于 濤 譚世杰

（西南石油大學(xué)電氣信息學(xué)院，四川成都 610500）

1 引言

實(shí)際系統(tǒng)中普遍存在非線性系統(tǒng)特征，非線性自適應(yīng)濾波技術(shù)可以有效提高非線性系統(tǒng)參數(shù)的學(xué)習(xí)和建模能力，受到了研究者的廣泛關(guān)注，并成為信號(hào)處理領(lǐng)域重要的研究方向之一［1-2］。由于非線性自適應(yīng)濾波器在系統(tǒng)辨識(shí)、波束形成、信道均衡、噪聲控制等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，一系列性能優(yōu)良的非線性濾波結(jié)構(gòu)和自適應(yīng)算法被設(shè)計(jì)和提出［3-4］。利用Volterra 級(jí)數(shù)擴(kuò)展的Volterra 自適應(yīng)濾波器早期已被用于對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行建模，體現(xiàn)了良好的非線性自適應(yīng)濾波效果［5-6］。核自適應(yīng)濾波器利用核方法，將輸入信號(hào)映射到高維再生Hilbert 空間，在高維空間應(yīng)用有限脈沖響應(yīng)（finite impulse response，F(xiàn)IR）濾波器進(jìn)行自適應(yīng)學(xué)習(xí)，能夠有效地對(duì)非線性特征進(jìn)行擬合［7-8］。函數(shù)連接網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)濾波器作為典型的線性參數(shù)濾波器，具有優(yōu)良的非線性建模能力和相對(duì)成熟的性能分析方法［9］，并發(fā)展出協(xié)作函數(shù)連接網(wǎng)絡(luò)濾波器［10］、指數(shù)函數(shù)連接網(wǎng)絡(luò)濾波器［11］、正交周期序列函數(shù)連接多項(xiàng)式濾波器［12］等一系列具備高效學(xué)習(xí)能力的非線性自適應(yīng)濾波器。

近期被提出的樣條自適應(yīng)濾波器（spline adaptive filter，SAF）由線性FIR 濾波器和非線性樣條插值機(jī)制級(jí)聯(lián)組成，因其具有性能優(yōu)良的非線性系統(tǒng)學(xué)習(xí)能力，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且易于實(shí)施，成為備受關(guān)注的一類(lèi)非線性濾波方案。傳統(tǒng)的SAF 算法是基于Wiener-Hammerstein 模型，利用最小均方（least mean-square，LMS）方法推導(dǎo)出的，稱(chēng)為SAF-LMS算法［13］。隨后，基于能量守恒方法對(duì)SAF-LMS 從理論上進(jìn)行了收斂性和穩(wěn)態(tài)性能分析，并在非線性系統(tǒng)辨識(shí)（nonlinear system identification，NSI）場(chǎng)景中驗(yàn)證了理論分析結(jié)果［14］。在傳統(tǒng)SAF 的基礎(chǔ)上，發(fā)展出了多種樣條濾波結(jié)構(gòu)，各種基于SAF 算法的變種也相繼被設(shè)計(jì)出，且針對(duì)SAF 的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差性能的改進(jìn)，一些性能優(yōu)越的基于SAF 的非線性濾波方案被提出［15-17］。為提高SAFLMS 算法對(duì)輸入信號(hào)協(xié)方差矩陣特征值擴(kuò)展的穩(wěn)定性，基于歸一化LMS 方法的SAF 算法被提出［18-19］。為解決自適應(yīng)過(guò)程中輸入數(shù)據(jù)分布不平衡導(dǎo)致的性能下降，基于Wiener-Hammerstein 非線性系統(tǒng)辨識(shí)的不變性原理，一種實(shí)時(shí)過(guò)采樣SAF 算法被提出［20］。進(jìn)一步利用不變性原理對(duì)SAF 進(jìn)行改進(jìn)，在濾波前利用不變性對(duì)未知系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)先的FIR 辨識(shí)，一類(lèi)樣條優(yōu)先自適應(yīng)濾波器（spline prioritization adaptive filter，SPAF）被提出，SPAF 利用級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)中FIR 濾波器的中間誤差對(duì)權(quán)值進(jìn)行自適應(yīng)學(xué)習(xí)，取得了整體濾波器顯著的改善效果［21-22］。

在實(shí)際環(huán)境中，通常存在許多非Gaussian 噪聲現(xiàn)象，非Gaussian 噪聲干擾將對(duì)傳統(tǒng)基于LMS 算法的濾波器性能造成不良影響，導(dǎo)致嚴(yán)重的性能衰退甚至算法失效。基于LMS 方法設(shè)計(jì)的傳統(tǒng)SAFLMS算法在非Gaussian噪聲情況下會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的性能下降或不穩(wěn)定，為解決這類(lèi)問(wèn)題，對(duì)非Gaussian噪聲干擾具有穩(wěn)健性的一系列魯棒非線性SAF 算法被提出［23-25］?；谧畲箪販?zhǔn)則（maximum correntropy criterion，MCC）的魯棒代價(jià)函數(shù)具有光滑的飽和特性，可顯著降低傳統(tǒng)LMS 算法對(duì)大異常值的敏感性，能有效克服非Gaussian 噪聲帶來(lái)的不利影響，提升自適應(yīng)算法在非Gaussian 噪聲環(huán)境下的穩(wěn)健性［26-28］。由此，MCC 被應(yīng)用于SAF 中，獲得了非Gaussian 噪聲環(huán)境下具有魯棒性的SAF-MCC 算法，并對(duì)SAF-MCC 算法的穩(wěn)態(tài)性能進(jìn)行了分析與驗(yàn)證［29］。

此外，在一些實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域，例如回聲消除系統(tǒng)、機(jī)電伺服系統(tǒng)中，需要使用長(zhǎng)脈沖響應(yīng)的自適應(yīng)濾波器對(duì)系統(tǒng)中的聲學(xué)回聲路徑、電液伺服閥進(jìn)行建模［30-32］。隨著自適應(yīng)濾波器階數(shù)的增長(zhǎng)，將大大增加自適應(yīng)濾波算法的計(jì)算復(fù)雜度，造成計(jì)算效率的降低。針對(duì)這類(lèi)問(wèn)題，快速Fourier 變換（fast Fourier transform，F(xiàn)FT）技術(shù)為算法的濾波和自適應(yīng)過(guò)程提供了快速計(jì)算方法。重疊存儲(chǔ)策略為快速卷積和相關(guān)計(jì)算提供了高效運(yùn)算方法，利用FFT 在頻域完成濾波器系數(shù)的自適應(yīng)，可減小時(shí)域算法的計(jì)算復(fù)雜度，提高計(jì)算效率［33］。因此，頻域技術(shù)開(kāi)始運(yùn)用于非線性自適應(yīng)濾波器中，基于SAF 結(jié)構(gòu)，頻域SAF（frequency domain spline adaptive filter，F(xiàn)DSAF）算法被提出，改善了時(shí)域SAF 算法的計(jì)算效率［34］。隨后，利用SPAF 結(jié)構(gòu)中分別采用不同誤差信號(hào)對(duì)線性和非線性模塊進(jìn)行優(yōu)化，頻域SPAF（frequency domain spline prioritization adaptive filter，F(xiàn)DSPAF）算法被提出，進(jìn)一步提高了收斂性能［35］。基于頻域策略改進(jìn)了時(shí)域SAF 算法的性能，提升了計(jì)算效率，但關(guān)于頻域SAF 類(lèi)算法的性能分析結(jié)果還不完善，需要進(jìn)行系統(tǒng)性的理論性能分析。

本文結(jié)合MCC 和FFT 方法，提出了一種基于最大熵準(zhǔn)則的頻域樣條優(yōu)先自適應(yīng)濾波（frequency domain spline prioritization adaptive filter based on maximum correntropy criterion，F(xiàn)DSPAF-MCC）算法，并對(duì)所提出的FDSPAF-MCC 算法進(jìn)行了系統(tǒng)性的理論分析，得出了其收斂性條件，并推導(dǎo)了該算法的理論穩(wěn)態(tài)額外均方誤差（excess mean-square error，EMSE）。對(duì)提出的算法進(jìn)行了數(shù)值仿真，結(jié)果表明在非Gaussian 噪聲情況下，該算法具有優(yōu)越的收斂性能和高效的計(jì)算效率。

2 提出的FDSPAF-MCC算法

圖1 為基于MCC 的頻域樣條優(yōu)先自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)框圖，它由線性FIR 濾波器和非線性樣條插值機(jī)制級(jí)聯(lián)組成，其中關(guān)于時(shí)域部分的變量說(shuō)明可參考文獻(xiàn)［24］。濾波器結(jié)構(gòu)中的線性和非線性部分由不同的誤差信號(hào)進(jìn)行優(yōu)化。具體地，利用線性部分的誤差對(duì)權(quán)值進(jìn)行優(yōu)化，并采用FFT 策略進(jìn)行自適應(yīng)學(xué)習(xí)，另外利用整個(gè)濾波器的誤差對(duì)樣條控制點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化。

圖1 基于MCC的頻域樣條優(yōu)先自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Schematic of the frequency domain spline prioritization adaptive filter based on MCC

令x(n)=[x(n)，x(n-1)，…，x(n-M+1)]T∈RM表示n時(shí)刻的輸入信號(hào)向量，濾波器階數(shù)為M?？紤]輸入數(shù)據(jù)序列被分成M點(diǎn)的塊，令k表示塊的索引，它與時(shí)刻n的關(guān)系為n=kM+j，j=1，2，…，M。第k塊的輸入信號(hào)向量定義為x(k)=[x(kM+1)，x(kM+2)，…，x(kM+M)]T∈RM，在這個(gè)分塊內(nèi)權(quán)值向量保持為。線性部分在頻域進(jìn)行運(yùn)算，依據(jù)重疊存儲(chǔ)方法，將輸入數(shù)據(jù)的兩個(gè)繼承子塊進(jìn)行FFT運(yùn)算，可得

應(yīng)用重疊存儲(chǔ)方法，通過(guò)逆快速Fourier 變換（inverse fast Fourier transform，IFFT）得到線性部分M維濾波的輸出向量

其中°表示Hadamard 積［33］。非線性部分在時(shí)域進(jìn)行運(yùn)算，考慮k與時(shí)刻n的關(guān)系n=kM+j，j=1，2，…，M，則歸一化局部區(qū)間橫坐標(biāo)與局部區(qū)間索引可表示為

其中δ表示兩個(gè)相鄰控制點(diǎn)間的均勻間隔，表示向下取整算子，N為樣條控制點(diǎn)的數(shù)目。由歸一化局部區(qū)間橫坐標(biāo)向量，uj(k)，1]T∈R4和局部樣條控制點(diǎn)向量，，可建立中間輸出與濾波器輸出的非線性關(guān)系

其中矩陣C∈R4×4為Catmul-Rom 樣條基矩陣，并且r1，r2，r3，r4表示樣條基矩陣的各個(gè)行向量［13］。進(jìn)一步可得出從n=kM+1 到n=kM+M時(shí)刻的輸出信號(hào)向量

其中sum(·)表示包含每一行總和的列向量，矩陣U(k)=[u1(k)，u2(k)，…，uM(k)]∈R4×M，矩陣Q(k)=。

利用級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)中線性濾波器的輸出獲取誤差向量

其中h(k)是未知系統(tǒng)線性部分的輸出信號(hào)向量，它無(wú)法直接觀察。首先根據(jù)NSI 的不變性原理，利用FIR 濾波器對(duì)未知系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)，獲得趨近于理想權(quán)值的初始權(quán)值，然后使用此權(quán)值濾波的輸出作為h(k)的估計(jì)［21-22］。線性部分采用基于MCC 的魯棒代價(jià)函數(shù)

其中λ＞0 是核寬參數(shù)［26］。將代價(jià)函數(shù)JL(k)對(duì)權(quán)值向量w(k)進(jìn)行求偏導(dǎo)，得到關(guān)于權(quán)值的梯度向量

其中X(k)=[x(kM+1)，x(kM+2)，…，x(kM+M)]∈RM×M為第k塊輸入數(shù)據(jù)的矩陣形式，令f(eL(kM+，記fL(k)=[f(eL(kM+1))，f(eL(kM+2))，…，f(eL(kM+M))]T。將補(bǔ)零后的2M維信號(hào)向量進(jìn)行FFT運(yùn)算，得到

應(yīng)用重疊存儲(chǔ)方法，將相關(guān)運(yùn)算在頻域中計(jì)算，可得M維的梯度向量

其中conj(·)表示復(fù)數(shù)的共軛運(yùn)算。由此得到頻域的權(quán)值更新準(zhǔn)則

其中μw表示關(guān)于權(quán)值更新的步長(zhǎng)參數(shù)。整體濾波器的誤差信號(hào)向量為

非線性部分仍采用基于MCC的魯棒代價(jià)函數(shù)

將代價(jià)函數(shù)J(k)對(duì)局部樣條控制點(diǎn)向量qij(k)進(jìn)行求偏導(dǎo)，得到關(guān)于局部樣條控制點(diǎn)的梯度向量

其中令f(e(kM+j))=e(kM+j)exp(-e2(kM+j)/2λ2)。則代價(jià)函數(shù)J(k)關(guān)于矩陣Q(k)的梯度可表示為

其中令f(k)=[f(e(kM+1))，f(e(kM+2))，…，f(e(kM+M))]T，記F(k)=[f(k)，f(k)，f(k)，f(k)]T∈R4×M。由此得到局部樣條控制點(diǎn)的更新準(zhǔn)則

其中μq表示關(guān)于局部樣條控制點(diǎn)更新的步長(zhǎng)參數(shù)。

為直觀地描述所提出算法，將FDSPAF-MCC 算法總結(jié)于表1。

表1 FDSPAF-MCC算法總結(jié)Tab.1 Summary of the FDSPAF-MCC algorithm

進(jìn)一步對(duì)比提出的FDSPAF-MCC 算法與SAFLMS［13］、SAF-MCC［29］、SPAF［21］、FDSPAF［35］以及構(gòu)造的最大熵準(zhǔn)則的樣條優(yōu)先自適應(yīng)濾波（spline prioritization adaptive filter based on maximum correntropy criterion，SPAF-MCC）算法的計(jì)算復(fù)雜度?？紤]時(shí)域SAF 算法每次迭代時(shí)，計(jì)算uT(n)Cqi(n) 和CTu(n)需要4KM次乘法和4KA次加法運(yùn)算，另外計(jì)算需要4LM次乘法和4LA次加法運(yùn)算［13］。通過(guò)計(jì)算分塊內(nèi)每次迭代所需的總乘法和總加法運(yùn)算進(jìn)行算法復(fù)雜度對(duì)比［34］。表2總結(jié)了相應(yīng)算法的計(jì)算復(fù)雜度，與時(shí)域算法相比，頻域算法降低了計(jì)算復(fù)雜度，并且隨著濾波器階數(shù)M的增加，計(jì)算效率提升越顯著。

表2 自適應(yīng)算法的計(jì)算復(fù)雜度總結(jié)Tab.2 Summary of the computational complexities for adaptive algorithms

3 收斂性分析

這一部分將進(jìn)行FDSPAF-MCC算法的收斂性分析。在自適應(yīng)更新過(guò)程中，為保證收斂，需要滿足條件‖eL(k+1)‖2≤‖eL(k)‖2和‖e(k+1)‖2≤‖e(k)‖2，從而分別獲得關(guān)于權(quán)值和局部樣條控制點(diǎn)的步長(zhǎng)范圍。為便于分析，利用循環(huán)矩陣將線性過(guò)程描述為等價(jià)的時(shí)域形式［36］。將頻域權(quán)值更新式（12）重寫(xiě)為

其中F∈C2M×2M表示離散Fourier變換矩陣，為頻域?qū)禽斎刖仃?，常?shù)矩陣Q10=。根據(jù)循環(huán)矩陣結(jié)果

其中Xc(k)∈R2M×2M表示循環(huán)矩陣，它由2M維的輸入信號(hào)向量[x(kM-M+1)，…，x(kM+M)]T作為第一列然后循環(huán)移動(dòng)得到，可將其表示為分塊形式

容易得到矩陣X2(k)=XT(k)∈RM×M［36］。式（18）兩端左乘F-1并利用循環(huán)矩陣結(jié)果可得

因此，權(quán)值更新的時(shí)域描述為

對(duì)‖eL(k+1)‖2進(jìn)行一階Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)

其中Δw(k)=w(k+1)-w(k)，進(jìn)一步得出

類(lèi)似地，對(duì)‖e(k+1)‖2進(jìn)行一階Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)

其中ΔQ(k)=Q(k+1)-Q(k)，進(jìn)一步得出

其中記14=[1，1，1，1]T，有E(k)=14eT(k)，令fb(k)=[exp(-e2(kM+1)/2λ2)，exp(-e2(kM+2)/2λ2)，…，exp(-e2(kM+M)/2λ2)]T，則。根據(jù)條件‖e(k+1)‖2≤‖e(k)‖2，可得出

進(jìn)一步考慮

可得到關(guān)于μq的步長(zhǎng)范圍

4 穩(wěn)態(tài)性能分析

這一部分將在以下假設(shè)條件下進(jìn)行算法的理論穩(wěn)態(tài)性能分析。

假設(shè)1系統(tǒng)隨機(jī)加性噪聲η(n)為獨(dú)立同分布的信號(hào)，其均值為零，方差為，與x(n)，w(n)和qi(n) 獨(dú)立。此外，x(n)，w(n) 和qi(n) 相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立［23-24］。

假設(shè)2在穩(wěn)態(tài)時(shí)，誤差序列e(n)與‖x(n)‖2和‖CTu(n)‖2漸近不相關(guān)［14，29］。

令先驗(yàn)誤差信號(hào)向量為ε(k)=[ε(kM+1)，ε(kM+2)，…，，其中

記εw(k)=[εw(kM+1)，εw(kM+2)，…，εw(kM+M)]T，εq(k)=[εq(kM+1)，εq(kM+2)，…，εq(kM+M)]T，其中?？紤]穩(wěn)態(tài)EMSE作為性能指標(biāo)

4.1 關(guān)于權(quán)值系數(shù)的穩(wěn)態(tài)分析

對(duì)上式兩邊計(jì)算l2-范數(shù)的平方，并取期望得

當(dāng)k→∞時(shí)，可計(jì)算，其中，εL(kM+2)，…，εL(kM+M)]T。

先考慮非Gaussian噪聲環(huán)境下的情況。式（35）左邊可計(jì)算為

考慮eL(kM+j)=εL(kM+j) +η(kM+j)，對(duì)f(eL(kM+j))關(guān)于εL(kM+j)在η(kM+j)處進(jìn)行二階Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)

為簡(jiǎn)便計(jì)算，定義向量a=[f(η(kM+1))，f(η(kM+2))，…，f(η(kM+M))]T，b=[f′(η(kM+1))，f′(η(kM+2))，…，f′(η(kM+M))]T，c=[f″(η(kM+1))，f″(η(kM+2))，…，f″(η(kM+M))]T。結(jié)合式（37）～式（39），式（36）可計(jì)算為

對(duì)矩陣E{fL(k)fTL(k)}中的元素進(jìn)行計(jì)算，非對(duì)角線元素為

結(jié)合式（35），式（40）和式（44）可得，非Gaussian噪聲情況下關(guān)于權(quán)值系數(shù)的穩(wěn)態(tài)結(jié)果為

考慮Gaussian 噪聲環(huán)境下的情況。當(dāng)k→∞時(shí)，式（35）左邊可計(jì)算為

此外，經(jīng)過(guò)計(jì)算得出

其中I0∈RM×M是對(duì)角線元素為零，其余元素均為1的矩陣。則式（35）的右邊可計(jì)算為

將式（46）和式（48）的結(jié)果代入式（35），得到Gaussian噪聲情況下關(guān)于權(quán)值系數(shù)的穩(wěn)態(tài)結(jié)果為

4.2 關(guān)于樣條控制點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)分析

由式（17）寫(xiě)出關(guān)于qij(k)向量形式的更新準(zhǔn)則

對(duì)上式兩邊計(jì)算l2-范數(shù)的平方，并取期望得

當(dāng)k→∞時(shí)，有可得

類(lèi)似地，先考慮非Gaussian噪聲環(huán)境下的情況。當(dāng)k→∞時(shí)，設(shè)有εw(kM+j)=0，則e(kM+j)=εq(kM+j) +η(kM+j)，并根據(jù)f(e(kM+j))關(guān)于εq(kM+j)在η(kM+j)處的二階Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)，式（53）左邊可推導(dǎo)出

將式（54）和式（55）的結(jié)果代入式（53），得到非Gaussian 噪聲情況下關(guān)于樣條控制點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)結(jié)果為

根據(jù)前述的結(jié)果，在Gaussian 噪聲環(huán)境下，式（53）左邊計(jì)算為

式（53）右邊計(jì)算為

則Gaussian 噪聲情況下關(guān)于樣條控制點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)結(jié)果為

4.3 算法的理論穩(wěn)態(tài)EMSE

具體地，將式（45）和式（56）的結(jié)果代入，可得算法在非Gaussian 噪聲情況下的理論穩(wěn)態(tài)EMSE 值；算法在Gaussian 噪聲情況下的理論穩(wěn)態(tài)EMSE 值由式（49）和式（59）得出。

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

下面進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證所提出FDSPAFMCC算法的效果，以及證實(shí)理論穩(wěn)態(tài)EMSE結(jié)果。

5.1 性能分析結(jié)果驗(yàn)證

通過(guò)NSI 驗(yàn)證非Gaussian 噪聲和Gaussian 噪聲情況下式（60）的穩(wěn)態(tài)性能分析結(jié)果。非線性系統(tǒng)由線性部分級(jí)聯(lián)非線性樣條插值機(jī)制組成，其中線性部分權(quán)值選取為=[0.6，-0.4，0.25，-0.15，0.1]T，非線性部分23個(gè)樣條控制點(diǎn)選取為=[-2.2，-2，…，-0.8，-0.91，-0.42，-0.01，-0.1，0.1，-0.15，0.58，1.2，1，1.2，…，2，2.2]T。這個(gè)典型的非線性系統(tǒng)常被用在基于SAF 結(jié)構(gòu)的NSI 場(chǎng)景中［13-14］。采用一階自回歸模型的輸入信號(hào)x(n)=，其中ν(n)是零均值單位方差的Gaussian 白噪聲，取相關(guān)因子?=0.1。線性權(quán)值初始化為w(0)=[1，0，0，0，0]T，濾波器階數(shù)M=5，樣條控制點(diǎn)初始化為單位斜率的直線q(0)=[-2.2，-2，…，2，2.2]T。核寬參數(shù)設(shè)為λ=1.5，步長(zhǎng)取值μw=μq=μ。非Gaussian 噪聲信號(hào)η(n)分別選取典型的均勻噪聲、二值噪聲和Laplace 噪聲，分別設(shè)為3.33 × 10-4，4 × 10-4和5 × 10-4［26］。Gaussian 噪聲干擾的信噪比（signal-to-noise ratio，SNR）設(shè)為30 dB。圖2、圖3 和圖4 分別展示了均勻噪聲、二值噪聲和Laplace 噪聲干擾下，不同步長(zhǎng)的穩(wěn)態(tài)EMSE 的仿真與理論分析結(jié)果，圖5 展示了Gaussian 噪聲干擾下算法的穩(wěn)態(tài)EMSE。表明在非Gaussian 噪聲和Gaussian 噪聲場(chǎng)景下，推導(dǎo)的穩(wěn)態(tài)EMSE 的理論值與實(shí)驗(yàn)仿真值相匹配，證實(shí)了理論穩(wěn)態(tài)EMSE分析結(jié)果的正確性。

圖2 均勻噪聲下的穩(wěn)態(tài)EMSEFig.2 Steady-state EMSE in uniform noise

圖3 二值噪聲下的穩(wěn)態(tài)EMSEFig.3 Steady-state EMSE in binary noise

圖4 Laplace噪聲下的穩(wěn)態(tài)EMSEFig.4 Steady-state EMSE in Laplace noise

圖5 Gaussian噪聲下的穩(wěn)態(tài)EMSEFig.5 Steady-state EMSE in Gaussian noise

5.2 脈沖噪聲干擾下的NSI

采用前述構(gòu)造的非線性系統(tǒng)作為待辨識(shí)的系統(tǒng)，對(duì)所提出的FDSPAF-MCC 算法抗脈沖噪聲性能進(jìn)行驗(yàn)證，并與現(xiàn)有的自適應(yīng)算法進(jìn)行比較。FDSPAF-MCC 算法以及FDSAF［34］、FDSPAF［35］和SAF-MCC［29］算法的參數(shù)設(shè)置為保證相同的初始收斂，并采用均方誤差MSE=10 log10E{e2(n)}作為評(píng)價(jià)指標(biāo)?？紤]附加噪聲信號(hào)為Gaussian白噪聲加上α-穩(wěn)定分布的脈沖噪聲干擾，其中α-穩(wěn)定過(guò)程的特征參數(shù)設(shè)為α=1.2，分散參數(shù)設(shè)為γ=0.05［24］。

圖6為自適應(yīng)算法的MSE曲線對(duì)比圖。從圖中可以看出，在脈沖噪聲干擾下，不具魯棒性的FDSAF和FDSPAF 算法無(wú)法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行有效辨識(shí)，MSE 曲線呈現(xiàn)發(fā)散趨勢(shì)。提出的FDSPAF-MCC算法在脈沖噪聲環(huán)境下具有優(yōu)越的收斂性能，對(duì)脈沖噪聲具有穩(wěn)健性，并且相較于SAF-MCC算法具有更高的穩(wěn)態(tài)精度。圖7 顯示了FDSPAF-MCC 算法的辨識(shí)結(jié)果，權(quán)值和樣條控制點(diǎn)都最終收斂到理想取值。

圖6 自適應(yīng)算法在脈沖噪聲下的MSE曲線圖，SNR=30 dBFig.6 MSE curves of adaptive algorithms under impulsive noise，with SNR=30 dB

圖7 FDSPAF-MCC算法的收斂結(jié)果：（a）權(quán)值系數(shù)，（b）樣條非線性Fig.7 Convergence result of the FDSPAF-MCC algorithm：（a）Weight coefficients，（b）Spline nonlinearity

圖8 展示了自適應(yīng)算法的跟蹤能力，可以看出在脈沖噪聲環(huán)境下，提出的FDSPAF-MCC 算法在系統(tǒng)突變時(shí)具有優(yōu)越的跟蹤性能。從圖9中可以看出不同核寬參數(shù)λ對(duì)FDSPAF-MCC算法性能的影響，λ越大，算法收斂速度越快，但會(huì)降低穩(wěn)態(tài)精度，反之亦然。

圖8 自適應(yīng)算法的跟蹤能力Fig.8 Tracking abilities of adaptive algorithms

圖9 不同參數(shù)λ的FDSPAF-MCC算法性能比較，SNR=40 dBFig.9 Comparisons of the FDSPAF-MCC algorithm with different λ，with SNR=40 dB

5.3 長(zhǎng)脈沖響應(yīng)系統(tǒng)辨識(shí)

通過(guò)兩個(gè)長(zhǎng)脈沖響應(yīng)系統(tǒng)進(jìn)一步檢驗(yàn)提出的FDSPAF-MCC 算法的收斂性能和計(jì)算效率，輸入信號(hào)是[-1，1]范圍的均勻分布信號(hào)序列。兩個(gè)待辨識(shí)系統(tǒng)的線性權(quán)值系數(shù)分別產(chǎn)生于以下系統(tǒng)的離散傳遞函數(shù)和連續(xù)傳遞函數(shù)［23-34］

比較FDSPAF-MCC算法與SPAF-MCC算法的計(jì)算效率，計(jì)算機(jī)配置為2.9 GHz Intel Core i5-9400F CPU，24 GB RAM。通過(guò)100 次獨(dú)立測(cè)試，可比較算法中M次迭代的平均執(zhí)行時(shí)間。從圖10 中可以看出，頻域運(yùn)算的FDSPAF-MCC 與時(shí)域的SPAF-MCC算法具有相同的收斂性能，在SI 系統(tǒng)中，頻域算法每塊的迭代平均執(zhí)行0.1507 ms，而時(shí)域算法每執(zhí)行M次迭代平均花費(fèi)0.7791 ms；在具有更長(zhǎng)濾波器階數(shù)的SⅡ系統(tǒng)中，提出的FDSPAF-MCC 算法每塊平均執(zhí)行時(shí)間為0.7221 ms，而SPAF-MCC 算法M次迭代平均執(zhí)行時(shí)間為8.0215 ms?？梢宰C明相較于時(shí)域算法，提出的FDSPAF-MCC 算法能夠顯著減小計(jì)算復(fù)雜度，具有更高的計(jì)算效率。

圖10 FDSPAF-MCC和SPAF-MCC算法的MSE曲線圖Fig.10 MSE curves of FDSPAF-MCC and SPAF-MCC

6 結(jié)論

本文提出了一種基于MCC 和重疊存儲(chǔ)策略的魯棒頻域樣條優(yōu)先自適應(yīng)濾波算法。通過(guò)理論性能分析，推導(dǎo)了所提算法的收斂性條件和理論穩(wěn)態(tài)EMSE。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相較于現(xiàn)有的基于SAF的自適應(yīng)算法，本文所提出的算法具有更好的收斂性能和更高的計(jì)算效率，并且在非Gaussian 噪聲環(huán)境下具有穩(wěn)健性。數(shù)值結(jié)果也驗(yàn)證了該算法在非Gaussian 和Gaussian 噪聲情況下，其理論穩(wěn)態(tài)性能結(jié)果與仿真結(jié)果的一致性。