王磊 ，李正良 ，2，王濤

［1.重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400045；2.山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（重慶大學(xué)），重慶 400045；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 交通科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150040；4.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 哈爾濱工業(yè)大學(xué)重慶研究院，重慶 401151］

輸電線路作為重要的生命線工程，其安全運(yùn)行是保證國(guó)家經(jīng)濟(jì)發(fā)展與人民幸福生活的基礎(chǔ).隨著我國(guó)電力行業(yè)的快速發(fā)展，電網(wǎng)布設(shè)范圍更加廣泛，輸電線路不可避免地跨越地震頻發(fā)區(qū)［1］.近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外已有多起地震引發(fā)的輸電線路破壞事故［2］，這些事故不僅影響人們的正常生活，也使各國(guó)經(jīng)濟(jì)遭受巨大損失.因此，為保障電力系統(tǒng)正常運(yùn)行以及地震災(zāi)后恢復(fù)，有必要對(duì)輸電線路的抗震性能展開(kāi)研究.

在以往輸電塔設(shè)計(jì)中，通常假設(shè)地基土為剛性，導(dǎo)線作用則等效為靜力荷載施加于塔體，當(dāng)輸電線路承受地震荷載時(shí)，上述假設(shè)下的結(jié)構(gòu)計(jì)算響應(yīng)與實(shí)際情況之間往往有較大誤差［3］.在輸電塔抗震設(shè)計(jì)中，若忽略土結(jié)相互作用以及塔線耦合作用，可能會(huì)低估結(jié)構(gòu)響應(yīng)，造成工程安全隱患.為此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)考慮兩種作用的輸電塔結(jié)構(gòu)抗震分析進(jìn)行了大量的研究，并提出了相應(yīng)的力學(xué)模型［4-8］.然而，上述研究多為確定性分析，實(shí)際地震動(dòng)過(guò)程具有很強(qiáng)的隨機(jī)性，考慮到地震不確定性，從概率的角度對(duì)考慮SSI效應(yīng)的輸電塔-線耦合系統(tǒng)進(jìn)行抗震可靠度分析，對(duì)結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)及地震風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估都具有重要意義.

1984年，Peyrot等［9］提出了基于可靠度的輸電塔設(shè)計(jì)，此后，各國(guó)學(xué)者對(duì)輸電線路的可靠度展開(kāi)研究.Natarajan 等［10］將風(fēng)荷載與構(gòu)件抗力視為隨機(jī)變量，對(duì)輸電塔體系進(jìn)行可靠度分析.俞登科等［11］基于等效隨機(jī)靜風(fēng)荷載模型，考慮荷載隨機(jī)性，采用矩方法分析特高壓輸電塔的抗風(fēng)體系可靠度.熊鐵華等［12］建立覆冰荷載作用下輸電塔失效模式的識(shí)別方法，并將所有的失效模式組成一個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)，計(jì)算覆冰荷載下輸電塔-線體系可靠度.孔偉等［13］考慮覆冰厚度和風(fēng)速的隨機(jī)性，對(duì)大風(fēng)覆冰工況下的輸電塔可靠度進(jìn)行分析.熊鐵華等［14］則將覆冰厚度、風(fēng)速以及材料強(qiáng)度均視為隨機(jī)變量，采用響應(yīng)面法模擬輸電桿塔構(gòu)件極限狀態(tài)方程，并對(duì)構(gòu)件可靠度進(jìn)行求解.白海峰等［15］提出一種輸電塔風(fēng)致疲勞可靠度分析及疲勞壽命的預(yù)測(cè)方法.以上研究主要關(guān)注風(fēng)荷載以及覆冰荷載作用下的輸電塔可靠度分析.此外，亦有學(xué)者對(duì)輸電塔抗震可靠度展開(kāi)研究，例如，劉玉龍等［16］根據(jù)實(shí)測(cè)資料，得到地震反應(yīng)譜法中特征周期和地震影響系數(shù)最大值的概率分布及相關(guān)系數(shù)，考慮以上兩參數(shù)隨機(jī)性，對(duì)輸電塔進(jìn)行抗震可靠度分析.黃帥等［17］運(yùn)用正交展開(kāi)方法得到隨機(jī)地震動(dòng)，并基于概率密度演化理論，進(jìn)行輸電塔順線方向的抗震可靠度分析.總體而言，學(xué)者對(duì)輸電塔抗震可靠度的研究仍然較少，考慮SSI 效應(yīng)的塔-線體系抗震可靠度更鮮有涉及.

本文提出了隨機(jī)地震激勵(lì)下考慮SSI 效應(yīng)的輸電塔-線耦合系統(tǒng)抗震可靠度分析方法.首先，建立耦合系統(tǒng)的簡(jiǎn)化力學(xué)模型；其次，以隨機(jī)函數(shù)-譜表示方法生成隨機(jī)地震動(dòng)，并基于簡(jiǎn)化力學(xué)模型計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)極值；最后，采用基于GF-偏差點(diǎn)集的樣本分?jǐn)?shù)矩最大熵法重構(gòu)等價(jià)極值事件概率密度函數(shù)，并求解系統(tǒng)抗震可靠度.以一實(shí)際算例證明了本文方法具有較高的精度和計(jì)算效率.

1 考慮SSI 效應(yīng)的輸電塔-線耦合系統(tǒng)簡(jiǎn)化力學(xué)模型

1.1 輸電塔-線體系簡(jiǎn)化模型

現(xiàn)有輸電塔-線體系簡(jiǎn)化模型中，較為典型的是如圖1 所示的輸電塔-線體系多質(zhì)點(diǎn)力學(xué)模型［4］.該模型將輸電塔簡(jiǎn)化為串聯(lián)多自由度體系，導(dǎo)線簡(jiǎn)化為集中質(zhì)點(diǎn)，導(dǎo)線在塔-線體系側(cè)向振動(dòng)和縱向振動(dòng)中分別等效為錘鏈和懸索.如圖1（b）所示，在塔-線體系側(cè)向振動(dòng)模型中，輸電塔可簡(jiǎn)化為N個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)，即m1，m2，…，mj，…，mN，單層導(dǎo)線可簡(jiǎn)化為2 個(gè)錘鏈，即mAi、mBi，若塔-線體系具有n層導(dǎo)線，則該模型具有2n+N個(gè)自由度，其振動(dòng)為彈性-重力耦聯(lián)振動(dòng).

經(jīng)推導(dǎo)，可得輸電塔-線體系隨機(jī)地震作用下的側(cè)向振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程為：

式中：u為側(cè)向振動(dòng)位移向量為速度向量為加速度向量為隨機(jī)地震動(dòng)加速度；I為單位向量；M、K和C分別為質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣.剛度矩陣K可表示為：

式中：h為絕緣子長(zhǎng)度；h1與h2定義見(jiàn)圖1；kj，j為輸電塔剛度系數(shù)，可采用輸電塔-線體系空間有限元模型，通過(guò)自由度靜態(tài)縮聚的方法獲得.

式（1）中，質(zhì)量矩陣M采用集中質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣C采用瑞雷阻尼矩陣，其表達(dá)式分別為：

式中：α=2ξω1ω2∕（ω1+ω2）；β=2ξ∕（ω1+ω2）；ξ為阻尼比；ω1、ω2為輸電塔前兩階頻率，可由輸電塔空間有限元模型模態(tài)分析得到.

1.2 下部結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化模型

本文將塔底基礎(chǔ)簡(jiǎn)化為具有等效質(zhì)量m0和等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I0的集中質(zhì)點(diǎn).在土結(jié)相互作用的計(jì)算中，集中參數(shù)模型計(jì)算簡(jiǎn)單，應(yīng)用方便，本文采用S-R（Swaying-Rocking）模型來(lái)考慮地震作用下地基土對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響，且不考慮結(jié)構(gòu)豎向振動(dòng).該模型在基礎(chǔ)平動(dòng)方向和轉(zhuǎn)動(dòng)方向均設(shè)置彈簧和阻尼器，彈簧及阻尼參數(shù)由阻抗函數(shù)確定［18］：

式中：KS、KR分別為水平振動(dòng)和搖擺振動(dòng)的剛度阻抗；CS、CR為相應(yīng)的阻尼阻抗；ρ為土體質(zhì)量密度；v為土體泊松比；VS為土體剪切波速；r為基礎(chǔ)底板等效半徑，若等效基礎(chǔ)為圓形基礎(chǔ)，等效面積為A0，等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I0，則對(duì)于平動(dòng)，r=（A0∕π）1∕2，對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)，r=（4I0∕π）1∕4.參考《建筑與市政工程抗震通用規(guī)范》（GB 55002—2021）［19］，假設(shè)3種地基土體參數(shù)如表1所示.

表1 土體參數(shù)Tab.1 Parameters of different soil types

1.3 耦合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

如圖2 所示，將塔-線體系的多質(zhì)點(diǎn)模型、基礎(chǔ)簡(jiǎn)化模型和下部地基的彈簧-阻尼模型結(jié)合，可建立考慮SSI效應(yīng)的塔-線耦合系統(tǒng)簡(jiǎn)化力學(xué)模型.

圖2 考慮SSI效應(yīng)的輸電塔-線耦合系統(tǒng)簡(jiǎn)化力學(xué)模型Fig.2 Simplified mechanical model of transmission tower-line coupling system considering SSI effect

基于式（1），可得考慮基礎(chǔ)位移的塔-線體系多質(zhì)點(diǎn)模型側(cè)向振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程：

建立基礎(chǔ)塔-線體系多質(zhì)點(diǎn)模型的水平力平衡方程和關(guān)于過(guò)基礎(chǔ)形心軸的力矩平衡方程：

式中：mk、hk和Ik分別代表塔-線體系中第k個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量、離地高度、相對(duì)加速度以及繞基礎(chǔ)形心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m0為基礎(chǔ)等效質(zhì)量；I0為基礎(chǔ)等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；V0和M0分別為地基土與基礎(chǔ)之間的相互作用的剪力和力矩，其可表示如下［20］：

式中：u0與θ0分別為基礎(chǔ)相對(duì)地面的平動(dòng)位移和轉(zhuǎn)動(dòng)位移；KS、CS由式（5）確定；KR、CR由式（6）確定.

聯(lián)立式（7）～式（10），可得考慮SSI 效應(yīng)的塔-線耦合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程：

矩陣m與h計(jì)算式如下：

2 考慮SSI 效應(yīng)的輸電塔-線耦合系統(tǒng)抗震可靠度分析方法

2.1 抗震可靠度分析的等價(jià)極值事件

對(duì)一考慮荷載不確定性的結(jié)構(gòu)體系，其動(dòng)力響應(yīng)可表示為包含荷載不確定參數(shù)Θ的隨機(jī)過(guò)程.對(duì)于本文提出的考慮SSI效應(yīng)的輸電塔-線耦合系統(tǒng)簡(jiǎn)化力學(xué)模型，動(dòng)力位移響應(yīng)Ui（Θ，t）控制下的結(jié)構(gòu)整體失效概率可表示為：

式中：Pr 表示概率；U*為位移閾值；T為荷載持續(xù)時(shí)間.對(duì)式（12）直接求解較為困難，可基于等價(jià)極值事件的思想［21］，構(gòu)造一個(gè)等價(jià)極值事件：

式（12）可轉(zhuǎn)化為：

若等價(jià)極值事件Ue的概率密度函數(shù)為，則結(jié)構(gòu)失效概率可進(jìn)一步表示為：

本文基于隨機(jī)函數(shù)-譜表示方法模擬隨機(jī)地震動(dòng)，采用基于GF-偏差點(diǎn)集的樣本分?jǐn)?shù)矩最大熵法估計(jì)等價(jià)極值事件Ue的概率密度函數(shù)，進(jìn)而分析考慮SSI效應(yīng)的塔-線耦合系統(tǒng)抗震可靠度.

2.2 基于隨機(jī)函數(shù)-譜表示方法的平穩(wěn)隨機(jī)地震動(dòng)過(guò)程

基于隨機(jī)過(guò)程的演變譜表示理論，平穩(wěn)隨機(jī)地震動(dòng)過(guò)程üg（t）可表示為［22］：

式中：｛Xk，Yk｝為一組標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量；ωk為圓頻率；Δω為頻率間隔；ωk=kΔω，k=1，2，…，N；SU（ωk）為隨機(jī)地震動(dòng)過(guò)程üg（t）的雙邊功率譜密度函數(shù).

基于式（16）的隨機(jī)過(guò)程演變譜表示方法，文獻(xiàn)［22］用隨機(jī)函數(shù)來(lái)構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量，降低了問(wèn)題維度，提高了隨機(jī)過(guò)程的模擬效率.當(dāng)采用單個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)造隨機(jī)函數(shù)時(shí)，有［22］：

式中：隨機(jī)變量Θ服從區(qū)間［-π，π］上的均勻分布；α為常數(shù)，可取π∕4.通過(guò)一定的選點(diǎn)方法得到隨機(jī)變量Θ的樣本值，代入式（17），得到一組隨機(jī)數(shù)，n=1，2，…，N，由與式（16）中｛Xk，Yk｝的映射關(guān)系，得到一組正交隨機(jī)數(shù)｛Xk，Yk｝，k=1，2，…，N，代入式（16），即可獲得平穩(wěn)隨機(jī)地震動(dòng)過(guò)程üg（t）基于隨機(jī)函數(shù)-譜表示的結(jié)果.

2.3 基于GF-偏差點(diǎn)集的樣本分?jǐn)?shù)矩最大熵法

傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)矩最大熵法采用單變量降維進(jìn)行分?jǐn)?shù)矩估計(jì)［23］，其計(jì)算精度受功能函數(shù)形式的影響，難以廣泛地適用于復(fù)雜工程問(wèn)題.因此，本文發(fā)展了一類(lèi)基于GF-偏差點(diǎn)集的樣本分?jǐn)?shù)矩最大熵法，進(jìn)行考慮SSI 效應(yīng)的輸電塔-線耦合系統(tǒng)抗震可靠度分析.

2.3.1 基于GF-偏差點(diǎn)集的極值變量分?jǐn)?shù)矩估計(jì)

對(duì)于式（13）定義的等價(jià)極值事件Ue，其α階分?jǐn)?shù)矩可表示如下：

式中：α為任意實(shí)數(shù)；為變量Ue的概率密度函數(shù)；Ω為變量Ue分布域.

將變量ua在常數(shù)c處進(jìn)行泰勒（Taylor）展開(kāi)可得：

對(duì)等式（19）兩邊求取期望得：

由式（20）可知，變量的任意階分?jǐn)?shù)矩包含了無(wú)窮整數(shù)矩信息，因此，少量分?jǐn)?shù)矩即可刻畫(huà)變量的概率分布特征，包括尾部信息.

根據(jù)式（18），變量Ue的各階分?jǐn)?shù)矩可采用樣本值進(jìn)行估計(jì)，即

式中：u（i）（i=1，2，…，N）為變量Ue的樣本點(diǎn).

為了精確地估計(jì)變量Ue的分?jǐn)?shù)矩，本文采用文獻(xiàn)［24］提出的GF-偏差點(diǎn)集選取樣本點(diǎn).具體地，若Ψn=｛uq=（uq，1，uq，2，…，uq，k），q=1，2，…，n｝為一個(gè)k維點(diǎn)集，則其GF-偏差定義為：

式中：uq，i是uq的第i個(gè)分量；Pq是點(diǎn)uq的賦得概率.GF 偏差越小，點(diǎn)集越佳.有關(guān)GF-偏差點(diǎn)集的詳細(xì)內(nèi)容可參考文獻(xiàn)［24］.

2.3.2 樣本分?jǐn)?shù)矩最大熵法

對(duì)于變量Ue，若其概率密度函數(shù)為fUe(u)，其信息熵定義為：

以變量Ue的熵取最大值為目標(biāo)函數(shù)，以其分?jǐn)?shù)矩，k=1，2，…，m為約束條件，可建立優(yōu)化模型［23］：

引入Lagrange 乘子，將上述優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化模型，定義Lagrange函數(shù)如下：

式中：λ=[λ0，λ1，…，λm]T為L(zhǎng)agrange 乘子向量；α=[α0，α1，…，αm]T為分?jǐn)?shù)矩的階次向量.

上述無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題在其最優(yōu)解處需滿足?L[λ，α(u)]∕?(u))=0，從而可得(u)的估計(jì)表達(dá)式：

式中：λ0為信息熵概率密度函數(shù)歸一化參數(shù)，其計(jì)算式如下.

通過(guò)數(shù)值算法求解式（29）的優(yōu)化問(wèn)題，得到參數(shù)λ與α的最優(yōu)解，將計(jì)算結(jié)果代入式（27），可求得變量Ue的概率密度函數(shù)的估計(jì)式.

3 算例分析

3.1 工程概況

本文以某特高壓交流輸變電線路的直線塔為 研究對(duì)象，考慮SSI效應(yīng)和塔-線耦合作用，對(duì)其抗震可靠度進(jìn)行分析.直線塔總高108 m，呼高60 m，塔腿根開(kāi)20.2 m，其平面尺寸如圖3 所示.輸電線路擋距為600 m，單跨線路含有4 層8 根導(dǎo)、地線.導(dǎo)、地線通過(guò)懸垂絕緣子與輸電塔相連，導(dǎo)、地線懸垂絕緣子長(zhǎng)度分別為13 m和0.6 m，導(dǎo)線單位長(zhǎng)度質(zhì)量為2.06 kg∕m，地線單位長(zhǎng)度質(zhì)量為1.747 kg∕m.塔底基礎(chǔ)為獨(dú)立基礎(chǔ)，各塔腿下的獨(dú)立基礎(chǔ)尺寸為6 m×6 m×1.2 m.

圖3 直線塔平面尺寸（單位：mm）Fig.3 Dimension of the suspension tower（unit：mm）

3.1.1 上部結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化

塔-線體系有限元模型如圖4 所示，將輸電塔簡(jiǎn)化為11 個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)，輸電塔各集中質(zhì)點(diǎn)的高度和質(zhì)量如表2 所示.每層導(dǎo)、地線簡(jiǎn)化為2 個(gè)錘鏈，由于懸垂絕緣子的重量較大不能忽略，導(dǎo)、地線的上下錘鏈質(zhì)量不同，上錘鏈質(zhì)量mB等于導(dǎo)、地線一半質(zhì)量加上懸垂絕緣子質(zhì)量，下錘鏈質(zhì)量mA等于導(dǎo)、地線一半的質(zhì)量.經(jīng)計(jì)算，對(duì)于地線，mB=1 148 kg，mA=1 048 kg；對(duì)于導(dǎo)線，mB=7 236 kg，mA=1 236 kg.

表2 直線塔計(jì)算參數(shù)Tab.2 Calculate parameters of the suspension tower

圖4 塔-線體系有限元模型Fig.4 Finite element model of the transmission tower-line system

為求解輸電塔剛度系數(shù)kj，j和輸電塔前2 階頻率ω1、ω2，運(yùn)用有限元軟件ANSYS 建立輸電塔-線體系有限元模型（圖4）.塔體桿件采用BEAM188 梁?jiǎn)卧M，因桿件連接方式均為法蘭連接，將桿件密度均除以0.75 來(lái)考慮該連接對(duì)質(zhì)量的影響；輸電線和絕緣子均采用LINK10 桿單元來(lái)模擬，輸電線遠(yuǎn)端和輸電塔底端均采用固結(jié)模擬.

3.1.2 下部結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化

將塔腳下4 個(gè)獨(dú)立基礎(chǔ)等效為一個(gè)圓形基礎(chǔ)，耦合系統(tǒng)簡(jiǎn)化力學(xué)模型中基礎(chǔ)等效集中質(zhì)點(diǎn)的位置取圓形基礎(chǔ)的圓心，如圖5 所示.等效基礎(chǔ)面積A0取獨(dú)立基礎(chǔ)底面積之和，截面慣性矩I0取獨(dú)立基礎(chǔ)對(duì)塔基對(duì)稱(chēng)軸的慣性矩之和，計(jì)算得基礎(chǔ)等效質(zhì)量m0=449 280 kg，等效面積A0=144 m2，等效慣性矩I0=47 232 806.4 kg·m2，基礎(chǔ)平動(dòng)等效半徑為6.77 m，基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)等效半徑為11.78 m.將不同地基土土體參數(shù)及基礎(chǔ)等效半徑代入式（5）和式（6），可得土體等效剛度和等效阻尼，如表3所示.由表3可知，土體越軟，其等效剛度和等效阻尼值越小.

表3 土體等效剛度和等效阻尼Tab.3 Equivalent stiffness coefficient and damping coefficient of soil

圖5 塔底等效基礎(chǔ)Fig.5 Equivalent foundation of the transmission tower

3.2 隨機(jī)地震動(dòng)模擬

基于隨機(jī)函數(shù)-譜表示方法，模擬隨機(jī)地震動(dòng)加速度時(shí)程.考慮Clough-Penzien譜［25］：

式中：S（ω）為雙邊功率譜；ωg、ξg分別為場(chǎng)地土的卓越圓頻率和阻尼比；ωf、ξf分別為基巖的卓越圓頻率和阻尼比；S0為譜強(qiáng)度因子，其計(jì)算式如下.

式中：amax為地震動(dòng)峰值加速度；r為峰值因子.

本算例中，考慮抗震設(shè)防烈度8 度，場(chǎng)地類(lèi)別Ⅳ類(lèi)，設(shè)計(jì)地震分組為第2 組，設(shè)計(jì)基本地震加速度0.2g.基于文獻(xiàn)［26］，本文的功率譜參數(shù)選取如下：ωg=8.38 rad∕s，ξg=0.90，ωf=0.838 rad∕s，ξf=0.90，r=2.60，amax=200 cm∕s2.在地震動(dòng)隨機(jī)過(guò)程的譜表達(dá)中，參數(shù)ωu=240 rad∕s，Δω=0.15 rad∕s，N=1 601，T=20 s，Δt=0.01 s，滿足Δt＜π∕ωu.

基于GF-偏差點(diǎn)集選取式（17）中隨機(jī)變量Θ的樣本點(diǎn)，選點(diǎn)總數(shù)為500.根據(jù)式（17）的結(jié)果及映射方式，得到式（16）中標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量的確定性取值，并模擬生成500 條隨機(jī)地震動(dòng)加速度時(shí)程樣本.圖6為隨機(jī)地震動(dòng)加速度時(shí)程代表樣本；圖7為樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差，其吻合度良好；圖8 為樣本均值功率譜與目標(biāo)值，其吻合程度也較為理想.

圖6 隨機(jī)地震動(dòng)加速度時(shí)程代表樣本Fig.6 Representative sample of stochastic seismic acceleration process

圖7 樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差Fig.7 The mean and standard deviation of samples

圖8 樣本均值功率譜與目標(biāo)值Fig.8 The mean power spectral density of samples and target values

3.3 典型隨機(jī)地震動(dòng)樣本的耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分析

采用隨機(jī)函數(shù)-譜表示方法模擬生成隨機(jī)地震動(dòng)后，將隨機(jī)地震動(dòng)加速度沿垂直于導(dǎo)線方向作用于耦合系統(tǒng).采用第1 節(jié)所述方法，考慮地基土類(lèi)型為Ⅳ類(lèi)（軟弱土），分別建立單塔、單塔地基、塔-線、塔-線地基4種體系的側(cè)向振動(dòng)簡(jiǎn)化模型.基于圖6，采用Newmark-β積分法進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程分析.各體系塔頂位移與加速度最大值的結(jié)果如表4所示，圖9和圖10分別為不同體系塔頂位移和加速度時(shí)程曲線.

表4 塔頂位移與加速度最大值（不同體系）Tab.4 The maximum value of vertex displacement and acceleration（different systems）

圖9 塔頂位移時(shí)程曲線（不同體系）Fig.9 Time history curves of the vertex displacement of transmission tower（different systems）

圖10 塔頂加速度時(shí)程曲線（不同體系）Fig.10 Time history curves of the vertex acceleration of transmission tower（different systems）

由表4 和圖9 可知，當(dāng)塔底地基土為軟弱土?xí)r，單塔考慮SSI 效應(yīng)后，塔頂最大位移增大46.59%，且塔頂位移時(shí)程曲線形狀與單塔體系明顯不同；單塔考慮塔-線耦合作用后，塔頂最大位移減小0.51%，位移時(shí)程曲線形狀與單塔體系基本相同.在隨機(jī)地震作用下，當(dāng)?shù)鼗凛^軟時(shí)，土結(jié)相互作用對(duì)輸電塔的位移響應(yīng)影響較大，在塔體抗震設(shè)計(jì)中不易忽視，而塔-線耦合作用對(duì)位移響應(yīng)影響較小，且導(dǎo)線有一定的減震作用.

由表4和圖10可知，當(dāng)塔底地基土為軟弱土?xí)r，單塔考慮SSI 效應(yīng)后，塔頂最大加速度增大17.43%；單塔考慮塔-線耦合作用后，塔頂最大加速度增大1.74%.在隨機(jī)地震作用下，當(dāng)?shù)鼗凛^軟時(shí)，土結(jié)相互作用對(duì)輸電塔的加速度響應(yīng)影響較大，而塔-線耦合作用對(duì)加速度響應(yīng)影響較小.

3.4 典型隨機(jī)地震動(dòng)樣本下不同土體類(lèi)型對(duì)耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響

考慮不同的地基土工況，基于圖6 隨機(jī)地震動(dòng)加速度時(shí)程代表樣本，對(duì)耦合系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程分析.表5 為不同工況下，耦合系統(tǒng)塔頂位移與加速度的最大值結(jié)果，圖11和圖12分別為不同工況耦合系統(tǒng)塔頂位移和加速度的時(shí)程曲線，其中固定端代表塔底地基土為剛性.

表5 塔頂位移與加速度最大值（不同工況）Tab.5 The maximum value of vertex displacement and acceleration（different conditions）

圖11 塔頂位移時(shí)程曲線（不同工況）Fig.11 Time history curves of the vertex displacement of transmission tower（different conditions）

圖12 塔頂加速度時(shí)程曲線（不同工況）Fig.12 Time history curves of the vertex acceleration of transmission tower（different conditions）

由表5 可知，地基土越軟，塔頂位移及加速度響應(yīng)最大值越大.觀察圖11 和圖12 可知，在0～5 s 內(nèi)，不同工況下塔頂位移和加速度響應(yīng)形狀基本一致，幅值也基本相同；在5～20 s內(nèi)，不同工況下塔頂位移響應(yīng)時(shí)程曲線波形基本一致，但幅值明顯不同，地基土越軟，幅值越大；在5～20 s內(nèi)，4種工況的塔頂加速度響應(yīng)也有明顯差別.

3.5 耦合系統(tǒng)抗震可靠度分析

考慮地基土為軟弱土，以輸電塔位移響應(yīng)為控制變量進(jìn)行耦合系統(tǒng)抗震可靠度分析，塔頂位移響應(yīng)極值為本文構(gòu)造的等價(jià)極值事件.以500 條隨機(jī)函數(shù)-譜表示方法生成的隨機(jī)地震動(dòng)加速度時(shí)程樣本計(jì)算塔頂位移響應(yīng)極值，采用樣本分?jǐn)?shù)矩最大熵法構(gòu)建極值變量概率密度函數(shù)，并基于式（15）求解結(jié)構(gòu)失效概率.采用單純形算法求解式（29）的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，在MATLAB 中，分別設(shè)置拉格朗日乘子λ與分?jǐn)?shù)矩指數(shù)α的初始值為隨機(jī)數(shù)“1 000×rand（）”和“rand（）”.此外，本文進(jìn)行106次蒙特卡洛模擬（Monte Carlo Simulation，MCS）計(jì)算，用于驗(yàn)證建議方法的有效性.塔頂位移響應(yīng)極值的概率密度函數(shù)（Probability Density Function，PDF）如圖13所示.不同體系極值變量的PDF 如圖14 所示.《110～750 kV 架空輸電線路設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50545—2010）［27］規(guī)定了懸垂直線自立式鐵塔的計(jì)算撓度限值為3h∕1 000，其中h為桿塔最長(zhǎng)腿基礎(chǔ)頂面起至計(jì)算點(diǎn)高度，計(jì)算得塔頂位移閾值為0.324 m，基于構(gòu)建的概率密度函數(shù)求解系統(tǒng)失效概率，計(jì)算結(jié)果如表6所示.

表6 不同體系的失效概率Tab.6 Failure probabilities of different systems

圖13 塔頂位移響應(yīng)極值的PDFFig.13 PDF of extreme value of the vertex displacement of transmission tower

圖14 不同體系極值變量的PDFFig.14 PDF of extreme variable of different systems of transmission tower

由圖13 可知，采用本文方法得到的塔頂位移響應(yīng)極值的概率密度函數(shù)與MCS 結(jié)果吻合良好，尾部刻畫(huà)精確.此外，由表6 可知，采用本文方法計(jì)算的結(jié)構(gòu)失效概率與MCS 結(jié)果相接近，最大相對(duì)誤差為9.97%.且相較于一百萬(wàn)次MCS 法，建議方法僅需500次結(jié)構(gòu)分析便可精確求解失效概率，具有較高的計(jì)算效率.

由圖14 可知，若塔下地基土為軟弱土，當(dāng)考慮SSI 效應(yīng)時(shí)，塔頂位移極值的概率密度函數(shù)峰值減小，曲線明顯右移，這說(shuō)明塔頂位移響應(yīng)增大，系統(tǒng)失效概率上升；而考慮塔-線耦合作用時(shí)，概率密度函數(shù)峰值增大，曲線輕微左移，這說(shuō)明塔頂位移響應(yīng)減小，系統(tǒng)失效概率下降.

圖15 為各體系失效概率相對(duì)于單塔的變化幅度.由圖15 可見(jiàn)，基于本文方法的計(jì)算結(jié)果，相對(duì)于單塔體系，單塔地基、塔-線、塔-線地基的失效概率變化幅度分別為96.72%、-15.71%、70.32%；基于MCS 的計(jì)算結(jié)果，對(duì)應(yīng)的失效概率變化幅度分別為88.48%、-13.61%、68.17%.由此可知，對(duì)于輸電塔抗震可靠度，若以塔體位移為控制變量，當(dāng)塔底地基土較軟時(shí)，土結(jié)相互作用將增加結(jié)構(gòu)失效概率，且幅度較大；而塔-線耦合作用將減小結(jié)構(gòu)失效概率，但幅度較小.

圖15 失效概率變化幅度Fig.15 The variation of failure probability

4 結(jié)論

本文建立了考慮SSI效應(yīng)的輸電塔-線耦合系統(tǒng)的簡(jiǎn)化力學(xué)模型，并推導(dǎo)了在隨機(jī)地震作用下系統(tǒng)側(cè)向振動(dòng)的一般運(yùn)動(dòng)方程.結(jié)合隨機(jī)函數(shù)-譜表示方法和基于GF-偏差點(diǎn)集的樣本分?jǐn)?shù)矩最大熵法，建立考慮SSI效應(yīng)的輸電塔-線耦合系統(tǒng)抗震可靠度分析方法.選取工程中某特高壓輸電塔-線體系，進(jìn)行結(jié)構(gòu)抗震可靠度分析，其計(jì)算結(jié)果表明：

1）輸電塔結(jié)構(gòu)考慮SSI 效應(yīng)時(shí)，塔底地基土越軟，塔頂位移與加速度響應(yīng)越大；當(dāng)塔底地基土為軟弱土?xí)r，塔頂位移響應(yīng)最大值增幅較大，結(jié)構(gòu)失效概率顯著增加.

2）輸電塔結(jié)構(gòu)考慮塔-線耦合作用時(shí)，輸電塔位移響應(yīng)減小，但減小幅度較低，這說(shuō)明導(dǎo)線具有一定的減震效果，結(jié)構(gòu)失效概率有所減小.

3）本文方法可精確構(gòu)建等價(jià)極值事件的概率密度函數(shù)，且結(jié)構(gòu)失效概率的計(jì)算精度較高.相較于MCS 法，建議方法僅需少量的結(jié)構(gòu)分析即可計(jì)算結(jié)構(gòu)失效概率，計(jì)算效率顯著提升.

本文提出的考慮SSI效應(yīng)輸電塔-線耦合系統(tǒng)抗震可靠度分析方法當(dāng)前僅用于線性耦合系統(tǒng)中，其亦有望被推廣到非線性耦合系統(tǒng).此外，為使該耦合系統(tǒng)抗震可靠度更接近工程實(shí)際，在未來(lái)的工作中，可在本文建議方法的基礎(chǔ)上考慮地震非平穩(wěn)性和結(jié)構(gòu)不確定性進(jìn)行深入研究.