郭磊，何芝仙，時培成

（安徽工程大學(xué) 力學(xué)重點實驗室，安徽蕪湖 241000）

齒輪傳動系統(tǒng)由于瞬時傳動比恒定、傳動平穩(wěn)、易加工等諸多優(yōu)點，在機械工程中應(yīng)用廣泛。齒根出現(xiàn)疲勞裂紋而彎曲折斷是齒輪輪齒的主要失效形式之一，計算齒根裂紋應(yīng)力強度因子對于齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)問題分析以及裂紋輪齒的剩余壽命預(yù)測意義重大。齒根裂紋應(yīng)力強度因子的計算，一直是工程師們關(guān)注的熱點問題，主要求解方法有以分析裂紋尖端應(yīng)力場和位移場的解析法如J 積分、權(quán)函數(shù)等[1-3]和有限元法、邊界元法為代表的數(shù)值法[4-10]兩種。由于齒輪的輪齒裂紋擴展是一個過程且輪齒受到大小方向和作用點都發(fā)生變化的法向力作用，以有限元為代表的數(shù)值法，需要反復(fù)建模，求解工作量大。一般而言，解析法求解齒輪齒根裂紋應(yīng)力強度因子時往往面臨獲取裂紋尖端應(yīng)力場和位移場表達式的困難，但權(quán)函數(shù)法將齒輪輪齒的幾何特性和載荷特性分離，避開了求解裂紋尖端的應(yīng)力場和位移場[3,11]，為計算輪齒齒根裂紋應(yīng)力強度因子提供了有效的求解方法。文獻[12]采用權(quán)函數(shù)法求解了齒根具有穿透性裂紋應(yīng)力強度因子，但對于非穿透性齒根裂紋應(yīng)力強度因子的權(quán)函數(shù)法求解問題研究還不夠完善。文獻[11，13]提出了一種求解三維應(yīng)力強度因子的片條合成權(quán)函數(shù)法，該法將片條合成技術(shù)與權(quán)函數(shù)法相結(jié)合，將三維裂紋轉(zhuǎn)化為一系列“等效的”二維裂紋片條模型，為權(quán)函數(shù)法求解三維裂紋應(yīng)力強度因子提供了一種有效方法。對于非穿透性齒根裂紋，其法向力滿布齒寬，故采用此法計算齒根具有非穿透裂紋應(yīng)力強度因子合理可行。

1 片條合成權(quán)函數(shù)法

1.1 基本思路

齒輪齒根具有非穿透性裂紋應(yīng)力強度因子計算問題是三維裂紋應(yīng)力強度因子計算問題，可采用片條合成權(quán)函數(shù)法求解。首先將齒輪輪齒沿齒寬方向等分成一系列的薄片單元，如圖1 所示，這樣就形成了2 種類型的薄片單元即有裂紋的薄片單元和無裂紋的薄片單元。每個有裂紋的薄片單元就相當于一個2 維裂紋體，可采用2 維權(quán)函數(shù)法求解其應(yīng)力強度因子。只要計算出作用在輪齒上的法向力沿齒輪齒寬方向分布，就可以方便地求出每個具有裂紋的薄片單元裂紋應(yīng)力強度因子，從而最終求出非穿透型齒根裂紋應(yīng)力強度因子。沿齒寬方向劃分的薄片單元越多，法向力沿齒輪分布計算越準確，則應(yīng)力強度因子計算結(jié)果就越準確。

圖1 片條合成權(quán)函數(shù)法示意圖Fig.1 Schematic diagram of the slice-synthesis weight function method

1.2 齒根薄片單元裂紋應(yīng)力強度因子

齒根薄片單元力學(xué)模型如圖2 所示。

圖2 齒根薄片單元力學(xué)模型Fig.2 The mechanical model of the slice element of the cracked dedendum

用權(quán)函數(shù)方法計算圖2a）所示的齒根薄片單元裂紋應(yīng)力強度因子KI可以通過對參考載荷下裂紋體的權(quán)函數(shù)m(a,x)和 無裂紋體假想裂紋處應(yīng)力 σ (x)的乘積積分計算，其計算公式[11-13]：

式中：KI為 待求的應(yīng)力強度因子；f為無量綱應(yīng)力強度因子； σ為參考應(yīng)力； σ (x)為無裂紋體假想裂紋處的應(yīng)力。對于根薄片單元，可以采用材料力學(xué)理論計算齒根彎曲應(yīng)力；a為 無量綱裂紋長度，a=W A；A為 裂紋長度；W為裂紋體構(gòu)件的特征尺寸，即齒根齒厚；x為以裂紋嘴開口為原點的沿裂紋線的坐標；m(a,x)為待求的權(quán)函數(shù)。

計算齒根薄片單元裂紋權(quán)函數(shù)m(a,x)，需要已知在簡單參考載荷作用下齒根薄片單元應(yīng)力強度因子。文獻[12]選取了在裂紋面附近應(yīng)力場相似的有限寬板條邊緣裂紋，并選擇在裂紋面上作用均布載荷作為參考載荷，如圖2b）所示。由于參考載荷作用在裂紋面上，對裂紋體的幾何形狀敏感度低，研究表明，這樣的計算模型仍有比較好的計算精度[12,14]。

權(quán)函數(shù)的計算公式為

式中系數(shù) βi(a)（i= 1～4）參見表1。

表1 齒根邊緣裂紋權(quán)函數(shù)的β i(a)系數(shù)[12]Tab.1 Coefficient of root edge crack weight function [12]

1.3 法向載荷沿齒寬方向分布

對于具有非穿透型齒根裂紋的輪齒而言，正確計算出作用在輪齒上的法向力沿齒寬方向的分布，是片條合成權(quán)函數(shù)法求解其應(yīng)力強度因子的關(guān)鍵問題之一。對于裂紋區(qū)的片條單元，作用其上的法向力與其嚙合剛度密切相關(guān)，即作用在裂紋區(qū)片條單元上的法向力是按照其嚙合剛度沿齒寬進行分配，裂紋片條單元的嚙合剛度可采用能量法計算[14]。

作用在裂紋齒根輪齒片條單元上的法向力按照其嚙合剛度進行分配，即

圖3 給出了總法向力為1 000 N 時具有圓弧形非穿透型裂紋輪齒法向力沿齒寬方向的分布規(guī)律，可見在無裂紋區(qū)域法向力均布，但對于裂紋區(qū)的片條單元，法向力隨裂紋深度增加而減小。

圖3 法向載荷沿齒寬方向分布Fig.3 Normal load distribution along tooth width

2 計算結(jié)果與討論

2.1 非穿透型齒根裂紋應(yīng)力強度因子計算

在確定了法向載荷沿齒寬的分布和求出權(quán)函數(shù)之后，便可使用片條合成權(quán)函數(shù)計算應(yīng)力強度因子。計算數(shù)據(jù)：齒輪模數(shù)m= 10 mm，齒數(shù)z= 45，分度圓壓力角α= 20°，齒根邊緣圓弧形裂紋的半徑為8 mm，齒寬為 32 mm，法向力1 000 N 作用于齒頂。利用式（1）～式（3）進行計算，得到圓弧形非穿透型齒根裂紋應(yīng)力強度因子與裂紋點軸向位置之間的關(guān)系曲線如圖4 所示。可以看出，對于具有圓弧形非穿透型齒根裂紋，其端部裂紋深度最大，應(yīng)力強度因子數(shù)值也最大。

圖4 齒頂法向力作用時裂紋尖端各點的應(yīng)力強度因子Fig.4 Stress intensity factors at each crack tip under normal force at gear addendum

2.2 ANSYS 有限元法計算結(jié)果

計算機技術(shù)和有限元理論[15]的發(fā)展使得模擬仿真裂紋成為可能，為應(yīng)力強度因子的計算提供了方便。可以借助ANSYS、ABAQUS、MAC 等大型有限元軟件創(chuàng)建裂紋模型，從而計算裂紋應(yīng)力強度因子。

按照2.1 節(jié)選擇的計算原始數(shù)據(jù)，即齒輪齒數(shù)為45，模數(shù)為10 mm，圓弧形裂紋的半徑為8 mm，在ANSYS 建立含齒根含有1/4 圓弧裂紋的齒輪單齒模型如圖5 所示。其中裂紋部分單獨建模[16]，采用ANSYS 中具有斷裂力學(xué)分析功能的mesh200 單元進行網(wǎng)格劃分，其余部分采用45 號單元進行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格劃分時軸向單元數(shù)與上節(jié)中軸向等分數(shù)取得一致。將圖3 所示的軸向力作用于齒頂，并施加合適的位移邊界條件[7]，就可以在ANSYS 中進行應(yīng)力強度因子計算了。計算出齒頂法向力作用下齒根1/4 圓弧裂紋應(yīng)力強度因子，與圖4 所示片條合成權(quán)函數(shù)法計算結(jié)果相比較，如表2 所示，其中5 個數(shù)值依次對應(yīng)圓弧裂紋的5 個位置。兩種計算結(jié)果十分吻合，最大誤差僅有3.9%。

表2 權(quán)函數(shù)法與有限元法應(yīng)力強度因子對比Tab.2 Comparison of stress intensity factors between weight function method and finite element method

圖5 齒根裂紋輪齒有限元模型Fig.5 The finite element model of crack dedendum

2.3 嚙合過程中非穿透型齒根裂紋應(yīng)力強度因子

齒輪嚙合過程中，法向力大小和作用點都是變化的，但運用片條合成權(quán)函數(shù)法可以很方便求出嚙合過程中齒根裂紋應(yīng)力強度因子變化規(guī)律。為簡化起見，只計算法向力Fn0=1 000 N 時從輪齒齒頂作用至齒根，齒根1/4 圓弧裂紋應(yīng)力強度因子，計算結(jié)果如圖6 所示?？芍?，當法向力作用在齒頂時，非穿透性裂紋最深處，齒根裂紋應(yīng)力強度因子達到最大。若通過齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)分析，求出作用于輪齒上動態(tài)法向力，則采用片條合成權(quán)函數(shù)法就可以求出齒根裂紋應(yīng)力強度因子最大值的動態(tài)變化規(guī)律，從而為裂紋輪齒的剩余壽命預(yù)測奠定基礎(chǔ)。

圖6 嚙合過程中齒根裂紋應(yīng)力強度因子變化圖Fig.6 Variation of stress intensity factor of crack dedendum in the meshing process

3 結(jié)論

1） 片條合成權(quán)函數(shù)法將三維裂紋問題轉(zhuǎn)化為等效的二維裂紋問題，再運用二維權(quán)函數(shù)法求解。對于求解非穿透型齒根裂紋應(yīng)力強度因子十分有效，其求解結(jié)果與有限元法計算結(jié)果十分吻合，計算結(jié)果可靠，避免了分析復(fù)雜的三維裂紋尖端應(yīng)力場，求解方法優(yōu)勢顯著。

2） 采用能量法求解裂紋輪齒片條單元的嚙合剛度，求出了法向力在裂紋輪齒片條單元上分布，解決了片條合成權(quán)函數(shù)法求解非穿透型裂紋應(yīng)力強度因子的一個關(guān)鍵問題。

3） 應(yīng)力強度因子在法向力作用于齒頂且裂紋深度最大處達到最大值。為具有非穿透型齒根裂紋的齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)行為研究以及裂紋輪齒的剩余壽命預(yù)測奠定基礎(chǔ)。