王長友 韓佳琦 郭 菁

(北京市密云區(qū)第二中學(xué))

2023年高考數(shù)學(xué)試題已經(jīng)揭曉,在解析幾何綜合問題的考查中多套試卷不約而同的出現(xiàn)了“確定性的一般規(guī)律”的研究,看似偶然實則是考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等基本數(shù)學(xué)素養(yǎng),是在考查學(xué)生真實問題情境中應(yīng)用所學(xué)知識與思想方法解決真實問題的核心素養(yǎng)落地的體現(xiàn).眾所周知,坐標(biāo)法是解決解析幾何的根本方法和靈魂,本文結(jié)合2023年幾個高考解析幾何綜合題的分析與思考,希望教師在具體教學(xué)中提升在核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的坐標(biāo)法的理解.

一、高考真題重現(xiàn)與思考

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)設(shè)P為第一象限內(nèi)橢圓E上一動點,直線PD與直線BC交于點M,直線PA與直線y=-2交于點N,求證:MN∥CD.

【分析】第二問依舊延續(xù)北京高考題題干簡潔、位置關(guān)系清晰的風(fēng)格,重點考查學(xué)生的坐標(biāo)法解決解析幾何綜合問題的素養(yǎng),考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)等基本數(shù)學(xué)素養(yǎng).

(Ⅱ)解法一：設(shè)P(x0,y0),易知(0

由A,P,N三點共線得kAP=kAN,

又因為P,D,M三點共線,得kPD=kMD,

又因為由A,P,N三點共線得kAP=kAN,

對此問題有如下幾個思考:

【思考一】若將求證結(jié)論改為證明:直線MN的斜率為定值.顯然問題本質(zhì)不變,但是對學(xué)生來說,實際難度會加大.

【思考二】若將問題改為設(shè)P為第一象限內(nèi)橢圓E上一動點,直線PA與直線y=-2交于點N,過點N作與CD平行的直線MN與直線BC交于點M,求證:P,D,M三點共線.

聯(lián)立消去y并整理得(4+9k2)x2+36kx=0,

所以kPD=kMD,亦即P,D,M三點共線.

【思考三】設(shè)P為第一象限內(nèi)橢圓E上一動點,直線AP與直線CD交于點M,直線BP與直線x=3交于點N,求證:MN∥BC.

解題思路分析:此問題與原問題本質(zhì)是姊妹題,解決問題只需要將原問題的對應(yīng)關(guān)系相應(yīng)改變即可得證,不再贅述.

【思考四】回顧此問題解題過程,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)動點P在其他象限時,結(jié)論不變.因此追加思考此問題的幾何本質(zhì)應(yīng)該是什么?

由射影幾何帕斯卡定理:橢圓E上有六個點A,B,Q,C,D,P,直線BQ與直線DP交于點M,直線AP與直線CQ交于點N,直線AB與直線CD交于點R,則M,N,R三點共線.反觀北京此道高考題就是將上述情形進(jìn)行了特殊化和具體化而得來.

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)過點G(-2,3)的直線l交C于點P,Q兩點,直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證明:線段MN的中點為定點.

(Ⅱ)解法一：對于第二問常規(guī)解法具體過程不再贅述,只探討如何便捷找出定點.若直線l與橢圓相切于上頂點時,此時P,Q與上頂點重合,此時直線AP,AQ與y軸的交點M,N重合為上頂點,顯然可以大膽預(yù)測線段MN的中點即為(0,3),下面只需證明即可.

解法二：換個思路可得如下解法.

設(shè)直線AP的方程為y=m(x+2),直線AQ的方程為y=n(x+2),易知m,n存在且m≠n.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),M(0,yM),N(0,yN).

令x=0,則得yM=2m,yN=2n.

又因為G,P,Q三點共線,即kGP=kGQ,

將x1,y1,x2,y2代入得

進(jìn)一步化簡,并整理得(2m-3)2=(2n-3)2.

因為m≠n,所以2m-3=3-2n,

對這個問題進(jìn)行重新梳理,有如下反思:

【思考一】上述問題條件不變,可以變?yōu)樽C明:直線AP,AQ的斜率之和為定值.

簡要分析解題思路,結(jié)合解法一的常規(guī)思路可以通過計算kAP+kAQ得證;回顧解法二就可以發(fā)現(xiàn)kAP+kAQ=3.

【思考二】若改變問題形式為過點A(-2,0)分別作兩條直線AP,AQ且滿足直線AP,AQ的斜率之和為定值3,證明直線PQ過定點.

易知m-2k=0,直線PQ過點A(-2,0)顯然不成立,因此得到m-2k-3=0,即直線PQ的方程為y=kx+2k+3=k(x+2)+3,顯而易見過定點(-2,3).

【思考三】進(jìn)一步思考過橢圓(或雙曲線、拋物線)上一個定點分別作兩條斜率之和為定值或斜率之積為定值的兩條直線與橢圓(或雙曲線、拋物線)相交,兩個交點所形成的直線有什么特征?

【性質(zhì)2】設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),點P(x0,y0)(y0≠0)是拋物線上的定點,PM,PN是該曲線的兩條不同的弦,其所在直線的斜率分別為k1,k2,則:

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)記C的左、右頂點分別為A1,A2,過點(-4,0)的直線l與C的左支交于M,N兩點,M在第二象限,直線MA1與NA2交于P.證明:點P在定直線上.

(Ⅱ)對于第二問的解答不做過多贅述,只說明如何確定結(jié)論即可.

結(jié)合上述三個2023年高考試題,可以發(fā)現(xiàn)在解析幾何綜合問題中,雖然情境問題千變?nèi)f化,但是基本考查的特點為依托不同的圓錐曲線背景,以點、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系考查為出發(fā)點,重點落實坐標(biāo)法解決解析幾何問題的應(yīng)用,突出直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的落地.高度契合了高考的“核心價值金線” “能力素養(yǎng)銀線” “情境載體串聯(lián)線”的“一核四層四翼”的要求.

二、解析幾何教學(xué)再思考

教師要做一名研究型的智慧教師,一方面教師認(rèn)真研究高考真題,這不是要以“考試為中心”的追隨高考指揮棒效應(yīng),更重要的是要切實理解高考命題“一核四層四翼”的含義,把握數(shù)學(xué)教育的形勢要求;另一方面教師要研究學(xué)生,抓住學(xué)生的痛點,準(zhǔn)確把握學(xué)情,做到教學(xué)有的放矢.因此,教學(xué)中要切實提升對核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的坐標(biāo)法的理解.

1.依托單元教學(xué)策略整體把握教學(xué)

教師要加強(qiáng)學(xué)習(xí)與認(rèn)真研讀新課標(biāo),明確課標(biāo)要求.深入思考解析幾何教學(xué),教師要明確“解析幾何是什么和解析幾何如何做”這兩個基本問題.新課標(biāo)明確指出,解析幾何的本質(zhì)是“研究對象是幾何圖形,研究方法主要是代數(shù)方法”;解析幾何的學(xué)業(yè)要求是“根據(jù)具體問題情境的特點,建立平面直角坐標(biāo)系;根據(jù)幾何問題和圖形的特點,用代數(shù)語言把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;根據(jù)對幾何問題(圖形)的分析,探索解決問題的思路;運(yùn)用代數(shù)方法得到結(jié)論”.這就是解析幾何的核心標(biāo)準(zhǔn),教師在教學(xué)中要把要求轉(zhuǎn)化為具體的實踐過程.即

單元教學(xué)將教學(xué)目標(biāo)集中地把握與單元整體結(jié)構(gòu)的有機(jī)整合,創(chuàng)建一種有利于學(xué)生學(xué)科思維發(fā)展和學(xué)科能力的提升的教學(xué)設(shè)計策略,充分體現(xiàn)學(xué)科的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性,切實防止碎片化教學(xué);從學(xué)生的發(fā)展角度體現(xiàn)學(xué)生發(fā)展與認(rèn)知的基本規(guī)律、學(xué)習(xí)是學(xué)生主動建構(gòu)的過程、是培育和落實育人的過程.具體到解析幾何教學(xué),主要體現(xiàn)在整體把握點、直線、曲線的研究方法與研究內(nèi)容的一致性,整體從坐標(biāo)法的研究路徑認(rèn)識解析幾何,整體從發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的角度去關(guān)注教學(xué)過程性的層次性、差異性.

2.把握運(yùn)動變化和數(shù)形結(jié)合兩個關(guān)鍵過程的分析

解析幾何綜合問題體現(xiàn)了研究對象要素關(guān)系的復(fù)雜性、解決方法的綜合性等特點,教學(xué)中教師要宏觀引導(dǎo)學(xué)生明確研究本質(zhì),把握運(yùn)動變化和數(shù)形結(jié)合分析問題、解決問題的關(guān)鍵過程.從運(yùn)動變化過程分析,可以明確解析幾何是在研究點、直線、圓、圓錐曲線等基本研究對象在運(yùn)動變化過程中呈現(xiàn)的“變與不變”的規(guī)律,抓住運(yùn)動過程分析,就可以抓住各要素間的聯(lián)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系研究.從數(shù)形結(jié)合過程分析,著重關(guān)注文字語言、圖形語言、符號語言的基本轉(zhuǎn)化,將數(shù)學(xué)問題直觀展現(xiàn),有利于學(xué)生對問題的深入理解;在此過程中,引導(dǎo)學(xué)生分析幾何性質(zhì)優(yōu)化建立代數(shù)關(guān)系是重要的目的.把握這樣兩個過程,會使學(xué)生明白解析幾何的問題發(fā)展過程,將復(fù)雜抽象問題條理化、具體化.

3.抓實直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算三個素養(yǎng)的發(fā)展

解析幾何的學(xué)習(xí)重點發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算三個基本素養(yǎng),三個素養(yǎng)有差異更有聯(lián)系,是解決解析幾何問題的有機(jī)整體.

直觀想象是發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ)也是解決問題的靈感和入手點,特別是在求解“確定性規(guī)律問題”時要強(qiáng)化直觀感知,結(jié)合前面的實例中的猜想過程,教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生在具體問題中主動采用特殊位置、特殊情形、極限位置等對論證結(jié)論尋找方向,從而實現(xiàn)避免盲目使用復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算處理,體現(xiàn)在解決數(shù)學(xué)問題中“先猜后證”的探究一般性數(shù)學(xué)規(guī)律的思維過程.

邏輯推理素養(yǎng)是解決問題的核心,是問題不斷深化與解決的指南,是指導(dǎo)學(xué)生有效通過代數(shù)運(yùn)算解決問題的根基.應(yīng)用價值體現(xiàn)在:一是在具體問題中要指導(dǎo)學(xué)生關(guān)注解析幾何中運(yùn)動變化的基本量之間的約束關(guān)系與聯(lián)系,有效選擇參數(shù)與合理選擇代數(shù)關(guān)系進(jìn)行問題刻畫,實現(xiàn)問題思路清晰、路徑具體;二是在邏輯推理的基礎(chǔ)上分析、選擇良好的幾何性質(zhì)實現(xiàn)代數(shù)關(guān)系的簡潔,同時更要關(guān)注的代數(shù)關(guān)系運(yùn)算處理的難易程度.只有在邏輯推理的基礎(chǔ)上才能準(zhǔn)確把握方法的合理性和運(yùn)算的易于操作性.

運(yùn)算素養(yǎng)是問題展開與完整解決的落腳點,是展現(xiàn)學(xué)生意志品質(zhì)的載體.在教學(xué)中要有層次、有目的、有設(shè)計的分解運(yùn)算難點和差異化的要求學(xué)生.特別是運(yùn)算素養(yǎng)的有效落地是關(guān)鍵,因而教師必須提升對運(yùn)算素養(yǎng)的重視與理解.在教學(xué)中,教師要通過典型問題指導(dǎo)學(xué)生建立整體的算法觀,注意運(yùn)算法則的準(zhǔn)確理解、重視運(yùn)算規(guī)律與特點的發(fā)現(xiàn)、養(yǎng)成明晰運(yùn)算對象、預(yù)判運(yùn)算方向、及時化簡整理、有效應(yīng)用運(yùn)算策略的習(xí)慣,只有教師有目的的指導(dǎo),學(xué)生才能夠提升運(yùn)算能力形成素養(yǎng).

4.重視變式教學(xué)提高效率

解析幾何綜合問題題目的本質(zhì)是體現(xiàn)坐標(biāo)法的應(yīng)用,教師在課堂教學(xué)中可以實施“突出變化為手段,關(guān)注本質(zhì)為核心”的變式教學(xué),從而提升教學(xué)效率和激發(fā)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力,實現(xiàn)教學(xué)相長的效果.

回顧前面問題的再思考過程,可以得到以下的變式教學(xué)的入手點.一是突出研究對象變化關(guān)注共性與聯(lián)系,解析幾何的基本研究對象是點、直線、曲線,重點是研究對象間的關(guān)系.教師要擅于在圓、橢圓、雙曲線、拋物線的四種基本曲線中“隨時切換”,用相同的背景問題在不同的曲線中展現(xiàn)發(fā)散學(xué)生思維,引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)圓錐曲線中的相似性質(zhì)就顯得水到渠成,讓學(xué)生體驗到坐標(biāo)法的魅力.二是突出命題形式變化關(guān)注邏輯規(guī)律,解析幾何綜合問題存在大量相關(guān)性問題,此類問題體現(xiàn)了基本的數(shù)學(xué)邏輯變化,因此教學(xué)中從改變已有常見命題的基本形式入手,可以重點探究原命題的逆命題,這會激發(fā)學(xué)生的研究興趣,發(fā)現(xiàn)“創(chuàng)新結(jié)論”;三是突出數(shù)學(xué)運(yùn)算的功能關(guān)注數(shù)學(xué)研究根基,運(yùn)算既是數(shù)學(xué)技能,更是在解析幾何乃至數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)規(guī)律的重要思想方法,因此主動引導(dǎo)學(xué)生在研究問題中關(guān)注“加減乘除”的基本運(yùn)算關(guān)系,實現(xiàn)對問題的“突變”,通過此類變式會產(chǎn)生大量的“奇怪問題”,既有學(xué)生高中可以解決的,更會有不能解決的,但是學(xué)生對解析幾何的理解會更深入.

變式教學(xué)要求教師首先勤于思考、善于思考,然后在教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生主動思考,就會激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性.變式教學(xué)的核心是實現(xiàn)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會嘗試“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”的數(shù)學(xué)教育價值,同時學(xué)生也能體會到數(shù)學(xué)的邏輯美、奇異美.