楊 科 ,付勝杰 ,田鳳平

(1.華南理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)與金融學(xué)院,廣州 510006;2.中山大學(xué)國際金融學(xué)院,廣州 510275;3.人工智能與數(shù)字經(jīng)濟(jì)廣東省實(shí)驗(yàn)室(廣州),廣州 510330)

商品期貨市場作為現(xiàn)代金融市場的重要組成部分,隨著其交易市場范圍的不斷擴(kuò)大和交易量的穩(wěn)步攀升,在中國實(shí)體經(jīng)濟(jì)和多層次資本市場建設(shè)中的重要地位日漸凸顯。2022年4月20日全國人大常委會(huì)通過了中國首部關(guān)于期貨和衍生品的法律(《中華人民共和國期貨和衍生品法》,以下簡稱《期貨和衍生品法》),進(jìn)一步完善了中國資本市場法律體系,對于促進(jìn)中國資本市場穩(wěn)固健康發(fā)展具有里程碑意義,有助于期貨市場更好地服務(wù)實(shí)體經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量發(fā)展、保障國家總體金融安全。自2004 年以來,中國上市的商品期貨種類不斷增加,金融資本大量投資商品期貨成為商品市場運(yùn)作的新特點(diǎn)[1],多個(gè)商品期貨的投資組合應(yīng)用引起了廣泛關(guān)注,因此,多個(gè)商品期貨的協(xié)方差矩陣的建模及預(yù)測更加重要。然而,現(xiàn)有文獻(xiàn)絕大多數(shù)集中于單個(gè)商品期貨市場波動(dòng)率的預(yù)測,鮮有文獻(xiàn)探討多個(gè)商品期貨市場間協(xié)方差矩陣的預(yù)測。朱學(xué)紅等[2]將外部沖擊納入HAR-RV-CJN 模型中獲得了更準(zhǔn)確的銅期貨波動(dòng)率預(yù)測;蔡光輝等[3]采用Realized HAR GARCH模型對中國銅期貨市場進(jìn)行波動(dòng)率預(yù)測;梁超等[4]檢驗(yàn)了模型縮減方法在預(yù)測中國黃金期貨價(jià)格波動(dòng)率時(shí)的表現(xiàn)。鑒于此,本文將機(jī)器學(xué)習(xí)中的收縮(Shrinkage)和稀疏(Sparsity)方法融入時(shí)變參數(shù)VAR模型,探討中國商品期貨市場中多個(gè)商品期貨間的協(xié)方差矩陣的動(dòng)態(tài)建模及預(yù)測問題,填補(bǔ)了國內(nèi)該研究領(lǐng)域的空白,有助于投資者優(yōu)化期貨資產(chǎn)配置、管理投資組合風(fēng)險(xiǎn),有助于市場監(jiān)管層制定避險(xiǎn)策略、防范化解風(fēng)險(xiǎn),對于促進(jìn)中國商品期貨市場繁榮發(fā)展、提高中國對大宗商品定價(jià)的國際話語權(quán)具有重要的理論和實(shí)踐意義。

金融資產(chǎn)收益的協(xié)方差是風(fēng)險(xiǎn)管理、資產(chǎn)配置、套期保值等金融管理實(shí)務(wù)應(yīng)用的關(guān)鍵參數(shù),已有大量學(xué)者采用多元GARCH 族模型對多個(gè)金融資產(chǎn)間的協(xié)方差進(jìn)行建模和預(yù)測[5-7]。然而,傳統(tǒng)多元GARCH 族模型是基于低頻數(shù)據(jù)刻畫金融資產(chǎn)收益間的關(guān)系,損失了大量日內(nèi)交易信息,無法捕捉金融資產(chǎn)波動(dòng)率迅速變化的特征。近年來,有許多學(xué)者將高頻日內(nèi)數(shù)據(jù)引入波動(dòng)率的建模和預(yù)測。在一元波動(dòng)率方面,其中最為經(jīng)典的是基于高頻數(shù)據(jù)構(gòu)建的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率(Realized Volatility,RV)[8],使金融波動(dòng)率從不可觀測的隱變量成為可觀測的顯變量。此后,這一測度指標(biāo)得到了廣泛應(yīng)用[9-12]。在多元波動(dòng)率方面,為解決多個(gè)金融資產(chǎn)收益間的協(xié)方差矩陣本身無法直接觀察的問題,Andersen等[13]基于高頻交易數(shù)據(jù),提出了多個(gè)金融資產(chǎn)間的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差估計(jì)量(Realized Covariance,RCOV)。后來學(xué)者在此基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展,Barndorff-Nielsen等[14]提出了多元已實(shí)現(xiàn)核估計(jì)量(Multivariate Realized Kernels,MRK),Lunde等[15]提出了復(fù)合已實(shí)現(xiàn)核估計(jì)量(Composite Realized Kernels,CRK)。此后,國內(nèi)外關(guān)于金融資產(chǎn)已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣的建模和預(yù)測研究不斷發(fā)展。Golosnoy等[16]針對5種股票資產(chǎn)的RCOV 構(gòu)建了條件自回歸威沙特模型;Callot等[17]在VAR 模型中引入具有變量選擇功能的Lasso 方法,構(gòu)建了VAR-Lasso模型對RCOV 進(jìn)行建模和預(yù)測,克服了維度災(zāi)難問題并提升了模型預(yù)測性能;宋鵬等[18]將彈性網(wǎng)估計(jì)與VAR 模型結(jié)合,構(gòu)建VAR-ENet模型預(yù)測了由16 個(gè)行業(yè)指數(shù)高頻數(shù)據(jù)構(gòu)建的RCOV,取得了更好的預(yù)測精度和投資組合效益;羅嘉雯等[19]構(gòu)建TVS-MHAR 研究了中國股市、股指期貨和國債期貨三大市場的共同波動(dòng),發(fā)現(xiàn)時(shí)變模型的預(yù)測性能比固定參數(shù)模型更好;瞿慧等[20]采用多元HAR 模型并引入投資者關(guān)注對中國股市多只股票的協(xié)方差矩陣進(jìn)行預(yù)測,研究結(jié)果表明,引入投資者關(guān)注能夠有效改善模型的預(yù)測表現(xiàn)。

縱觀上述研究文獻(xiàn),可以發(fā)現(xiàn),目前關(guān)于已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣的預(yù)測研究多采用固定參數(shù)模型,鮮有研究涉及中國商品期貨市場已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣的建模和預(yù)測。大宗商品的復(fù)雜屬性決定了中國商品期貨市場是一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng),眾多研究一致表明,金融資產(chǎn)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)序列具有結(jié)構(gòu)突變特征[21]。然而,固定參數(shù)模型難以準(zhǔn)確刻畫變量間不穩(wěn)定的影響關(guān)系,存在模型誤設(shè)風(fēng)險(xiǎn)。徐高等[22]使用固定參數(shù)VAR 模型研究中國短期總供給和總需求曲線,揭示了與現(xiàn)有宏觀經(jīng)濟(jì)理論相矛盾的“斜率之謎”。但孫焱林等[23]從貝葉斯視角出發(fā),采用時(shí)變參數(shù)VAR 模型對徐高等的數(shù)據(jù)重新擬合,發(fā)現(xiàn)這一“斜率之謎”是由于固定參數(shù)VAR 模型無法捕捉經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)變化而產(chǎn)生的。為避免發(fā)生模型誤設(shè)風(fēng)險(xiǎn),本文采用時(shí)變參數(shù)模型對協(xié)方差矩陣進(jìn)行建模。相對于固定參數(shù)模型,時(shí)變模型能夠刻畫不同變量間復(fù)雜的非線性關(guān)系[24],但同時(shí)也容易因其自身的靈活結(jié)構(gòu)而產(chǎn)生過度擬合問題,導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)偏誤,降低模型泛化能力、損害模型的樣本外預(yù)測性能。由于協(xié)方差矩陣內(nèi)部元素?cái)?shù)量與資產(chǎn)數(shù)量的平方成正比,使用VAR 類模型對其建模時(shí)具有待估參數(shù)多、模型維度高的特點(diǎn),更容易發(fā)生過度擬合問題。大量研究從貝葉斯收縮的角度,通過采用分層收縮先驗(yàn)的方式進(jìn)行參數(shù)的收縮估計(jì),使得部分參數(shù)向0收縮,進(jìn)而減緩模型擬合程度。然而,在時(shí)變參數(shù)模型中,由于新息方差的存在,部分收縮后的參數(shù)仍然面臨誤差積累風(fēng)險(xiǎn)。與貝葉斯收縮不同,變量選擇方法(或稱稀疏方法)能夠?qū)⒉糠謪?shù)設(shè)定為0而非接近于0,不僅能夠?qū)r(shí)變模型的系數(shù)進(jìn)行稀疏,也能對其新息方差進(jìn)行稀疏,進(jìn)而降低誤差積累風(fēng)險(xiǎn)。

本文借鑒Callot等[17]對資產(chǎn)協(xié)方差矩陣建模的研究思路,將中國多種商品期貨資產(chǎn)間的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣向量化,并為其構(gòu)建了時(shí)變參數(shù)VAR模型。遵循Huber等[25]提出的收縮稀疏模式,首先使用Horseshoe或Dirichlet-Laplace收縮先驗(yàn)法對時(shí)變參數(shù)VAR 模型進(jìn)行收縮估計(jì);其次引入由Ray等[26]提出的具有稀疏功能的信號自適應(yīng)變量選擇器(Signal Adaptive Variable Selector,SAVS)對得到的參數(shù)收縮估計(jì)進(jìn)行稀疏化,進(jìn)而構(gòu)建一個(gè)嶄新的SS-TVP-VAR 模型,對中國商品期貨市場已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣進(jìn)行動(dòng)態(tài)建模和預(yù)測。

本文的貢獻(xiàn)主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面:

(1)在中國商品期貨市場交易規(guī)模巨大的背景下,尚未有文獻(xiàn)針對其協(xié)方差矩陣進(jìn)行動(dòng)態(tài)建模和預(yù)測,本文通過對高頻數(shù)據(jù)下多種商品期貨間的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差進(jìn)行動(dòng)態(tài)建模和預(yù)測,填補(bǔ)了該領(lǐng)域的研究空白。

(2)通過將機(jī)器學(xué)習(xí)中的收縮和稀疏方法融入時(shí)變參數(shù)VAR 模型,構(gòu)建了一個(gè)嶄新的SS-TVPVAR模型,用來對中國商品期貨市場已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣進(jìn)行動(dòng)態(tài)建模和預(yù)測,同時(shí)探討了協(xié)方差矩陣內(nèi)部的驅(qū)動(dòng)關(guān)系,發(fā)現(xiàn)方差項(xiàng)和協(xié)方差項(xiàng)存在截然不同的驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu),有助于進(jìn)一步理解商品期貨市場內(nèi)部波動(dòng)以及不同商品期貨市場間共同波動(dòng)的傳導(dǎo)機(jī)制。

1 模型與方法

1.1 已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣的構(gòu)建

以Andersen 等[13]提出的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差(Realized Covariance,RCOV)為代表,它將不同資產(chǎn)的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差定義為兩者日內(nèi)高頻區(qū)間收益率乘積的累加。假定日內(nèi)樣本采集頻率為1/n,則資產(chǎn)i、j在第t天的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差為

式中,ri,tk(1/n)=100×(lnPi,tk(1/n)-lnPi,t(k-1)(1/n)),表示資產(chǎn)i在第t天的日內(nèi)第k個(gè)高頻采樣區(qū)間的區(qū)間收益率。類似于一般的協(xié)方差矩陣結(jié)構(gòu),在t時(shí)刻n類資產(chǎn)間的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣為

值得注意的是,當(dāng)i=j時(shí),也即位于矩陣對角線上的元素,表示已被廣泛應(yīng)用的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率(Realized Volatility,RV)。

1.2 已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣的預(yù)測模型

1.2.1VAR-Lasso模型 Bollersleve等[27]指出資產(chǎn)收益的協(xié)方差矩陣具有較強(qiáng)的自回歸特征,Callot等[17]根據(jù)這種關(guān)系假定當(dāng)期協(xié)方差矩陣可以表示為其滯后項(xiàng)的線性函數(shù)。首先將n維資產(chǎn)構(gòu)建的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣按如下規(guī)則拉直成M=n(n+1)/2維列向量,即

式中,vech(A)為半向量化運(yùn)算符,表示將矩陣A下三角位置上的元素按列順序拉直成列向量。此時(shí),矩陣建模問題便轉(zhuǎn)化為向量建模問題,然后通過對RCOVt建立p階滯后的VAR(p)模型來捕捉其自回歸結(jié)構(gòu),即

式中:β0為M×1維截距項(xiàng);βl為M×M維系數(shù)矩陣;ωt為零均值的M×1維誤差向量。當(dāng)n維資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣被轉(zhuǎn)化為向量后,其維度增加到n(n+1)/2,VAR 模型中待估參數(shù)的數(shù)量進(jìn)一步增加,此時(shí)需要考慮維度災(zāi)難的問題。Lasso 方法[28]因具有優(yōu)秀的參數(shù)估計(jì)和變量選擇功能,已被廣泛應(yīng)用于宏觀經(jīng)濟(jì)和金融方面的研究,能夠幫助解決維度災(zāi)難的問題。Callot等[17]使用Lasso方法對VAR 模型中每個(gè)方程分別進(jìn)行參數(shù)估計(jì),即

式中:i=1,2,…,M;l=1,2,…,p;T為樣本長度;調(diào)節(jié)參數(shù)λ可以通過交叉驗(yàn)證方法或最優(yōu)信息準(zhǔn)則確定,本文使用10-折交叉驗(yàn)證方法。

1.2.2VAR-ENet模型 Lasso所具備的強(qiáng)有力的變量選擇功能,使得其在面對多個(gè)相關(guān)性較高的變量時(shí)傾向于只選出其中一個(gè)變量而遺漏其他重要變量。宋鵬等[18]在Callot等[17]的研究基礎(chǔ)上,采用由Zou 等[29]首次提出的Elastic-Net方法替代Lasso建立了VAR-ENet模型,對中國16個(gè)行業(yè)指數(shù)構(gòu)建的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣進(jìn)行建模和預(yù)測。Elastic-Net估計(jì)表示為

式中,λ1和λ2為非負(fù)的調(diào)節(jié)參數(shù)。由式(6)可知,Elastic-Net估計(jì)同時(shí)包含Lasso中的L1正則化和嶺回歸中的L2正則化成分,在進(jìn)行變量選擇的同時(shí)還允許群組效應(yīng)存在。該方法彌補(bǔ)了Lasso估計(jì)在面對多個(gè)高度相關(guān)且重要變量時(shí)只能從中選取一個(gè)變量而遺漏其他重要變量的缺陷。

1.2.3融合貝葉斯收縮估計(jì)和稀疏方法的SSTVP-VAR 模型 近年來,受地緣政治、疫情大流行以及逆全球化思潮抬頭等多重因素影響,國內(nèi)外經(jīng)濟(jì)形勢不確定性加劇。在此背景下,大宗商品期貨資產(chǎn)間的協(xié)方差矩陣內(nèi)部元素之間存在動(dòng)態(tài)的影響關(guān)系,采用固定參數(shù)模型難以捕捉其中的時(shí)變結(jié)構(gòu)。因此,本文運(yùn)用時(shí)變參數(shù)模型來捕捉這種動(dòng)態(tài)性。前文提到,時(shí)變參數(shù)模型因其靈活結(jié)構(gòu)容易產(chǎn)生過度擬合問題,進(jìn)而損害模型樣本外預(yù)測精度。為此,本文采取融合了貝葉斯收縮估計(jì)和稀疏方法的時(shí)變參數(shù)模型,以克服過度擬合的問題,為已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣建立SS-TVP-VAR 模型。其中:收縮的步驟借助貝葉斯全局-局部收縮先驗(yàn)法實(shí)現(xiàn),實(shí)證章節(jié)采用了兩種貝葉斯收縮先驗(yàn)方法,分別為Dirichlet-Laplace(DL)先驗(yàn)[30]和Horseshoe(HS)先驗(yàn)[31];稀疏則使用稀疏算法(Signal Adaptive Variable Selector,SAVS)[26]實(shí)現(xiàn)。本部分將從一般常系數(shù)回歸模型開始逐步介紹如何構(gòu)建SSTVP-VAR 模型對向量化后的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣進(jìn)行動(dòng)態(tài)建模。

步驟1在一般固定參數(shù)回歸模型中進(jìn)行收縮和稀疏。首先考慮如下簡單的常系數(shù)回歸模型:

局部參數(shù)πj僅影響特定系數(shù)φj,全局參數(shù)λ影響全部系數(shù)φ。貝葉斯全局-局部收縮先驗(yàn)法通過對πj和λ設(shè)定不同的先驗(yàn)分布f和g,并進(jìn)行MCMC后驗(yàn)推斷來實(shí)現(xiàn)對系數(shù)φ的貝葉斯收縮估計(jì),許多收縮先驗(yàn)方法的區(qū)別僅在于f和g表示的分布不同。進(jìn)一步,對收縮后的參數(shù)使用SAVS算法[26]進(jìn)行稀疏化,則

式中:Xj=(Xj1,Xj2,…,XjT)′為X=(X1,X2,…,XT)′的第j列;調(diào)節(jié)參數(shù),(x)+=max(x,0)。SAVS算法不需要進(jìn)行復(fù)雜的調(diào)節(jié)參數(shù)設(shè)定便可以達(dá)到有效的稀疏效果,沒有增加太多額外計(jì)算負(fù)擔(dān)。

步驟2在一般的時(shí)變參數(shù)回歸模型中進(jìn)行收縮和稀疏?？紤]如下一維時(shí)變參數(shù)回歸模型:

V為參數(shù)φt的新息方差-協(xié)方差矩陣,其大小控制著相應(yīng)參數(shù)的時(shí)變幅度。使用非中心參數(shù)化方法[32]重新表達(dá)式(9),即:

簡潔起見,將式(11)重新表達(dá)為

式中:

☉表示Hadamard積。此時(shí),式(13)與一般回歸模型式(7)在形式上基本一致,α對應(yīng)φ僅包含常數(shù)參數(shù),Zt對應(yīng)Xt僅包含時(shí)變參數(shù)。不同的是,Zt中含有信息未知的參數(shù),需要借助前向?yàn)V波后向采樣算法[33-34]來模擬其全部歷史信息,然后借助MCMC技術(shù)對α進(jìn)行貝葉斯收縮估計(jì)。本文采用Dirichlet-Laplace和Horseshoe兩種貝葉斯收縮估計(jì)方法,主要內(nèi)容如表1所示,詳見文獻(xiàn)[25]。

表1 本文所使用的收縮方法介紹Tab.1 Describtion of shringkage methods used in this article

進(jìn)一步,記α中第j個(gè)元素為αj,使用SAVS對第n次MCMC推斷得到的αj的后驗(yàn)估計(jì)進(jìn)行稀疏化,則

式中:n=1,2,…,N,N為經(jīng)過預(yù)燒(burn-in)后保存的MCMC 抽樣次數(shù);,Zj=(Zj1,Zj2,…,ZjT′),表示Z=(Z1,Z2,…,ZT′)的第j列。在每次MCMC 推斷中實(shí)現(xiàn)參數(shù)收縮估計(jì)和稀疏化,若某變量得到保留,被包含到模型中,則標(biāo)記此次MCMC抽樣,被標(biāo)記的總數(shù)量占MCMC 抽樣次數(shù)總和的比例被稱為該變量的后驗(yàn)包含概率(Posterior Inclusion Probability,PIP)。該指標(biāo)在實(shí)證過程中有助于判斷某變量的預(yù)測重要性,PIP值越接近1,其重要性越高,反之亦然。

步驟3使用含有隨機(jī)波動(dòng)率成分的TVPVAR模型對拉直成向量的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣RCOVt建模,即

式中:RCOVt為M×1維向量,表示拉直的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣;?為克羅內(nèi)克(Kronecker)積;Φt為K=M(MP+1)維列向量;,Ht=diag(eh1t,eh2t,…,ehMt),Ut為下三角矩陣,hjt服從AR(1)過程。

步驟4重新表達(dá)方程組形式以允許逐個(gè)方程估計(jì)。上述步驟中闡述了如何在一維時(shí)變參數(shù)方程中實(shí)現(xiàn)貝葉斯收縮與稀疏,為了對方程組進(jìn)行收縮和稀疏估計(jì),需要將式(15)轉(zhuǎn)化形式。具體地,參考文獻(xiàn)[35-36],將RCOVt中前i-1個(gè)成分添加至第i個(gè)方程中,進(jìn)而使得方程組內(nèi)M個(gè)方程之間的誤差項(xiàng)相互獨(dú)立。改寫后的模型表達(dá)式為

式中:ηit在上述M個(gè)方程中相互獨(dú)立,且ηit～N(0,ehit);Φit中的元素表示Φt在第i個(gè)方程中對應(yīng)的元素;uij,t為中的元素。

步驟5將式(16)表達(dá)為非中心參數(shù)化形式:

2 實(shí)證結(jié)果與分析

2.1 指標(biāo)選取

原油被廣泛譽(yù)為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)的“黑色血液”,在現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)體系中占據(jù)重要地位;PTA 作為重要的化工原材料之一,高度滲入在國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民衣食住行的方方面面;黃金在宏觀經(jīng)濟(jì)和金融市場中扮演著重要角色,可作為避險(xiǎn)資產(chǎn)等;中國豆粕期貨已連續(xù)多年成為世界農(nóng)產(chǎn)品期貨市場交易量最多的期貨品種,在促進(jìn)中國農(nóng)產(chǎn)品市場發(fā)展、保障全國糧食安全方面具有重要戰(zhàn)略意義。此外,上述期貨品種還具有交易量大、流動(dòng)性強(qiáng)等特點(diǎn)。本文選取原油期貨(上海國際能源交易中心)、PTA 期貨(鄭商所)、黃金期貨(上期所)以及豆粕期貨(大商所)作為中國商品期貨市場代表性期貨資產(chǎn),并構(gòu)建已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣作為動(dòng)態(tài)建模和預(yù)測對象。從Wind數(shù)據(jù)庫獲取上述4種期貨主力連續(xù)合約的高頻價(jià)格數(shù)據(jù),考慮到市場微觀結(jié)構(gòu)噪聲和測量誤差的影響,根據(jù)Corsi等[37]的建議,采用5min頻率的高頻交易數(shù)據(jù)計(jì)算已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣。由于4種期貨的日內(nèi)交易時(shí)間區(qū)間并非全部一致,故僅利用共同交易時(shí)間區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)計(jì)算已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣。樣本時(shí)間跨度為2020年2月7日至2021年9月24日,去除缺失值后得到共計(jì)401 個(gè)日度已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣。圖1給出了4種期貨資產(chǎn)構(gòu)建的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣的結(jié)構(gòu)及對應(yīng)指標(biāo)的含義。

圖1 4種期貨資產(chǎn)間已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣結(jié)構(gòu)Fig.1 Specification of the realized matrix constructed with 4 futures

由于已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣為對稱矩陣,表2僅給出了期貨組合已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣下三角元素序列的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果。從偏度和峰度兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量可以發(fā)現(xiàn):絕大多數(shù)的元素序列都呈現(xiàn)出尖峰厚尾(偏度和峰度同時(shí)較大)的典型特征;JB 統(tǒng)計(jì)量結(jié)果均顯著拒絕了正態(tài)分布的原假設(shè),表明所有的序列都不服從正態(tài)分布;Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量結(jié)果表明,已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣內(nèi)部絕大多數(shù)元素序列都呈現(xiàn)出多期自相關(guān),表現(xiàn)出長記憶特征,符合Bollersleve等[27]關(guān)于協(xié)方差矩陣具有自回歸結(jié)構(gòu)的研究結(jié)論;ADF統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明,所有序列均為平穩(wěn)序列。

表2 已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差內(nèi)部元素序列基礎(chǔ)描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果Tab.2 Descriptive statistics of elements in the realized matrix

2.2 協(xié)方差矩陣內(nèi)部驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)分析

在考察模型的預(yù)測性能之前,本節(jié)對上述4種期貨資產(chǎn)間的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣內(nèi)部驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行探討,試圖發(fā)現(xiàn)中國商品期貨市場已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣內(nèi)部方差項(xiàng)和協(xié)方差項(xiàng)各自具有何種驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu),有助于理解單個(gè)商品期貨市場內(nèi)部波動(dòng)以及不同商品期貨市場間共同波動(dòng)的傳導(dǎo)機(jī)制。以下所列結(jié)果均基于滯后階數(shù)為2的SS-TVP-VAR 模型對全樣本估計(jì)所得到的結(jié)果。

由圖21)圖2僅展示了第1個(gè)方程RCOV11,t 的估計(jì)結(jié)果,完整結(jié)果以附圖1展示,見附錄可知,在建模過程中絕大部分的變量系數(shù)都表現(xiàn)出明顯的時(shí)變特征,表明中國商品期貨市場已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣內(nèi)部的驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)存在動(dòng)態(tài)變化的特點(diǎn),矩陣內(nèi)部元素之間有著動(dòng)態(tài)的影響關(guān)系。一些變量在樣本期的初始階段占據(jù)重要(不重要)地位,但隨著時(shí)間的推移,其重要性開始逐漸削弱(加強(qiáng))。由圖2(b)可以發(fā)現(xiàn),一些變量在整個(gè)樣本期內(nèi)都表現(xiàn)出極弱的重要性,始終在0軸附近小幅波動(dòng)。圖2(a)表明,這些作用較小的變量大多被稀疏為0,模型保留了更為清晰的驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu),有利于研究人員把握不同期貨資產(chǎn)間協(xié)方差矩陣內(nèi)部的驅(qū)動(dòng)關(guān)系。

圖2 系數(shù)變化特征Fig.2 Dynamics of coefficients

圖32)使用Horseshoe所得結(jié)果以附圖2展示,見附錄所示為使用SS-TVP-VAR 模型對全樣本估計(jì)得出的所有方程中20個(gè)滯后項(xiàng)的后驗(yàn)包含概率所得熱力圖,能夠刻畫已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣內(nèi)部元素滯后1期和滯后2期對當(dāng)期元素的預(yù)測重要性。變量在某次MCMC抽樣中經(jīng)貝葉斯收縮和稀疏后被選中,所有這種MCMC 抽樣在經(jīng)預(yù)燒(burn-in)后保存的全部MCMC 抽樣中的占比稱為其后驗(yàn)包含概率(PIP)。方差項(xiàng)(RCOV11,t、RCOV22,t、RCOV33,t和RCOV44,t)表示單個(gè)資產(chǎn)自身的波動(dòng),協(xié)方差項(xiàng)表示不同資產(chǎn)間的共同波動(dòng)。

圖3 滯后項(xiàng)PIP熱力圖Fig.3 PIPs of lagged variables

由圖3 可以發(fā)現(xiàn),在原油期貨的當(dāng)期波動(dòng)(RCOV11,t)中,除其自身滯后外,PTA 的滯后1期波動(dòng)(RCOV22,t-1)以及原油和PTA 共同波動(dòng)的一階滯后(RCOV21,t-1)具有較大的預(yù)測重要性,而原油的滯后波動(dòng)(RCOV11,t-1)沒有對PTA 的當(dāng)期波動(dòng)(RCOV22,t)產(chǎn)生明顯的預(yù)測重要性。另外,在對中國商品期貨市場已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣建模過程中,大部分變量的PIP都接近于0,說明已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣的內(nèi)部驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)是強(qiáng)稀疏的。通過觀察方差項(xiàng)和協(xié)方差項(xiàng)的滯后結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn),對于方差項(xiàng),其自身滯后項(xiàng)通常比其他方差滯后項(xiàng)或協(xié)方差滯后項(xiàng)更為重要,其PIP 值明顯高于其他滯后項(xiàng)。這說明,方差項(xiàng)主要由其自身滯后驅(qū)動(dòng)。對于協(xié)方差項(xiàng),幾乎所有協(xié)方差項(xiàng)的自身滯后都難以提供足夠的驅(qū)動(dòng)力,最具預(yù)測重要性的變量往往為自身以外的變量,如RCOV21,t,具有最高PIP變量為RCOV22,t-1而非其自身滯后RCOV21,t-1,表現(xiàn)出與方差項(xiàng)截然不同的驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)。

2.3 預(yù)測精度評價(jià)

前面章節(jié)對中國商品期貨市場已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣的內(nèi)部驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了探討,本節(jié)將重點(diǎn)考察SS-TVP-VAR 模型在預(yù)測中國商品期貨已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣時(shí)的表現(xiàn)。參考以往文獻(xiàn),選取VARLasso、VAR-ENet和EWMA 作為競爭模型,采用均方預(yù)測誤差損失函數(shù)作為評價(jià)指標(biāo),并使用模型置信集(Model Confidence Set,MCS)[38]檢驗(yàn)考察不同已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣預(yù)測模型的預(yù)測性能。本部分采用滾動(dòng)窗口預(yù)測方式,樣本后40個(gè)數(shù)據(jù)為樣本外數(shù)據(jù)集,日度(h=1)、周度(h=5)和月度(h=22)3 種預(yù)測長度對應(yīng)不同的窗寬,分別為361、357和340,多期預(yù)測通過迭代方式獲取。

2.3.1評價(jià)指標(biāo) 定義誤差向量

其中,‖·‖F(xiàn)表示Frobenius范數(shù)。

2.3.2數(shù)值預(yù)測 由表3可知,在不同預(yù)測期水平下,基于收縮和稀疏的SS-TVP-VAR 模型的MSFE均小于其他競爭模型,選擇使用Horseshoe或Dirichlet-Laplace收縮先驗(yàn)進(jìn)行收縮的預(yù)測精度區(qū)別較小。絕大多數(shù)情況下,采取HS先驗(yàn)的預(yù)測精度低于DL先驗(yàn),但兩者都明顯優(yōu)于其他競爭模型。MCS檢驗(yàn)結(jié)果一致表明,無論是采用TR還是Tmax統(tǒng)計(jì)量,兩種收縮稀疏模型的p值都處于所有模型中的較高水平,兩者均被選入模型置信集。在長期(h=22)預(yù)測中,VAR-Lasso和VAR-ENet模型的預(yù)測性能較差,兩種模型在不斷向前多期迭代預(yù)測時(shí)的預(yù)測值趨同,預(yù)測性能弱于EWMA 模型。

表3 各模型相對于基準(zhǔn)模型VAR-Lasso的MSFE比值和MCS檢驗(yàn)結(jié)果Tab.3 MSFE ratios and MCS test results

2.3.3符號預(yù)測 在經(jīng)濟(jì)金融預(yù)測中,除了考察預(yù)測誤差的數(shù)值大小外,模型能否準(zhǔn)確預(yù)測經(jīng)濟(jì)金融變量下各時(shí)期的漲跌走勢同樣重要。為此,本文統(tǒng)計(jì)了h=1預(yù)測期下各模型的符號預(yù)測精度,并分別統(tǒng)計(jì)方差項(xiàng)和協(xié)方差項(xiàng)。定義符號預(yù)測統(tǒng)計(jì)指標(biāo):

表4 不同模型的符號預(yù)測正確數(shù)量Tab.4 Correct numbers of signal forecasts

由表4 可知,兩種SS-TVP-VAR 模型的符號預(yù)測精度最高,正確預(yù)測數(shù)量均大幅超過其他競爭模型。特別地,SS-TVP-VAR 模型雖然在方差項(xiàng)上的表現(xiàn)與其他模型相當(dāng),但在協(xié)方差項(xiàng)上的預(yù)測性能明顯強(qiáng)于其他競爭模型。隨著資產(chǎn)數(shù)量的增加,協(xié)方差項(xiàng)在整個(gè)投資組合方差-協(xié)方差矩陣中所占比重逐漸上升,故對協(xié)方差項(xiàng)的精準(zhǔn)預(yù)測極為重要。

2.3.4投資組合評價(jià) 前文從統(tǒng)計(jì)層面對SSTVP-VAR 模型的預(yù)測精度進(jìn)行了檢驗(yàn),進(jìn)一步,本節(jié)從經(jīng)濟(jì)效益方面將其與其他競爭模型進(jìn)行對比,考察其在實(shí)際應(yīng)用中的表現(xiàn)。Markowitz的均值-方差投資組合以期望收益和協(xié)方差作為輸入?yún)?shù),進(jìn)而求解得出最優(yōu)投資組合。Chopra等[39]指出均值-方差模型的最優(yōu)解容易受到期望收益變動(dòng)的影響,而對協(xié)方差矩陣的變動(dòng)則表現(xiàn)得更為穩(wěn)健。當(dāng)均值-方差模型去除對期望收益的設(shè)定這一主觀條件后,其優(yōu)化問題便是全局最小方差投資組合(Global Minimum Variance Portfolio,GMVP)。GMVP已被廣泛應(yīng)用[40-41],表示為以下優(yōu)化問題的唯一解:

根據(jù)預(yù)測的協(xié)方差矩陣能夠求解上述最優(yōu)化問題并得出GMVP的最優(yōu)權(quán)重向量,即

此求解過程要求預(yù)測的協(xié)方差矩陣可逆,本文采取矩陣對數(shù)化方法[42]來保證這一性質(zhì),即在預(yù)測前對樣本內(nèi)數(shù)據(jù)進(jìn)行矩陣對數(shù)化處理,再對預(yù)測的協(xié)方差矩陣進(jìn)行指數(shù)化還原。然后借助w和真實(shí)的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣可以得到不同模型的最優(yōu)投資組合方差,即

由表5可知,無論是在短期(h=1)、中期(h=5)還是長期(h=22)預(yù)測中,兩種SS-TVP-VAR 模型的投資組合方差均值處于最低水平。MCS模型檢驗(yàn)結(jié)果表明,在TR和Tmax統(tǒng)計(jì)量下,兩種收縮稀疏模型的MCS檢驗(yàn)p值都大于其他競爭模型。并且在更長的預(yù)測期下,SS-TVP-VAR 模型的MCS檢驗(yàn)p值有更明顯的領(lǐng)先優(yōu)勢,預(yù)測性能更佳。在h=5,h=22的預(yù)測期中,MCS檢驗(yàn)表明,EWMA 模型的經(jīng)濟(jì)價(jià)值領(lǐng)先于VAR-Lasso和VAR-ENet模型,但并未超越SS-TVP-VAR 模型。

表5 不同模型的最優(yōu)投資組合方差檢驗(yàn)結(jié)果Tab.5 Variance of portfolios and MCS test

綜上所述,SS-TVP-VAR 模型在對中國商品期貨市場已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣建模過程中,能夠保留更為清晰的驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)。通過繪制的PIP 熱力圖可以發(fā)現(xiàn),在中國商品期貨市場已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣內(nèi)部,方差項(xiàng)和協(xié)方差項(xiàng)具有截然不同的驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)。此外,在3種預(yù)測期下,SS-TVP-VAR 模型在統(tǒng)計(jì)和經(jīng)濟(jì)方面均大幅改善了預(yù)測表現(xiàn)。

3 穩(wěn)健性檢驗(yàn)

3.1 更換樣本

為評估SS-TVP-VAR 模型的預(yù)測性能對樣本選擇的穩(wěn)健性,本部分從中國商品期貨市場選取另外4種商品期貨作為構(gòu)建已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣的基礎(chǔ)資產(chǎn),并進(jìn)行向前1期預(yù)測,4種期貨分別為豆粕期貨、棉花期貨、玉米期貨和小麥期貨。

由表6可知,更換樣本后,SS-TVP-VAR 依然保持著最優(yōu)的預(yù)測性能,與前文結(jié)論一致。MCS檢驗(yàn)結(jié)果顯示,使用Horseshoe收縮先驗(yàn)的收縮稀疏模型略微領(lǐng)先于使用Dirichlet-Laplace收縮先驗(yàn)的收縮稀疏模型,兩者均優(yōu)于其他競爭模型,模型的預(yù)測性能對所考察樣本均具有穩(wěn)健性。

表6 各模型相對于基準(zhǔn)模型VAR-Lasso的MSFE 比值和MCS檢驗(yàn)結(jié)果Tab.6 MSFE ratios and MCS test results after changing the sample

此外,前文發(fā)現(xiàn),在中國商品期貨市場已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣內(nèi)部,方差項(xiàng)和協(xié)方差項(xiàng)具有截然不同的驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)。為了考察這一結(jié)論的穩(wěn)健性,利用本章節(jié)所使用樣本再次檢驗(yàn)已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣內(nèi)部驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)。值得一提的是,相對于前文所使用期貨品種,豆粕期貨、棉花期貨、玉米期貨和小麥期貨之間的相關(guān)性較強(qiáng),均屬于農(nóng)產(chǎn)品期貨。

圖4所示為更換樣本后重新繪制的PIP 熱力圖。通過觀察可以發(fā)現(xiàn),在由豆粕期貨、棉花期貨、玉米期貨和小麥期貨構(gòu)建的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣中,方差項(xiàng)依然主要由其自身滯后驅(qū)動(dòng),協(xié)方差項(xiàng)依然主要由其他方差項(xiàng)和協(xié)方差項(xiàng)的滯后項(xiàng)所驅(qū)動(dòng),與前文所得結(jié)論保持一致。

3.2 更換損失函數(shù)

為評估SS-TVP-VAR 模型在不同評價(jià)指標(biāo)下的預(yù)測表現(xiàn),本部分選取平均絕對預(yù)測誤差(MAFE)和最大絕對預(yù)測誤差(max FE)兩種損失函數(shù)替代前文所使用的均方預(yù)測誤差(MSFE),重新評估模型在h=1期的預(yù)測表現(xiàn),即:

其中:n為誤差向量的維度;L1表示L1 范數(shù)正則化;表示集合(x1,x2,…,xn)中元素的最大絕對值;的第i個(gè)元素。

由表7可知,無論是在MAFE還是在max FE損失函數(shù)下,誤差比值和MCS檢驗(yàn)結(jié)果一致表明,兩種SS-TVP-VAR 模型均為最優(yōu)預(yù)測模型,對不同損失函數(shù)評價(jià)指標(biāo)具有穩(wěn)健性。兩種SS-TVP-VAR 模型預(yù)測性能不僅在平均誤差水平上表現(xiàn)最優(yōu),在最大誤差水平上也表現(xiàn)最優(yōu)。相較于其他模型,SS-TVPVAR 模型進(jìn)一步降低了預(yù)測誤差上限。

表7 各模型相對于基準(zhǔn)模型VAR-Lasso的誤差比值和MCS檢驗(yàn)結(jié)果Tab.7 MAFE and MaxFE ratios and MCS test results

3.3 更換模型檢驗(yàn)方法

為考察模型預(yù)測性能對不同檢驗(yàn)方法的穩(wěn)健性,本部分使用DM 檢驗(yàn)替代MCS檢驗(yàn)對前文的誤差結(jié)果進(jìn)行分析。DM 檢驗(yàn)由Diebold等[43]首次提出,本文采用了由Harvey 等[44]提出的修正的DM 檢驗(yàn)。H1A代表競爭模型比基準(zhǔn)模型預(yù)測性能更差的備擇假設(shè),H1B代表競爭模型比基準(zhǔn)模型預(yù)測性能更優(yōu)的備擇假設(shè),H1C代表兩種模型有著可區(qū)分的預(yù)測精度的備擇假設(shè)。表8給出了3種備擇假設(shè)下不同模型在h=1預(yù)測期的DM 檢驗(yàn)p值情況。

表8 DM 檢驗(yàn)結(jié)果Tab.8 DM test results

由表8前4行數(shù)據(jù)可知,在備擇假設(shè)H1A下,檢驗(yàn)結(jié)果顯著拒絕了競爭模型優(yōu)于基準(zhǔn)模型的原假設(shè),表明兩種固定參數(shù)VAR 模型未能超越SSTVP-VAR 模型的預(yù)測精度;在備擇假設(shè)H1B下,檢驗(yàn)結(jié)果無法拒絕競爭模型差于基準(zhǔn)模型SSTVP-VAR 的原假設(shè);在備擇假設(shè)H1C下,檢驗(yàn)結(jié)果表明,兩種固定參數(shù)模型與兩種SS-TVP-VAR模型有著可區(qū)分的預(yù)測精度。在3種備擇假設(shè)下,DM 檢驗(yàn)結(jié)果一致表明,兩種SS-TVP-VAR 在預(yù)測中國商品期貨市場已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣時(shí)的表現(xiàn)均優(yōu)于兩種固定參數(shù)VAR 模型。此外,通過最后一行檢驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),兩種使用不同收縮先驗(yàn)方法的SS-TVP-VAR 模型之間并無顯著的預(yù)測精度差異,表明SS-TVP-VAR 模型對具體收縮先驗(yàn)方法的選擇同樣具有穩(wěn)健性。

4 結(jié)論

通過將機(jī)器學(xué)習(xí)中的貝葉斯收縮估計(jì)和稀疏方法融入時(shí)變參數(shù)VAR 模型,本文為中國商品期貨市場已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣動(dòng)態(tài)建模和預(yù)測問題構(gòu)建了一個(gè)嶄新的SS-TVP-VAR 模型。該方法不僅能夠?qū)χ袊唐菲谪浭袌鲆褜?shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣進(jìn)行動(dòng)態(tài)建模,還能保留更為清晰的內(nèi)部驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu),方便期貨投資者從風(fēng)險(xiǎn)管理和市場管理層制定避險(xiǎn)策略、準(zhǔn)確把握期貨市場內(nèi)部以及不同期貨市場間的風(fēng)險(xiǎn)驅(qū)動(dòng)關(guān)系。實(shí)證研究發(fā)現(xiàn),在中國商品期貨市場已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣內(nèi)部驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)中,方差項(xiàng)主要由其自身滯后驅(qū)動(dòng),來自其他滯后項(xiàng)的信息有限;相反,對于協(xié)方差項(xiàng),其自身滯后僅能提供少許信息,最具預(yù)測重要性的變量多為其他滯后項(xiàng)。從統(tǒng)計(jì)和經(jīng)濟(jì)方面出發(fā),3 種預(yù)測期下的MCS 檢驗(yàn)結(jié)果表明,SSTVP-VAR 模型在對中國商品期貨市場已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣的預(yù)測中均表現(xiàn)優(yōu)異,預(yù)測精度顯著高于VAR-Lasso和VAR-ENet等固定參數(shù)模型。

本文所得結(jié)論能夠帶來以下啟示:

(1)中國單個(gè)商品期貨市場的波動(dòng)(由方差項(xiàng)刻畫)主要來自其市場內(nèi)部,由其自身滯后項(xiàng)驅(qū)動(dòng)。因此,在考察單個(gè)期貨市場的內(nèi)部風(fēng)險(xiǎn)時(shí),應(yīng)重點(diǎn)從自身市場出發(fā),考察那些對市場波動(dòng)曾產(chǎn)生較大影響的因素,因?yàn)檫@些因素依然可能會(huì)通過這種驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)成為下一期波動(dòng)的主要因素。

(2)中國商品期貨跨市場間的共同波動(dòng)(由協(xié)方差項(xiàng)刻畫)主要受自身以外的因素驅(qū)動(dòng),投資者和決策層應(yīng)關(guān)注來自其他不同市場之間的共同波動(dòng)以及其他市場內(nèi)部波動(dòng)的外溢影響。

(3)基于SS-TVP-VAR 優(yōu)異的預(yù)測表現(xiàn),投資者和決策層在對中國商品期貨市場未來協(xié)方差矩陣進(jìn)行預(yù)測時(shí),可以考慮采用時(shí)變參數(shù)模型代替固定參數(shù)模型,能夠較好地刻畫建模過程中的動(dòng)態(tài)特征。

本文不僅有助于幫助個(gè)人和機(jī)構(gòu)投資者構(gòu)建資產(chǎn)配置和進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理,還有助于中國商品期貨市場決策層從協(xié)方差矩陣內(nèi)部驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)以及預(yù)測協(xié)方差矩陣未來走勢兩個(gè)方面,對多個(gè)商品期貨市場及時(shí)制定避險(xiǎn)策略、建立預(yù)警機(jī)制,對于促進(jìn)中國商品期貨市場服務(wù)實(shí)體經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量發(fā)展、提高中國在大宗商品領(lǐng)域的國際話語權(quán)具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

附錄

附圖1 系數(shù)變化特征Fig.A1 Dynamics of coefficients in all equations

附圖2 滯后項(xiàng)PIP熱力圖——基于HS收縮先驗(yàn)方法Fig.A2 PIPs of lagged variables:Based on HS prior