魏宇

摘 要：單擺作為簡諧振動(dòng)中最簡單的一種運(yùn)動(dòng)模型，根據(jù)起始時(shí)受力不同，分為不同的運(yùn)動(dòng)情況。重點(diǎn)介紹了單擺的運(yùn)動(dòng)情況分類標(biāo)準(zhǔn)及其各自的特點(diǎn)，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)張力隨著最大偏轉(zhuǎn)角的增加而減少，角速度也隨之減小;但二者存在運(yùn)動(dòng)的臨界值。

關(guān)鍵詞：沖擊單擺;張力;角速度;臨界角

中圖分類號：TB 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.09.097

1 研究背景

長為l的輕線的一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的小球就形成單擺模型。雖然單擺的動(dòng)力學(xué)方程是二階非線性微分方程，無法求得解析解。但前人的研究仍集中于嘗試得到誤差更小的近似解。近年來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，對單擺模型數(shù)值解的討論取得了一定成效，發(fā)現(xiàn)了比較精確的數(shù)值模擬結(jié)果。阻尼單擺問題的研究過程中發(fā)現(xiàn)了混沌效應(yīng);而且從能量學(xué)的角度對阻尼做功與時(shí)間關(guān)系的討論，得到了小阻尼單擺做功的表達(dá)式。

本文討論將小球懸掛在鉛直位置，然后用外力沖擊小球，使其以水平初速度v0開始運(yùn)動(dòng)，研究小球轉(zhuǎn)過θ角時(shí)的角速度和線中張力的變化規(guī)律，從而對單擺問題進(jìn)行動(dòng)力學(xué)研究。找到了斜拋運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)的臨界初始速度，發(fā)現(xiàn)可以對沖擊單擺問題分成三種情況討論。

2 理論模型

3 結(jié)果與討論

3.1 模型分析

情況1：

如果初速度v0速度較小，小球運(yùn)動(dòng)到一定的角度就會(huì)停止，然后往回運(yùn)動(dòng)，此時(shí)運(yùn)動(dòng)情況如圖。當(dāng)ω=0時(shí)，由上式可得小球運(yùn)動(dòng)的最大角度為：

Cos θm=1-（v0/V0）2（13）

由此進(jìn)行分析：v0最小取0，最大取V0;即0v0/V01，則θm范圍為0θmπ/2。這也很好理解，若θmπ/2，則越過水平位置會(huì)做斜拋或圓周運(yùn)動(dòng)。

3.2 結(jié)果討論

由此可繪圖分析這三種情況。

后，由于到達(dá)最高點(diǎn)后vgl，繩中也會(huì)有張力來提供向心加速度，所以繩中最小張力不為0且隨初速度增大最小張力單調(diào)遞增。

4 展望

本文僅僅是針對理想單擺問題進(jìn)行研究，并未考慮空氣阻力、擺線質(zhì)量、小球形狀等因素對單擺動(dòng)力學(xué)及能量學(xué)問題的影響。模型與真實(shí)情況的單擺有所差別，希望能夠通過進(jìn)一步研究完成對實(shí)際單擺問題的修正。除繩中張力及角速度與角度之間的關(guān)系以外，還可以嘗試研究該模型中其它物理量之間的關(guān)系，或者引入時(shí)間，初速度等自變量，做出進(jìn)一步的分析與研究。對于計(jì)算器中擬合的曲線缺少更深層次的分析，如對于函數(shù)增減速度的分析，怎樣用理論解決該函數(shù)求導(dǎo)問題，并對照現(xiàn)實(shí)賦予其實(shí)際的物理意義。

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