王東海

(安徽省肥東縣城關(guān)中學(xué),安徽 合肥 231600)

A.a

分析此題中三數(shù)數(shù)值差距很小,若采用常規(guī)的作差法、作商法比較大小難以奏效.觀察其結(jié)構(gòu)特點(diǎn),可嘗試構(gòu)造函數(shù),再輔之于求導(dǎo)判斷其單調(diào)性去比較大小.

1 解法探究

lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]

=x+ln(1-x),x∈(0,0.1].

令f(x)=x+ln(1-x),

所以f(x)=x+ln(1-x)在(0,0.1]上單調(diào)遞減,從而f(x)

即lna-lnb<0.

故a

又a-c=xex+ln(1-x),x∈(0,0.1],

令g(x)=xex+ln(1-x),則

再令h(x)=(1+x)(1-x)ex-1,所以

h′(x)=(1-x2-2x)ex>0.

所以h(x)>h(0)=0.

故g′(x)>0.

從而g(x)>g(0)=0.

即a>c,故選C.

視角2 在構(gòu)造函數(shù)時(shí),也可不用函數(shù)的單調(diào)性去處理,而是用函數(shù)的增長(zhǎng)速度比較大小.

f(0)=g(0)=h(0).

又a=f(0.1),b=g(0.1),c=h(0.1).

而f′(x)=ex+exx,

又因?yàn)閑x>1,x+2>2,

所以ex(x+2)>2.

又0.81≤(1-x)2<1,

所以y′>0.

即f′(x)>h′(x).

所以g′(x)>f′(x)>h′(x).

由f(x),g(x),h(x)的增長(zhǎng)速度可知,

h(0.1)

從而c

故選C.

評(píng)注此法巧妙地使用函數(shù)的增長(zhǎng)速度比較三數(shù)大小,顯得簡(jiǎn)潔明了.

視角3 此題出現(xiàn)的幾個(gè)式子都與ex,lnx有關(guān),這里還可以考慮利用ex和lnx的放縮不等式嘗試比較大小.

解法3 由切線(xiàn)放縮不等式知

ex>x+1,x∈(0,0.1].

故e-x>-x+1.

又因?yàn)閍=0.1e0.1>0.1×(0.1+1)=0.11,

而當(dāng)0

即a>c.

綜上,c

故選C.

評(píng)注這類(lèi)放縮不等式平時(shí)都會(huì)有所涉及,只要我們能夠足夠重視,運(yùn)用起來(lái)就會(huì)得心應(yīng)手.

視角4 函數(shù)的泰勒展開(kāi)式,對(duì)于比較大小往往會(huì)化繁為簡(jiǎn).

解法4 根據(jù)泰勒公式知,

由此而知,

a=0.1e0.1

≈0.110 5.

≈0.104 9+o(10-2).

綜上,c

故選C.

評(píng)注泰勒公式雖是估值計(jì)算,但對(duì)解決選填題的比較大小問(wèn)題,不失為一種快速有效的方法.

2 背景分析

此式兩邊求導(dǎo)得

讓學(xué)生記住泰勒公式,既可以用于快速比較大小,還可用于對(duì)函數(shù)按要求進(jìn)行放縮,直至達(dá)到目的.在高考全國(guó)卷中,泰勒公式可以多次解決有關(guān)難題,比如:

≈0.989 6.

從而b>a>c.

A.a

C.b

故a=2ln(1+0.01)

b=ln(1+0.02)

觀察上面三式易得,b

題3設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2≥0對(duì)x∈[0,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析因?yàn)閒(x)=ex-1-x-ax2≥0,

所以ex≥1+x+ax2.

上面這道高考題的解法5運(yùn)用到了高數(shù)中的部分知識(shí),事實(shí)上近年來(lái)的高考題往往有高數(shù)的背景,如高數(shù)中的泰勒級(jí)數(shù)、洛必達(dá)法則、拉格朗日中值定理、函數(shù)的凸凹性、空間解析幾何等時(shí)有出現(xiàn),運(yùn)用這些知識(shí)可以很快給出解答[2].筆者平時(shí)的教學(xué)也會(huì)根據(jù)學(xué)生情況進(jìn)行分層教學(xué),適當(dāng)滲透一些高數(shù)知識(shí),如讓學(xué)有余力的學(xué)生記住常用函數(shù)泰勒展開(kāi)式、拐點(diǎn)等.

3 追本溯源

使用你的計(jì)算工具計(jì)算cos0.3,并與上述結(jié)果比較.考題是以這些課本習(xí)題為藍(lán)本進(jìn)行命題的,因此筆者在平時(shí)的實(shí)際教學(xué)中重視對(duì)課本例、習(xí)題的挖掘,尤其是對(duì)教材中的“好題”的挖掘,所謂好題,就是指蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想、開(kāi)闊的思路、廣闊的切入點(diǎn)的課本例、習(xí)題.針對(duì)這些好題,挖掘其中的高等數(shù)學(xué)背景、剖析背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)、感悟試題設(shè)計(jì)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想等,為高考打好基礎(chǔ).