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        勾股定理:幾何學中的一顆明珠

        2023-12-04 03:29:46朱月紅
        初中生世界 2023年42期
        關鍵詞:云梯特殊化勾股定理

        文/朱月紅

        第三章 勾股定理

        領 銜 人:朱月紅(江蘇省特級教師)

        組稿團隊:江蘇省泰州醫(yī)藥高新區(qū)(高港區(qū))教師發(fā)展中心

        同學們聽過“大禹治水”的故事嗎?他是如何成功治水的呢?趙爽在《周髀算經注》中這樣寫道:“禹治洪水,決流江河,望山川之形,定高下之勢,除滔天之災,釋昏墊之厄,使東注于海,而無浸溺。乃勾股之所由生也?!贝笥碇嗡谷慌c勾股定理有關,是不是很出人意料?在本章中,我們將一起領略幾何學中的一顆璀璨明珠——勾股定理。

        一、讀史明智,尋“勾股定理”的雛形

        在中國古代,人們把手臂彎曲成直角時,靠近肩膀的那部分叫作“勾”,靠近手掌的那部分叫作“股”。一般地,“勾”的長度小于“股”的長度。西周初年,商高在與周公旦的對話中提到“勾廣三,股修四,徑隅五”。后人稱之為“勾三股四弦五”,這便是“勾股定理”的雛形。

        對于32+42=52,這是勾股定理的一個特例,也是勾股定理在中國的最早記載。追根溯源,勾股定理是我國古代數學發(fā)展的重要起源,中華數學傳統(tǒng)文化中的精髓開方術、方程術等都與勾股定理密切相關(有興趣的同學可查閱《周髀算經》)。勾股定理的發(fā)現是一件不容易的事,勾股定理的證明更是一件了不起的事。千百年來,人們被它的魅力所吸引,對勾股定理的證明興趣濃郁。目前,它是世界上已知證明方法最多的數學定理之一。

        二、穿越古今,探“勾股定理”的結構

        我們知道,三角形有六個元素(三條邊和三個角),研究三角形就是研究各元素之間的關系。我們往往遵循從一般到特殊的規(guī)律,將一般三角形的邊特殊化就是等腰三角形,角特殊化就是直角三角形。本章從生活中提煉直角三角形模型→畫圖歸納與驗證勾股定理(邊邊關系)→圖形變換理解勾股定理的判定方法→回歸生活,運用勾股定理解決問題。具體說來,我們將建立如圖1 所示的知 識結構,這也體現了本章的結構美。

        三、學以致用,賞“勾股定理”的魅力

        勾股定理在生活中有著極其廣泛的應用,在中考試題中也大放異彩。例如,一架云梯AB長25m,如圖2靠在墻上,云梯底端離墻7m。(1)如果云梯的頂端下滑了4m,則云梯底部在水平方向滑了多少米?(2)若云梯從起始位置圖3到圖4,上端下滑了a,下端水平滑了b,則a、b有什么關系?(3)點A與點B在滑動過程中,你還能發(fā)現什么問題?請你去探究。

        圖4

        分析:我們將實際問題轉化成數學模型后,運用勾股定理列出方程即可。(1)設水平方向滑了xm,由勾股定理得OA=24,∴OA′=20。再由勾股定理得(7+x)2+202=252,得x1=8,x2=-22(舍去);(2)由勾股定理得(25-a)2+b2=252,解得a2-50a+b2=0;(3)問題:在滑行的過程中,a=b嗎?探究:若a=b,代入a2-50a+b2=0,得a1=0,a2=25,所以當a=0 或25 時,a=b,即云梯在起始時和最終平放地面上時a=b,滑行的過程中a≠b。

        勾股定理作為一條古老的數學定理,包含著中國古代厚重的文明,它的出現和發(fā)展對發(fā)揚古代數學文化起到了重要作用。同學們,讓我們一起走近“勾股定理”,感受它豐富的內涵吧!

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