樂 健，郎紅科，廖小兵，王 靖，毛 濤

（1.武漢大學(xué)電氣與自動(dòng)化學(xué)院，湖北省武漢市 430072；2.武漢工程大學(xué)電氣信息學(xué)院，湖北省武漢市 430205；3.武漢億磁源電力科技有限公司，湖北省武漢市 430223）

0 引言

中國(guó)為了實(shí)現(xiàn)“碳達(dá)峰·碳中和”這一國(guó)家重要戰(zhàn)略目標(biāo)，能源形態(tài)將從高碳排放的化石能源向低碳或無(wú)碳排放的新能源轉(zhuǎn)變［1］。但是，隨著新能源大規(guī)模發(fā)展和高比例接入，其波動(dòng)性和隨機(jī)性使得電網(wǎng)運(yùn)行面臨著隨機(jī)擾動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)［2］。傳統(tǒng)配電網(wǎng)將逐步向供需互動(dòng)的有源配電網(wǎng)升級(jí)，使得配電網(wǎng)的運(yùn)行方式更加多樣化［3］。如何有效克服新能源的不確定性、保證配電網(wǎng)安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行成為目前亟須解決的難題。

為了處理分布式光伏出力的不確定性問題，配電網(wǎng)不確定性優(yōu)化方法主要分為隨機(jī)優(yōu)化方法［4-6］和魯棒優(yōu)化方法。其中，基于場(chǎng)景法的隨機(jī)優(yōu)化方法雖然建模較為簡(jiǎn)單，但其生成的離散場(chǎng)景往往規(guī)模巨大且求解時(shí)間較長(zhǎng)，導(dǎo)致求解效率低下?；跈C(jī)會(huì)約束法的隨機(jī)優(yōu)化方法允許決策變量不滿足約束條件，但其決策變量滿足約束條件的概率需不低于事先設(shè)定的置信水平，且其必須假定隨機(jī)變量服從某種概率分布，但在實(shí)際應(yīng)用中通常存在缺乏歷史數(shù)據(jù)和風(fēng)電、光伏之間出力相關(guān)性不明確等問題，從而使得這種假定不一定成立或者與實(shí)際概率分布之間存在較大偏差。魯棒優(yōu)化方法通常采用不確定集合來(lái)描述分布式光伏的不確定性，因其無(wú)須獲取分布式光伏出力的概率分布，且避免了大量場(chǎng)景導(dǎo)致的維數(shù)災(zāi)問題而受到越來(lái)越多的關(guān)注。

不同的不確定集合對(duì)魯棒優(yōu)化結(jié)果的影響顯著。當(dāng)不確定集合越精細(xì)時(shí)，模型復(fù)雜度越高、求解越困難；當(dāng)不確定集合越寬泛時(shí)，所求出的最優(yōu)解越保守、越不經(jīng)濟(jì)［7］。文獻(xiàn)［8］采用區(qū)間不確定集合描述光伏、風(fēng)電和負(fù)荷的不確定性，構(gòu)建了考慮分布式電源輔助服務(wù)的兩階段混合整數(shù)二階錐魯棒優(yōu)化模型，在列與約束生成的基礎(chǔ)上提出一種新的兩階段直接交替迭代求解方法。文獻(xiàn)［9］采用基于魯棒成本的可調(diào)節(jié)魯棒優(yōu)化方法處理新能源出力不確定性，構(gòu)建了主動(dòng)配電網(wǎng)魯棒優(yōu)化經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型。文獻(xiàn)［10］以綜合配置成本最小為目標(biāo)函數(shù)，考慮風(fēng)電和光伏出力的區(qū)間分布，提出一種基于魯棒優(yōu)化理論的主動(dòng)配電網(wǎng)優(yōu)化配置模型。文獻(xiàn)［11］提出了考慮需求側(cè)響應(yīng)的配電網(wǎng)魯棒優(yōu)化模型，采用凸優(yōu)化方法對(duì)模型中的不確定性問題進(jìn)行求解。文獻(xiàn)［8-11］均采用區(qū)間不確定集合來(lái)描述有源配電網(wǎng)中的不確定性變量，對(duì)于一些模型可能會(huì)出現(xiàn)所有不確定性變量都在區(qū)間集合上下界進(jìn)行優(yōu)化的情況，但現(xiàn)實(shí)中該情況發(fā)生的概率極低甚至不會(huì)發(fā)生，故很容易出現(xiàn)求解過(guò)度保守的問題。

多面體集合可以通過(guò)控制不確定度來(lái)確定不確定集合的包絡(luò)范圍，從而控制優(yōu)化結(jié)果的保守性［12］。文獻(xiàn)［13］基于風(fēng)機(jī)、光伏出力與負(fù)荷的多面體不確定集合，提出了交直流混合配電網(wǎng)重構(gòu)與無(wú)功優(yōu)化協(xié)同的兩階段魯棒優(yōu)化模型。文獻(xiàn)［14］采用時(shí)間、空間及功率區(qū)間三維多面體不確定集合描述電動(dòng)汽車功率需求及可再生能源出力的不確定性，提出了電動(dòng)汽車并網(wǎng)的分布式魯棒優(yōu)化模型。文獻(xiàn)［15］采用多面體不確定集合描述風(fēng)電和光伏出力的不確定性，通過(guò)設(shè)置不確定度來(lái)協(xié)調(diào)決策的魯棒性和最優(yōu)性，提出了計(jì)及分布式風(fēng)力發(fā)電和光伏發(fā)電不確定性的三相配電網(wǎng)可調(diào)魯棒無(wú)功優(yōu)化模型。文獻(xiàn)［13-15］采用多面體不確定集合來(lái)描述配電網(wǎng)中的不確定性變量，與區(qū)間集合相比可以減小優(yōu)化結(jié)果的保守性，但這兩種不確定集合都未考慮不確定性變量之間的相關(guān)性，導(dǎo)致決策的保守性還有待改進(jìn)。

進(jìn)一步，為在配電網(wǎng)優(yōu)化調(diào)度中考慮不確定性變量之間的相關(guān)性，文獻(xiàn)［16］采用橢球不確定集合描述風(fēng)電功率的時(shí)空相關(guān)特性，將所建立的不確定性模型轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)二階錐規(guī)劃模型進(jìn)行求解。文獻(xiàn)［17］構(gòu)建了源荷儲(chǔ)協(xié)同運(yùn)行優(yōu)化模型，并采用橢球不確定集合描述分布式光伏出力的不確定性，提出了基于仿射可調(diào)魯棒優(yōu)化的主動(dòng)配電網(wǎng)運(yùn)行策略。雖然橢球不確定集合能夠較好地考慮不確定參數(shù)之間的相關(guān)性，但其具有非線性結(jié)構(gòu)，會(huì)增加問題求解的復(fù)雜度。為此，文獻(xiàn)［18］采用橢圓不確定集合得到風(fēng)電時(shí)間相關(guān)性軸線和中心點(diǎn)，形成風(fēng)電時(shí)間相關(guān)性多面體不確定集合，提出了一種新的魯棒機(jī)組組合模型。文獻(xiàn)［19］提出一種基于廣義凸包不確定集合的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)魯棒機(jī)組組合方法，廣義凸包既能表示風(fēng)電出力的相關(guān)性，又是線性形式，不會(huì)增加求解復(fù)雜度。但是，文獻(xiàn)［18-19］的相關(guān)性不確定集合都是在橢球不確定集合基礎(chǔ)上進(jìn)行的改進(jìn)，通過(guò)橢球頂點(diǎn)或者軸線連接形成新的集合：一方面，可能會(huì)導(dǎo)致不確定集合的包絡(luò)范圍減小，從而不足以包含所有的波動(dòng)；另一方面，可能會(huì)導(dǎo)致不確定集合的包絡(luò)范圍增大，從而使決策的保守性增大。

基于上述研究，本文提出了基于廣義線性多面體集合的有源配電網(wǎng)仿射可調(diào)魯棒優(yōu)化方法。與以往研究中采用橢圓不確定集合表示不確定參數(shù)相關(guān)性不同，首先，本文采用多面體不確定集合描述分布式光伏出力不確定性，其具有線性結(jié)構(gòu)且易于控制不確定度，在實(shí)際工程問題中備受關(guān)注。然后，在傳統(tǒng)多面體集合的基礎(chǔ)上，通過(guò)分布式光伏出力的相關(guān)性分布包絡(luò)圖重構(gòu)了多面體不確定集合的邊界，進(jìn)一步針對(duì)相關(guān)性多面體不確定集合存在的保守性偏大問題，建立了廣義線性多面體不確定集合來(lái)描述分布式光伏出力相關(guān)性。最后，通過(guò)兩個(gè)算例系統(tǒng)驗(yàn)證了本文所提出的廣義線性多面體集合的有效性。

1 分布式光伏出力相關(guān)性多面體模型

1.1 光伏出力相關(guān)性多面體集合

采用多面體集合來(lái)描述分布式光伏出力的不確定性，如式（1）所示。

式中：ΩPolyhedral為分布式光伏出力的多面體集合；ZPolyhedral為分布式光伏出力的不確定因子集合；、P和分 別 為t時(shí) 刻 節(jié) 點(diǎn)j上 所 連 接 的 分 布 式 光伏的有功出力、出力期望值和出力波動(dòng)最大值；zj，t為t時(shí)刻節(jié)點(diǎn)j上所連接的分布式光伏出力的不確定因子；Γ為多面體集合不確定度。

為分析方便，令ρ為分布式光伏出力之間的相關(guān)性系數(shù)，取兩個(gè)不確定參數(shù)z1和z2來(lái)確定一個(gè)多面體不確定集合，如圖1 所示。本節(jié)假設(shè)分布式光伏出力的相關(guān)性矩陣可以利用分布式光伏出力的歷史數(shù)據(jù)得出。分別以不同的ρ對(duì)z1和z2進(jìn)行隨機(jī)采樣，得 到z1和z1的 相 關(guān) 性 分 布 包 絡(luò) 圖［20］如 圖2所示。

圖1 不確定度對(duì)多面體不確定集合的影響Fig.1 Effect of uncertainty on polyhedral uncertainty set

圖2 不確定參數(shù)相關(guān)性分布包絡(luò)圖Fig.2 Correlation distribution envelope of uncertainty parameters

由圖2 可以看出，當(dāng)分布式光伏出力之間沒有相關(guān)性時(shí)，由于|zj，t|≤1，分布式光伏出力的不確定參數(shù)分布形成了一個(gè)邊長(zhǎng)為1 的正方形區(qū)域。當(dāng)相關(guān)性正向增加或負(fù)向減少時(shí)，不確定參數(shù)分別集中在直線y=x或直線y=-x周圍。

由于分布式光伏出力之間存在相關(guān)性，分布式光伏出力波動(dòng)采樣點(diǎn)聚集在不確定參數(shù)的相關(guān)性分布包絡(luò)圖的對(duì)角線周圍。因此，可以通過(guò)彎曲多面體的邊界，使對(duì)角線周圍區(qū)域覆蓋的分布式光伏出力波動(dòng)采樣點(diǎn)比遠(yuǎn)離對(duì)角線區(qū)域覆蓋得更多。這種重新構(gòu)造的多面體不確定集合可以讓分布式光伏出力的不確定參數(shù)更多地集中在對(duì)角線周圍，而無(wú)須增加不確定度Γ去覆蓋分布式光伏出力波動(dòng)發(fā)生概率小的空白區(qū)域，具體如圖3 所示。當(dāng)分布式光伏出力的相關(guān)性系數(shù)越大時(shí)，多面體不確定集合的邊界應(yīng)該彎曲得更多。因此，重新構(gòu)建的多面體不確定集合的形狀取決于分布式光伏出力之間的相關(guān)性強(qiáng)弱，即相關(guān)性多面體不確定集合。

圖3 相關(guān)性多面體不確定集合與多面體不確定集合Fig.3 Correlation polyhedral uncertainty set and polyhedral uncertainty set

光伏出力相關(guān)性多面體集合的數(shù)學(xué)表達(dá)式如式（2）所示，具體推導(dǎo)過(guò)程在附錄A 中給出。

式 中：ρjk，t為 不 確 定 參 數(shù)zj，t和zk，t之 間 的 相 關(guān) 性 系數(shù)，ρjk，t∈[-1，1]；n為分布式光伏的個(gè)數(shù)。

1.2 光伏出力相關(guān)性的廣義線性多面體集合

雖然1.1 節(jié)提出的分布式光伏出力的相關(guān)性多面體不確定集合考慮了分布式光伏出力之間的相關(guān)性，但其包絡(luò)的范圍存在一定的缺陷。以直角坐標(biāo)系的第一象限為例，具體如圖4 所示。一方面，相關(guān)性多面體不確定集合只包絡(luò)了不確定參數(shù)的相關(guān)性分布包絡(luò)圖的對(duì)角線周圍的一部分區(qū)域，沒有包絡(luò)分布式光伏出力波動(dòng)發(fā)生概率高的部分［21］，如圖4中綠色區(qū)域所示，這種情況會(huì)降低優(yōu)化結(jié)果的魯棒性；另一方面，其包絡(luò)分布式光伏出力波動(dòng)發(fā)生概率低的部分的比例仍然偏高，如圖4 中相關(guān)性多面體不確定集合邊界內(nèi)的空白區(qū)域所示，這種情況會(huì)增大優(yōu)化結(jié)果的保守性。

圖4 相關(guān)性多面體不確定集合的包絡(luò)范圍Fig.4 Envelope range of correlation polyhedral uncertainty set

為進(jìn)一步解決上述相關(guān)性多面體不確定集合的魯棒性差和保守性大的問題，本節(jié)將對(duì)上述相關(guān)性多面體不確定集合進(jìn)行改進(jìn)，使其包絡(luò)的空白區(qū)域的比例減少，包絡(luò)對(duì)角線周圍區(qū)域的比例增多，具體方法如附錄B 圖B1 所示。令不確定參數(shù)z1和z2形成的相關(guān)性分布包絡(luò)圖與直線y=1 相交的點(diǎn)中橫坐標(biāo)最小的點(diǎn)為H1(xH，1)；同理，相關(guān)性分布包絡(luò)圖與直線x=1 相交的點(diǎn)中縱坐標(biāo)最小的點(diǎn)為H2(1，yH)。令相關(guān)性分布包絡(luò)圖與y軸相交的點(diǎn)中縱坐標(biāo)最大的點(diǎn)為D1(0，yD)；同理，相關(guān)性分布包絡(luò)圖與x軸相交的點(diǎn)中橫坐標(biāo)最大的點(diǎn)為D2(xD，0)。當(dāng) 點(diǎn)R1在 點(diǎn)D1和 點(diǎn)P1(0，Γ)之 間 波動(dòng)，點(diǎn)R2在點(diǎn)D2和點(diǎn)P3(Γ，0)之間波動(dòng)時(shí)，由點(diǎn)R1、R2、H1和H2構(gòu)成的集合即為廣義線性多面體集合。

從附錄B 圖B1 可以看出，廣義線性多面體集合包絡(luò)了不確定參數(shù)z1和z2形成的相關(guān)性分布圖的所有區(qū)域，增大了優(yōu)化結(jié)果的魯棒性。當(dāng)點(diǎn)R1越趨近于點(diǎn)D1、點(diǎn)R2越趨近于點(diǎn)D2時(shí)，改進(jìn)的相關(guān)性多面體不確定集合所包絡(luò)的空白區(qū)域越少，降低了優(yōu)化結(jié)果的保守性。

在相關(guān)性系數(shù)確定的情況下，可以通過(guò)調(diào)整點(diǎn)R1和點(diǎn)R2的位置來(lái)控制線段Lc1和線段Lc2的包絡(luò)范圍，從而控制優(yōu)化結(jié)果的保守性，如附錄B 圖B2所示。

光伏出力廣義相關(guān)性多面體集合數(shù)學(xué)表達(dá)式如式（3）所示，具體推導(dǎo)過(guò)程在附錄C 中給出。

式中：βc為控制線段和線段位置的參數(shù)，βc∈[0，1]。

2 有源配電網(wǎng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型

2.1 有源配電網(wǎng)綜合成本目標(biāo)函數(shù)

本文考慮網(wǎng)損成本、購(gòu)電成本、棄光懲罰成本以及電池儲(chǔ)能系統(tǒng)（battery energy storage system，BESS）循環(huán)壽命日折損成本來(lái)構(gòu)造主動(dòng)配電網(wǎng)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)F，如式（4）所示。

式中：closs、c和cPV分別為網(wǎng)損成本系數(shù)、主網(wǎng)購(gòu)電成本系數(shù)和棄光懲罰成本系數(shù)；rij為支路ij的電阻；Iij，t為t時(shí) 刻 支 路ij的 電 流；P為 節(jié) 點(diǎn)j處 關(guān) 口 在t時(shí)刻向主網(wǎng)的購(gòu)電有功功率；CESS為BESS 循環(huán)壽命日折損成本；ΩL為線路集合；ΩTR為配電變壓器關(guān)口節(jié) 點(diǎn) 集 合；T為 調(diào) 度 運(yùn) 行 時(shí) 段 數(shù)；為t時(shí) 刻 節(jié) 點(diǎn)j上所連接的分布式光伏的預(yù)測(cè)功率值；ΩPV為分布式光伏接入節(jié)點(diǎn)集合。

2.2 有源配電網(wǎng)運(yùn)行約束

1）二階錐松弛潮流約束：

式中：u(j)為配電網(wǎng)中以j為末端節(jié)點(diǎn)的支路的首端節(jié)點(diǎn)集合；v(j)為配電網(wǎng)中以j為首端節(jié)點(diǎn)的支路 的末 端 節(jié) 點(diǎn) 集合；Vi，t=U，Ui，t為節(jié) 點(diǎn)i在t時(shí) 刻的 電 壓 幅 值；Pij，t和Qij，t分 別 為 支 路ij在t時(shí) 刻 的 有功 和 無(wú) 功 功 率；lij，t=I；Pj，t和Qj，t分 別 為 節(jié) 點(diǎn)j注入 的 有 功 和 無(wú) 功 功 率；P和P分 別 為 節(jié) 點(diǎn)j處BESS 在t時(shí)刻的充電、放電功率；P、Q分別為節(jié)點(diǎn)j處負(fù)荷在t時(shí)刻的有功和無(wú)功功率需求；Q為t時(shí)刻節(jié)點(diǎn)j處關(guān)口向主網(wǎng)注入的無(wú)功功率；Q為t時(shí)刻節(jié)點(diǎn)j上所連接的分布式光伏的無(wú)功功率；Q和Q分別為t時(shí)刻節(jié)點(diǎn)j上所連接的靜止無(wú)功補(bǔ)償器（SVC）連續(xù)補(bǔ)償功率、分組投切電容器組（CB）的離散補(bǔ)償功率；xij為支路ij的電抗。

2）節(jié)點(diǎn)電壓和支路電流約束：

式 中：Uj，max和Uj，min分 別 為 節(jié) 點(diǎn)j的 電 壓 幅 值 上、下限；Iij，max為 支 路ij電 流 幅 值 上 限。

3）分布式光伏運(yùn)行約束：

式中：S為節(jié)點(diǎn)j上所連接的分布式光伏逆變器的視在功率；θj為節(jié)點(diǎn)j上所連接的分布式光伏逆變器的功率因數(shù)角。

4）考慮循環(huán)壽命折損的BESS 運(yùn)行約束

（1）BESS 循環(huán)壽命日折損成本

BESS 循環(huán)壽命日折損成本CESS主要是指一天內(nèi)的充放電過(guò)程對(duì)循環(huán)壽命的折損所造成的損耗成本，這里BESS 全壽命周期成本按365 d 折算到每日。BESS 的全壽命周期成本主要由BESS 及其輔助設(shè)備的投資成本構(gòu)成，由BESS 的額定容量和額定功率決定，即

式（12）為冪函數(shù)，本文根據(jù)文獻(xiàn)［17］對(duì)BESS循環(huán)壽命日折損成本CESS進(jìn)一步線性化得到：

式中：N為電池在一天中基于不同放電深度的等效循環(huán)次數(shù)；、和、分別為各次項(xiàng)線性擬合系數(shù)。

（2）BESS 運(yùn)行約束

BESS 在運(yùn)行過(guò)程中還受到充放電速率約束、能量平衡約束和充放電過(guò)程約束等，分別可表示為：

式中：S為節(jié)點(diǎn)j處BESS 在t時(shí)刻的荷電狀態(tài)；ηch，j和ηdis，j分別為節(jié)點(diǎn)j處BESS 的充電、放電 效率；Δt為調(diào)度時(shí)間間隔；和分別為節(jié)點(diǎn)j處BESS的荷電狀態(tài)上、下限。

5）CB 運(yùn)行約束

CB 是一個(gè)離散的無(wú)功補(bǔ)償?shù)臋C(jī)械設(shè)備，需要限制其頻繁動(dòng)作次數(shù)，以延長(zhǎng)使用壽命。具體約束為：

式 中：N為 節(jié) 點(diǎn)j上 所 連 接 的CB 在t時(shí) 刻 投 運(yùn) 組數(shù)，是一個(gè)整數(shù)變量；Q，step為節(jié)點(diǎn)j上所連接的CB在t時(shí)刻每一組的補(bǔ)償功率；B為一天T個(gè)周期內(nèi)CB 的動(dòng)作次數(shù)限制；N為節(jié)點(diǎn)j上所連接的CB 在t時(shí)刻投運(yùn)的最大組數(shù)。

6）SVC 運(yùn)行約束

進(jìn)一步，考慮連續(xù)調(diào)節(jié)的無(wú)功補(bǔ)償裝置SVC，其運(yùn)行約束為：

b.Shefelt a flood of relief.（Halliday&Matthiessen 1999：232）

式 中：Q和Q分別為節(jié)點(diǎn)j上 所連接的SVC 可調(diào)無(wú)功功率的下限和上限值。

7）配電網(wǎng)關(guān)口功率約束

為抑制配電網(wǎng)功率波動(dòng)對(duì)主網(wǎng)造成的影響，需要將配電網(wǎng)關(guān)口功率控制在某一范圍內(nèi)，即

式 中：Pj，max和Pj，min分 別 為 配 電 網(wǎng) 節(jié) 點(diǎn)j處 關(guān) 口 有 功功 率 的 上、下 限；Qj，max和Qj，min分 別 為 配 電 網(wǎng) 節(jié) 點(diǎn)j處關(guān)口無(wú)功功率的上、下限。

8）有載調(diào)壓變壓器（OLTC）運(yùn)行約束

在節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間添加了一個(gè)OLTC，增設(shè)一個(gè)輔助節(jié)點(diǎn)o，OLTC 運(yùn)行有如下約束：

式 中：Vo，t為 輔 助 節(jié) 點(diǎn)o在t時(shí) 刻 的 電 壓 幅 值 平 方；Nij，t為支路ij變壓器在t時(shí)刻的優(yōu)化擋位，是一個(gè)整數(shù)變量；Δkij為支路ij變壓器分接頭每一擋的增量；kij，t為 支 路ij變 壓 器 在t時(shí) 刻 的 變 比；Kij為 支 路ij變壓 器 分 接 頭 的 擋 位 數(shù)；kij，max和kij，min分 別 為 支 路ij變壓器變比的上、下限。

3 有源配電網(wǎng)的仿射可調(diào)魯棒調(diào)度方法

3.1 有源配電網(wǎng)的仿射可調(diào)魯棒調(diào)度模型

傳統(tǒng)的有源配電網(wǎng)可調(diào)魯棒優(yōu)化模型中，根據(jù)決策變量的可調(diào)決策變量和不可調(diào)決策變量進(jìn)行劃分：不可調(diào)決策變量無(wú)論不確定性變量如何變化，都無(wú)法隨之改變，故不可調(diào)決策變量是在不確定性變量實(shí)現(xiàn)前就已經(jīng)確定；而可調(diào)決策變量依據(jù)不確定性變量的集合并隨著不確定性變量進(jìn)行調(diào)整。因此，從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，傳統(tǒng)的有源配電網(wǎng)可調(diào)魯棒優(yōu)化模型是一個(gè)兩階段優(yōu)化模型，需要迭代求解。

為此，本文提出了有源配電網(wǎng)仿射可調(diào)魯棒優(yōu)化（affinely adjustable robust optimization，AARO）［22-23］模型。AARO 模型采用線性仿射機(jī)制建立可調(diào)決策變量與不確定性變量之間的關(guān)系，這樣可調(diào)決策變量根據(jù)線性仿射規(guī)則在可調(diào)范圍內(nèi)進(jìn)行調(diào)整，而不再是在整個(gè)可調(diào)范圍內(nèi)進(jìn)行無(wú)規(guī)則的決策。因此，本文的AARO 運(yùn)行模型建立了配電網(wǎng)中的可調(diào)決策變量y與分布式光伏有功出力不確定性變量zj，t之間的線性仿射關(guān)系，以減小尋優(yōu)盲目性，如式（28）所示。

式中：y為可調(diào)決策變量在初始時(shí)刻的值；ζj，t為仿射比例系數(shù)。

配電網(wǎng)AARO 運(yùn)行模型相當(dāng)于在傳統(tǒng)的配電網(wǎng)可調(diào)魯棒優(yōu)化模型的基礎(chǔ)上，增加了仿射線性決策機(jī)制，即對(duì)不確定集合中的任意不確定性變量，上述約束都成立，這簡(jiǎn)化了模型結(jié)構(gòu)。

下文中，小寫粗體字母表示列向量，大寫粗體字母表示矩陣。依據(jù)第2 章建立的配電網(wǎng)優(yōu)化模型和式（28）的線性仿射策略，得到配電網(wǎng)AARO 運(yùn)行模型的向量形式如式（29）所示。

式中：x為不可調(diào)整的決策變量，是在不確定性變量獲 取 之 前 的 一 次 決 策 變 量，Qij，t，lij，t，Vi，t]；yc為 可 調(diào) 整 的 決 策 變 量，是 在 不 確 定性變量獲取之后實(shí)時(shí)性改變的決策變量，yc=c1和c2分 別 為目標(biāo)函數(shù)式（4）對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣；R、Ac、Bc、Dc、G、Cc、g分別為對(duì)應(yīng)約束下變量的系數(shù)矩陣；r、hc、wc為 常 數(shù) 列 向 量；z為 由zj，t組 成 的 向 量。

式（29）中約束條件的第1 行約束條件表示僅與x有關(guān)的約束條件，包括BESS 運(yùn)行約束、二階錐潮流模型中的支路功率平衡約束和電壓降落約束、節(jié)點(diǎn)電壓和支路電流約束、OLTC 運(yùn)行約束；式（29）中約束條件的第2 行約束條件表示二階錐潮流模型中的二階錐松弛約束；式（29）中約束條件的第3 行約束條件表示x與y有關(guān)的耦合約束條件，二階錐潮流模型中的節(jié)點(diǎn)注入功率平衡約束；式（29）中約束條件的第4 行約束條件表示僅與y有關(guān)的約束條件，包括SVC 運(yùn)行約束、關(guān)口功率約束和BESS 運(yùn)行約束。

3.2 求解方法

式（29）中約束條件的第3 行約束條件包含不確定性變量z。對(duì)于zj，t∈ZPolyhedral，該不等式約束是魯棒的，當(dāng)且僅當(dāng)其魯棒對(duì)等約束成立［24-25］，即

當(dāng)ZPolyhedral為多面體不確定集合時(shí)，式（30）中的最大化問題可以等價(jià)為：

采用對(duì)偶理論，可得到式（31）的魯棒對(duì)等問題為：

由式（33）可知，通過(guò)魯棒對(duì)等將式（30）中含不確定性變量的max 項(xiàng)約束條件轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的確定性min 項(xiàng)約束，可以與目標(biāo)函數(shù)的min 項(xiàng)整合為統(tǒng)一形式。因此，基于多面體不確定集合的主動(dòng)配電網(wǎng)AARO 模型就轉(zhuǎn)化成確定性的混合整數(shù)二階錐規(guī)劃模型，可以直接調(diào)用商業(yè)求解器Gurobi 求解。

當(dāng)ZPolyhedral為相關(guān)性多面體不確定集合和廣義線性多面體集合時(shí)，同樣可以通過(guò)魯棒對(duì)等將不確定性約束轉(zhuǎn)化為確定性約束。此處，以相關(guān)性多面體不確定集合為例進(jìn)行說(shuō)明，則式（30）中的最大化問題可以等價(jià)寫成：

采用對(duì)偶理論，可得到式（34）的魯棒對(duì)等問題為：

同理，通過(guò)魯棒對(duì)等將式（30）中含不確定性變量的max 項(xiàng)約束條件轉(zhuǎn)換為式（35）所示的確定性min 項(xiàng)約束，可以與目標(biāo)函數(shù)的min 項(xiàng)整合為統(tǒng)一形式。

具體AARO 方法求解流程如圖5 所示。

圖5 AARO 方法求解流程圖Fig.5 Solving flow chart of AARO method

4 算例分析

4.1 算例系統(tǒng)設(shè)置

為驗(yàn)證本文所采用的AARO 方法的有效性，本節(jié)通過(guò)改進(jìn)的IEEE 33 節(jié)點(diǎn)和PG&E 69 節(jié)點(diǎn)兩個(gè)測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行算例分析。改進(jìn)的IEEE 33 節(jié)點(diǎn)和PG&E 69 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)接線分別如附錄B 圖B3 和圖B4所示。附錄B 表B1—表B5 給出了接入兩個(gè)系統(tǒng)的PV、BESS、CB、OLTC 的參數(shù)設(shè)置。系統(tǒng)基準(zhǔn)電壓為12.66 kV，基準(zhǔn)容量為10 MV·A。IEEE 33 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的關(guān)口有功功率取值為0～5 000 kW，無(wú)功功率取值為0～2 500 kvar；PG&E 69 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的關(guān)口有功功率取值為0～7 000 kW，無(wú)功功率取值為0～5 000 kvar；IEEE 33 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的支路電流幅值上限為0.4 p.u.；PG&E 69 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的支路電流幅值上限為0.8 p.u.；節(jié)點(diǎn)電壓幅值取值均為0.95～1.05 p.u.。

1）不確定度Γ對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響

不確定度是用來(lái)限制多面體不確定集合中分布式光伏出力擾動(dòng)范圍的大小。從表1 可以看出，隨著多面體不確定度Γ的增大，BESS 循環(huán)壽命日折損成本不變、網(wǎng)損成本逐漸增大、購(gòu)電成本略微增大、棄光懲罰成本逐漸減小。這是因?yàn)槎嗝骟w不確定度Γ的增大會(huì)導(dǎo)致光伏出力的波動(dòng)范圍增大，而過(guò)大的光伏出力導(dǎo)致配電網(wǎng)無(wú)法就地消納。此時(shí)，需要將過(guò)剩的光伏功率輸送到遠(yuǎn)離光伏電站的負(fù)荷節(jié)點(diǎn)消納，導(dǎo)致支路電流增大，而為了功率達(dá)到平衡，關(guān)口功率需要略微增發(fā)，故網(wǎng)損成本增加、購(gòu)電成本略微增大。隨著不確定度Γ增大，調(diào)度方案保守性更強(qiáng)。因此，調(diào)度計(jì)劃能更好地應(yīng)對(duì)光伏波動(dòng)，從而使得棄光量減小、棄光懲罰成本減小。而BESS 因其容量、充放電速率等約束難以響應(yīng)分布式光伏的大范圍波動(dòng)，BESS 循環(huán)壽命日折損成本沒有受到影響。

表1 不確定度Γ 對(duì)各項(xiàng)成本的影響Table 1 Impact of uncertainty Γ on various costs

2）相關(guān)性系數(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響

相關(guān)性系數(shù)的大小會(huì)影響分布式光伏出力的相關(guān)性多面體不確定集合的邊界的彎曲程度，從而影響相關(guān)性多面體不確定集合的包絡(luò)范圍，導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果也會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)變化。如附錄B 圖B5 所示，當(dāng)分布式光伏出力之間的相關(guān)性系數(shù)ρ分別為0.1 和0.4時(shí)，由于分布式光伏出力之間的相關(guān)性較弱，相關(guān)性多面體不確定集合的邊界的彎曲程度較小，分布式光伏出力波動(dòng)范圍在多面體不確定集合和相關(guān)性多面體不確定集合下幾乎沒有變化，導(dǎo)致各項(xiàng)成本也幾乎一致。當(dāng)分布式光伏出力之間的相關(guān)性系數(shù)逐漸增大時(shí)，相關(guān)性多面體不確定集合的邊界的彎曲程度逐漸增大，當(dāng)ρ為0.9 時(shí)，相關(guān)性多面體不確定集合包絡(luò)分布式光伏出力具有相關(guān)性的部分也較多。因此，分布式光伏出力增大，使得棄光電量減小、支路電流增大，導(dǎo)致棄光懲罰成本減小、網(wǎng)損成本增加。另一方面，由于分布式光伏出力相關(guān)性程度增大，相關(guān)性多面體不確定集合包絡(luò)分布式光伏出力波動(dòng)發(fā)生概率小的空白區(qū)域也增多，導(dǎo)致系統(tǒng)總成本增大，優(yōu)化結(jié)果的保守性也相應(yīng)增大。

表2 給出了3 種多面體不確定集合下的各項(xiàng)成本，取不確定度Γ=0.5，相關(guān)性系數(shù)ρ=0.9。可以看出，3 種多面體不確定集合中采用廣義線性多面體集合的棄光成本和系統(tǒng)總成本最小，BESS 循環(huán)壽命日折損成本和購(gòu)電成本不變。因?yàn)閺V義線性多面體集合包含了分布式光伏出力相關(guān)性分布圖的全部范圍，考慮了分布式光伏出力波動(dòng)最大的情況，同時(shí)減小了分布式光伏出力波動(dòng)發(fā)生概率小的空白區(qū)域。分布式光伏出力雖然增大，但絕大部分的光伏出力就地消納，只有小部分的光伏出力被輸送到其他負(fù)荷節(jié)點(diǎn)，此時(shí)，分布式光伏出力可滿足配電網(wǎng)功率平衡。因此，棄光成本變小，BESS 循環(huán)壽命日折損成本和購(gòu)電成本不變，系統(tǒng)總成本也隨之變小。當(dāng)βc增大時(shí)，分布式光伏出力波動(dòng)發(fā)生概率低的空白區(qū)域增大，廣義線性多面體集合的包絡(luò)范圍也隨之增大，導(dǎo)致分布式光伏出力進(jìn)一步增大，但此時(shí)絕大部分的光伏出力無(wú)法就地消納，需要輸送到其他負(fù)荷節(jié)點(diǎn)，導(dǎo)致在棄光成本減小的同時(shí)網(wǎng)損成本增大，系統(tǒng)總成本基本不變?；谝陨戏治觯瑥V義線性多面體集合包絡(luò)了分布式光伏出力不確定參數(shù)形成的相關(guān)性分布圖的所有區(qū)域，考慮了分布式光伏出力波動(dòng)最大的情況，增大了優(yōu)化結(jié)果的魯棒性，且其包絡(luò)分布式光伏出力波動(dòng)發(fā)生概率較小的空白區(qū)域更少，降低了優(yōu)化結(jié)果的保守性。

表2 3 種多面體集合對(duì)各項(xiàng)成本的影響Table 2 Impact of three polyhedral sets on various costs

為對(duì)比橢球不確定集合AARO 方法與廣義線性多面體集合AARO 方法的優(yōu)劣，附錄B 表B6 對(duì)比了4 種不確定集合AARO 的各項(xiàng)成本。從表中可以看出，橢球不確定集合AARO 的各項(xiàng)成本最低，表明了橢球集合AARO 方法的保守性最小，但橢球不確定集合具有非線性結(jié)構(gòu)，進(jìn)行魯棒對(duì)等時(shí)只能將含不確定參數(shù)的約束對(duì)偶為二階錐約束，增加了問題求解的復(fù)雜度，求解時(shí)間也較長(zhǎng)。雖然廣義線性多面體集合AARO 的各項(xiàng)成本較橢球集合AARO 更高一點(diǎn)，但其既能刻畫不確定參數(shù)間的相關(guān)性，又具有線性結(jié)構(gòu)，求解時(shí)間也較短。

3）節(jié)點(diǎn)電壓分析

附錄B 圖B6 給出了IEEE 33 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中不確定度Γ=0.5，相關(guān)性參數(shù)ρ=0.9、βc=0.5 的情況下，采用3 類多面體集合得到的節(jié)點(diǎn)電壓分布情況?？梢钥闯?，3 類多面體集合得到的節(jié)點(diǎn)電壓分布均在0.95～1.05 p.u.的安全范圍內(nèi)，但在光伏出力較大的時(shí)段8 至13，考慮光伏相關(guān)性的多面體集合下的節(jié)點(diǎn)電壓波動(dòng)較小，并且廣義線性多面體集合下的節(jié)點(diǎn)電壓波動(dòng)范圍更小，主要集中在1.025 p.u.附近，進(jìn)一步驗(yàn)證了廣義線性多面體集合的保守性最小。

4）BESS 充放電功率分析

附錄B 圖B7 對(duì)比了在IEEE 33 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中，采用3 類多面體集合得到的節(jié)點(diǎn)15 處BESS 充放電功率和SOC 分布情況，取不確定度Γ=0.5，相關(guān)性參數(shù)ρ=0.9、βc=0.5。從附錄B 圖B7 中的充放電功率曲線可以看出，在時(shí)段1 至6，分布式光伏出力為零，BESS 主要將初期存儲(chǔ)的能量進(jìn)行釋放，以起到平移負(fù)荷的作用；在時(shí)段10 至14 的大部分，分布式光伏出力大發(fā)，BESS 進(jìn)行充電存儲(chǔ)能量。其中，在時(shí)段11 至12，考慮光伏出力相關(guān)性的改進(jìn)多面體集合光伏出力最大，BESS 充電存儲(chǔ)能量達(dá)到峰值，進(jìn)一步說(shuō)明改進(jìn)的相關(guān)性多面體集合的光伏出力波動(dòng)范圍更緊湊，優(yōu)化結(jié)果的保守性最?。辉谄渌麜r(shí)段，分布式光伏出力和負(fù)荷需求都處于低位，BESS 達(dá)到容量之后不再進(jìn)行充電過(guò)程。

4.2 PG&E 69 節(jié)點(diǎn)算例分析

表3 給出了在PG&E 69 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中不確定度Γ對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。從表中可以看出，隨著多面體不確定度Γ的增大，BESS 循環(huán)壽命日折損成本不變、網(wǎng)損成本逐漸增大、購(gòu)電成本略微增大、棄光懲罰成本逐漸減小。PG&E 69 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中的各項(xiàng)成本的變化規(guī)律與IEEE 33 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中基本一致。

表3 PG&E 69 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中不確定度Γ 對(duì)各項(xiàng)成本的影響Table 3 Impact of uncertainty Γ on various costs in PG&E 69-bus system

附錄B 圖B8 和表4 給出了在PG&E 69 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中，相關(guān)性參數(shù)ρ和βc的大小對(duì)各項(xiàng)成本的影響。從附錄B 圖B8 和表4 可以看出，在PG&E 69 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中，當(dāng)分布式光伏出力之間的相關(guān)性較弱時(shí)，各項(xiàng)成本幾乎一致；當(dāng)分布式光伏出力之間的相關(guān)性系數(shù)逐漸增大時(shí)，棄光懲罰成本減小、網(wǎng)損成本增加、系統(tǒng)總成本增大。同時(shí)，廣義線性多面體集合下的總成本最小。因此，PG&E 69 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中各項(xiàng)成本的變化規(guī)律與IEEE 33 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中基本一致，說(shuō)明本文提出的廣義線性多面體集合AARO 方法不僅適用于IEEE 33 節(jié)點(diǎn)算例的主動(dòng)配電網(wǎng)小系統(tǒng)，而且適用于PG&E 69 節(jié)點(diǎn)算例的大系統(tǒng)。

表4 PG&E 69 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)下3 種多面體集合對(duì)各項(xiàng)成本的影響Table 4 Impact of three polyhedral sets on various costs in PG&E 69-bus system

5 結(jié)語(yǔ)

本文構(gòu)建了考慮分布式光伏相關(guān)性的有源配電網(wǎng)仿射可調(diào)魯棒優(yōu)化模型，通過(guò)對(duì)偶變換將其轉(zhuǎn)換為一個(gè)確定性的混合整數(shù)二階錐規(guī)劃模型進(jìn)行求解。算例結(jié)果表明：

1）在同樣的不確定度下，與不考慮分布式光伏相關(guān)性的多面體不確定集合AARO 方法相比，相關(guān)性多面體不確定集合AARO 方法的棄光懲罰成本最小，但網(wǎng)損成本最大，且系統(tǒng)總成本增大，導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果的保守性增大。

2）廣義線性多面體集合既涵蓋了光伏出力波動(dòng)的全部范圍，又減小了分布式光伏出力波動(dòng)發(fā)生概率較低的空白區(qū)域。因此，廣義線性多面體集合AARO 方法的棄光成本最低，并且網(wǎng)損成本相較于相關(guān)性多面體不確定集合AARO 方法更低，系統(tǒng)總成本最低，在一定程度上既增加了優(yōu)化結(jié)果的魯棒性，又降低了優(yōu)化結(jié)果的保守性。

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