李京南， 王尚旭*， 董春暉， 袁三一， 王靜波

1 中國(guó)石油大學(xué)(北京)油氣資源與探測(cè)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京　102249 2 中國(guó)石油大學(xué)(北京)CNPC物探重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京　102249 3 中國(guó)石油化工股份有限公司勘探分公司, 成都　610041

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球面波PP反射系數(shù)的頻變特征研究

李京南1,2， 王尚旭1,2*， 董春暉1,2， 袁三一1,2， 王靜波3

1 中國(guó)石油大學(xué)(北京)油氣資源與探測(cè)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京102249 2 中國(guó)石油大學(xué)(北京)CNPC物探重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京102249 3 中國(guó)石油化工股份有限公司勘探分公司, 成都610041

與平面波反射系數(shù)相比，球面波反射系數(shù)可以更精確地描述實(shí)際地震波的反射特征.近些年關(guān)于球面波的研究主要聚焦于球面波反射系數(shù)隨入射角的變化規(guī)律，很少對(duì)球面波反射系數(shù)隨頻率的變化(頻變)做詳細(xì)研究.為了更全面地了解球面波的反射機(jī)制，本文研究了兩層彈性介質(zhì)中球面波PP反射系數(shù)(幅值和相位)的頻變規(guī)律.文中基于經(jīng)典的Sommerfeld積分構(gòu)造球面波PP反射系數(shù)，通過(guò)自適應(yīng)的Gauss-Kronrod求積算法對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)定的數(shù)值計(jì)算.數(shù)值試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于不同的介質(zhì)參數(shù)，球面波反射系數(shù)表現(xiàn)出了復(fù)雜的頻變規(guī)律.尤其是當(dāng)平面波反射系數(shù)為零時(shí)，對(duì)應(yīng)的球面波反射系數(shù)是非零的，且球面波反射系數(shù)的相位隨頻率增加在高頻趨近于90°或-90°，即此時(shí)球面反射波相對(duì)于入射波會(huì)有90°的相位旋轉(zhuǎn).對(duì)四類AVO模型的測(cè)試表明，球面波反射系數(shù)與平面波反射系數(shù)在臨界角附近和低頻時(shí)差異很大.

球面波； 平面波； 反射系數(shù)； 頻變

1　引言

近十年來(lái)，關(guān)于反射球面波的研究再次引起了地球物理學(xué)家的注意，研究?jī)?nèi)容主要聚焦于大偏移距的球面波AVO特征分析和AVO參數(shù)反演.這些研究的前提需要計(jì)算球面波反射系數(shù)，其計(jì)算方法大致可以分為兩類：一類是通過(guò)Sommerfeld積分構(gòu)建反射系數(shù)并對(duì)其進(jìn)行數(shù)值計(jì)算(Haase, 2004; Ursenbach et al., 2007; 黃饒等, 2009)；另一類是利用反射率法或有限差分法進(jìn)行全波場(chǎng)地震模擬來(lái)求取反射系數(shù)(印興耀等, 2006; Alhussain et al., 2008; Zhu and McMechan, 2012; 楊心超, 2012).研究發(fā)現(xiàn)在臨界角附近平面波反射系數(shù)和球面波反射系數(shù)之間存在很大的差異，此時(shí)平面波理論是失效的.鑒于此，Alhussain等(2008)，Skopintseva等(2011)，Zhu和McMechan(2012)利用球面波反射系數(shù)進(jìn)行AVO反演，與常規(guī)的基于平面波反射系數(shù)的AVO反演相比，反演結(jié)果得到了顯著的改善.

上述研究主要是利用大入射角度的球面波反射系數(shù)隨入射角變化的特征，未對(duì)球面波反射系數(shù)與頻率的關(guān)系做深入分析.根據(jù)經(jīng)典的幾何地震學(xué)，平面波反射系數(shù)是與頻率無(wú)關(guān)的，但球面波反射系數(shù)是隨頻率變化(頻變)的.忽略球面波反射系數(shù)的頻變特征可能會(huì)導(dǎo)致不精確的、甚至錯(cuò)誤的地下構(gòu)造解釋，尤其是對(duì)于淺層、低頻率和反射界面曲率很大的情況.因此，為了更精確地描述實(shí)際地震波的反射特征、充分利用地震數(shù)據(jù)含有的有用信息，對(duì)球面波反射系數(shù)頻變特征進(jìn)行研究具有重要的意義.

目前并沒(méi)有論文和著作闡述彈性介質(zhì)中球面波反射系數(shù)的頻變機(jī)制.本文對(duì)兩層半無(wú)限大彈性介質(zhì)中球面波PP反射系數(shù)的頻變特征進(jìn)行系統(tǒng)地研究，并與平面波反射系數(shù)進(jìn)行對(duì)比.文中首先基于Sommerfeld積分建立球面波PP反射系數(shù)的積分表達(dá)式，采用自適應(yīng)的Gauss-Kronrod求積算法(Shampine, 2008)對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)定的數(shù)值計(jì)算.然后通過(guò)數(shù)值測(cè)試揭示球面波PP反射系數(shù)復(fù)雜的頻變特征，并對(duì)頻變特征進(jìn)行分類.最后討論該研究的意義.

2　方法原理

對(duì)于圖1所示的兩均勻半空間彈性介質(zhì)模型，當(dāng)激發(fā)的P波震源位于上層介質(zhì)時(shí)(圖1中的S點(diǎn))，根據(jù)Aki和Richards (1980)，在接收位置P處的球面反射P波位函數(shù)可表示為

(1)

圖1　本文研究的兩層介質(zhì)模型的觀測(cè)系統(tǒng).S和S*為點(diǎn)震源及其對(duì)應(yīng)的虛震源，P是檢波器位置.實(shí)線表示P波，虛線表示SV波Fig.1　Observation system of the two-layer model investigated in this study. S and S* are point source and the corresponding image source, respectively; P is a recording position. Solid lines represent P waves and dashed lines represent SV waves.

其中，ρ1和ρ2分別為上層和下層介質(zhì)的密度，β1和β2分別為上層和下層介質(zhì)的SV波速度，α2為下層介質(zhì)的P波速度，i2是P波的透射角度，j1和j2分別是SV波的反射角度和透射角度.

球面反射P波的位移與位函數(shù)有如下關(guān)系

(3)其中，ur和uz分別為反射P波沿徑向和垂直方向的位移分量.

本文考慮反射P波沿射線方向的位移分量，可表示為

uref=ursinθ+uzcosθ

×eiω ξ1(h+z)dp,

(4)

其中，J1是一階貝塞爾函數(shù)，θ為射線入射角，注意這個(gè)角度為真實(shí)的入射角度，上述的i1為積分變量中的入射角.

(5)由于虛源入射波的位函數(shù)可以解析地表示為

(6)則虛源入射波沿射線方向的位移可以容易地得到

(7)其中，R=(h+z)/cosθ，即地震波由震源出發(fā)到接收點(diǎn)的傳播距離.

將(4)和(7)代入(5)式，則有

(8)

(8)式的積分路徑中含有奇點(diǎn)p=1/α1，這給數(shù)值計(jì)算帶來(lái)了困難.參考Ursenbach等(2007)的做法，通過(guò)如下的變量代換來(lái)消除奇點(diǎn)：p=sini1/α1，ξ1=cosi1/α1，于是有(p/ξ1)dp=-d(cosi1)/α1，cosi1∈[1,0]∪[0,i∞].將上述代換代到(8)中，并令x=cosi1，經(jīng)過(guò)一系列推導(dǎo)和整理，最后可以得到球面反射P波的位移反射系數(shù)為

(9)

根據(jù)Snell定理，可用sini1表示(2)式中的cosi2、cosj1、cosj2和p，再用cosi1表示sini1，由于x=cosi1，最后便可以獲得(9)式中的RPP(x).

3　數(shù)值結(jié)果及分析

3.1球面波反射系數(shù)的頻變規(guī)律

為深入探討球面波PP反射系數(shù)的頻變規(guī)律，下面針對(duì)不同的參數(shù)模型繪制其隨頻率的變化曲線并歸納分析.這里只考慮臨界角前較小的入射角度.

對(duì)各種參數(shù)模式的頻變規(guī)律進(jìn)行了數(shù)值測(cè)試，從測(cè)試結(jié)果中選取兩個(gè)典型的例子進(jìn)行說(shuō)明，即α1<α2和α1>α2兩種情況，如表1所示.其他參數(shù)為h=500 m，z=500 m，入射角以0°為例.圖2和圖3分別為當(dāng)α1<α2和α1>α2時(shí)的球面波PP反射系數(shù)頻變曲線.為了便于比較不同參數(shù)時(shí)球面波反射系數(shù)的頻變規(guī)律，對(duì)反射系數(shù)幅值進(jìn)行規(guī)零化，即用球面波和平面波反射系數(shù)的幅值與對(duì)應(yīng)的平面波反射系數(shù)幅值的差值作為縱軸，如圖2a、3a所示，|Rsw|、|Rpw|分別表示球面波反射系數(shù)和平面波反射系數(shù)的幅值，則不同介質(zhì)參數(shù)的平面波反射系數(shù)都由黑色虛線表示；反射系數(shù)的相位不做處理，如圖2b、3b所示.從圖2和圖3中可以看出，對(duì)于不同的介質(zhì)參數(shù)，球面波PP反射系數(shù)的頻變規(guī)律是很復(fù)雜的，通過(guò)詳細(xì)地研究分析，可以歸納總結(jié)為如下.

表1　測(cè)試模型參數(shù)Table 1　Parameters of tested models

當(dāng)α1<α2時(shí)(見(jiàn)圖2).

1) 當(dāng)ρ1=2.50 g·cm-3時(shí)，平面波反射系數(shù)為零，而球面波反射系數(shù)是非零的，且其幅值隨頻率增加而單調(diào)遞減，并在高頻趨近于平面波反射系數(shù)的幅值；球面波反射系數(shù)的相位隨著頻率增加而減小，并在高頻趨近于90°，這說(shuō)明球面反射P波與入射波有90°的相位差.這一現(xiàn)象尚未在目前的文獻(xiàn)中見(jiàn)諸.

2) 當(dāng)ρ1=2.42 g·cm-3時(shí)，平面波反射系數(shù)為較小的正數(shù)(0.0163)，球面波反射系數(shù)的幅值在很低頻率處大于平面波反射系數(shù)，但在其他的頻率小于平面波反射系數(shù)，且隨頻率增加而在高頻趨近于平面波反射系數(shù)的幅值；球面波反射系數(shù)的相位隨頻率增加從一個(gè)較大的相位值(約120°)單調(diào)遞減地趨近于平面波反射系數(shù)的相位(0°).當(dāng)ρ1=1.90 g·cm-3時(shí)，平面波反射系數(shù)為較大的正數(shù)(0.1364)，球面波反射系數(shù)的幅值小于平面波反射系數(shù)的幅值，且隨頻率增大而增大并在高頻趨近平面波反射系數(shù)的幅值；球面波反射系數(shù)的相位隨頻率增加從一個(gè)較小的相位值(約40°)逐漸趨近平面波反射系數(shù)的相位(0°).

圖2　α1<α2時(shí)球面波PP反射系數(shù)幅值(a)和相位(b)的頻變規(guī)律α1=2000 m·s-1, α2=2500 m·s-1, ρ2=2 g·cm-3. Fig.2　Frequency-dependent characteristics of spherical-wave PP reflection coefficient when α1<α2. Magnitude (a) and phase (b)

圖3　α1>α2時(shí)球面波PP反射系數(shù)幅值(a)和相位(b)的頻變規(guī)律α1=2500 m·s-1, α2=2000 m·s-1, ρ2=2.5 g·cm-3.Fig.3　Frequency-dependent characteristics of spherical-wave PP reflection coefficient when α1>α2. Magnitude (a) and phase (b)

3) 當(dāng)ρ1=2.65 g·cm-3時(shí)，平面波反射系數(shù)為負(fù)數(shù)(-0.0291)，球面波反射系數(shù)幅值總是大于對(duì)應(yīng)的平面波反射系數(shù)幅值，且隨頻率增加而單調(diào)遞減，并在高頻趨近平面波反射系數(shù)的幅值；球面波反射系數(shù)的相位與平面波反射系數(shù)的相位在低頻處有較小的差異，且隨頻率增加兩者變得幾乎相等(由于此時(shí)平面波反射系數(shù)為負(fù)數(shù)，其相位為180°).

當(dāng)α1>α2時(shí)(見(jiàn)圖3).

1) 當(dāng)ρ1=2.00 g·cm-3時(shí)，平面波反射系數(shù)為零，但球面波反射系數(shù)是非零的，且其幅值隨頻率增加而單調(diào)遞減，并在高頻趨近于平面波反射系數(shù)的幅值；球面波反射系數(shù)的相位隨著頻率增加而減小，并在高頻趨近于-90°，這說(shuō)明球面反射P波與入射波相比有90°的相位旋轉(zhuǎn).

2) 當(dāng)ρ1=2.08 g·cm-3時(shí)，平面波反射系數(shù)為絕對(duì)值較小的負(fù)數(shù)(-0.0196)，球面波反射系數(shù)的幅值在低頻處大于平面波反射系數(shù)，但在其他的頻率小于平面波反射系數(shù)，且隨頻率增加在高頻趨近平面波反射系數(shù)的幅值；球面波反射系數(shù)的相位隨頻率增加從約-50°單調(diào)遞減地趨近平面波反射系數(shù)的相位(-180°).當(dāng)ρ1=2.40 g·cm-3時(shí)，平面波反射系數(shù)為絕對(duì)值較大的負(fù)數(shù)(-0.0909)，球面波反射系數(shù)的幅值隨頻率增大而單調(diào)遞增并在高頻趨近平面波反射系數(shù)的幅值；球面波反射系數(shù)的相位隨頻率增加而減小，并在高頻趨近平面波反射系數(shù)的相位.

3) 當(dāng)ρ1=1.80 g·cm-3時(shí)，平面波反射系數(shù)為正數(shù)(0.0526)，球面波反射系數(shù)幅值總是大于對(duì)應(yīng)的平面波反射系數(shù)，且隨頻率增加而單調(diào)遞減，并在高頻趨近平面波反射系數(shù)的幅值；球面波反射系數(shù)的相位與平面波反射系數(shù)的相位在低頻處有較小的差異，且隨頻率增加兩者的差異逐漸減小，并在較高頻率趨于相等.

從上述研究中可以看出，球面波反射系數(shù)是頻變的，平面波反射系數(shù)是非頻變的.需要特別說(shuō)明的是，平面波反射系數(shù)是非頻變的只是針對(duì)均勻平面波而言.實(shí)際上，非均勻平面波是頻變的.Sommerfeld積分將球面波分解為均勻平面波和非均勻平面波的疊加，正是由于非均勻平面波的頻變，導(dǎo)致了最后疊加得到的球面反射波是頻變的，因此球面波反射系數(shù)是頻變的.

3.2單頻的AVO特征

這部分以AVO分析為例探討球面波反射系數(shù)頻變特征的應(yīng)用.AVO分析廣泛應(yīng)用于地震勘探中，但通?；谄矫娌ɡ碚?，如基于Zoeppritz方程或其線性近似.然而平面波理論預(yù)測(cè)的反射系數(shù)在臨界角附近是失效的，這促使人們開(kāi)始關(guān)注更接近真實(shí)情況的球面波的AVO響應(yīng).典型地，Haase(2004)、Alhussain等(2008)、李勝軍等(2012)研究了球面PP波反射系數(shù)隨入射角的變化規(guī)律，但其主要是在時(shí)間域求取球面波反射系數(shù)，即分析的是帶限球面波反射系數(shù)隨入射角變化的特征.為了研究單頻的球面波AVO特征，這里根據(jù)(9)式計(jì)算不同頻率時(shí)球面諧波反射系數(shù)隨入射角變化的曲線，進(jìn)而分析頻率對(duì)球面波AVO特征的影響.

測(cè)試了四類AVO模型，其中第一、二類模型根據(jù)Haase(2004)所用的模型做了小的修改，第三、四類模型為Castagna等(1998)所用的模型，具體參數(shù)如表2所示.其他的參數(shù)為h=500 m,z=500 m, 入射角范圍為0～80°.根據(jù)上述方法分別計(jì)算四類模型參數(shù)在地震頻段內(nèi)三個(gè)頻率5 Hz、30 Hz和80 Hz(分別代表低頻、中頻、高頻)時(shí)的球面波反射系數(shù)隨入射角變化的曲線，為便于比較，也給出了根據(jù)(2)式計(jì)算的平面波反射系數(shù)隨入射角變化的曲線，如圖4—7所示，其中PRC代表平面波反射系數(shù).對(duì)比四個(gè)圖可以發(fā)現(xiàn)，第一、二類AVO的幅值和相位都有較大的頻變；第三、四類AVO的幅值有很小的頻變，相位的頻變也較小.

表2　第1—4類AVO模型參數(shù)Table 2　Parameters of Class 1—4 AVO models

圖4　第一類AVO，PP反射系數(shù)幅值(a)和相位(b)隨入射角的變化Fig.4　Class 1 AVO, PP reflection coefficient magnitude (a) and phase (b) variation with incident angles

圖5　第二類AVO，PP反射系數(shù)幅值(a)和相位(b)隨入射角的變化Fig.5　Class 2 AVO, PP reflection coefficient magnitude (a) and phase (b) variation with incident angles

圖6　第三類AVO，PP反射系數(shù)幅值(a)和相位(b)隨入射角的變化Fig.6　Class 3 AVO, PP reflection coefficient magnitude (a) and phase (b) variation with incident angles

圖7　第四類AVO，PP反射系數(shù)幅值(a)和相位(b)隨入射角的變化Fig.7　Class 4 AVO, PP reflection coefficient magnitude (a) and phase (b) variation with incident angles

對(duì)于第三、四類AVO模型，如圖6和圖7所示，在這兩種模型參數(shù)下不會(huì)產(chǎn)生首波，因此AVO曲線都比較光滑，沒(méi)有出現(xiàn)在第一、二類AVO情況下臨界角后的振蕩現(xiàn)象.中高頻(30 Hz和80 Hz)球面波反射系數(shù)的幅值和平面波反射系數(shù)的幅值差異很小，幾乎是相等的；低頻時(shí)(5 Hz)球面波反射系數(shù)幅值與平面波反射系數(shù)幅值之間有較小的差異.另外，不同頻率的球面波反射系數(shù)的相位與平面波反射系數(shù)的相位之間存在一定的差異，且頻率越小這種差異越大，尤其是對(duì)于低頻，在某些入射角兩者差異較大.總的來(lái)說(shuō)，頻率對(duì)第三、四類AVO模型的球面波AVO響應(yīng)的影響較小，只有當(dāng)頻率很低時(shí)這種影響才相對(duì)較大.

綜上所述，對(duì)于四類AVO模型，球面波反射系數(shù)與平面波反射系數(shù)在臨界角附近或低頻時(shí)差異很大.因此在臨界角附近或低頻時(shí)，需要考慮球面波反射的頻變效應(yīng).

4　討論

從上述的數(shù)值測(cè)試(圖2和圖3)中可以發(fā)現(xiàn)，球面波PP反射系數(shù)的頻變規(guī)律是很復(fù)雜的.對(duì)于上述的兩種典型情況(α1<α2和α1>α2)，球面波PP反射系數(shù)幅值的頻變規(guī)律大體是一致的，其相位的頻變規(guī)律存在較小的差異(比較圖2b和3b).尤其地，當(dāng)平面波PP反射系數(shù)為零時(shí)，球面波PP反射系數(shù)卻是非零的，且球面波反射系數(shù)的相位隨頻率增加在高頻趨近于90°或-90°.值得注意的是，這種現(xiàn)象在基于平面波理論的幾何地震學(xué)中是不會(huì)發(fā)生的，這豐富了我們對(duì)波傳播規(guī)律的認(rèn)識(shí).按照幾何射線理論或平面波理論，當(dāng)平面波入射到界面上某一點(diǎn)后，根據(jù)Snell定理，其反射只對(duì)應(yīng)著一條確定的射線路徑.但是根據(jù)Sommerfeld積分，球面波可以分解為平面波的疊加，具體地說(shuō)，球面波入射到界面上某一點(diǎn)后的反射，可以看作是圍繞著中心射線的一束射線對(duì)應(yīng)的平面波反射的加權(quán)疊加(Alhussain et al., 2008)，這束射線中的每一條射線都有不同的入射角度，并且都滿足Snell定理.因此盡管圖2和圖3的測(cè)試中射線角度是0°，但球面反射波卻是包含0°在內(nèi)的一定范圍入射角的平面反射波的疊加，對(duì)于圖2中藍(lán)色虛線或圖3中紅色實(shí)線對(duì)應(yīng)的參數(shù)，非零度的平面波反射系數(shù)是非零的，故最后得到的球面波反射系數(shù)也是非零的.

球面波反射系數(shù)的頻變規(guī)律可以帶給我們很多啟發(fā)性的思考.首先，這一發(fā)現(xiàn)可以豐富我們對(duì)地震波反射機(jī)制的認(rèn)識(shí)，有助于更好地了解實(shí)際地下介質(zhì)中地震波的傳播規(guī)律.通過(guò)測(cè)試可以看出球面波PP反射系數(shù)的頻變規(guī)律在低頻、淺層尤為顯著，因此其對(duì)于近地表球面波傳播及反射規(guī)律的研究更有幫助；另外，近些年來(lái)隨著低頻勘探技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)已可采集到低至1.5 Hz的地震數(shù)據(jù)(Wang et al., 2013)，在如此低的頻率下球面波的頻變效應(yīng)將會(huì)很明顯，更精確的勘探需要考慮球面波反射系數(shù)的頻變.另一方面，球面波反射系數(shù)的頻變特征與地下介質(zhì)參數(shù)是緊密相關(guān)的，利用其可能為反演地下介質(zhì)的彈性參數(shù)提供一種新的思路，可以參考王靜波(2014)利用球面聲波反射系數(shù)進(jìn)行反演的思路，基于(9)式用全局反演方法來(lái)反演介質(zhì)的彈性參數(shù).關(guān)于球面波反射系數(shù)頻變特征的具體應(yīng)用需要進(jìn)一步地研究.

5　結(jié)論

本文根據(jù)Sommerfeld積分公式建立了兩層彈性介質(zhì)中球面波PP反射系數(shù)的積分表達(dá)式，基于此研究分析了不同參數(shù)情況下球面波PP反射系數(shù)的頻變特征，并對(duì)其總結(jié)分類；探討了四類AVO模型的單頻球面波反射系數(shù)隨入射角的變化規(guī)律.概括地，得到了以下幾方面的結(jié)論和認(rèn)識(shí).

1) 當(dāng)α1<α2、平面波反射系數(shù)為較大的正數(shù)或當(dāng)α1>α2、平面波反射系數(shù)為絕對(duì)值較大的負(fù)數(shù)時(shí)，球面波反射系數(shù)幅值小于平面波反射系數(shù)幅值，并隨頻率的增加而增大，在高頻趨于平面波反射系數(shù)；球面波反射系數(shù)相位大于平面波反射系數(shù)相位，且隨頻率增加而減小，在高頻趨于平面波反射系數(shù)相位.

2) 當(dāng)α1<α2、平面波反射系數(shù)為較小的正數(shù)或當(dāng)α1>α2、平面波反射系數(shù)為絕對(duì)值較小的負(fù)數(shù)時(shí)，球面波反射系數(shù)幅值在很低頻率時(shí)大于平面波反射系數(shù)幅值，在其他頻率時(shí)小于平面波反射系數(shù)幅值，并隨頻率的增加在高頻趨于平面波反射系數(shù)；球面波反射系數(shù)相位大于平面波反射系數(shù)相位，且隨頻率增加而減小，在高頻趨于平面波反射系數(shù)相位.

3) 無(wú)論α1<α2還是α1>α2，當(dāng)平面波反射系數(shù)為零時(shí)，球面波反射系數(shù)不為零：球面波反射系數(shù)幅值大于平面波反射系數(shù)幅值，并隨頻率的增加而減小，在高頻趨于平面波反射系數(shù)；球面波反射系數(shù)的相位隨頻率增加在高頻趨近于90°或-90°.

4) 當(dāng)α1<α2、平面波反射系數(shù)為負(fù)數(shù)或當(dāng)α1>α2、平面波反射系數(shù)為正數(shù)時(shí)，球面波反射系數(shù)幅值大于平面波反射系數(shù)幅值，并隨頻率的增加而減小，在高頻趨于平面波反射系數(shù)；球面波反射系數(shù)相位與平面波反射系數(shù)相位在低頻時(shí)有較小差異，且隨頻率增加兩者趨于相等.

5) 對(duì)于第一、二類AVO模型，球面波反射系數(shù)與平面波反射系數(shù)在臨界角附近和低頻時(shí)差異都很大；對(duì)于第三、四類AVO模型，球面波反射系數(shù)與平面波反射系數(shù)僅在頻率很低時(shí)才有相對(duì)大的差異.

致謝感謝休斯頓大學(xué)黃龍博士對(duì)論文撰寫提供的幫助.

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(本文編輯胡素芳)

Study on frequency-dependent characteristics of spherical-wave PP reflection coefficient

LI Jing-Nan1, 2, WANG Shang-Xu1, 2*, DONG Chun-Hui1, 2, YUAN San-Yi1, 2, WANG Jing-Bo3

1StateKeyLaboratoryofPetroleumResourceandProspecting,ChinaUniversityofPetroleum(Beijing),Beijing102249,China2CNPCKeyLabofGeophysicalExploration,ChinaUniversityofPetroleum(Beijing),Beijing102249,China3SinopecExplorationCompany,Chengdu610041,China

Spherical-wave reflection coefficient (SRC) describes the seismic wave reflection more precisely and realistically than the plane-wave reflection coefficient (PRC). This study mainly focuses on the frequency-dependent characteristics of SRC, which are usually not considered. To better understand the reflection mechanism of spherical waves, we systematically investigate the frequency-dependent characteristics of SRC (P-wave only) in a two-layer elastic medium model with a planar interface. We use the classical Sommerfeld integral to construct the SRC and compute it with adaptive Gauss-Kronrod quadrature. Numerical simulations show that for different media with various properties, the frequency-dependence of SRC exhibits very complicated responses. Significant deviations between SRC and PRC are observed at low frequencies. Especially when the PRC is zero, the corresponding SRC is non-zero; with increasing frequency, the phase of the SRC approaches +90° or -90°, meaning a 90° phase rotation after reflection. Tests on Class 1-4 AVO models suggest that large discrepancy between SRC and PRC exists in the vicinity of the critical angle and at low frequencies.

Spherical wave; Plane wave; Reflection coefficient; Frequency dependent

10.6038/cjg20161025.

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)項(xiàng)目(2013CB228600)和國(guó)家自然科學(xué)基金(41304108)聯(lián)合資助.

李京南，男，1988年生，博士研究生，主要從事地震波傳播、地震資料處理方面的研究.E-mail：li.jnan@163.com

王尚旭，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事地震波傳播理論、巖石物理、地震波正演模擬及反演研究.E-mail：wangsx@cup.edu.cn

10.6038/cjg20161025

P631

2016-03-17，2016-07-23收修定稿

李京南， 王尚旭， 董春暉等. 2016. 球面波PP反射系數(shù)的頻變特征研究. 地球物理學(xué)報(bào)，59(10):3810-3819,

Li J N, Wang S X, Dong C H, et al. 2016. Study on frequency-dependent characteristics of spherical-wave PP reflection coefficient.ChineseJ.Geophys. (in Chinese),59(10):3810-3819,doi:10.6038/cjg20161025.