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        不怕錯(cuò) 要有措
        ——“等可能條件下的概率”常見錯(cuò)誤剖析及應(yīng)對(duì)措施

        2023-12-03 09:38:10陳俊
        初中生世界 2023年43期

        文/陳俊

        同學(xué)們只有對(duì)“等可能條件下的概率”的概念理解透徹,才能正確解決與之有關(guān)的實(shí)際問題。現(xiàn)舉例剖析,希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

        一、理清事件發(fā)生的隨機(jī)性

        例1判斷:在做拋擲一枚硬幣試驗(yàn)時(shí),小麗連續(xù)拋了20 次,發(fā)現(xiàn)硬幣落地后共有7 次正面(國(guó)徽)朝上。小麗說:“我可以確定硬幣落地后正面朝上的概率是?!?/p>

        【錯(cuò)解】正確。

        【剖析】“連續(xù)拋了20 次,發(fā)現(xiàn)硬幣落地后共有7 次正面(國(guó)徽)朝上?!边@只能說明本次試驗(yàn)正面朝上的頻率為。只有當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí),頻率值才趨近于概率值。正面朝上和反面朝上是等可能出現(xiàn)的。大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明,正反面朝上的概率各占。故小麗的說法錯(cuò)誤。

        例2如果某種獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為,那么買1000 張獎(jiǎng)券一定能中獎(jiǎng)嗎?

        【錯(cuò)解】因?yàn)楠?jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為,那么買1000 張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為,所以買1000 張獎(jiǎng)券必有一張中獎(jiǎng)。

        【剖析】因?yàn)橘I1000 張獎(jiǎng)券相當(dāng)于做1000 次試驗(yàn),而每次試驗(yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的,即每張獎(jiǎng)券可能中獎(jiǎng),也可能不中獎(jiǎng)。由概率的意義可知,只有當(dāng)買的獎(jiǎng)券足夠多時(shí),中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券數(shù)與買的獎(jiǎng)券的總張數(shù)之比才在左右擺動(dòng)。因此,1000 張獎(jiǎng)券中可能沒有一張中獎(jiǎng),也可能有一張、兩張甚至多張中獎(jiǎng)。故買1000張獎(jiǎng)券不一定能中獎(jiǎng)。

        二、弄清事件發(fā)生的等可能性

        例3小明、小強(qiáng)和小文三人做游戲:拋兩枚硬幣,若出現(xiàn)的結(jié)果都是正面朝上,則小明贏;出現(xiàn)的結(jié)果都是反面朝上,則小強(qiáng)贏;出現(xiàn)一正一反朝上,則小文贏。這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎?為什么?

        【錯(cuò)解】公平。因?yàn)榻Y(jié)果要么都是正面朝上,要么都是反面朝上,要么就是一正一反朝上,所以三人贏的概率均為。

        【剖析】拋擲兩枚硬幣,朝上的面共有4 種等可能的結(jié)果。其中,一正一反朝上的概率要比兩正朝上和兩反朝上的概率大。畫樹狀圖便可一目了然,如下圖:

        由樹狀圖可知,P(兩正)=P(兩反)=;P(一正一反)=。所以小文贏的概率較大,此游戲不公平。

        三、看清題目中條件的重要性

        例4在一個(gè)不透明的口袋里有四個(gè)完全相同的小球,把它們分別貼上標(biāo)號(hào)1、2、3、4。小明隨機(jī)摸出一個(gè)小球記下標(biāo)號(hào),然后不放回,再隨機(jī)摸出一個(gè)小球,記下標(biāo)號(hào)。兩次摸出的球的標(biāo)號(hào)之和小于5的概率是多少?

        【錯(cuò)解】用枚舉法分析,共有16 種等可能的結(jié)果,分別為(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)。其中標(biāo)號(hào)之和小于5的共有6種,概率為。

        【剖析】本題要看清“不放回”這個(gè)關(guān)鍵詞,意味著兩次摸出的球不可能是同一個(gè)。用列表法分析如下:

        由表格可知,共有12 種等可能的結(jié)果,其中標(biāo)號(hào)之和小于5 的結(jié)果共有4種,概率為

        在解決概率問題時(shí),我們?nèi)粢苊飧黝惓R婂e(cuò)誤的出現(xiàn),就需要保持清晰的思考和正確的邏輯推理過程。只有認(rèn)真審題,理清思路,才能得出準(zhǔn)確、可靠的結(jié)論。

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