儀凌霄，潘斯寧，2，劉志成，劉應(yīng)忠

(1.賀州學院人工智能學院，廣西賀州 542899；2.桂林電子科技大學機電工程學院，廣西桂林 541004)

0 前言

隨著我國從制造大國向制造強國的戰(zhàn)略轉(zhuǎn)型，工業(yè)機器人的技術(shù)水平在不斷提升，但我國目前在高精度、高性能等技術(shù)領(lǐng)域仍舊較國外存在差距[1-2]。由于工業(yè)機器人關(guān)節(jié)長期作業(yè)使得關(guān)節(jié)出現(xiàn)磨損，進而導致關(guān)節(jié)出現(xiàn)間隙，加劇關(guān)節(jié)傳動系統(tǒng)的諧振，直接影響工業(yè)機器人關(guān)節(jié)運動的穩(wěn)定性和末端定位精度。

楊立歡等[3]為探究減速器間隙對機械臂動力學特性的影響，提高機械臂的控制及擺位精度，建立了RV減速器中心輪與行星輪之間的齒側(cè)間隙動力學模型，通過仿真驗證表明關(guān)節(jié)齒側(cè)間隙會使加速度出現(xiàn)非周期波動且波動幅值隨間隙增加而增大。鄭坤明、張秋菊[4]為研究關(guān)節(jié)間隙對定位精度的影響，以Delta機器人為研究對象，通過對機器人關(guān)節(jié)間隙的運動學分析，并結(jié)合 Lankarani-Nikravesh的間隙廣義碰撞力研究，驗證了間隙模型的合理性與正確性。蘇成志等[5]為解決機器人運行中關(guān)節(jié)處的異響和振動現(xiàn)象，建立關(guān)節(jié)運動副間隙模型，分析了系統(tǒng)的固有頻率。張珩、肖歆昕[6]從伺服系統(tǒng)的振動角度考慮齒輪傳動中的間隙，通過閉環(huán)弱自激振動策略推導出新的間隙辨識方法。根據(jù)現(xiàn)有研究結(jié)果可以看出：關(guān)節(jié)間隙的存在僅會降低機器人的各階固有頻率，不會影響系統(tǒng)的模態(tài)振型。以上學者從振動角度分析關(guān)節(jié)間隙，但并未考慮關(guān)節(jié)傳動過程中機電耦合等因素對機械臂的影響。

杜志江等[7]為提高關(guān)節(jié)建模精度，用遲滯模型描述關(guān)節(jié)非線性間隙特性，通過對模型的仿真分析，能夠精確描述關(guān)節(jié)特性并提高了關(guān)節(jié)建模精度。史曉鳴等[8]為揭示間隙對舵機的影響，基于希爾伯特變化針對舵機間隙設(shè)計出新的參數(shù)辨識方法，結(jié)果表明該辨識方法能準確識別出舵機的真實間隙參數(shù)。薛邵文等[9]為解決含間隙機器人關(guān)節(jié)參數(shù)難以精確獲取等問題，利用改進遺傳算法對二連桿機構(gòu)進行參數(shù)辨識，研究結(jié)果表明改進遺傳算法辨識精度較傳統(tǒng)算法高，收斂速度快。但在實際辨識中，作者將工業(yè)機器人簡化為二連桿，忽略了實際關(guān)節(jié)中存在的剛度阻尼等關(guān)鍵信息。瑞典 Chalmers 大學的 LAGERBERG[10]針對機電耦合系統(tǒng)中存在的非線性間隙設(shè)計了主、被動式間隙控制器，并對系統(tǒng)中存在的間隙提出了優(yōu)化補償算法。上述學者均是在間隙值已知或假設(shè)條件下開展的工作，并未從工業(yè)機器人實際工況中獲取關(guān)節(jié)的間隙參數(shù)。

綜上所述，國內(nèi)外大部分學者的研究都是基于間隙本身的機制開展分析，更加側(cè)重研究間隙環(huán)節(jié)中輸入與輸出間的非線性特征，但工業(yè)機器人實際作業(yè)時，更多表現(xiàn)在關(guān)節(jié)傳動中的位移關(guān)系。本文作者以錢江QJR6-1型工業(yè)機器人為研究對象，采用關(guān)節(jié)系統(tǒng)的理論建模、仿真分析、單關(guān)節(jié)擺臂實驗測試和參數(shù)辨識相結(jié)合的研究方法，對含間隙非線性關(guān)節(jié)展開振動特性研究。

1 關(guān)節(jié)間隙非線性動力學建模

為分析間隙非線性模型在實際應(yīng)用控制領(lǐng)域的影響，本文作者以錢江QJR6-1型工業(yè)機器人為研究對象，如圖1所示。該實驗平臺由六自由度串聯(lián)機器人本體、示教器、控制箱以及PC工控機等組成。機器人關(guān)節(jié)是由伺服同步電機與減速器以及聯(lián)軸器組成的系統(tǒng)。

圖1 QJR6-1型工業(yè)機器人Fig.1 QJR6-1 industrial robot

1.1 建立關(guān)節(jié)間隙簡化模型

為了深入研究工業(yè)機器人關(guān)節(jié)的運動規(guī)律以及間隙對關(guān)節(jié)性能的影響，需將圖1中的關(guān)節(jié)系統(tǒng)進行簡化[11-12]，如圖2所示，并建立含間隙非線性關(guān)節(jié)動力學模型。

圖中：Je、Jm、JL分別為關(guān)節(jié)的伺服驅(qū)動電機、減速器和關(guān)節(jié)臂的轉(zhuǎn)動慣量；C1、C2、C3、Cw1、Cw2分別為伺服電機、減速器、關(guān)節(jié)臂、聯(lián)軸器1和聯(lián)軸器2的黏滯阻尼系數(shù)；Te、Tm、Tw1、Tw2分別為伺服電機的電磁轉(zhuǎn)矩、關(guān)節(jié)臂轉(zhuǎn)矩、聯(lián)軸器1和聯(lián)軸器2的轉(zhuǎn)動扭矩；Kw1、Kw2分別為聯(lián)軸器軸1和聯(lián)軸器2的剛度系數(shù)；B為關(guān)節(jié)間隙系數(shù)。

根據(jù)旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的動力學原理推導出含間隙關(guān)節(jié)系統(tǒng)的動力學方程為

(1)

式中：θ1、θ2、θ3分別為關(guān)節(jié)伺服驅(qū)動電機、減速器和關(guān)節(jié)臂的旋轉(zhuǎn)角度；i為關(guān)節(jié)減速比。

1.2 關(guān)節(jié)間隙數(shù)學建模

圖3 關(guān)節(jié)間隙數(shù)學模型Fig.3 Mathematical model of joint clearance

圖3中：nx代表關(guān)節(jié)間隙矢量nij在X軸方向的數(shù)值分量，ny代表關(guān)節(jié)間隙矢量nij在Y軸方向的數(shù)值分量，其關(guān)系表達式為

(2)

其中關(guān)節(jié)間隙nij又被稱為偏心距，是表示關(guān)節(jié)軸承與聯(lián)軸器軸徑的中心距。關(guān)節(jié)間隙法向矢量大小表達式為

t=nij/nij

(3)

式中：t為關(guān)節(jié)間隙的法向矢量，將其旋轉(zhuǎn)90°得到關(guān)節(jié)間隙切向矢量m。

通過引入關(guān)節(jié)間隙的矢量范圍以及間隙大小，可推導出關(guān)節(jié)運動副間的接觸形變。其中間隙系數(shù)的大小B等于關(guān)節(jié)軸承半徑與聯(lián)軸器軸徑半徑之差，令δ為接觸形變量，其關(guān)系表達式為

δ=nij-B

(4)

通過對接觸形變量δ的分析，可以得到關(guān)節(jié)運動副之間的相對運動狀態(tài)。當接觸形變量δ≥0時，關(guān)節(jié)運動副處于相對碰撞階段，在該狀態(tài)下會產(chǎn)生碰撞形變；當接觸形變量δ<0時，關(guān)節(jié)的軸承與聯(lián)軸器處于相對分離的狀態(tài)，其表達式為

(5)

當工業(yè)機器人末端處于非接觸工況條件時，不受外力沖擊的關(guān)節(jié)系統(tǒng)屬于線性運動范疇；當觸及工況條件時系統(tǒng)因形變而演化為非線性運動，進而使關(guān)節(jié)運動軌跡處于混沌狀態(tài)。

2 關(guān)節(jié)間隙非線性振動分析

由于關(guān)節(jié)間隙的存在，工業(yè)機器人在啟動、制動以及變負載作業(yè)時會產(chǎn)生沖擊現(xiàn)象，降低了關(guān)節(jié)系統(tǒng)的可靠性，較大的間隙值會使關(guān)節(jié)系統(tǒng)的響應(yīng)超調(diào)，進而降低工業(yè)機器人末端定位精度。為解決因非線性間隙而導致關(guān)節(jié)系統(tǒng)處于非平穩(wěn)狀態(tài)，揭示含間隙關(guān)節(jié)振動機制，對關(guān)節(jié)非線性間隙進行振動特性分析。

2.1 建立仿真模型

QJR6-1型機器人由多個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)串聯(lián)而成，當某個關(guān)節(jié)因非線性因素使系統(tǒng)產(chǎn)生異常振動，將嚴重破壞軸系部件以及影響工業(yè)機器人設(shè)備壽命。根據(jù)含間隙關(guān)節(jié)系統(tǒng)的動力學方程建立其仿真模型，如圖4所示(不包括紅色雙點劃線線框部分)。關(guān)節(jié)系統(tǒng)的主要參數(shù)見表1。

表1 關(guān)節(jié)系統(tǒng)主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of the joint system

圖4 含間隙的關(guān)節(jié)傳動模型Fig.4 Joint transmission model with clearance

圖4中：J1、J2、J3分別為關(guān)節(jié)的伺服驅(qū)動電機、減速器和關(guān)節(jié)臂的轉(zhuǎn)動慣量；λ為關(guān)節(jié)減速比。

2.2 關(guān)節(jié)間隙穩(wěn)定性分析

關(guān)節(jié)間隙的存在會降低關(guān)節(jié)傳動系統(tǒng)的穩(wěn)定性及抗干擾能力，影響工業(yè)機器人的正常運行，而關(guān)節(jié)聯(lián)軸器的剛度值不是無窮大，間隙的出現(xiàn)則會加劇關(guān)節(jié)系統(tǒng)的諧振。

由式(1)可推導出關(guān)節(jié)電機的轉(zhuǎn)速到關(guān)節(jié)電磁轉(zhuǎn)矩的傳遞函數(shù)：

(6)

由式(6)看出關(guān)節(jié)系統(tǒng)由慣性環(huán)節(jié)及二階振蕩環(huán)節(jié)構(gòu)成，當關(guān)節(jié)系統(tǒng)處于低頻時，由于是單慣量則不存在扭振，而當關(guān)節(jié)系統(tǒng)處于中高頻時，二階振蕩環(huán)節(jié)中的柔性和間隙值則會產(chǎn)生扭振。

令式(6)分子和分母為0，分別得到關(guān)節(jié)系統(tǒng)的諧振頻率fN及抗諧振頻率fA：

(7)

(8)

由上式可推導出含間隙關(guān)節(jié)系統(tǒng)的頻域特性中的諧振頻率及抗諧振頻率，如圖5所示。

圖5 含間隙頻率特性曲線Fig.5 Frequency characteristic curve with clearance

由圖5可以看出關(guān)節(jié)的諧振頻率為123.16 Hz，幅值大小為25.29 dB，關(guān)節(jié)的抗諧振頻率為44.63 Hz，幅值大小為-14.02 dB。而關(guān)節(jié)的抗諧振頻率點對整個系統(tǒng)的抑制作用較小，可以看出由于間隙的影響，關(guān)節(jié)系統(tǒng)易受外界相近頻率的干擾引起關(guān)節(jié)軸系的振蕩，破壞其穩(wěn)定性。

2.3 含間隙關(guān)節(jié)振動特性仿真

根據(jù)建立的關(guān)節(jié)系統(tǒng)模型，并結(jié)合工業(yè)機器人實際關(guān)節(jié)工況所產(chǎn)生的間隙進行換算[18]，設(shè)置關(guān)節(jié)間隙值xbacklash=0.000 1 m和xbacklash=0.001 m，并對關(guān)節(jié)臂、關(guān)節(jié)伺服電機、聯(lián)軸器等關(guān)鍵部件進行振動特性仿真分析。

如圖6所示，由于間隙非線性的存在使得關(guān)節(jié)臂的轉(zhuǎn)速受到影響，隨著間隙值不斷增加，關(guān)節(jié)臂的轉(zhuǎn)速波動也愈加明顯，且速度波動頻率也隨間隙值的增加而變快，可以看出關(guān)節(jié)臂轉(zhuǎn)速在趨于穩(wěn)定工況時，速度波動的幅度達到了±2 r/min，這也將導致工業(yè)機器人末端定位精度的穩(wěn)定性變差。

如圖7所示，關(guān)節(jié)伺服電機的電磁轉(zhuǎn)矩振幅隨間隙值的增大而增大。對比圖7(a)與圖7(b)可看出：當存在較小間隙時整體電磁轉(zhuǎn)矩振幅無明顯變化，但穩(wěn)定時的關(guān)節(jié)電磁轉(zhuǎn)矩出現(xiàn)了明顯的波動。從圖7(c)可以看出：當間隙增大之后，關(guān)節(jié)的電磁轉(zhuǎn)矩振幅波動范圍從6～10 N·m變化到1～16 N·m。

圖7 含間隙電磁轉(zhuǎn)矩時域振動信號Fig.7 Time domain vibration signals of electromagnetic torque with clearance：(a)without clearance； (b)xbacklash=0.000 1 m；(c)xbacklash=0.001 m

如圖8所示，關(guān)節(jié)的聯(lián)軸器相較于電機由于剛度的存在而出現(xiàn)了滯后現(xiàn)象。對比圖8(a)與圖8(b)可以看出：趨于穩(wěn)定時的關(guān)節(jié)聯(lián)軸器振動幅值因間隙的存在出現(xiàn)了較大的波動，其波動范圍在-5～5 N·m。從圖8(c)可以看出增大間隙值關(guān)節(jié)聯(lián)軸器振動范圍變化到-60～60 N·m。

圖8 含間隙聯(lián)軸器時域振動信號Fig.8 Time domain vibration signals including clearance coupling：(a)without clearance；(b)xbacklash= 0.000 1 m；(c)xbacklash=0.001 m

如圖9所示，為了更加直觀地分析間隙非線性對關(guān)節(jié)聯(lián)軸器的振動影響，對圖8的時域振動信號進行頻譜分析。從圖9(a)可以看出：當間隙值為0.000 1 m時，關(guān)節(jié)聯(lián)軸器的最大振動幅值出現(xiàn)在頻率77 Hz處，振幅僅為2.9 dB；當間隙值為0.001 m時，關(guān)節(jié)聯(lián)軸器的最大振動幅值出現(xiàn)在頻率102 Hz處，但振動幅值隨間隙的增大變化至54 dB；而當關(guān)節(jié)無間隙時振動幅值卻只有0.05 dB，如圖9(b)所示。

圖9 關(guān)節(jié)聯(lián)軸器頻譜分析Fig.9 Spectrum analyses of joint coupling：(a)clearance is 0.000 1 m or 0.001 m；(b)without clearance

從以上的分析可以看出，間隙對頻率的影響不明顯但對振動幅值有較大影響，因此可以推導出間隙不僅會降低系統(tǒng)的動態(tài)特性，破壞關(guān)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還會加劇關(guān)節(jié)零部件的損害。

3 實驗驗證與間隙補償

3.1 間隙實驗測試

為進一步通過實驗驗證模型的準確性，根據(jù)關(guān)節(jié)簡化模型搭建單關(guān)節(jié)擺臂實驗臺，如圖10所示。該關(guān)節(jié)傳動實驗臺由伺服驅(qū)動器、伺服同步電機、減速器、編碼器、電流傳感器以及關(guān)節(jié)臂等部件組成，其設(shè)備型號如表2所示。通過改變聯(lián)軸器與關(guān)節(jié)臂的相對位置，模擬工業(yè)機器人在含間隙時的運動狀態(tài)，并采集其電流信號和振動信號。

表2 實驗設(shè)備型號Tab.2 Models of experimental equipments

圖10 關(guān)節(jié)傳動模擬實驗臺Fig.10 Joint drive simulation test bench

此次單關(guān)節(jié)擺臂測試對象為伺服同步電機的電流信號，為更加準確地模擬實際工況狀態(tài)，測試時將設(shè)置減速器及聯(lián)軸器間隙值，并在關(guān)節(jié)臂上添加15 A負載電流。設(shè)置伺服同步電機的測試轉(zhuǎn)速為1 000 r/min，其中擺臂臺減速器的減速比為1∶10。使用電流互感器實時采集伺服同步電機的三相電流信號，設(shè)置擺臂試驗臺信號采集頻率為25 600 Hz，并連接數(shù)據(jù)采集卡對其電流信號進行高分辨率測量，最后將信號傳遞至工控機，對實驗數(shù)據(jù)進行存儲、處理、分析等。

圖11所示為含間隙單關(guān)節(jié)擺臂實驗電流信號的時域波形圖，可以看出信號發(fā)生周期性波動。引起該電流信號變化的原因是關(guān)節(jié)的擺臂運動，而周期性則說明了該關(guān)節(jié)模擬實際工況中的往復運動。

圖12所示為實驗數(shù)據(jù)和仿真辨識數(shù)據(jù)所產(chǎn)生的頻響振幅譜，可看出：只考慮共振頻率與抗共振頻率的位置時，辨識共振頻率與實驗共振頻率吻合度較好，但由于擬合時忽略了阻尼效應(yīng)以及實驗中的噪聲干擾，導致實驗與仿真振幅之間存在一定的差異。

圖12 擺臂實驗臺頻率響應(yīng)Fig.12 Frequency response of swing arm test bench

3.2 關(guān)節(jié)非線性間隙補償

為解決由關(guān)節(jié)間隙而產(chǎn)生的諧振問題，主要從兩個方面入手[19-20]：一種是通過緊固傳動構(gòu)件降低系統(tǒng)的彈性，此方法操作復雜且無法徹底消除彈性因素；另一種是對給定速度值的調(diào)節(jié)，降低速度或其變化率從而避免與關(guān)節(jié)頻率重疊，但會影響關(guān)節(jié)動態(tài)性能。本文作者從力矩補償?shù)慕嵌?，對關(guān)節(jié)非線性間隙進行補償。

在圖4所示的關(guān)節(jié)間隙模型中，如果關(guān)節(jié)臂轉(zhuǎn)矩TL=0且無間隙，則補償電磁轉(zhuǎn)矩Te值可由公式(9)—(12)推導：

(9)

(10)

(11)

Tw=Jm/(Je+Jm)Te=KbTe

(12)

當電磁轉(zhuǎn)矩有一個力矩觀測估計，且含間隙關(guān)節(jié)系統(tǒng)以等式(12)的方式設(shè)置其轉(zhuǎn)矩值，能夠消除關(guān)節(jié)臂的擾動從而達到間隙補償?shù)男Ч?。如圖4所示，將力矩觀測補償策略(雙點劃線框中所示)應(yīng)用在含間隙的關(guān)節(jié)系統(tǒng)中。在該轉(zhuǎn)矩觀測補償策略中，觀測器中Kpf、Kb的值分別為軸矩傳遞系數(shù)以及力矩傳遞系數(shù)，而Jn為關(guān)節(jié)驅(qū)動伺服電機慣量的估計值。

為驗證力矩補償策略的有效性，以單關(guān)節(jié)擺臂實驗臺為測試對象，使用工控機中的軟件進行程序設(shè)置，將PWM參數(shù)指令通過串口發(fā)送至伺服驅(qū)動器并驅(qū)動電機運行，最終采集實驗所需的電流信號如圖13所示。由實驗結(jié)果對比可知：關(guān)節(jié)非線性間隙補償對電流一些波峰處有不同程度的減小，但數(shù)據(jù)采集時受工況環(huán)境的干擾，整體電流波動情況呈現(xiàn)小幅度局部改善。

圖13 補償前后的電流時域信號Fig.13 Current time domain signals before and after compensation

4 結(jié)論

本文作者以錢江QJR6-1型工業(yè)機器人為研究對象，針對關(guān)節(jié)存在的間隙非線性進行振動特性分析。

(1)將含關(guān)節(jié)系統(tǒng)簡化為“伺服同步電機+減速器+聯(lián)軸器+關(guān)節(jié)臂”的機電耦合傳動系統(tǒng)，并建立含間隙非線性關(guān)節(jié)動力學模型。

(2)分析含間隙關(guān)節(jié)系統(tǒng)諧振頻率，并對關(guān)節(jié)系統(tǒng)中重要零部件在不同間隙值時的扭轉(zhuǎn)振動特性進行了仿真分析。隨著間隙值的增大，將減弱關(guān)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(3)為驗證振動特性研究的準確性，搭建了單關(guān)節(jié)擺臂測試臺，對關(guān)節(jié)電流信號進行采集并對振動信號頻域響應(yīng)進行對比，實驗和仿真結(jié)果表明了該振動分析方法的有效性。

(4)對關(guān)節(jié)的間隙非線性進行了力矩補償，補償后電流信號在一些波峰處有不同程度的減小。