī)器人編隊(duì)控制問題中。

本文針對多機(jī)器人的編隊(duì)控制,為了避免連續(xù)的通信,引入事件觸發(fā)通信機(jī)制,基于固定時間理論,采用領(lǐng)航跟隨法在運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)模型基礎(chǔ)上設(shè)計了一種事件觸發(fā)的固定時間編隊(duì)控制器。該控制方法可以使編隊(duì)系統(tǒng)在固定時間內(nèi)快速收斂到穩(wěn)定狀態(tài),且收斂時間與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān),同時排除了Zeno行為。

1 移動機(jī)器人模型

1.1 移動機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)模型

移動機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)模型和動力學(xué)模型如下:

(1)

(2)

1.2 基于距離-角度的領(lǐng)航跟隨編隊(duì)模型

基于距離-角度的領(lǐng)航跟隨編隊(duì)模型如圖1所示。

圖1 基于距離-角度的領(lǐng)航跟隨編隊(duì)模型Fig.1 Leader-following formation control model based on distance and angle

由圖1所示的幾何關(guān)系可得到以χ=[Lijψijβij]T為狀態(tài)量的距離-角度領(lǐng)航跟隨編隊(duì)模型為:

(3)

式中:φij=ψij+βij.將式(3)寫成矩陣形式,可以得到編隊(duì)狀態(tài)方程為:

(4)

2 控制器設(shè)計與穩(wěn)定性分析

引理1[12]如果存在一個李雅普諾夫函數(shù)V(x),V(x)=0?x=0,對于任意的x(t)滿足不等式:

(5)

則系統(tǒng)是全局固定時間穩(wěn)定的,且存在正常數(shù)θ,0<θ<1,使得收斂時間T滿足不等式:

(6)

式中:p,q,α,β,θ均為正常數(shù),且α,β>0,p>1>q>0.

2.1 狀態(tài)反饋固定時間編隊(duì)控制器設(shè)計

Ujc(t)=G-1(-f-kej(t)+

α1ej(t)‖ej(t)‖r1+β1ej(t)‖ej(t)‖r2)

(7)

式中:α1>0,β1>0,-20.

將設(shè)計的控制器(7)代入式(4),得到微分方程為:

β1ej(t)‖ej(t)‖r2

(8)

構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)驗(yàn)證ej的穩(wěn)定性:

(9)

對式(9)求導(dǎo),并將式(8)代入得:

β1‖ej(t)‖r2+2=-k‖ej(t)‖2-

(10)

(11)

所以系統(tǒng)ej是固定時間穩(wěn)定的。

2.2 基于事件觸發(fā)的固定時間編隊(duì)控制器設(shè)計

在實(shí)際應(yīng)用中,多機(jī)器人系統(tǒng)會受到其他干擾,所以有必要考慮動力學(xué)模型,將上節(jié)設(shè)計的速度控制器作為動力學(xué)模型的控制輸入,設(shè)計力矩控制器。

定義速度跟蹤誤差:

(12)

針對動力學(xué)模型設(shè)計的力矩控制器如下:

τjc(t)=B-1M(-α2ejc(t)‖ejc(t)‖r1-

B-1(CUj(t)+F+τd(t))

(13)

式中:α2>0,β2>0,-20.

定義事件觸發(fā)通信機(jī)制如下:

τj(t)=τjc(tk),t∈[tk,tk+1)

(14)

tk+1=inf{t>tk:f(t)≥0;k∈N}

(15)

定義測量誤差為:

e(t)=τj(t)-τjc(t),t∈[tk,tk+1)

(16)

對式(12)求導(dǎo)可得:

(17)

構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)驗(yàn)證ejc的穩(wěn)定性:

(18)

對式(18)求導(dǎo),并依據(jù)Young’s不等式可得:

α2‖ejc(t)‖r1+2-β2‖ejc(t)‖r2+2=

(19)

(20)

由引理1可知系統(tǒng)ejc(t)是固定時間穩(wěn)定的。

定理1針對系統(tǒng)(1)和(2),觸發(fā)函數(shù)構(gòu)造為:

(21)

當(dāng)觸發(fā)函數(shù)f(t)≥0時,控制輸入被觸發(fā),控制器開始更新,測量誤差e(t)將為零。當(dāng)f(t)<0時,多機(jī)器人編隊(duì)系統(tǒng)可以在固定時間內(nèi)收斂到穩(wěn)定狀態(tài),形成期望的編隊(duì),且固定收斂時間有界,滿足:

(22)

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)驗(yàn)證系統(tǒng)的穩(wěn)定性:

(23)

對式(23)求導(dǎo),并且依據(jù)Young’s不等式可得:

k‖ej(t)‖2-α2‖ejc(t)‖r1+2-

k‖ej(t)‖2

(24)

(25)

定義A3=min{α1,α2},D3=min{β1,β2},則式(25)可表示為:

(26)

由定理1和引理1可知,整個系統(tǒng)是固定時間穩(wěn)定的,且達(dá)到平衡狀態(tài)的收斂時間T滿足不等式:

(27)

3 可行性分析

定理2針對多移動機(jī)器人系統(tǒng)(1)和(2),在滿足觸發(fā)函數(shù)(21)的條件下,使用事件觸發(fā)控制器(14),事件觸發(fā)過程中無Zeno行為。

對式(16)求導(dǎo),代入式(17),可得不等式:

‖B-1M(α2(r1+1)‖ejc(t)‖r1+

(28)

結(jié)合式(15)可得不等式(31),其中令:

ρ1={‖-α2ejc(tk)‖ejc(tk)‖r1-

M-1(CUj(tk)+τd(tk)‖+S0-

‖M-1(χ1u+W0)‖}×‖B-1M(α2(r1+1)

(29)

ρ2=M[-α2ejc(tk)‖ejc(tk)‖r1-

β2ejc(tk)‖ejc(tk)‖r2+

(30)

最終不等式為:

‖B-1(χ2u+χ1M-1(-χ1u+W0+ρ2))‖+

B-1MS+B-1W≤ρ

(31)

(32)

4 數(shù)值仿真

為了說明編隊(duì)控制算法的有效性,本文進(jìn)行兩組仿真實(shí)驗(yàn),使用1個領(lǐng)航機(jī)器人,1個跟隨機(jī)器人。機(jī)器人模型參數(shù)為:d=0.03 m,R=0.135 m,d0=0.25 m,I=2.5 kg·m2,F=[0.25sgn(v)+0.1v0.15sgn(ω)+0.3ω]TN,τd=[0.1sin(t-8)0.1sin(t-8)]TN,r=0.03 m,m=4 kg.控制器參數(shù)選擇為:k=0.8,α1=1.2,α2=1,β1=0.05,β2=0.1,r1=-1,r2=2.通過計算可知固定時間T≤6.5 s.

圖2-圖6為第一組仿真,圖7-圖11為第二組仿真。圖2和圖7為初始狀態(tài)不同的編隊(duì)運(yùn)動軌跡圖,從圖3和圖8、圖4和圖9可以看出,初始狀態(tài)不同的跟隨機(jī)器人編隊(duì)距離誤差和角度誤差均在3 s內(nèi)收斂到穩(wěn)定狀態(tài),速度跟蹤誤差均在6 s內(nèi)收斂到穩(wěn)定狀態(tài),在計算的固定時間6.5 s內(nèi)均可

圖2 編隊(duì)運(yùn)動軌跡圖Fig.2 Formation movement trajectory graph

圖3 跟隨者距離與角度的誤差Fig.3 The distance and angle error of follower

圖4 跟隨者的線速度與角速度跟蹤誤差Fig.4 Linear and angular velocity error of follower

圖5 跟隨者的力矩控制輸入Fig.5 Torque control input of follower

圖7 編隊(duì)運(yùn)動軌跡圖Fig.7 Formation movement trajectory graph

圖8 跟隨者距離與角度的誤差Fig.8 The distance and angle error of follower

圖9 跟隨者的線速度與角速度跟蹤誤差Fig.9 Linear and angular velocity error of follower

以形成期望編隊(duì)目標(biāo)。說明本文設(shè)計的編隊(duì)控制器能使跟隨機(jī)器人的線速度和角速度在固定時間內(nèi)很好的跟蹤上領(lǐng)航機(jī)器人,從而編隊(duì)距離和角度在固定時間內(nèi)也可以收斂到期望值,達(dá)到期望的收斂效果并且實(shí)現(xiàn)了編隊(duì)控制目標(biāo)。并且通過兩組仿真圖對比也說明了固定時間上界的計算與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān),只與控制器設(shè)計的參數(shù)有關(guān)。

圖5和圖10為力矩控制輸入,圖6和圖11為事件觸發(fā)時刻圖,從圖可以看出基于事件觸發(fā)的力矩控制器是分段的,跟隨機(jī)器人的控制器在每一段的端點(diǎn)處被觸發(fā)更新,這樣可以減少因不必要的連續(xù)通信造成自身能量的浪費(fèi)。驗(yàn)證了本文設(shè)計的基于事件觸發(fā)的固定時間編隊(duì)控制器可以降低機(jī)器人的通信頻率,從而節(jié)約了通信資源。

圖10 跟隨者的力矩控制輸入Fig.10 Torque control input of follower

圖11 跟隨者的觸發(fā)時刻圖Fig.11 Trigger time chart of follower

5 結(jié)束語

在領(lǐng)航跟隨編隊(duì)模型的基礎(chǔ)上研究了多機(jī)器人編隊(duì)控制問題,為了減少機(jī)器人通信量并且加快收斂速度,提出了一種基于事件觸發(fā)的固定時間編隊(duì)控制方法。首先在機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)模型上采用狀態(tài)反饋技術(shù)設(shè)計了跟隨機(jī)器人的固定時間控制器。然后在機(jī)器人的動力學(xué)模型上結(jié)合事件觸發(fā)機(jī)制設(shè)計了跟隨機(jī)器人的固定時間力矩控制器,對速度進(jìn)行跟蹤,從而實(shí)現(xiàn)期望的編隊(duì)目標(biāo)。依據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性和固定時間理論給出了觸發(fā)函數(shù),在滿足觸發(fā)條件時,控制器才會被更新,實(shí)現(xiàn)了間斷性的通信。最后通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了算法的有效性與合理性,編隊(duì)控制算法可以在固定時間內(nèi)收斂到期望的編隊(duì),且收斂時間與初始狀態(tài)無關(guān)。本文設(shè)計的編隊(duì)控制算法不僅具有很快的收斂速度,還可以減少多機(jī)器人之間的通信次數(shù),節(jié)約通信資源。