宋普查 趙海全 羅 莉 楊申浩

（1.成都大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院，四川成都 610106；2.西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，四川成都 610031；3.中國電力工程顧問集團(tuán)西南電力設(shè)計(jì)院，四川成都 610000）

1 引言

自適應(yīng)濾波最小均方（Least Mean Square，LMS）算法和歸一化最小均方（Normalized Least Mean Square，LMS）算法，由于其簡單性、低計(jì)算量和易于實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)，在系統(tǒng)辨識(shí)、噪聲消除、波束形成和信道均衡等領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用［1-4］。然而，在實(shí)際的應(yīng)用中不可避免地遇到非高斯噪聲的干擾，此類信號(hào)通常具有顯著的脈沖特性，從而造成傳統(tǒng)的LMS算法和NLMS算法的收斂性能嚴(yán)重下降。

為了處理非高斯噪聲的干擾，研究者們設(shè)計(jì)了一些魯棒的自適應(yīng)濾波算法［5-16］。例如，著名的符號(hào)算法（Sign Algorithm，SA）使用誤差信號(hào)的L1范數(shù)，由于其權(quán)向量在更新中對誤差信號(hào)使用符號(hào)函數(shù)，因此對脈沖干擾具有較好的魯棒性［5］。然而，SA算法通常表現(xiàn)出較慢的收斂速度，尤其是對于高度相關(guān)的輸入信號(hào)。因此，通過使用混合參數(shù)將誤差信號(hào)L1范數(shù)和誤差信號(hào)L2范數(shù)相結(jié)合，設(shè)計(jì)了一種魯棒混合范數(shù)（Robust Mixed-Norm，RMN）算法來提高SA 算法的收斂速度和改進(jìn)LMS 算法的魯棒性［6］。Zou 等人基于M-估計(jì)的代價(jià)函數(shù)，提出了最小均方M-估計(jì)（Least Mean M-estimate，LMM）算法［7］，通過設(shè)置閾值參數(shù)來消除異常值的干擾，與RMN算法相比較，它顯示較好的魯棒性和收斂速度。Sayin等人基于對數(shù)變換的方法，提出了最小對數(shù)絕對差（Least Logarithmic Absolute Difference，LLAD）算法［8］。LLAD 算法對沖擊噪聲干擾具有良好的魯棒性，并且收斂性能要優(yōu)于SA算法。近年來，基于廣義最大相關(guān)熵準(zhǔn)則（Generalized Maximum Correntropy Criterion，GMCC）自適應(yīng)濾波算法［9］顯示了較強(qiáng)的抗沖擊干擾的能力。與LMM 算法相比較，GMCC 算法顯示了較小的穩(wěn)態(tài)誤差?；赟igmoid函數(shù)的非線性特性，Huang 等人設(shè)計(jì)了一種Sigmoid 最小均方（Sigmoid Least Mean Square，SLMS）算法［10］，與GMCC 算法相比較，該算法具有較好的收斂性能。Guan等人基于雙曲正弦代價(jià)函數(shù)和反雙曲正弦代價(jià)函數(shù)，分別設(shè)計(jì)了兩種抗沖擊干擾的自適應(yīng)濾波算法［14］。與文獻(xiàn)［12］中的算法相比較，它們顯示較好的穩(wěn)態(tài)性能和魯棒性能。Wang 等人基于對數(shù)雙曲余弦的代價(jià)函數(shù)，設(shè)計(jì)了一種對數(shù)雙曲余弦自適應(yīng)濾波器（Logarithmic Hyperbolic Cosine Adaptive Filter，LHCAF）［15］。在α-穩(wěn)定分布噪聲干擾下，LHCAF 算法的精確性和穩(wěn)定性要優(yōu)于LLAD 算法和GMCC 算法。此外，為了進(jìn)一步提高LHCAF 的收斂速度，提出了一種可變比例因子和步長的LHCAF 算法。Kumar 等人基于反正切代價(jià)函數(shù)，提出了反正切最小均方（Arctangent Least Mean Square，ATLMS）算法［16］。與LMS算法相比較，ATLMS算法具有良好的抗沖擊干擾能力。本文基于雙曲正切框架定義一種魯棒的代價(jià)函數(shù)，提出了一種雙曲正切最小均方（Hyperbolic Tangent Least Mean Square，HTLMS）算法來提高抗沖擊干擾的能力。此外，為了進(jìn)一步提高算法的收斂性能，提出了一種可變?chǔ)藚?shù)的HTLMS算法。仿真結(jié)果表明，本文算法不僅在沖擊噪聲干擾下具有較好的魯棒性，而且在無沖擊噪聲下都可以保持較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

2 提出算法

2.1 系統(tǒng)辨識(shí)模型

如圖1 所示是系統(tǒng)辨識(shí)模型，其中x(n)是系統(tǒng)的輸入信號(hào)，w(n)=[w1(n)，w2(n)，…，wL(n)]T是自適應(yīng)濾波器的權(quán)向量，它的目標(biāo)是估計(jì)未知系統(tǒng)向量w0，y(n)是濾波器的輸出信號(hào)，d(n)是未知系統(tǒng)的輸出信號(hào)，其計(jì)算公式為［13］

圖1 系統(tǒng)辨識(shí)模型Fig.1 System identification model

式中，x(n)=[x(n)，x(n-1)，…，x(n-L+1)]T是長度為L的輸入信號(hào)向量，v(n)表示背景噪聲。從而可以得出誤差信號(hào)e(n)計(jì)算公式為

其中，濾波器輸出信號(hào)y(n)=xT(n)w(n)。

2.2 雙曲正切最小均方算法

傳統(tǒng)的LMS算法的代價(jià)函數(shù)是e2(n)，該算法在非高斯噪聲干擾下，具有較差的穩(wěn)定性。為了提高LMS 算法的魯棒性，本文基于雙曲正切函數(shù)框架定義了一個(gè)魯棒的代價(jià)函數(shù)，其形式如下：

式中，E[·]表示數(shù)學(xué)期望，tanh(·)是雙曲正切函數(shù)，它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中，λ是一個(gè)正參數(shù)，它是抑制脈沖噪聲干擾的關(guān)鍵參數(shù)。由圖2 所示可知，當(dāng)誤差信號(hào)e(n)超過一定的閾值時(shí)，則代價(jià)函數(shù)J(n)的梯度等于零，從而提高了算法的魯棒性。

圖2 不同λ取值下的代價(jià)函數(shù)的曲線圖Fig.2 Curve plots of cost functions under different λ values

然后，公式（3）中的代價(jià)函數(shù)關(guān)于濾波器權(quán)向量w(n)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算為

根據(jù)最速下降法，從而推導(dǎo)出雙曲正切最小均方（Hyperbolic Tangent Least Mean Square，HTLMS）算法，其濾波器權(quán)向量的更新公式為

式中，μ是算法的學(xué)習(xí)步長。

如圖3 所示是非線性誤差函數(shù)f[e(n)]=[1-tanh2(λe2(n))]e(n)的曲線圖，當(dāng)誤差信號(hào)e(n)出現(xiàn)異常值時(shí)，即系統(tǒng)受到?jīng)_擊噪聲干擾時(shí)，則非線性誤差函數(shù)f[e(n)]趨近于0，可知HTLMS 算法的權(quán)向量不更新，從而抑制異常值的干擾。

圖3 在不同λ取值下的非線性誤差函數(shù)的曲線圖Fig.3 Curve plots of nonlinear error functions under different λ values

由于參數(shù)λ的取值影響算法的收斂速度和魯棒性，為了進(jìn)一步提高算法的性能，本文提出一種時(shí)變?chǔ)藚?shù)的HTLMS算法，并且變量λ(n)采用如下更新形式［10］

式中，q和k是正參數(shù)。參數(shù)q調(diào)整變量λ(n)的取值范圍；參數(shù)k控制λ(n)曲線的陡峭度，它們的取值取決于實(shí)際的應(yīng)用場景。

為了實(shí)現(xiàn)變量λ(n)在更新過程中的魯棒性，本文采用以下的更新方法［10］來估計(jì)變量|e(n)|，

式中，Ae(n)={|e(n) |，|e(n-1) |，…，|e(n-Nw+1) |}，Nw是樣本誤差的長度，min(·)表示取樣本的最小值操作，參數(shù)η是平滑因子，它的取值接近于1。

為了避免在更新過程中，變量λ(n)取值較大或較?。ㄗ⒁猓寒?dāng)λ(n)取值較小且接近于零時(shí)，HTLMS算法退化成LMS 算法，算法將失去魯棒性；當(dāng)λ(n)取值較大時(shí)，HTLMS算法的收斂速度將非常慢），因此，我們將對變量λ(n)的更新進(jìn)行如下約束

式中，0＜λmin＜λmax。表1總結(jié)了提出的具有可變?chǔ)藚?shù)HTLMS（Variableλ-parameter Hyperbolic Tangent Least Mean Square，VHTLMS）算法。

表1 提出的VHTLMS算法Tab.1 Proposed VHTLMS algorithm

3 計(jì)算機(jī)仿真

為了驗(yàn)證本文算法在系統(tǒng)辨識(shí)場景中的估計(jì)性能，采用的未知系統(tǒng)是通過rand(·)函數(shù)隨機(jī)產(chǎn)生的，并且假設(shè)濾波器的抽頭長度與未知系統(tǒng)長度相同，即L=128。在仿真中，系統(tǒng)的輸入是高斯信號(hào)，并且系統(tǒng)的輸出受到獨(dú)立的高斯白噪聲干擾，其中信噪比（Signal-to-Noise Ratio，SNR）為30 dB；在未知系統(tǒng)辨識(shí)中，通常采用歸一化均方偏差（Normalized Mean Squared Deviation，NMSD）來評(píng)估各算法的收斂性能，其定義為

在以下仿真測試中，各參數(shù)設(shè)置為：Nw=9，η=0.99，λmin=0.001，λmax=0.1 并且所有的NMSD 學(xué)習(xí)曲線都是通過100次獨(dú)立運(yùn)行取平均值得到的。

3.1 伯努利-高斯分布噪聲

沖擊噪聲通常以低概率和高幅值的特性出現(xiàn)在系統(tǒng)的干擾之中，本節(jié)采用的沖擊噪聲δ(n)是通過伯努利-高斯（Bernoulli-Gaussian，BG）分布建模產(chǎn)生的［17-19］，即

其中，A(n)是相互獨(dú)立同分布的零均值高斯序列，其方差為，c(n)是一個(gè)伯努利過程，其概率密度函數(shù)由P(c(n)=1)=pr，P(c(n)=0)=1-pr（pr表示沖擊噪聲發(fā)生的概率）。在仿真測試中，沖擊噪聲也被添加到系統(tǒng)的輸出中，其中信號(hào)干擾比（Signal-to-Interference Ratio，SIR）為-30 dB，即=103E{[xT(n)w0]2}。

如圖4 所示，在BG 分布噪聲干擾下具有不同λ取值下HTLMS算法的收斂性能，其中pr=0.001，q=0.05，k=102。由圖4 可以看出，HTLMS 算法的估計(jì)性能容易受到λ取值的影響。當(dāng)λ取值越大時(shí)，HTLMS 算法的穩(wěn)態(tài)誤差越小，但是算法的收斂越慢；當(dāng)λ取值越小時(shí)，HTLMS 算法的穩(wěn)態(tài)誤差越大，相對應(yīng)的算法的收斂越快；因此，本文提出的一種時(shí)變參數(shù)λ(n)的HTLMS 算法具有快的收斂速度和小的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖4 在BG分布噪聲干擾下具有不同λ取值的HTLMS算法的NMSD學(xué)習(xí)曲線Fig.4 NMSD learning curve of HTLMS algorithm with different λ values under BG distribution noise interference

如圖5所示，在BG分布噪聲干擾下，各算法的收斂性能比較，表2是自適應(yīng)算法的權(quán)向量更新公式。由圖5（a）可知，LMS算法的收斂性能容易受到?jīng)_擊噪聲的干擾，易發(fā)散；GMCC 算法［9］和LHCAF 算法［15］具有較好的魯棒性能；但是，與GMCC算法和LHCAF算法相比較，本文提出的HTLMS 算法和VHTLMS 算法具有較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

表2 自適應(yīng)算法Tab.2 Adaptive algorithms

圖5 在BG分布噪聲干擾下各算法之間的NMSD學(xué)習(xí)曲線Fig.5 NMSD learning curves between algorithms under BG distribution noise interference

如圖5（b）所示，通過設(shè)置沖擊噪聲發(fā)生的概率為零，來驗(yàn)證各算法在系統(tǒng)辨識(shí)下的收斂性能。當(dāng)未知系統(tǒng)的輸出在無沖擊噪聲干擾時(shí)，與GMCC 算法和LHCAF 算法相比較，本文提出的HTLMS 算法和VHTLMS 算法具有較好的收斂性能；此外，提出的VHTLMS 算法和LMS 算法的收斂性能比較相近，都具有較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

3.2 α-穩(wěn)定分布噪聲

本節(jié)采用的α-穩(wěn)定分布噪聲，它是一種典型的非高斯噪聲，其特征函數(shù)描述如下［15］：

式中，

在仿真實(shí)驗(yàn)中，非高斯噪聲采用服從標(biāo)準(zhǔn)對稱α-穩(wěn)定（Symmetric α-Stable，SαS）分布噪聲［20-22］，其特征函數(shù)為

其中，0＜α≤2，特征指數(shù)α取值越小，其拖尾就越長，表明噪聲信號(hào)的脈沖性較強(qiáng)；反之，α取值越大，噪聲信號(hào)拖尾就越短，表明噪聲信號(hào)的脈沖性較弱。特別地，當(dāng)α=2時(shí)，則α-穩(wěn)定分布服從高斯分布。

如圖6 所示，在標(biāo)準(zhǔn)SαS 分布噪聲干擾下驗(yàn)證HTLMS 算法在不同λ取值下的收斂性能，其中α=1.6，q=0.03，k=102。由圖6 可知，HTLMS 算法的收斂性能與λ取值有關(guān)。當(dāng)λ取較大值時(shí)，HTLMS 算法的穩(wěn)態(tài)誤差越小，但相應(yīng)的收斂速度就越慢；當(dāng)λ取較小值時(shí)，HTLMS 算法的穩(wěn)態(tài)誤差越大，其收斂速度越快。因此，本文提出的VHTLMS 算法通過采用時(shí)變參數(shù)λ(n)，從而顯示較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖6 在標(biāo)準(zhǔn)SαS分布噪聲干擾下具有不同λ取值的HTLMS算法的NMSD學(xué)習(xí)曲線Fig.6 NMSD learning curve of HTLMS algorithm with different λ values under standard SαS distribution noise interference

如圖7 所示，在SαS 分布噪聲干擾下，比較各算法的在系統(tǒng)辨識(shí)下的收斂性能。由圖7（a）可知，在非高斯噪聲干擾下，即α=1.6，LMS 算法的估計(jì)性能較差；魯棒的GMCC算法和LHCAF算法具有較好的收斂性能；然而，與GMCC 算法和LHCAF 算法相比較，本文提出的HTLMS 算法和VHTLMS 算法顯示了較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖7 在標(biāo)準(zhǔn)SαS分布噪聲干擾下各算法之間的NMSD學(xué)習(xí)曲線Fig.7 NMSD learning curves between algorithms under standard SαS distribution noise interference

如圖7（b）所示，當(dāng)系統(tǒng)的輸出在高斯噪聲干擾下，即α=2.0，LMS 算法顯示較好的收斂性能。與GMCC 算法和LHCAF 算法相比較，提出的HTLMS算法和VHTLMS 算法具有較快的收斂速度和較小的估計(jì)誤差；此外，在高斯噪聲干擾下，提出的VHTLMS算法與LMS算法都具有較好的估計(jì)性能。

4 結(jié)論

針對傳統(tǒng)的LMS 算法在非高斯噪聲干擾下具有很差的收斂性能，本文基于雙曲正切函數(shù)框架提出了一種魯棒的HTLMS 算法。此外，由于HTLMS算法中的參數(shù)λ的取值在一定程度上影響算法的魯棒性和收斂性，為了進(jìn)一步改進(jìn)算法的性能，隨后提出了具有可變?chǔ)藚?shù)的HTLMS算法。最后，在系統(tǒng)辨識(shí)應(yīng)用場景中，驗(yàn)證了本文提出的HTLMS算法和VHTLMS 算法不僅在非高斯噪聲干擾下具有較好的魯棒性和收斂性，而且在高斯噪聲環(huán)境下也顯示了較好的估計(jì)性能。