趙海全 陳進(jìn)松 汪倬男 劉亞林

（西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，西南交通大學(xué)磁浮技術(shù)與磁浮列車教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都 610031）

1 引言

在三相電力系統(tǒng)中，基于系統(tǒng)單相測量的方法大多數(shù)會在系統(tǒng)頻率的表征方面受到限制［1］。為了解決這個問題，我們將同時考慮所有三相電壓的框架，使算法能夠統(tǒng)一估計(jì)整個系統(tǒng)頻率并提供更強(qiáng)的魯棒性。為此，需要引入克拉克變換，利用所有三相電壓同時提供的信息構(gòu)建復(fù)數(shù)信號，從而在表征系統(tǒng)頻率方面相比于經(jīng)典的單相方法會更具穩(wěn)健性。在此基礎(chǔ)上，使用基于自適應(yīng)濾波原理的算法估計(jì)電力系統(tǒng)的頻率，實(shí)質(zhì)就是利用由克拉克變換構(gòu)建的復(fù)電壓信號的時域特征來得到關(guān)于頻率的變量。復(fù)數(shù)最小均方（CLMS）算法在最小均方（LMS）算法的基礎(chǔ)上提出，其計(jì)算復(fù)雜度低，實(shí)時性強(qiáng)，易于實(shí)現(xiàn)，但該算法只考慮了正序電壓分量的變化，在三相不平衡電力系統(tǒng)中性能會下降［2-3］；增強(qiáng)復(fù)數(shù)最小均方（ACLMS）算法則是以CLMS 算法為基礎(chǔ)，通過引入廣泛線性估計(jì)模型與增強(qiáng)復(fù)數(shù)統(tǒng)計(jì)，解決了CLMS 算法在三相不平衡電力系統(tǒng)中的性能會下降的問題；但是ACLMS 算法基于的是均方誤差準(zhǔn)則，在高斯白噪聲環(huán)境下并不是最優(yōu)的估計(jì)方法。因此，針對此問題，有研究者提出了增強(qiáng)復(fù)數(shù)最小均方/四次方（ACLMS/F）算法，該算法則是在最小均方/四次方（LMS/F）算法［4］的基礎(chǔ)上提出的，結(jié)合了最小四次均值（LMF）算法和最小均方（LMS）算法的優(yōu)點(diǎn)，能在保證算法具有較快的收斂速度和較低計(jì)算復(fù)雜度的前提下，盡可能減小算法的穩(wěn)態(tài)誤差。

ACLMS 算法和ACLMS/F 算法在背景噪聲是高斯白噪聲時頻率估計(jì)性能較好，但背景噪聲是非高斯噪聲時性能會惡化。針對這種情況，有研究者提出使用雙曲余弦函數(shù)的自然對數(shù)作為代價函數(shù)［5］，即lncosh 代價函數(shù)，并成功地應(yīng)用于支持向量回歸（SVR）中。與MSE 準(zhǔn)則的算法不同，lncosh 代價函數(shù)不依賴于某種具體的噪聲分布假設(shè)，對大的異常值不敏感，并在極大似然意義下得到全局最優(yōu)解。通過調(diào)整參數(shù)λ，lncosh 代價函數(shù)就可以較好地結(jié)合MSE 和MAE 準(zhǔn)則的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)參數(shù)λ為零時，lncosh 代價函數(shù)接近MSE 準(zhǔn)則，而當(dāng)參數(shù)λ逼近+∞時，lncosh 代價函數(shù)就相當(dāng)于MAE 準(zhǔn)則。因此，lncosh 代價函數(shù)能夠在MSE 和MAE 準(zhǔn)則之間進(jìn)行切換，并且根據(jù)實(shí)際需求選擇合適的λ值。

而隨著分布式發(fā)電和傳感器網(wǎng)絡(luò)的快速發(fā)展，分布式參數(shù)估計(jì)算法逐漸得到了廣泛應(yīng)用［6］。和上文提及的自適應(yīng)算法相比，由于分布式參數(shù)估計(jì)算法不需要將數(shù)據(jù)發(fā)送到融合中心進(jìn)行集中處理，所以對通信功率的需求更少，并且對網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化和傳感器故障更具魯棒性［7］。因而在本文中，為解決傳統(tǒng)頻率估計(jì)算法用于電力系統(tǒng)頻率估計(jì)性能下降的問題，我們在復(fù)對數(shù)雙曲余弦Clncosh算法的基礎(chǔ)上，相繼提出了分布式復(fù)對數(shù)雙曲余弦（DClncosh）算法和分布式增強(qiáng)復(fù)對數(shù)雙曲余弦（DAClncosh）算法。并在Matlab仿真中，模擬了電力系統(tǒng)各種復(fù)雜環(huán)境下算法的頻率估計(jì)性能，并與DCLMS算法和DACLMS算法［8］進(jìn)行了頻率估計(jì)性能對比。仿真結(jié)果最終驗(yàn)證了提出的DAClncosh算法具有更好的頻率估計(jì)性能，該算法的魯棒性也更好。

本文其余部分的內(nèi)容安排如下：在第二部分回顧了廣義線性模型和克拉克變換。第三部分詳細(xì)推導(dǎo)了DClncosh算法和DAClncosh算法。第四部分通過仿真驗(yàn)證DAClncosh算法的頻率估計(jì)性能的優(yōu)越性。最后一部分給出了結(jié)論。

2 頻率估計(jì)算法的理論基礎(chǔ)

2.1 廣義線性模型與增強(qiáng)復(fù)數(shù)統(tǒng)計(jì)

對于任意一個復(fù)向量x∈CN×1：

其中h和g則是復(fù)數(shù)權(quán)向量。當(dāng)g=0 時，式（2）就自然轉(zhuǎn)換成圓信號的標(biāo)準(zhǔn)線性模型。在使用增強(qiáng)復(fù)輸入向量xa=[xTxH]T∈C2N×1時，可以將協(xié)方差矩陣和偽協(xié)方差矩陣所表示的二階統(tǒng)計(jì)信息合并成一個增強(qiáng)協(xié)方差矩陣，表示為：

當(dāng)Pxx=0時，x是標(biāo)準(zhǔn)的二階圓信號，則它的概率密度函數(shù)（PDF）在復(fù)數(shù)域C下就是旋轉(zhuǎn)不變的。然而，在現(xiàn)實(shí)世界的大多數(shù)應(yīng)用中，復(fù)信號卻是二階非圓的，則它們的概率密度函數(shù)并不是旋轉(zhuǎn)不變的［10］。

2.2 克拉克變換

三相電力系統(tǒng)的電壓信號可以以離散時間的形式表示：

其中，Va(k)，Vb(k)，和Vc(k)分別表示在k時刻各個電壓分量的峰值，ΔT表示采樣間隔，fs是采樣頻率，ω=2πf0是角頻率，f0是系統(tǒng)頻率，Δφb和Δφc表示電力系統(tǒng)在不同條件下所產(chǎn)生的相位偏差。

對式（4）進(jìn)行克拉克變換，可以將基于時間的三相電壓信號變換到αβ坐標(biāo)系下，其分量為vα(k)和vβ(k)的表示形式：

令分量vα(k)作為實(shí)部，分量vβ(k)作為虛部，則得到的復(fù)電壓信號v(k)可以表示為：

這樣復(fù)電壓v(k)就直接包含了三相電壓的信息。將式（4）代入式（5），利用歐拉公式，則復(fù)電壓v(k)的指數(shù)形式可以表示為：

其中A(k)和B(k)為：

在三相平衡電力系統(tǒng)中，Va(k)=Vb(k)=Vc(k)且Δφb=Δφc=0，由此可得且B(k)=0，那么式（7）就轉(zhuǎn)換成：

而在三相不平衡電力系統(tǒng)中，Va(k)，Vb(k)，Vc(k)不相同，即B(k)，Δφb，Δφc都不等于0，復(fù)電壓v(k)只能用式（7）來表示。

3 提出算法

3.1 復(fù)對數(shù)雙曲余弦算法

首先在三相平衡條件下，推導(dǎo)出基于標(biāo)準(zhǔn)線性建模的復(fù)對數(shù)雙曲余弦（Clncosh）算法。Clncosh 算法的、e(k)與w(k)的更新規(guī)則為：

其中，Jlncosh(w)是e(k)的對數(shù)雙曲余弦代價函數(shù)：

式中的λ是一個正參數(shù)，即λ∈(0，+∞)，cosh (λe(k))是雙曲余弦函數(shù)，其表達(dá)式為：

對式（11）求復(fù)梯度，可以得到：

其中tanh (λe(k))是雙曲正切函數(shù)，其表達(dá)式為：

這樣就可以得到濾波器權(quán)系數(shù)的更新公式為：

其中μ是步長，λ作為一個變量，其更新公式可以表示為：

其中β是遺忘因子，取值范圍為0＜β＜1。

3.2 分布式復(fù)對數(shù)雙曲余弦算法

考慮一個擴(kuò)散型分布式網(wǎng)絡(luò)，由N個節(jié)點(diǎn)組成，在電力系統(tǒng)處于平衡條件下基于標(biāo)準(zhǔn)線性模型，我們可以得到：

其中vl(k)為第l節(jié)點(diǎn)在k時刻的輸入復(fù)電壓信號，為輸出復(fù)電壓信號，vl(k+1)為期望信號，wl(k)為濾波器權(quán)系數(shù)，el(k)為期望信號與輸出信號的誤差。分布式復(fù)對數(shù)雙曲余弦（DClncosh）算法在節(jié)點(diǎn)l的對數(shù)雙曲余弦代價函數(shù)［11］可以定義為：

其中λl∈(0，+∞)，cosh (λlel(k))是雙曲余弦函數(shù)，其表達(dá)式為：

通過對代價函數(shù)求復(fù)梯度，得到濾波器局部估計(jì)權(quán)系數(shù)Ψl(k)更新公式為：

其中μl是節(jié)點(diǎn)l對應(yīng)的濾波器步長，?wlJl(wl)是代價函數(shù)在節(jié)點(diǎn)l的權(quán)系數(shù)下的復(fù)梯度，計(jì)算如下：

可以得到完整的濾波器局部估計(jì)權(quán)系數(shù)的更新公式為：

其中μl是步長，λl作為一個變量，其更新公式可以表示為：

其中β是遺忘因子，取值范圍為0＜β＜1。在得到k時刻不同節(jié)點(diǎn)的局部估計(jì)權(quán)系數(shù)后，各個節(jié)點(diǎn)需要傳遞它們的估計(jì)結(jié)果到相鄰節(jié)點(diǎn)，可以得到濾波器全局估計(jì)權(quán)系數(shù)為：

其中，Nl表示與節(jié)點(diǎn)l相連的所有節(jié)點(diǎn)的集合，ci，l是節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)l之間的組合系數(shù)，我們可以通過相鄰節(jié)點(diǎn)數(shù)之類的信息來對組合規(guī)則進(jìn)行設(shè)置，而一個比較常見的組合系數(shù)的設(shè)置規(guī)則是Metropolis 規(guī)則，ci，l可以表示為［12］：

其中ni和nl分別表示與節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)l鄰居節(jié)點(diǎn)數(shù)。

將克拉克變換運(yùn)用到分布式濾波網(wǎng)絡(luò)中，可以得到節(jié)點(diǎn)l的復(fù)電壓vl(k)可以表示為：

對每個節(jié)點(diǎn)l，使用自適應(yīng)濾波算法在頻率估計(jì)中的隱含假設(shè)［9，13］A(k+1) ≈A(k)且B(k+1) ≈B(k)，可以得到：

3.3 分布式增強(qiáng)復(fù)對數(shù)雙曲余弦算法

一個由N個節(jié)點(diǎn)組成的擴(kuò)散型分布式網(wǎng)絡(luò)中，在三相不平衡條件下基于廣義線性模型，我們可以得到：

其中vl(k)為節(jié)點(diǎn)l在k時刻的輸入復(fù)電壓信號，為輸出復(fù)電壓信號，hl(k)和gl(k)分別為k時刻節(jié)點(diǎn)l的標(biāo)準(zhǔn)權(quán)系數(shù)和共軛權(quán)系數(shù)，k時刻節(jié)點(diǎn)l的估計(jì)誤差el(k)可以被定義為：

算法在節(jié)點(diǎn)l的代價函數(shù)Jl(wl)如式（18）所示，通過對代價函數(shù)求復(fù)梯度，可以得到所有節(jié)點(diǎn)在本節(jié)點(diǎn)的局部權(quán)系數(shù)更新公式為：

其中μl是節(jié)點(diǎn)l的濾波器步長，Ψl(k+1)和Υl(k+1)分別是局部標(biāo)準(zhǔn)權(quán)系數(shù)和局部共軛權(quán)系數(shù)，復(fù)梯度?hlJl(wl)和?glJl(wl)的計(jì)算如下：

得到完整的濾波器局部估計(jì)權(quán)系數(shù)的更新公式為：

其中λl的取值與上節(jié)分布式復(fù)對數(shù)雙曲余弦（AClncosh）算法相同。在得到k時刻不同節(jié)點(diǎn)的局部估計(jì)權(quán)系數(shù)后，各個節(jié)點(diǎn)需要傳遞它們的估計(jì)結(jié)果到相鄰節(jié)點(diǎn)，可以得到濾波器全局估計(jì)權(quán)系數(shù)為：

其中，Nl表示與節(jié)點(diǎn)l相連的所有節(jié)點(diǎn)的集合，ci，l是節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)l之間的組合系數(shù)，ci，l的選取規(guī)則仍為Metropolis規(guī)則。

在三相不平衡條件下，將克拉克變換運(yùn)用到分布式濾波網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)l的復(fù)電壓vl(k)可以表示為：

其中Al(k)和Bl(k)可以表示為：

我們可以將vl(k+1)表示為：

對式（45）的兩邊同時進(jìn)行復(fù)共軛變換，可以得到：

而在自適應(yīng)濾波算法在頻率估計(jì)中，存在著隱含假設(shè)［9］Al(k+1) ≈Al(k)且Bl(k+1) ≈Bl(k)，從而將式（44）和式（46）化簡得到：

由于系數(shù)Al(k)是實(shí)數(shù)值，Bl(k)是復(fù)數(shù)值，所以式（47）與式（48）可以化簡為：

求解這個具有復(fù)數(shù)值的系數(shù)方程，得到方程（51）的解為：

由式（49），我們可以看出由hl(k) +al(k)gl(k)來估計(jì)得到向量，因?yàn)殡娏ο到y(tǒng)頻率遠(yuǎn)小于采樣頻率，因此的虛部為正的，所以可以排除基于a2，l(k)的這個解［1］。因此在節(jié)點(diǎn)l的估計(jì)頻率表達(dá)式為：

本節(jié)所提出的DAClncosh 算法實(shí)現(xiàn)流程如表1所示。

表1 DAClncosh算法流程Tab.1 DAClncosh algorithm flow

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證DAClncosh 算法在電力系統(tǒng)頻率估計(jì)中的性能優(yōu)勢，我們利用Matlab 軟件將基于DAClncosh 算法的自適應(yīng)頻率估計(jì)器應(yīng)用于幾種典型電力系統(tǒng)運(yùn)行條件與沖擊噪聲環(huán)境下，并與Clncosh算法、AClncosh 算法、DClncosh 算法、DACLMS 算法和DCLMS 算法進(jìn)行對比。仿真中使用D 型電壓驟降，取電力系統(tǒng)頻率為50 Hz，采樣頻率為2 kHz，參數(shù)β設(shè)置為0.998。D型電壓驟降是三相電壓出現(xiàn)下降，可以表示為：。改變參數(shù)ρ，可以得到不同圓度的復(fù)電壓信號。如圖1所示，本仿真采用6 節(jié)點(diǎn)的分布式網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。在仿真中，我們假設(shè)每個節(jié)點(diǎn)采集的電壓信號都受到?jīng)_擊噪聲的污染，沖擊噪聲ηl(k)=bl(k)θl(k)由伯努利-高斯（B-G）過程產(chǎn)生，其中bl(k)是伯努利過程，其概率密度函數(shù)為：P(bl(k)=1)=Pr和P(bl(k)=0)=1-Pr（Pr表示沖擊噪聲出現(xiàn)的概率）；θl(k)是方差為的零均值高斯過程。令不同算法在初始階段由起始頻率達(dá)到穩(wěn)定時有相同的收斂速度的值作為各算法的步長取值。將局部頻率估計(jì)方差與全局頻率估計(jì)方差MSE分別定義為：

圖1 6節(jié)點(diǎn)拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)Fig.1 6-node topology network

其中run是獨(dú)立運(yùn)行次數(shù)，f0是待估計(jì)電力系統(tǒng)的頻率，m是節(jié)點(diǎn)數(shù)。各節(jié)點(diǎn)的頻率估計(jì)性能用局部頻率估計(jì)方差來評估，而網(wǎng)絡(luò)整體的頻率估計(jì)性能用全局頻率估計(jì)方差來評價。

4.1 三相不平衡電力系統(tǒng)

在本節(jié)實(shí)驗(yàn)中，在三相不平衡條件下測試了DAClncosh 算法的頻率估計(jì)性能。第一組實(shí)驗(yàn)對四種分布式算法都進(jìn)行測試，步長都設(shè)為0.02。電壓信號被，Pr=0.001 的沖擊噪聲與信噪比為60 dB 的高斯白噪聲污染，在t=1 s 時設(shè)置參數(shù)ρ=0.7 的D 型電壓驟降。圖2 是四種算法在不同節(jié)點(diǎn)的局部頻率估計(jì)方差。從圖中可以看出，在不平衡條件下DCLMS 算法和DClncosh 算法是不能收斂的，因而無法準(zhǔn)確估計(jì)頻率，這就是基于標(biāo)準(zhǔn)線性模型算法的缺點(diǎn)。DACLMS 算法的局部頻率估計(jì)方差穩(wěn)定在-26 dB 左右，DAClncosh 算法的局部頻率估計(jì)方差穩(wěn)定在-36 dB 左右，表明了在不平衡條件下DAClncosh 算法仍具有優(yōu)秀的抗沖擊噪聲性能。第二組實(shí)驗(yàn)中測試對比非分布式算法與分布式算法的頻率估計(jì)性能，即Clncosh 算法、AClncosh 算法、DClncosh 算法和DAClncosh 算法。在與第一個實(shí)驗(yàn)相同的三相不平衡條件下，在被信噪比為50 dB 的高斯白噪聲污染的電壓信號中，四種算法的步長都取為0.02。圖3 也是算法的不同節(jié)點(diǎn)的局部頻率估計(jì)方差，在不平衡條件下Clncosh 算法和DClncosh 算法是不能收斂的而無法準(zhǔn)確估計(jì)頻率，AClncosh 算法的局部頻率估計(jì)方差穩(wěn)定在-30 dB 左右，DAClncosh 算法的局部頻率估計(jì)方差穩(wěn)定在-48 dB 左右。仿真結(jié)果表明，在不平衡條件下基于擴(kuò)散型策略的分布式算法帶來的信息融合優(yōu)勢同樣具有更好的頻率估計(jì)性能。

圖2 不平衡條件下分布式算法的頻率估計(jì)效果Fig.2 Frequency estimation effect of distributed algorithm under unbalanced conditions

圖3 不平衡條件下非分布式與分布式算法的頻率估計(jì)效果Fig.3 Frequency estimation effect of non-distributed and distributed algorithms under unbalanced conditions

4.2 不同信噪比下的估計(jì)性能

在本節(jié)實(shí)驗(yàn)中，將在不同信噪比的高斯白噪聲與沖擊噪聲混合環(huán)境下評估DAClncosh算法的抗噪聲性能，其中沖擊噪聲的參數(shù)為，Pr=0.001。不平衡條件為ρ=0.7 的D 型電壓模型，獨(dú)立運(yùn)行次數(shù)為10，所有算法的步長都設(shè)為0.03。圖4是DCLMS、DACLMS、DClncosh 和DAClncosh 四種算法的全局頻率估計(jì)方差，從圖中可以看出DACLMS算法的頻率估計(jì)方差從-12 dB 逐漸下降到-28 dB，而DAClncosh 算法的頻率估計(jì)方差從-17 dB 逐漸下降到-34 dB，在沖擊噪聲與高斯白噪聲混合條件下，基于對數(shù)雙曲余弦函數(shù)策略的算法的全局頻率估計(jì)方差減小了約6 dB。圖5是Clncosh、AClncosh、DClncosh 和DAClncosh 四種算法的全局頻率估計(jì)方差，從圖中可以看到AClncosh 算法的頻率估計(jì)方差從-9 dB 逐漸下降到-25 dB，而DAClncosh 算法的頻率估計(jì)方差從-17 dB 逐漸下降到-34 dB，在沖擊噪聲與高斯白噪聲混合條件下，基于擴(kuò)散型策略的算法的全局頻率估計(jì)方差減小了約9 dB。而在不平衡條件下，另外兩種基于標(biāo)準(zhǔn)線性模型的算法并不能完成全局頻率估計(jì)。

圖4 不同信噪比下四種分布式算法的頻率估計(jì)效果Fig.4 Frequency estimation effect of four distributed algorithms under different signal-to-noise ratios

圖5 不同信噪比下分布式與非分布式算法的頻率估計(jì)效果Fig.5 Frequency estimation effect of distributed and nondistributed algorithms under different signal-to-noise ratios

4.3 實(shí)測數(shù)據(jù)

在本節(jié)實(shí)驗(yàn)中使用實(shí)測數(shù)據(jù)測試了DAClncosh算法的性能。在這個模擬中，DCLMS、DACLMS、DClncosh 和DAClncosh 四種算法的步長都設(shè)置為0.01，在110/20/10 kv 變電站中記錄實(shí)驗(yàn)情況。在兩種不同情況下四種算法的頻率跟蹤性能如圖6和圖7 所示。DCLMS 和DClncosh 算法的頻率估計(jì)結(jié)果中都出現(xiàn)了較大的振蕩，而DACLMS 和DAClncosh 算法都取得了更好的頻率估計(jì)效果，實(shí)驗(yàn)表明了在不平衡條件下分布式增強(qiáng)復(fù)數(shù)算法具有的優(yōu)越性。DAClncosh 算法的頻率估計(jì)結(jié)果中出現(xiàn)振蕩的幅度比DACLMS 算法小約15%，而DClncosh 算法出現(xiàn)振蕩的幅度比DCLMS 算法小約30%。從頻率估計(jì)結(jié)果可以看出，在同樣的收斂速度下，DAClncosh 表現(xiàn)出了比其他算法更優(yōu)越的頻率估計(jì)性能，因而證明了本文提出的DAClncosh算法在頻率估計(jì)性能上所具有的優(yōu)越性。

圖6 A相接地短路時頻率估計(jì)效果Fig.6 Frequency estimation effect when phase A is shorted to ground

圖7 AC兩相短路時頻率估計(jì)效果Fig.7 Frequency estimation effect when AC two-phase short circuit

5 結(jié)論

本文在AClncosh算法的基礎(chǔ)上提出了DAClncosh算法。因?yàn)榉植际剿惴ǖ男畔⑷诤蟽?yōu)勢，DAClncosh算法在噪聲環(huán)境下?lián)碛休^好的魯棒性。然后使用MATLAB仿真，在三相不平衡電力系統(tǒng)條件和不同噪聲條件下，針對LMS 代價函數(shù)與對數(shù)雙曲余弦代價函數(shù)、非分布式與分布式的6種不同算法進(jìn)行了測試對比，測試算法在不同條件下的頻率估計(jì)性能。仿真結(jié)果表明，DAClncosh算法在與其他算法的對比中均表現(xiàn)出了最好的頻率估計(jì)性能。在接下來的研究中，將對AClncosh算法進(jìn)行理論性能分析和改進(jìn)。