徐 雷， 陸欣怡， 李靜妮， 孫會娟， 樊麗娜， 陸煥鈞， 毛紅敏*， 曹召良*

（1. 蘇州科技大學 物理科學與技術學院 江蘇省微納熱流技術與能源應用重點實驗室，江蘇 蘇州 215009；2. 北京聯(lián)合大學 數(shù)理部， 北京 100101）

1 引言

夏克-哈特曼波前探測器是一種由微透鏡陣列和CCD 相機組成的光學測量設備［1］，具有結(jié)構(gòu)簡單、操作簡便、抗干擾能力強等優(yōu)點，在自適應光學領域有廣泛應用［2-8］。近年來，哈特曼探測器還廣泛應用于大氣湍流測量、眼科應用和光學檢測等領域。在大氣湍流測量方面，哈特曼探測器用于測量大氣湍流的大氣相干長度、格林伍德頻率等參數(shù)，為大氣湍流強度的評估提供支撐數(shù)據(jù)［9-13］。在眼科應用中，哈特曼波前探測器能夠?qū)崟r探測人眼像差，進而通過波前校正器進行像差校正，以實現(xiàn)高分辨率視網(wǎng)膜成像［14-15］。其還用于人眼像差的測量，通過求解Zernike 多項式以探測人眼高階像差［16-17］。在光學檢測領域，哈特曼探測器可以用于大口徑平面鏡面形的高精度檢測［18］，還廣泛應用于光學元件的像差檢測，能測量同一鏡片不同區(qū)域的波前像差以及相同區(qū)域不同鏡片的波前像差［19-20］。

綜上所述，目前哈特曼探測器主要應用在不同領域?qū)崿F(xiàn)像差探測和大氣湍流參數(shù)測量。為此，本文擬進一步拓寬其應用領域，以期利用哈特曼探測器的波前探測功能，實現(xiàn)光的相位的三維立體顯示。光是一種電磁波，具有振幅和相位。一般而言，其振幅比較容易測量和觀測，因為人眼和各種探測器都是振幅敏感型器件。但是，光的相位卻無法直接觀測，這極大地影響了人們對光的全面認識和理解。邁克爾遜干涉儀等基于雙光束干涉的方法，雖然可以采用干涉條紋展示光的相位分布，但是極易受到振動等環(huán)境的干擾，對實驗條件要求苛刻，且成本較高。

本文基于哈特曼探測器可以對光束進行相位測量且對振動環(huán)境不敏感的特點，研究實現(xiàn)光波相位的三維顯示方法并研制出相位三維顯示系統(tǒng)，實現(xiàn)光的相位的三維顯示，便于研究者直觀觀測光的相位分布。

2 哈特曼探測器的相位探測能力

2.1 哈特曼探測器的工作原理

圖 1 單個子孔徑光斑的質(zhì)心計算示意圖Fig.1 Schematic diagram of single subaperture spot centroid calculation

哈特曼探測器是由CCD 相機和微透鏡陣列組成的光學測量設備。微透鏡陣列由N×N個大小相同的微透鏡構(gòu)成。每個微透鏡把不同區(qū)域光波會聚在焦平面上，形成光斑陣列，由CCD 相機進行探測。平面波入射時，在焦平面上形成分布均勻的光斑；當波面發(fā)生畸變時，焦平面上的光斑會偏離中心位置，如圖1 所示。假設平行光入射時，參考質(zhì)心的坐標為（Xc0，Yc0）；待測波面入射時，根據(jù)單個微透鏡光斑質(zhì)心位置（Xc，Yc）可以計算出光斑質(zhì)心在X和Y方向上的偏移：

ΔX=Xc-Xc0，ΔY=Yc-Yc0。

單個微透鏡子孔徑對應局部波前X方向和Y方向上的斜率分別為SX和SY：

其中：Φ為波前相位，f0為微透鏡焦距。因此，根據(jù)質(zhì)心偏移量便可以求出入射到各個微透鏡的波前斜率。

根據(jù)測量得到的波前斜率，可以利用Zernike多項式的模式法重構(gòu)波前［21］。此時，其波前如式（3）所示：

其中：ak是Zernike 多項式系數(shù)，Zk（x，y）為第k項Zernike。Zernike多項式的系數(shù)可由式（4）求解［21］：

Q中的元素為Zernike 在波前探測器子孔徑位置上的導數(shù)。把求得的Zernike 多項式系數(shù)ak代入公式（3）即可獲得被測光束的相位分布。此外，Zernike 多項式每一項的系數(shù)都代表一種像差，如a3為離焦量系數(shù)，a4為X向初級像散項系數(shù)，a5為Y向初級像散項系數(shù)。

2.2 屈光不正探測能力

為了便于理解，本文采用生活中常見的屈光不正矯正眼鏡來改變光束的相位分布并進行三維顯示。屈光不正眼鏡有近視鏡、遠視鏡和散光鏡，下邊分別分析哈特曼探測器針對屈光不正的探測能力。

動態(tài)范圍θmax是指微透鏡作為波前傳感器時，能夠測量的最大角度偏移量：

其中，d是微透鏡的直徑。θmax對應微透鏡焦平面上光斑的最大偏移量δymax。哈特曼探測器能夠測量的最大傾斜量δz為：

其中，D為微透鏡陣列的口徑，由哈特曼探測器的孔徑所決定。能夠測量的最大球冠高度hmax近似等于最大傾斜量δz的1/2。

2.3 球面波屈光度的測量方法

為了更加深刻地認識和理解光的相位特性，在進行相位三維顯示的同時，給出被測鏡的屈光不正度數(shù)。

根據(jù)離焦量系數(shù)計算哈特曼探測器探測到的波前球冠高度h：

則光波的曲率半徑R為：

經(jīng)過近視鏡形成的球面波在傳播過程中會不斷擴散，a3為正數(shù)；而經(jīng)過遠視鏡形成的球面波在傳播過程中會不斷收縮，a3為負數(shù)。

如圖2 所示，若測量鏡片為近視鏡，哈特曼波前探測器探測到的球面波和平行光束經(jīng)過近視鏡產(chǎn)生的球面波的曲率半徑不同，二者相差S，即哈特曼探測器的微透鏡陣列到眼鏡之間的距離。因此，眼鏡的焦距計算公式如式（9）所示：

則眼鏡的屈光度為：

2.4 柱面波屈光度的測量方法

當使用散光鏡演示像散的三維顯示時，通過Zernike 多項式系數(shù)中獲得的離焦量以及X和Y兩個方向的像散量，哈特曼探測器處探測到的屈光度為JX' 和JY'［22-23］：

考慮到柱面波在傳播過程中也會出現(xiàn)擴散或收縮，計算曲率半徑：

結(jié)合距離進行修正：

結(jié)合微透鏡陣列的口徑得到相應的X和Y兩個方向的屈光度JX和JY：

柱面波屈光度φ2為：

則眼鏡的屈光度為：

3 相位三維顯示系統(tǒng)光路設計

為了實現(xiàn)光波相位的三維立體顯示，整體光路結(jié)構(gòu)如圖3 所示，主要包括點光源、準直系統(tǒng)、屈光矯正鏡、哈特曼探測器和控制計算機。半導體激光器波長為635 nm，連接到發(fā)散角度為12.7°的光纖，作為點光源。點光源發(fā)出球面波，經(jīng)準直透鏡形成平行光束，通過孔徑光闌改變光束直徑；該有效光束經(jīng)過鏡片后光波相位發(fā)生改變，然后入射到哈特曼探測器上；經(jīng)哈特曼探測器進行波前探測，并在計算機上顯示鏡片的屈光不正程度以及光波相位的三維顯示圖和二維干涉圖。

基于該設計光路，利用Zemax 光學設計軟件，進行具體元件設計及整體光路仿真，如圖4 所示。在未加屈光矯正鏡的情況下，仿真結(jié)果如圖5（a）所示，可以看出波前為平面波。近視鏡對波前相位分布的改變?nèi)鐖D5（b）所示，波前為內(nèi)凹的球面波。遠視鏡對波前相位分布的改變?nèi)鐖D5（c）所示，波前為外凸的球面波。不同波面對應不同的相位顯示狀態(tài)。

圖4 光波相位三維顯示系統(tǒng)仿真示意圖Fig.4 Simulation of the three-dimensional display system of optical phase

圖5 相位三維顯示仿真結(jié)果。（a）原始光路；（b）近視鏡；（c）遠視鏡。Fig.5 Results of the three-dimensional phase display system. （a） Original phase distribution （b） Myopic glasses and（c） Presbyopic glasses.

4 相位三維顯示實驗

4.1 實驗系統(tǒng)

本實驗使用的哈特曼探測器的主要技術參數(shù)如表1 所示。選擇使用近視鏡、遠視鏡和散光鏡作為屈光矯正鏡，改變光波的波前相位。哈特曼探測器微透鏡直徑d=0.4 mm，根據(jù)式（5）可得θmax=0.033 rad。已知微透鏡陣列口徑D=6.8 mm，帶入公式（6）可得δz=227 μm，則hmax=114 μm。最后，根據(jù)式（7）～式（8），在未考慮距離影響的情況下，可以計算出哈特曼探測器的球面鏡測量范圍為0.00～4.90 D。眼鏡與哈特曼探測器的距離為S=10 cm，考慮到距離的影響，根據(jù)式（9）～式（10），經(jīng)過近視鏡后球面波會擴散，近視鏡的測量范圍為0.00～9.61 D。光波經(jīng)過遠視鏡后球面波會收縮，遠視鏡的測量范圍為0.00～3.29 D。實驗中，我們選用-2.00 D 的近視鏡和1.00 D 遠視鏡進行測量。

表1 哈特曼探測器主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of Hartmann detector

根據(jù)式（11）～式（19）和表1 中的數(shù)據(jù)可以計算出哈特曼探測器的柱面鏡測量范圍為0.00～5.40 D，本文選用0.50 D 的散光鏡進行測量。

搭建的實驗光路如圖6 所示。激光經(jīng)光纖形成點光源，通過準直透鏡形成平面波，可調(diào)光闌限制平行光束直徑，去掉外圍雜散程度較高的部分。最后，經(jīng)過屈光矯正鏡，入射到哈特曼探測器。

圖6 屈光鏡測量實驗圖Fig.6 Experimental diagram of measuring lens

為了抑制雜光及灰塵的影響，保證系統(tǒng)密閉性，同時為了在不同地方測量并演示，設計了光波相位實驗系統(tǒng)的外殼，如圖7 所示。為方便被測鏡片的更換，在光波相位實驗系統(tǒng)外殼的中心處設計通光孔和干板夾固定裝置的開孔。光源和圖7 顯示的系統(tǒng)連接顯示器可以實現(xiàn)相位的三維顯示和測量。

圖7 光路及外殼系統(tǒng)圖Fig.7 System diagram for optical path and outer cover

4.2 實驗結(jié)果

準直系統(tǒng)發(fā)出的平行光束受到系統(tǒng)裝調(diào)精度、環(huán)境擾動以及哈特曼探測器對準精度的影響，光束會產(chǎn)生傾斜、離焦和像散等像差。為了消除像差的影響，首先在不放置矯正鏡片時，利用哈特曼探測器測量系統(tǒng)像差，如圖8（a）所示。利用哈特曼探測器的相對測量功能進行系統(tǒng)像差的修正。此時，波前近似為理想的平面波，如圖8（b）所示。在系統(tǒng)光路中放入不同類型的鏡片，利用控制軟件測量波前相位分布并實現(xiàn)三維顯示。

圖8 相對測量前后的二維干涉圖。（a）未修正；（b）已修正。Fig.8 Two dimensional interferogram before and after relative measurement. （a） Uncorrected； （b） Corrected.

首先放入近視鏡片，測量結(jié)果如圖9所示。為了更直觀地顯示光波的相位分布，通過程序?qū)崿F(xiàn)二維干涉條紋圖和三維立體顯示圖，展現(xiàn)光波的波前相位?？梢钥闯觯每刂栖浖梢孕蜗笾庇^地顯示光的相位分布，且可以通過控制鼠標實現(xiàn)不同角度的光波相位展示。平面波經(jīng)過近視鏡后被發(fā)散成球面波，因此立體顯示的波前相位分布呈凹陷的半球形。

圖9 近視鏡測量結(jié)果。（a）二維干涉圖；（b）視角1；（c）視角2；（d）視角3。Fig.9 Myopic lens measurement results.（a） Two-dimensional pattern； （b） Perspective 1； （c） Perspective 2； （d） Perspective 3.

其次，放入遠視鏡片，測量結(jié)果如圖10 所示。平面波經(jīng)過遠視鏡后被會聚，因此立體顯示的波前相位分布呈突起的半球形。

圖10 遠視鏡測量結(jié)果。（a）二維干涉條紋圖；（b）三維顯示圖。Fig.10 Results of hyperscopic measurements. （a） Twodimensional diagram； （b） Three-dimensional pattern.

最后，放入散光鏡片，測量結(jié)果如圖11 所示。平面波經(jīng)過散光鏡后像散量發(fā)生改變，立體顯示的波前相位分布呈馬鞍形。

圖11 散光鏡測量結(jié)果。（a）二維干涉條紋圖；（b）三維顯示圖。Fig.11 Results of the astigmatic measurements. （a） Twodimensional diagram； （b） Three-dimensional pattern.

根據(jù)球面鏡和柱面鏡的屈光不正測量方法對不同屈光鏡進行測量，測量結(jié)果如圖12 所示?？梢钥闯?，測量結(jié)果和鏡片本身的度數(shù)基本一致，說明本文的測量方法有效。測量度數(shù)的誤差是由于哈特曼探測器和屈光矯正鏡的距離S不精確引起的，進行更為精確的測量可以減小誤差。

圖12 屈光矯正鏡測量結(jié)果Fig.12 Dioptric measurements

5 結(jié)論

本文基于哈特曼探測器的波前探測功能，實現(xiàn)了光波相位的三維立體顯示。首先，分析哈特曼探測器的相位測量能力，并通過求解Zernike多項式系數(shù)的方式設計屈光不正計算方法。然后，選取合適的光源，進行實驗系統(tǒng)的整體設計，并使用Zemax 軟件進行測量系統(tǒng)性能仿真。根據(jù)使用的哈特曼探測器參數(shù)，獲得此系統(tǒng)球面波測量范圍為0.00～4.90 D，柱面波測量范圍為0.00～5.40 D。通過程序控制進行系統(tǒng)像差的扣除，實現(xiàn)相對測量，進一步提高哈特曼探測器對環(huán)境的適應能力。通過對已知屈光度的3 種矯正鏡：近視鏡、遠視鏡和散光鏡進行測量，顯示出不同的二維圖和三維圖，同時測量出屈光不正度。此方法能快速測量并顯示三維光波相位，方便研究者直觀觀測光波相位分布。基于哈特曼探測器設計的相位三維實驗系統(tǒng)，拓寬了哈特曼探測器的應用范圍，具有更好的環(huán)境適應能力。