畢玉峰

(山東省臨沂市教育科學研究院)

思維不僅是數(shù)學教學的核心,也是數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的落腳點.《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》把數(shù)學核心素養(yǎng)定義為“學生應具備的、能夠適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的、有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力”.數(shù)學核心素養(yǎng)與數(shù)學思維有著密不可分的關(guān)系,而培養(yǎng)學生數(shù)學思維的有效途徑是解答試題.本文通過賞析一道?？荚囶}的多種解法,既呈現(xiàn)通性通法,也展示巧思妙解,以期對學生解題思維能力的培養(yǎng)與拓展起到幫助作用,并引發(fā)對解題教學的一些思考.

一、試題呈現(xiàn)

二、試題簡評

本題為2023年5月臨沂市高考模擬考試第20題,第(Ⅰ)問將向量的數(shù)量積與解三角形結(jié)合,第(Ⅱ)問給出兩角差的余弦值,求三角形的面積,題目有較大的創(chuàng)新性,對學生而言有一定難度.筆者全程參與了命題、閱卷、統(tǒng)計和分析工作,經(jīng)統(tǒng)計,全市平均分僅為2.89分,其中有14%的學生得0分,31%的學生得1分,但從全市考生的答卷來看,出現(xiàn)了多種解法,可謂精彩紛呈,遠遠超出了命題人的預想!

三、解法賞析

(Ⅰ)解法1：設BC=a,AC=b,AB=c,則c=4.

∴accosB=-12.

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+42-2×(-12)=a2+40,

∴b2=b2-7b+16+40,解得b=8,

∴a2=24.

∴AC=8.

解法3：以A為坐標原點,AC所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(0,0).

設C(t,0),

解得t=8,

∴C(8,0),

【點評】此解法通過建立平面直角坐標系,將向量用坐標表示,進而將數(shù)量積、邊長等坐標化,迅速求得結(jié)果,構(gòu)思之奇妙,過程之簡捷,令人嘆服!

設BC=a,AC=b,AB=c,則c=4,b>4.

又由(Ⅰ)解法1,得a2=b2-7b+16,

即3b2-26b+48=0,

【點評】此解法將兩角和與兩角差的余弦公式展開得到兩角的正弦積,再利用正弦定理將角的正弦關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊長的關(guān)系,結(jié)合余弦定理,解方程求出b,最后套用面積公式求得結(jié)果.

設BC=a,AC=b,AB=c.

【點評】此解法將二倍角用兩角和與兩角差表示,利用公式展開,代入數(shù)值后求出二倍角的余弦值,再利用二倍角公式得到單角的正弦值,然后套用面積公式求得結(jié)果.將2B,2C的余弦值轉(zhuǎn)化為B+C,B-C的正弦值和余弦值是此解法的關(guān)鍵.

解法3：由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA及正弦定理,可得sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA.

∵sinB>0,sinC>0,

∵AC>AB,∴B>C.

∴sinB>sinC,

設BC=a,AC=b,AB=c.

【點評】此解法由余弦定理得到邊角關(guān)系,再由正弦定理得到只關(guān)于內(nèi)角的正弦值的等式,利用整體代換得到內(nèi)角的正弦值,然后套用面積公式求得結(jié)果.利用正弦定理將邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為只含有內(nèi)角正弦值的等式是此解法的關(guān)鍵.

解法4：∵A+B+C=π,

∴B=π-A-C,

∵AC>AB,

∴B>C,

∴0

又cos2C=1-2sin2C=2cos2C-1,

設BC=a,AC=b,AC=c.

【點評】此解法建立了2C與A的關(guān)系,利用兩角差的余弦公式求出C的正弦值和余弦值,再用兩角和的正弦公式得到B的正弦值,然后套用面積公式求得結(jié)果.

∴B=3C,

∴A=π-4C,

以下同解法4.

【點評】此解法根據(jù)三角函數(shù)值的大小確定角的范圍,并發(fā)現(xiàn)角之間的關(guān)系,將A,B用C的倍角表示,求出B的正弦值,進而求得三角形的面積.A,B與C的倍角關(guān)系的處理是此解法的關(guān)鍵.

解法6：∵AC>AB,∴B>C.

如圖,在AC上取點D,使得∠CBD=C,則∠ABD=∠ABC-C,

∴cos∠ADB=cos∠ABD,

∴在△ABD中,∠ADB=∠ABD,

∴AD=AB=4.

∴BD=2,

∴CD=BD=2,AC=AD+DC=6.

【點評】此解法通過作輔助線,利用等腰三角形找到與已知條件中的B-C相等的角,再利用兩角余弦值相等得到兩角相等,在等腰三角形中利用余弦定理求出邊長,最后套用面積公式求得結(jié)果.由余弦值相等得到兩角相等是此解法的關(guān)鍵.

解法7：∵AC>AB,

∴∠ABC>∠ACB.

在AC上取點D使∠CBD=∠ACB,則

∠ABD=∠ABC-∠ACB,DB=DC.

等式兩邊平方,化簡整理得

3m2-28m+64=0,

∴AC=AD+DC=6,

四、教學建議

解題教學是高中數(shù)學教學的重要組成部分,要求學生認真分析問題、理解問題本質(zhì),言簡意賅表達解題過程.通性通法的教學是解題教學的重頭戲,體現(xiàn)了本原的數(shù)學思想方法,具有原創(chuàng)性,但只注重通性通法會約束學生的創(chuàng)新思維,從而出現(xiàn)“千生一面”的狀況,扼殺了學生“靈活”的思維,使學生很難感受到數(shù)學的思維之美,沒有創(chuàng)新意識.本題(Ⅰ)中的解法1,2都屬于通法,利用定義將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為三角形中邊與角的關(guān)系,解法3技巧性較強,建立平面直角坐標系,將向量的數(shù)量積、邊長等坐標化處理,大大簡化了解答過程.(Ⅱ)中的解法1,2,3,4都屬于通法,利用三角恒等變換、三角形的正弦定理、余弦定理和面積公式來解決,解法5則根據(jù)三角函數(shù)值的關(guān)系得到角的關(guān)系,進而求得B的正弦值,解法6,7通過作輔助線找到已知條件中的B-C,利用等腰三角形性質(zhì)解決問題,特別是解法7利用坐標化的方法解決數(shù)量積,充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應用.