裴 嵩,孫 超

(中國船舶集團公司有限公司第七二三研究所,江蘇 揚州 225101)

0 引 言

聲發(fā)射技術(shù)是無損檢測技術(shù)的一個分支,通過測量被測物內(nèi)部材料相互作用所產(chǎn)生的彈性波進行故障診斷。聲發(fā)射技術(shù)檢測到的信號是一種非平穩(wěn)信號,它在同一時刻存在多種頻率成分,加之檢測環(huán)境復雜,信號的噪聲干擾比較大,而常規(guī)的濾波方法很難使信號和噪聲有效地分離。目前,對于含有噪聲的非平穩(wěn)信號降噪效果比較好的方法就是小波分析法。在小波分析降噪的過程中,小波函數(shù)和閾值的選取直接影響著降噪效果的好壞。本文通過仿真聲發(fā)射技術(shù)獲取的信號,研究該種信號降噪過程中小波函數(shù)的選取和閾值的選取對降噪效果的影響,并比較小波降噪和小波包降噪的各自特點。

1 小波閾值降噪技術(shù)

1.1 信號在小波變換下的特征

工程上添加了高斯白噪聲的非平穩(wěn)信號的數(shù)學模型為:

f(t)=s(t)+n(t)

(1)

式中:s(t)為原始信號;n(t)為方差為σ2的高斯白噪聲,服從N(0,σ2)分布。

對含有噪聲的信號進行小波變換,將信號從時域轉(zhuǎn)換到頻域。Mallat在文獻[1]中指出,若函數(shù)x(t)的Lipschitz指數(shù)α>0,則該函數(shù)的小波變換模的極大值將隨尺度的變化成正比;若Lipschitz指數(shù)α<0,則函數(shù)的小波變換模的極大值將隨尺度的變化成反比。通常信號s(t)的Lipschitz指數(shù)α>0,而白噪聲n(t)的Lipschitz指數(shù)α<0,所以信號小波變換模的極大值隨著尺度的增大而增大,而白噪聲小波變換的模的極大值隨著尺度的增大而減小。小波變換是線性的,f(t)的小波變換等于信號s(t)的小波變換和噪聲n(t)的小波變換之和,所以可以在不同尺度上對變換結(jié)果進行閾值操作,以降低噪聲成分,達到降噪效果。

1.2 小波閾值降噪原理和過程

原始信號經(jīng)小波正交變換以后,信號對應的小波系數(shù)數(shù)目少,幅值大,包含著有用信息;噪聲對應的小波系數(shù)分布均勻,數(shù)目多,幅值小,要剔除。Donoho等人根據(jù)上述現(xiàn)象提出了基于小波閾值的降噪方法,把幅值較小的小波系數(shù)設(shè)置為0,把幅值較大的小波系數(shù)保留或者依據(jù)某種原則進行收縮[2-3]。這樣得到估計小波系數(shù)(EWC),然后利用估計出的小波系數(shù)重構(gòu)信號,達到降低噪聲、提高信噪比的效果。這一過程可以由以下3個步驟構(gòu)成:

(1) 選擇合適的小波基,對原始信號進行正交小波變換或小波包變換,得到一系列小波系數(shù);

(2) 選擇閾值,對小波系數(shù)按照一定法則進行閾值操作,得到新的小波系數(shù);

(3) 對經(jīng)過閾值操作的小波系數(shù)進行重構(gòu),得到降噪信號。

上述降噪過程如圖1所示。

圖1 小波降噪流程

1.2.1 小波變換和小波包變換

對采集到的離散數(shù)據(jù)進行小波分析的方法通常有2種:離散小波變換和小波包變換。小波變換的工程意義在于把信號分解成不同尺度系數(shù)的疊加,而每個尺度系數(shù)都包含有信號在一定頻率范圍的信息。離散小波變換是對連續(xù)小波變換尺度離散化和位移離散化的結(jié)果,其小波基函數(shù)為:

Ψj,k(t)=2-j/2Ψ(2-jt-k),j,k∈Z

(2)

離散小波變換首先選定一個尺度,再把信號和該尺度的小波函數(shù)做內(nèi)積,得到一個小波系數(shù);平移該小波函數(shù)再做內(nèi)積,得到第2個小波系數(shù);再次平移、內(nèi)積,直到得到該尺度下的所有小波系數(shù)。重復上述步驟,可以得到不同尺度的小波系數(shù),也得到了包含信號在不同頻率范圍內(nèi)信息的一系列系數(shù),分解示意圖如圖2所示。

圖2 離散小波分解示意圖

假設(shè)原信號的頻率范圍為0～Fs,則離散小波變換分解系數(shù)D1包含信息的頻率成分范圍是Fs/2～Fs,系數(shù)D2包含信息的頻率成分范圍是Fs/4～Fs/2,系數(shù)D3包含信息的頻率成分范圍是Fs/8～Fs/4,系數(shù)A3包含信息的頻率成分范圍是0～Fs/8,依次類推。與離散小波變換相比,小波包變換對低頻、高頻成分都做了分解,分解更加精細,分解結(jié)構(gòu)見圖3。

圖3 小波包分解示意圖

1.2.2 小波降噪閾值的分類

常用的閾值降噪方法有硬閾值法和軟閾值法,兩者都是對小波分解后的系數(shù)進行閾值操作,方法如下:

(1) 硬閾值函數(shù)

(3)

(2) 軟閾值函數(shù)

(4)

閾值λ直接影響信號降噪的效果。λ過大,在濾掉噪聲的同時也會把有用信息給濾除;λ過小,會保留噪聲,達不到降噪效果。目前比較流行的閾值選取規(guī)則有以下幾種:

(1) 固定閾值規(guī)則(sqtwolog規(guī)則)

(5)

式中:σ為噪聲的標準方差;N為信號的長度。

這種方法的含義是:如果信號里存在N個相互獨立且同分布規(guī)律的噪聲,那么經(jīng)過小波變換后它的系數(shù)最大值小于λ1的概率隨N的增大而趨于1。

(2) Stein無偏似然估計閾值規(guī)則(rigrsure規(guī)則)

這種方法選取閾值的步驟是:設(shè)信號長度為N,取向量P=[p1,p2,…,pN],并且p1

(6)

用R中的最小rj作為風險值,由rj的下標量j得到對應的pj,則閾值λ2=σ(pj)1/2,σ是噪聲的標準方差。

(3) 啟發(fā)式閾值規(guī)則(heursure規(guī)則)

啟發(fā)式閾值是前2種閾值的綜合。核心是根據(jù)信噪比的狀況選取閾值,若信噪比低,則使用固定閾值;若信噪比高(含噪聲小),則使用Stein無偏似然估計閾值。設(shè)s為小波系數(shù)的平方和,m為小波系數(shù)的個數(shù),令μ=(s-m)/m,η=(log2m)3/2/m1/2,則閾值為:

(7)

(4) 最大最小值閾值規(guī)則(minimaxi規(guī)則)

最大最小閾值是一種固定的閾值選擇,這種閾值處理是有誤差的,但它最小化了降噪信號和原始信號的極大均方差:

(8)

2 聲發(fā)射信號的小波降噪

2.1 聲發(fā)射信號的仿真

聲發(fā)射信號是一種典型的非平穩(wěn)、非靜態(tài)信號,其物理模型公式如下:

s(t)=A(t)ejθ(t)

(9)

根據(jù)公式(9)構(gòu)造如圖4所示的聲發(fā)射信號。

圖4 仿真信號

工程實際中的聲發(fā)射信號會夾雜著噪聲,噪聲的類型一般包括機械噪聲和電磁噪聲。機械噪聲的來源主要有:摩擦、撞擊、流體運動等。電磁噪聲的來源主要有:采集電路前置放大部分固有噪聲、接地不當引入噪聲、電子噪聲(電源、繼電器、無線電)等。加入噪聲后的仿真信號如圖5所示。

圖5 加入噪聲后的聲發(fā)射信號

2.2 聲發(fā)射信號的降噪

信號降噪過程中,選用不同的小波基函數(shù)和不同的閾值會有不同的降噪效果,這是信號降噪問題研究的關(guān)鍵。根據(jù)式(1)含噪信號模型,工程上評價降噪效果的標準有如下2個參數(shù):信噪比(SNR)和均方根誤差(RMSE):

(10)

(11)

信噪比越大,均方根誤差越小代表信號所包含的信息量大,降噪的效果好。以下著重利用這2個參數(shù)研究聲發(fā)射信號降噪過程中小波函數(shù)、閾值的選擇問題,并比較小波降噪和小波包降噪的效果。

2.2.1 小波函數(shù)的選擇

小波函數(shù)的種類很多,包括Haar,Daubechies,Symlets,Coiflets,Morlet,Mexican Hat,Meyer等。為進行離散小波變換和小波包變換,小波函數(shù)必須具備正交性,所以Morlet,Mexican Hat,Meyer等小波函數(shù)不適用于信號降噪。本文采用自適應閾值算法,對含有5 dB噪聲的聲發(fā)射信號分別用db3,db6,db8,db9,sym3,sym6,sym8,sym9,coif2,coif3,coif4,coif5小波函數(shù)降噪處理,處理結(jié)果見表1。

表1 不同小波基函數(shù)的降噪效果

由表1可見,db8,sym7,coif5等小波函數(shù)的降噪信噪比較大,而且均方根誤差較小,說明這些小波函數(shù)與信號的相似度最好,可用于降噪。

2.2.2 閾值的選擇

在上節(jié)的基礎(chǔ)上,利用sym7小波,對常用的4種閾值選取規(guī)則在硬閾值法和軟閾值法的基礎(chǔ)上進行比較。比較結(jié)果見表2[4-5]。

由表2可見,對聲發(fā)射信號的處理中,在軟閾值降噪法基礎(chǔ)上,用Stein無偏似然估計得到的閾值取得的降噪效果最好,但數(shù)據(jù)無法表明硬閾值法和軟閾值法哪個效果更好。文獻[6]對此現(xiàn)象做了研究,指出硬閾值法不能完全去除噪聲,容易引起重構(gòu)信號的局部振蕩;軟閾值法通過減少所有系數(shù)的閾值來減少噪聲,重構(gòu)信號雖然光滑但精度差。

2.2.3 小波降噪和小波包降噪的比較

由1.2.1節(jié)的論述可知小波包對信號在頻域的分解比小波對信號在頻域的分解更加精細,小波包變換對信號的高頻成分也做了分解。本文對含有噪聲5 dB的聲發(fā)射信號在同一閾值的基礎(chǔ)上,分別用小波變換和小波包變換降噪,效果見表3。

表3 小波降噪和小波包降噪的比較

由表3不能看出小波降噪和小波包降噪的差別。現(xiàn)選擇sym7小波函數(shù)對信號分解,通過分析小波包分解的能量圖可以看出:最底層的分解中,含有噪聲的聲發(fā)射信號的熵值在SAAA節(jié)點最小,說明能量主要集中在該節(jié)點上,經(jīng)計算該點能量值為76.04,見圖6。

圖6 小波包分解節(jié)點的熵值(上)和能量(下)

小波降噪與小波包降噪?yún)^(qū)別不大,而聲發(fā)射信號的能量主要集中在低頻范圍內(nèi),由于NAAD節(jié)點的能量為5.82,較其它尺度的節(jié)點包含能量大,可以通過調(diào)節(jié)該節(jié)點的閾值來找出降噪效果和節(jié)點能量的關(guān)系。設(shè)計閾值和降噪效果如表4所示。

表4 高能量點閾值與降噪的關(guān)系

再看看小能量的節(jié)點,通過圖6可以發(fā)現(xiàn)節(jié)點NADD的能量為2.57,比較小,可以調(diào)節(jié)這兩節(jié)點的閾值來驗證降噪效果和節(jié)點能量的關(guān)系(保持NAAD節(jié)點的閾值0.4不變),設(shè)計閾值和降噪效果如表5。

表5 低能量點閾值與降噪的關(guān)系

比較表4和表5可以得到,聲發(fā)射信號的降噪效果與分解層節(jié)點的能量有關(guān),高能量點的閾值減少時或者低能量點的閾值增加時,降噪效果得到提高。

3 結(jié)束語

綜合以上分析可以歸納出:(1)當聲發(fā)射信號能量比較集中,利用小波變換就可以很好地降噪,并且能減少計算量;若能量比較分散,小波包降噪因為尺度比小波降噪更加精細,降噪效果要比小波變換好;(2)對能量分散的信號進行小波包變換后,針對不同頻段能量的大小分別設(shè)置不同的閾值,可以獲得更好的降噪效果。

圖7對仿真聲發(fā)射信號進行了局部放大,比較原始信號、小波降噪后的信號以及小波包能量改進降噪后的信號,可以發(fā)現(xiàn)依賴小波包能量改進降噪的效果要比小波降噪的效果好。

圖7 原始信號、小波降噪信號、能量改進小波包降噪信號