范留明　楊猛

摘要： 越來越多的研究表明來自基巖的地震波并不是垂直地面向上傳播的。地震波在斜入射與垂直入射時(shí)所產(chǎn)生的場(chǎng)地效應(yīng)有很大不同，由于存在全反射現(xiàn)象，SV波在斜入射時(shí)產(chǎn)生的場(chǎng)地效應(yīng)更為復(fù)雜。文章基于均勻彈性半空間地震波傳播理論，分別推導(dǎo)得到SV波入射角在小于、大于等于臨界角時(shí)地震動(dòng)的計(jì)算表達(dá)式，通過模型算例研究SV波全反射作用下的地震動(dòng)特性。研究發(fā)現(xiàn)：由SV波產(chǎn)生的地震動(dòng)主要由入射波和反射波構(gòu)成，滑行波作用可以忽略;地面運(yùn)動(dòng)軌跡具有面波旋轉(zhuǎn)振動(dòng)特點(diǎn);隨著入射角的增大，地面震動(dòng)從以水平方向振動(dòng)為主逐漸過渡到以垂直方向振動(dòng)為主，兩個(gè)方向的振動(dòng)均小于入射波峰值的2倍。

關(guān)鍵詞： SV波; 臨界角; 反射系數(shù); 滑行波; 振動(dòng)特性

中圖分類號(hào)： TU435文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)： 1000－0844（2023）04-0910-07

DOI：10.20000/j.1000－0844.20220206001

Synthesis and vibration characteristics of ground motionsunder the excitation of total reflected SV waves

FAN Liuming1，2 ， YANG Meng1

Abstract：? Research has shown that the propagation direction of seismic waves from bedrock is not perpendicular to the ground surface. The site effect generated by obliquely incident seismic waves is quite different from that generated by vertically incident seismic waves. The site effect under obliquely incident shear vertical （SV） waves is more complicated than that under vertically incident SV waves on account of the existence of total reflection. In this study， a set of mathematical expressions of ground motions was derived based on the theory of homogeneous elastic half－space seismic wave propagation when SV incident angles were less than， greater than， or equal to the critical angle. The mathematical expressions were then applied to a model example to calculate and analyze the ground motion characteristics under the excitation of total reflected SV waves. The results show that the ground motions generated by SV waves are mainly composed of incident and reflected waves， and the effect of sliding waves could be ignored. The ground motion trajectory exhibits the characteristics of rotational vibration of surface waves. With the increase in the incident angle， the ground horizontal vibration gradually decreases， whereas the ground vertical vibration gradually increases， but neither of them is greater than twice the peak value of the incident wave.

Keywords： SV waves; critical angle; reflection coefficient; sliding wave; vibration characteristics

0 引言

在工程抗震設(shè)計(jì)中，通常假定來自基巖的地震波是垂直地面向上傳播的體波。隨著人們對(duì)地震波認(rèn)識(shí)的不斷深入，越來越多的研究表明地震波并不總是垂直向上入射的。Jin等［1］通過對(duì)美國部分地震動(dòng)記錄的分析指出近場(chǎng)條件下地震波平均入射角和標(biāo)準(zhǔn)差為56.78°±6.77°。Takahiro［2］根據(jù)日本Sendai處的近場(chǎng)強(qiáng)震記錄，反演得出地震波在近地表處的入射角變化范圍為12.4°～54.1°，入射角平均值為38°。顯然，地震波在斜入射時(shí)對(duì)地表建筑的影響與垂直入射時(shí)的情形有所不同［3－5］，而且地震SV波斜入射引起的地震動(dòng)比P波更為復(fù)雜，這是因?yàn)閭鞑ブ恋孛娴腟V波在入射角大于臨界角時(shí)發(fā)生全反射現(xiàn)象，并衍生出來沿著地面滑行、在垂直地面深度方向衰減的非均勻波。

目前對(duì)斜入射SV波的研究方法大致可分為數(shù)值法和解析法兩大類：前者主要用于解決斜入射SV波作用下特殊地形或隧道［6－7］、大壩等復(fù)雜工程［8－12］的地震響應(yīng)問題，由于此類研究考慮的問題難度較大，故很少涉及入射角大于臨界角的情況;而后者則多用于探討彈性半空間、水平成層場(chǎng)地等簡(jiǎn)單模型［13－15］的地震響應(yīng)問題，其中部分研究?jī)?nèi)容已經(jīng)涉及SV波的跨臨界入射問題［16－18］，但是對(duì)于斜入射SV波發(fā)生全反射情況還沒有開展專題研究。

為此，本文基于無限大均勻彈性半空間傳播模型，應(yīng)用地震波理論分別推導(dǎo)SV波入射角在小于、大于等于臨界角情況下的場(chǎng)地震動(dòng)的理論計(jì)算表達(dá)式，據(jù)此研究全反射SV波作用下的地震動(dòng)特性。

1 SV波斜入射場(chǎng)地模型

1.1 SV波在地面處的反射

SV波入射至地面處的反射模型如圖1所示，圖（a）、（b）分別對(duì)應(yīng)SV波入射角β小于、大于等于臨界角βc兩種情況，其中βc由下式確定：

式中：vP、vS分別是地層的縱波速度、橫波速度。

由圖1可見，由于地面的反射作用，傳播至地面處的SV波產(chǎn)生兩類反射波：一類是同類型的反射SV波，反射角用β表示，其值等于入射角;另一類是轉(zhuǎn)換反射P波，反射角用α表示。當(dāng)β<βc時(shí)，反射SV波、反射P波分別沿著與oz軸成β角、α角方向向背離地面的深處傳播［圖1（a）］;當(dāng)β≥βc時(shí)，SV波發(fā)生全反射現(xiàn)象，在這種情形下，反射SV波的傳播方向與β<βc時(shí)相同，但是反射P波卻轉(zhuǎn)變?yōu)檠氐孛鎮(zhèn)鞑サ姆蔷鶆虿ǎ蹐D1（b）］。

1.2 反射波與入射波的關(guān)系

假定入射SV波及其產(chǎn)生的反射SV波、反射P波的時(shí)程函數(shù)分別為fsi（t）、fss（t）和fsp（t），則

式中：Rss和Rsp分別是反射SV波和反射P波在自由面處的反射系數(shù);t是時(shí)間。

同樣的，在頻率域反射波與入射波之間仍存在如下關(guān)系：

式中：Fsi，F(xiàn)ss和Fsp分別是fsi，fss和fsp的傅里葉頻譜，計(jì)算表達(dá)式如下：

式中：ux和uz分別是水平和垂直地震動(dòng)時(shí)程。

3.2 β≥βc時(shí)的地震動(dòng)時(shí)程

（1） 反射波

如圖1（b）所示，SV波在β≥βc與β<βc時(shí)有很大不同。在這種情況下，反射系數(shù)可能不再是實(shí)數(shù)，反射波時(shí)程需要在頻率域進(jìn)行計(jì)算，其計(jì)算表達(dá)式可寫成如下形式：

對(duì)比式（10）和式（16）可知，SV波在β<βc和β≥βc兩種情況下的地震動(dòng)計(jì)算方法有很大不同。前者可以直接在時(shí)間域內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，相應(yīng)的表達(dá)式最終可寫成某一實(shí)系數(shù)與入射波的乘積形式，如式（11）;后者則需要在頻率域進(jìn)行計(jì)算，其表達(dá)式不能寫成某一實(shí)系數(shù)與入射波的乘積形式，如式（16）。由此表明，在β≥βc情況下，SV引起的反射波不僅有大小的變化，還存在相位的變化。

4 SV波引起的地震動(dòng)計(jì)算

4.1 計(jì)算步驟

根據(jù)上述討論可知，由SV波產(chǎn)生的地震動(dòng)時(shí)程的計(jì)算大致可概括為以下幾個(gè)步驟：

（1） 選擇入射波時(shí)程fsi和持續(xù)時(shí)間。

（2） 確定地層縱波速度vP和橫波速度vS。

（3） 確定入射角β和臨界角βc。

（4） 據(jù)式（6）計(jì)算反射系數(shù)Rss和Rsp。

（5） 據(jù)角β和βc的大小關(guān)系，選擇計(jì)算地震時(shí)程的方法：如果β<βc，采用式（10）計(jì)算地震時(shí)程;否則，則采用式（16）。

（6） 計(jì)算得到地震時(shí)程。

需要說明的是：上述計(jì)算方法及計(jì)算步驟可以用于計(jì)算地震位移、速度和加速度，具體類型完全由入射波決定。如果沒有特別說明，本文所提到的地震時(shí)程是指位移時(shí)程。

4.2 模型算例

選用Ⅱ類場(chǎng)地，取密度、剪切模量、泊松比分別為1 750 kg/m3、92.1 MPa、0.29，相應(yīng)的縱波和橫波的速度分別為562 m/s和229 m/s，SV波的臨界角為32.946 2°。

入射波采用墨西哥帽函數(shù)：

式中：u0=1 cm;t0=0.25 s;σ=0.04。入射SV波的位移時(shí)程及傅里葉譜如圖3所示。

為了便于對(duì)比分析SV波發(fā)生全反射前后的地震動(dòng)時(shí)程特征，考慮入射角β<βc和β>βc兩種情形，取入射角分別為30°和34.65°，按照4.1節(jié)計(jì)算步驟，計(jì)算結(jié)果如圖4所示。其中，圖4（a）是β=30°時(shí)的水平和垂直位移時(shí)程，圖4（b）是β=34.65°時(shí)的水平和垂直位移時(shí)程。

5 全反射SV波的地震動(dòng)特性

5.1 地震動(dòng)的振動(dòng)方向

由圖4可見，盡管β=30°與β=34.65°時(shí)的角度值都接近SV波的臨界角βc，且兩者數(shù)值相差不大，但兩者所對(duì)應(yīng)的位移時(shí)程卻有顯著區(qū)別：前者的水平位移時(shí)程與垂直位移時(shí)程雖然大小不同，但形狀相同;后者的水平位移時(shí)程與垂直位移時(shí)程不僅大小不同，形狀也不相同。

為了便于分析上述兩種情況地震動(dòng)的偏振特性，繪制了β=30°與β=34.65°時(shí)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)軌跡圖（圖5）。圖中橫軸表示水平位移，縱坐標(biāo)為垂直位移，軌線上一點(diǎn)表示質(zhì)點(diǎn)某一時(shí)刻在xoz平面上的位置。由圖5（a）可見，當(dāng)β=30°時(shí)，水平方向比垂直方向振動(dòng)大，地震動(dòng)為線性振動(dòng)，表現(xiàn)為體波振動(dòng)特征;由圖5（b）可見，當(dāng)β=34.65°時(shí)，水平方向與垂直方向的振動(dòng)接近，地震動(dòng)為旋轉(zhuǎn)振動(dòng)，表現(xiàn)為面波振動(dòng)特征。

5.2 地震動(dòng)中的滑行波

當(dāng)β≥βc時(shí)，SV波發(fā)生全反射，并衍生出沿地面?zhèn)鞑サ腜波，這些波相互疊加形成地面滑行波，成為水平地震動(dòng)的一部分。對(duì)于無限大空間，可根據(jù)式（13）計(jì)算滑行波。

圖6是β=34.65°時(shí)的滑行波時(shí)程。由圖可見，地面滑行波時(shí)程的形狀復(fù)雜，表明SV波發(fā)生全反射會(huì)導(dǎo)致地震波形產(chǎn)生較大畸變，但是相對(duì)于地震動(dòng)時(shí)程其值很小。例如，當(dāng)β=34.65°時(shí)，滑行波時(shí)程的最大值為0.052 891 cm。

圖7是滑行波峰值（絕對(duì)值）與入射角關(guān)系圖。由圖可見，當(dāng)入射角小于臨界角時(shí)，由于沒有發(fā)生全反射，其峰值為0;在臨界角附近得到其最大值，約等于0.064 cm。

由此可見，滑行波能量相對(duì)較小。在譯著《地震波的生成與傳播》［19］6.5.3.4能量方程一節(jié)指出，當(dāng)入射SV波發(fā)生全反射時(shí)，反射P波理論上不攜帶能量，其能量與反射SV波相比很小，可以忽略不計(jì)。因此在計(jì)算地震動(dòng)時(shí)可忽略地面滑行波作用，從而將式（16）簡(jiǎn)化為如下形式：

5.3 場(chǎng)地效應(yīng)與入射角的關(guān)系

為了便于分析地震動(dòng)與入射角之間的關(guān)系，繪制了地震位移時(shí)程峰值up（絕對(duì)值的最大值）與入射角關(guān)系圖（圖8），圖中upx、upz分別表示up的水平和垂直分量。

由圖8可見，upx、upz隨β的變化總體上呈現(xiàn)此消彼長(zhǎng)的關(guān)系：

（1） 當(dāng)β=0～30°時(shí)，upx約等于入射波峰值的2倍，且隨β的增大略有減小;upz則隨β的增大略有增大，最大值接近1。

（2） 當(dāng)β=βc 時(shí)，upx達(dá)到最大值，約等于入射波峰值的4倍，表明水平振動(dòng)在臨界角附近非常強(qiáng)烈;而upz則接近于0。

（3） 當(dāng)β>βc時(shí)，upx小于入射波峰值的2倍，隨β增大迅速減小，約在34.65°時(shí)與upz相等，在45°處達(dá)到最小值;upz隨β增大而增大，且β>34.65°時(shí)，upz>upx，其最大值也小于入射波峰值的2倍。

6 結(jié)論

本文基于均勻各向同性彈性半空間模型，開展了對(duì)斜入射SV波所引起的地震動(dòng)計(jì)算方法的研究，計(jì)算分析了地震動(dòng)與入射角的關(guān)系，據(jù)此得到由全反射SV波引起的地震動(dòng)的特點(diǎn)：

（1） 由全反射SV波引起的地震動(dòng)時(shí)程通常需要在頻率域計(jì)算得到。

（2） 由反射P波相互疊加形成的地面滑行波能量相對(duì)較小，其場(chǎng)地效應(yīng)可以忽略。

（3） 地面質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡不是線性往復(fù)振動(dòng)，而是具有面波特點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)振動(dòng)。

（4） 在臨界角附近，地面水平方向振動(dòng)隨入射角的增大急劇減小，且隨著入射角的增大，地面震動(dòng)從以水平方向振動(dòng)為主逐漸過渡到以垂直方向振動(dòng)為主。

（5） 無論水平方向振動(dòng)還是垂直方向振動(dòng)，其振動(dòng)大小均小于入射波峰值的2倍。

上述結(jié)論僅適用于均勻各向同性彈性半空間地層情況。對(duì)于非均勻復(fù)雜地層場(chǎng)地，其地震動(dòng)特點(diǎn)還需要進(jìn)一步研究證實(shí)。

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（本文編輯：趙乘程）