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挖掘網(wǎng)格圖形幾何特性，貫通三角函數(shù)求解路徑——對一道中考試題的講評與反思

☉浙江省寧波東海實(shí)驗(yàn)學(xué)校陳明儒

一、試題展示

題目如圖1，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)P，則tan∠APD的值是________.

圖1

這個問題是新近九年級三角函數(shù)單元測試的一個填空題，序號是第16題，來源于2012年泰州市中考數(shù)學(xué)試題第18題.簡明的問題，簡潔的網(wǎng)格圖形，融幾何、三角函數(shù)于一體，深受老師們的喜愛.但是考試結(jié)果出人意外，得分率很低.考后，筆者對這個問題進(jìn)行了重點(diǎn)講評，課堂上學(xué)生思維活躍，發(fā)言踴躍，解法之多，出乎筆者預(yù)期，課后師生收獲多多.現(xiàn)將講評過程呈現(xiàn)出來，與大家分享.

二、講評片段實(shí)錄

1.正面突破，頗費(fèi)周折

師：大家猜猜這次考試得分最低的是哪一題？

眾生：第16題吧！

師：是的，現(xiàn)在，我們一起解決這個難點(diǎn)問題.請做對的學(xué)生講一講你們的思路.

生1：（解法1）如圖2，連接AD，作DH⊥AP于點(diǎn)H.設(shè)圖中的小正方形的邊長為1，因?yàn)镾△ABD=BD·BC=AB·DH，所以DH=.由于BD∥ AC，則△BDP∽△ACP，所以，所以DP=.在Rt△DPH，PH=，所以tan∠APD==2.

圖2

師：好樣的！將所求的角放到一個直角三角形中，再利用三角函數(shù)定義求解.如果這樣的直角三角形沒有，就想方設(shè)法正面構(gòu)造直角三角形.還有其他的構(gòu)造法嗎？

生2：（解法2）如圖3，過點(diǎn)A 作CD延長線的垂線，垂足為G.因?yàn)椤螦CG=45°，所以∠CAG=45°，于是AG=CG，且線段AG經(jīng)過格點(diǎn).由解法1，得DP=CD，DG=CD，所以PG=CG=AG.所以tan∠APD==2.

圖3

師：不錯！同樣是構(gòu)造直角三角形，顯然計(jì)算量小了，令人眼前一亮.還有嗎？

生3：（解法3）如圖4，連接AE、BE、ED，作EH⊥AP于點(diǎn)H，則△ABE是等腰直角三角形，因此EH=AB= AH=BH.又因?yàn)锽P=AB，所以PH=AH.同樣求得tan∠APD==2.

圖4

師：你考試時就是這樣做的？

生3：不是.經(jīng)過剛才兩位同學(xué)的啟發(fā)才想到的.

師：好啊！傾聽別人的想法，提出自己的觀點(diǎn)，這是一種高效的學(xué)習(xí)方法.生4，說說你的正確理由.

生4：我是猜的，考試的時候時間來不及了（大家都笑了）.

師：你真走運(yùn).

2.等價轉(zhuǎn)換，柳暗花明

師：其他同學(xué)還有不同的思路嗎？

圖5

生5：（解法4）如圖5，取格點(diǎn)F，連接BF交CD于點(diǎn)E.則CD⊥BF.由于BD∥AC，所以△BDP∽△ACP，所以.又因?yàn)樗倪呅蜠BCF為正方形，所以DE=CE=BE.因此，BE=2DP=PE.在Rt△BEP中，tan∠BPC==2.于是tan∠APD=tan∠BPC==2.

師：行?。〗夥?給我們打開了另一種思路，即當(dāng)所求的角不在直角三角形或三角形中時，將所求角轉(zhuǎn)化到相對容易求解的等角上，這種方法不同于前面三種解法，還有嗎？

生6：我也是求先求∠BPC的正切，只是有點(diǎn)繁，考試后才想出來的.

師：沒關(guān)系，說來讓大家聽聽！

生6：（解法5）如圖6，畫CH⊥AB 于H.因?yàn)椤螦CB=90°，依據(jù)射影定理，BC2=BH·AB，AC2=AH·AB，于是可得又因?yàn)椤鰾DP∽△ACP，所以.令A(yù)B=20k，則AP=15k，BP=5k，BH=2k，所以PH= 3k.根據(jù)射影定理，CH2=BH·AH=2k·18k=36k2，可得CH= 6k.所以tan∠APD=tan∠HPC=

圖6

師：雖然計(jì)算量大點(diǎn)，但是能想到用射影定理，相當(dāng)了不起.大家繼續(xù).

生7：（解法6）如圖7，取格點(diǎn)E，連接BE，AE，則四邊形DEBC為平行四邊形，于是CD∥BE，則∠APD= ∠ABE.又因?yàn)椤螦ED=∠BED=45°，所以∠AEB =90°.在Rt△AEB中，tan∠ABE===2.因此tan∠APD=tan∠BPE==2.師：大家評價一下生7的解法.眾生：方法6最簡單.

圖7

師：這種角的轉(zhuǎn)換確實(shí)巧妙，讓原來困頓的問題一下柳暗花明.那你是如何想到的？

生7：其實(shí)我考試時也沒想到，是剛才受解法2中的圖3啟發(fā)，將線段AG延長，于是有了這種解法.

師：解法6告訴我們，只要將∠APD轉(zhuǎn)化到兩直角邊之比為2的直角三角形中即可.因此，有時不要忙于畫垂線，構(gòu)造直角三角形，而是要仔細(xì)琢磨網(wǎng)格圖中的關(guān)鍵點(diǎn)和重要線段，畫出現(xiàn)成的直角，通過等角轉(zhuǎn)換，在新的直角三角形中解決問題.這是解決此類網(wǎng)格問題的關(guān)鍵，它考驗(yàn)我們的幾何直觀與空間想象，當(dāng)然離不開推理與計(jì)算.

圖8

生8：（解法7）如圖8，取格點(diǎn)F，延長CD、AE，兩線交于點(diǎn)E.設(shè)AE= 3，則ED = 2由△APE∽△BPC，得=3，所以EP=，所以.又因?yàn)椤螦ED=∠PEA，所以△APE∽△BPC，于是∠APD= ∠FAD.

師：看來大家的思路已經(jīng)打開了.

生9：（解法8）如圖9，取格點(diǎn)E、G，延長CD、AG，兩線交于點(diǎn)F，連接EB.由于∠AEF=∠AEG+ ∠GEF =∠APD +EAB，∠GEF = ∠EBF =∠EAB =45°，所以∠AEG=∠APD.所以tan∠APD= tan∠AEG==2.

圖9

師：解法4至解法8，本質(zhì)上是一種“以退為進(jìn)”的解題策略，即將所求角轉(zhuǎn)移到一個容易求得三角函數(shù)的等角中，再求等角的三角函數(shù).大家的思維變得越來越開闊，真棒！再回顧前面8種解法，相同之處都要添設(shè)輔助線，構(gòu)造直角三角形.那么，不添輔助線能解決這個問題嗎？

3.居高臨下，茅塞頓開

生10：（解法9）如圖1，設(shè)BC=1，由于△BDP∽△ACP，則

因?yàn)镾△BCP=CP·BC·sin∠BCP=CP·BP·sin∠BPC，所以sin∠BPC=

師：用面積法，再借助同角三角函數(shù)關(guān)系求解，這種方法其實(shí)已經(jīng)是高中生的解題手法，因?yàn)楦咧械娜呛瘮?shù)中的角不局限于銳角，因此不一定在直角三角形求三角函數(shù).太厲害了，這個面積公式老師以前上課是講到過，但這里能用上來，太了不起！

生11：（解法10）如圖1，設(shè)BC=1，由于△BDP∽△ACP，則