朱 倩，王 蘇，張常光

（長安大學(xué)，西安 710061）

彈性力學(xué)是工程力學(xué)學(xué)科中最基礎(chǔ)、最重要的一門課程，以理論力學(xué)、材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)和高等數(shù)學(xué)為前期課程，后續(xù)課程包括塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、巖石力學(xué)、振動理論和有限單元法等，在力學(xué)理論體系中具有“承上啟下”的作用[1]。彈性力學(xué)兼?zhèn)淞藬?shù)學(xué)、科學(xué)和工程三重屬性，將工程問題轉(zhuǎn)變成嚴密的數(shù)學(xué)理論體系，成為數(shù)學(xué)與廣泛工程連接橋梁的一門學(xué)科，在土木、水利、機械、交通和航空等工程學(xué)科中占有重要的地位[2]。比如，土建工程中，技術(shù)人員往往直接利用彈性力學(xué)方法作為設(shè)計的理論基礎(chǔ)；地震學(xué)中，根據(jù)彈性波在地殼中傳播的研究結(jié)果，計算震源所在的位置并研究地震波傳播的規(guī)律。彈性力學(xué)課程特點是理論性強、邏輯嚴謹、直觀性差、概念抽象和難理解，并且基本公式推導(dǎo)復(fù)雜、求解過程涉及大量的數(shù)學(xué)偏微分知識[3-4]。學(xué)生普遍反映內(nèi)容枯燥，缺乏興趣，教學(xué)也往往難以實現(xiàn)理想效果。因此，如何激發(fā)廣大學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，擺脫復(fù)雜繁瑣的公式推導(dǎo)所帶來的教學(xué)困難，使學(xué)生加深對彈性力學(xué)在工程應(yīng)用領(lǐng)域中重要性的認識，建立學(xué)生易于接受的教學(xué)模式是值得探討和思考的問題。

啟發(fā)式教學(xué)是當(dāng)今教改中大力提倡的一種教學(xué)模式，目的是使學(xué)生真正融入課堂，提高學(xué)習(xí)興趣和動力，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，促使學(xué)生積極參與教學(xué)活動，針對不同專業(yè)人才培養(yǎng)方案的實際需求對教學(xué)內(nèi)容取舍與優(yōu)化，是提高教學(xué)質(zhì)量與效率的重要探索方法之一[5-6]。彈性力學(xué)教學(xué)應(yīng)逐步從單一的課堂教學(xué)向多種形式的專業(yè)能力培養(yǎng)過渡，理論教學(xué)緊密結(jié)合實踐案例，幫助學(xué)生深入思考，學(xué)以致用[7]。將啟發(fā)式教學(xué)引入彈性力學(xué)課堂，打破傳統(tǒng)教學(xué)中教師“一言堂”、學(xué)生被動輸入知識的課堂模式，讓學(xué)生擁有一種“能聽懂、可學(xué)會、易掌握、擅應(yīng)用”的上課理念。鑒于此，本文以彈性力學(xué)中“圓環(huán)或圓筒受均布壓力”一節(jié)為例，綜合多媒體教學(xué)手段，采用問題啟發(fā)、目的啟發(fā)、圖形啟發(fā)和案例啟發(fā)等靈活多變的教學(xué)策略，探索如何融入啟發(fā)式教學(xué)，增強教學(xué)效果。

一 軸對稱應(yīng)力問題——闡釋生活現(xiàn)象，問題導(dǎo)入，激發(fā)興趣

“基于問題的學(xué)習(xí)”是指將學(xué)習(xí)設(shè)置在有意義的問題情境中，讓學(xué)生自主探究，調(diào)動學(xué)習(xí)的主動性[8-9]。針對彈性力學(xué)課程抽象困難，采用問題導(dǎo)向法既提高了學(xué)生對知識的理解，又激發(fā)學(xué)生對力學(xué)課程的興趣。同時還可與生活現(xiàn)象相結(jié)合，將課堂知識與學(xué)生日常生活相結(jié)合，往往令其印象深刻，產(chǎn)生事半功倍的教學(xué)效果。

以老鼠打洞為例[10]，生動形象地闡述動物洞穴涉及的力學(xué)問題，可將其簡化為軸對稱力學(xué)模型，給出其基本方程、邊界條件，求解其應(yīng)力變化規(guī)律，并指出老鼠打洞對于樁基施工等工程實際問題的啟示及其潛在的工程應(yīng)用價值，以提高學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)主動性。再比如講授圓環(huán)或圓筒問題時，可融入與生活息息相關(guān)的實際問題：有水流經(jīng)過地面下排水管道的時候，為什么路面上的人卻毫無察覺？以此來引發(fā)學(xué)生對本節(jié)課的理論思考，掌握彈性力基于問題的建模和解析方法。其實，生活中處處皆學(xué)問，引導(dǎo)學(xué)生熱愛生活，從日常點滴中培養(yǎng)純粹的科研學(xué)習(xí)熱情。

結(jié)合生活現(xiàn)象，引入本節(jié)課所需的前置知識，即軸對稱應(yīng)力問題進行簡明扼要的回顧，使同學(xué)們在后續(xù)接受本節(jié)課的新知識時，能夠迅速與前置知識建立思維關(guān)聯(lián)。關(guān)于平面軸對稱應(yīng)力問題的一般性解答的公式說明：①按應(yīng)力求解建立的平面軸對稱應(yīng)力問題的通解，適用于各種軸對稱應(yīng)力問題。②軸對稱應(yīng)力即繞軸應(yīng)力對稱的條件為物體形狀、面力和體力都是繞軸對稱的。③平面應(yīng)力、平面應(yīng)變兩類問題的應(yīng)力通解相同，只需對E、μ 做簡單變換，即得平面應(yīng)變問題的位移通解。基于問題啟發(fā)，通過闡釋生活現(xiàn)象和對前置知識點的回顧，下面將對本節(jié)課后續(xù)環(huán)節(jié)的啟發(fā)式教學(xué)設(shè)計進行探討。

二 圓環(huán)或圓筒受均布壓力問題求解——由淺入深，注重教學(xué)思路，適時引導(dǎo)

圓環(huán)或圓筒受均布壓力問題是彈性力學(xué)的經(jīng)典問題之一，又稱拉梅問題。該問題的求解，應(yīng)著重教學(xué)思路的邏輯性和條理性，淡化數(shù)學(xué)運算，由淺入深、循序漸進地講解。采用引導(dǎo)與提問相結(jié)合的教學(xué)方式，逐步帶動學(xué)生思維；善于設(shè)疑，激發(fā)學(xué)生的探究欲望。

近年來，祖國飛速發(fā)展，修路架橋成就非凡，以海底懸浮隧道為例（圖1），是否能用彈性力學(xué)中圓環(huán)或圓筒受均布壓力的問題解決該工程結(jié)構(gòu)的受力分析，從而培養(yǎng)學(xué)生從實際問題中抽象出力學(xué)模型的能力。

圖1 海底懸浮隧道工程實例

（一）應(yīng)力通解的偉大

圓環(huán)（平面應(yīng)力問題）和圓筒（平面應(yīng)變問題）受內(nèi)外均布壓力，屬于軸對稱應(yīng)力問題，可以引用軸對稱應(yīng)力問題的通解。顯然海底隧道這一工程結(jié)構(gòu)屬于平面應(yīng)力問題，但不管是圓環(huán)還是圓筒，我們截取單位長度，橫截面都是圓環(huán)形，力學(xué)模型如圖2 所示。應(yīng)力通解表達式如下[1]

圖2 力學(xué)模型

其實通解都是非常偉大的，只要是這一類問題都可以寫成這個形式，可用于求解各種有重要意義的彈性力學(xué)具體問題及構(gòu)造新的通解（比如拉梅解答）。因此，求解平面問題，通解將是最重要的工具[11]。

（二）列寫應(yīng)力邊界條件

基于應(yīng)力通解，引導(dǎo)學(xué)生思考：如何確定具體問題的解答呢？針對圓環(huán)或圓筒這類具體的問題，只不過待定系數(shù)不同。彈性力學(xué)問題實際上是偏微分方程的邊值問題，邊界條件對確定具體問題的解答起著至關(guān)重要的作用。錯誤的邊界條件會導(dǎo)致錯誤的解答，給工程問題留下隱患。因此，邊界條件的識別、書寫及正確運用是基本功。從問題的已知條件分析，屬于應(yīng)力邊值問題。接下來，我們的任務(wù)就是通過列寫應(yīng)力邊界條件，求出應(yīng)力通解中的待定系數(shù)。特殊邊界采用直接法（或稱比較法）列寫應(yīng)力邊界條件，那比較法的關(guān)鍵問題是什么？標出一點的應(yīng)力，與邊界上已知的面力作比較。因此，關(guān)鍵是要知道坐標系下一點的應(yīng)力符號規(guī)定，圖3 直觀地展示了極坐標系下的應(yīng)力符號規(guī)定。

圖3 極坐標下一點的應(yīng)力符號規(guī)定

強調(diào)復(fù)習(xí)助記口訣，面上應(yīng)力的正方向是以“正面正向為正，負面負向為正”。跟著老師思路寫出本問題的邊界條件

式中有3 個未知量，2 個有效方程，如何求解?

（三）引入位移單值條件

需找補充條件，應(yīng)力邊界條件已用完，看看位移上有沒有其他條件？轉(zhuǎn)換思路，從問題本身出發(fā)，充分挖掘隱藏的條件：該問題橫截面形狀是一個環(huán)形，有兩個連續(xù)邊界，而且不相交，力學(xué)上稱為多連體。其有一個限制，就是必須考察位移單值條件。本節(jié)也是首次引入位移單值條件。為了更直觀地表達，這里舉例說明，如圖4所示，同一個點M，對應(yīng)無窮多個坐標。

圖4 位移單值條件舉例說明

平面軸對稱應(yīng)力問題的環(huán)向位移表達式如下[1]

在位移解答中，式（3）第一項是位移多值項。要使uφ單值，必須有B=0。結(jié)合式（2），即得圓環(huán)或圓筒受均布壓力的拉梅解答（應(yīng)力）

（四）位移單值條件補充說明

對于多連體問題，位移須滿足位移單值條件。大家開動腦筋，這里有什么疑問嗎？①多連體需要，那單連體有單值要求嗎？②只提了位移單值，那應(yīng)力、應(yīng)變呢？③位移單值什么意思？是必要的，還是可有可無的？其實這些問題有著深刻的力學(xué)意義：多連體位移單值條件實質(zhì)上是物體連續(xù)性假設(shè)的表現(xiàn)形式之一，即位移連續(xù)性條件；在連續(xù)體上，對于同一點的應(yīng)力、應(yīng)變或位移都應(yīng)為單值。

三類力學(xué)響應(yīng)量，都是一個位置一個值。為什么不討論呢？其實這和求解方法有關(guān)。①按位移求解時，設(shè)/求位移未知函數(shù)（單值）；由位移求應(yīng)變（幾何方程求導(dǎo)）也為單值；由應(yīng)變求應(yīng)力（物理方程-代數(shù)方程）也為單值；②按應(yīng)力求解時，設(shè)/求應(yīng)力未知函數(shù)（單值）；由應(yīng)力求應(yīng)變（物理方程-代數(shù)方程）也為單值；由應(yīng)變求位移（幾何方程積分），常常會出現(xiàn)多值項。

給學(xué)生強調(diào)一下，按應(yīng)力求解，也不是所有問題都要考慮位移單值。

三 對拉梅解答的討論——抽象知識具體化，思維拓展，啟發(fā)探索

大學(xué)生長于形象思維，而不喜抽象思維。教師可將抽象知識具體化，通過討論式教學(xué)[12-13]，開拓學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生主動探究的積極性。圓環(huán)或圓筒受均布壓力問題（即拉梅問題）是軸對稱應(yīng)力問題的一個特例，而拉梅解答本身還有幾種更特殊的情況。接下來，分五種情況一一討論，如圖5 所示。

圖5 拉梅解答的討論

其中特別指出：第四種情況，若qa≠0，qb=0，b→∞，即具有圓孔的無限大薄板或彈性體孔壁處受內(nèi)壓作用，對應(yīng)靜壓沉樁、頂管及注漿加固等擴孔問題。圖5（d）中可看出，驗證了圣維南原理：在r＞＞a 處，應(yīng)力很小，即在內(nèi)壓qa作用下，對b→∞處影響可不計。與前面引出的事例呼應(yīng)，解釋了“水流經(jīng)過地下排水管道的時候，為什么路面上的人卻毫無察覺”的生活現(xiàn)象；第五種情況，若qa=0，qb≠0，b→∞，即具有圓形孔道的無限大彈性體無窮遠處受外壓作用，對應(yīng)隧道開挖、豎井施工及巷道掘進等縮孔問題。由圖5（d）可知，內(nèi)邊界r=a 處環(huán)向應(yīng)力出現(xiàn)應(yīng)力集中。通過可視化圖形，啟迪學(xué)生對“孔邊應(yīng)力集中”知識點思考。

四 工程應(yīng)用舉例——結(jié)合實例，學(xué)以致用，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

啟發(fā)式教學(xué)還需注重理論學(xué)習(xí)與工程實例的結(jié)合[14]。彈性力學(xué)授課過程中，不僅要考慮數(shù)理邏輯的嚴謹性，還要兼顧其與工程案例的聯(lián)系，充分調(diào)動和發(fā)揮學(xué)生的主體性，根據(jù)實際問題，層層剖析，建立力學(xué)模型，將實際問題最終化為彈性力學(xué)問題，為學(xué)生今后的職業(yè)發(fā)展和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)奠定堅實的理論基礎(chǔ)，應(yīng)用舉例如圖6 所示。

圖6 工程應(yīng)用實例

將典型的科研案例引入課堂，尋找教學(xué)與科研的契合點，讓學(xué)生們感受到領(lǐng)悟新知識后的豁然開朗感，激發(fā)學(xué)生的科研興趣，充分利用已有的知識基礎(chǔ)去解決未知的問題，將未知轉(zhuǎn)已知，達到真正學(xué)以致用的目的。

五 結(jié)束語

彈性力學(xué)課程具有很強的理論性、抽象性和高度概括性的特點，在本課程的教學(xué)實踐中，改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，融入啟發(fā)式教學(xué)法，取得優(yōu)良的教學(xué)效果。本文從以下幾個方面著手實施：①闡釋生活現(xiàn)象，引入問題，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；②由淺入深，注重教學(xué)思路，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生思考；③抽象知識具體化，開發(fā)學(xué)生的邏輯思維，展開討論、啟發(fā)探索；④注重理論知識與工程實例結(jié)合，學(xué)以致用，將未知轉(zhuǎn)化成已知，提高科研創(chuàng)新能力。啟發(fā)式教學(xué)有助于學(xué)生理論結(jié)合實際，合理選擇與優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生克服畏難心理和被動接受知識，激勵學(xué)生主動思考，形成一種“能聽懂、可學(xué)會、易掌握、擅應(yīng)用”的教學(xué)模式。啟發(fā)式教學(xué)在彈性力學(xué)教學(xué)改革的初步探討和有益嘗試，對將來學(xué)生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)必然形成良好的促進作用，這也是提高教學(xué)效果一個行之有效的教學(xué)方法。