黃玉祥，李柯伽，郝龍飛，李志玄，徐永華，沈發(fā)新，汪敏，程向明,6

面向脈沖星時的原子鐘鐘差研究

黃玉祥1,2,3，李柯伽4,5，郝龍飛1,3,*，李志玄1,3，徐永華1,3，沈發(fā)新1,2,3，汪敏1,3，程向明1,2,3,6

（1. 中國科學(xué)院 云南天文臺，昆明 650216；2. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；3. 中國科學(xué)院 天體結(jié)構(gòu)與演化重點實驗室，昆明 650216；4. 北京大學(xué) 物理學(xué)院天文系，北京 100871；5. 中國科學(xué)院 國家天文臺，北京 100101；6. 云南省應(yīng)用天文技術(shù)工程實驗室，昆明 650216）

毫秒脈沖星是宇宙中穩(wěn)定的“天然時鐘”。毫秒脈沖星這一特性可用于建立新的時間保持基準(zhǔn)，通過協(xié)同原子鐘的短期穩(wěn)定性，形成長期穩(wěn)定的脈沖星時。利用40 m射電望遠(yuǎn)鏡，通過觀測若干顆毫秒脈沖星，研究人員開展了脈沖星計時和脈沖星鐘方面的研究。目前，已經(jīng)完成了相關(guān)實驗平臺的搭建、原子鐘之間的長期比對和鐘差外推等實驗，成功地將貝葉斯方法應(yīng)用于鐘差譜估計，初步實現(xiàn)了鐘差信號的最優(yōu)估計和外推。

毫秒脈沖星；脈沖星鐘；貝葉斯估計

0 引言

脈沖星是20世紀(jì)60年代的天文學(xué)四大發(fā)現(xiàn)之一[1]，目前普遍接受的唯象輻射模型是“旋轉(zhuǎn)燈塔”模型[2]。它們最大的特點是輻射周期性脈沖，周期主要分布在幾毫秒到幾秒之間。其中，有一部分脈沖星的周期變化率在1×10-19到1×10-21之間，且周期小于30 ms，通常被稱為毫秒脈沖星，在已發(fā)現(xiàn)的 3 000多顆脈沖星中約占11%[3]。它們輻射周期具有超高穩(wěn)定性，故可以被用作時間信標(biāo)[4]。

當(dāng)前我們使用的時間基準(zhǔn)是基于國際原子時（International Atomic Time，TAI）的衍生時標(biāo)。TAI是時間權(quán)度局（Bureau International des Poids et Mesures，BIPM）[5]利用全球各地450多臺原子鐘的歷史數(shù)據(jù)經(jīng)過加權(quán)平均后通過頻率基準(zhǔn)和次級基準(zhǔn)對自由原子時EAI進(jìn)行頻率校準(zhǔn)，每月計算一次，準(zhǔn)確度約為10-16量級?，F(xiàn)代授時體系中，高精度時間是通過BIPM提供的事后紙面時間實現(xiàn)，每月一次。脈沖星時間的物理機(jī)制和地面原子鐘完全不同，脈沖星時標(biāo)的系統(tǒng)差完全獨(dú)立于TAI時標(biāo)系統(tǒng)，因此它可以提供獨(dú)立的時間改正。

自從1982年第一顆毫秒脈沖星PSR B1937+21[6]被發(fā)現(xiàn)以來，國際上紛紛開展了利用毫秒脈沖星計時來構(gòu)建脈沖星時間系統(tǒng)的研究。同年，J. Defter和P. Boynton[7]把頻域分析方法應(yīng)用到脈沖星計時噪聲功率譜的研究中。1988年，B. Guinot等[8]首次提出利用脈沖星建立時間標(biāo)準(zhǔn)，開辟了該領(lǐng)域的相關(guān)探索。1990年，R. S. Foster和D. H. C. Backer等[9]把多顆脈沖星的計時數(shù)據(jù)應(yīng)用到原子鐘誤差的分析中。1991年，B. Guinot及G. Petit等[10]討論了利用脈沖星計時實現(xiàn)脈沖星時間標(biāo)準(zhǔn)的可行性，用BIPM時間尺度，PSR B1937+21 8年的計時精度約為4×10-15。1994年，V. M. Kaspi等[11]深入分析了脈沖星PSR B1855+09和PSR B1937+21計時結(jié)果，指出其在一年以上的相對頻率穩(wěn)定度可以達(dá)到10-14，與一般地方原子時的穩(wěn)定度相當(dāng)，使脈沖星計時檢驗原子時誤差成為可能。1996年，G. Petit和P. Tavella[12]第一次提出了建立綜合脈沖星時的意義并給出了脈沖星時加權(quán)的算法。1997年，S. M. Kopeikin應(yīng)用散射噪聲理論研究了計時噪聲，將低頻噪聲進(jìn)行分類[13]并在1999年建立了脈沖星低頻計時噪聲的統(tǒng)計模型[14]；2004年，他[15]又研究了低頻計時噪聲對計時殘差及其測量參數(shù)的影響和它的傅里葉分析與譜敏感性。2001年，A. N. Lommen[16]在分析上述兩顆脈沖星長期計時觀測數(shù)據(jù)時，發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星PSR B1855+09約15年跨度的觀測數(shù)據(jù)得到脈沖星時間長期頻率穩(wěn)定度可優(yōu)于美國海軍天文臺保持的原子時間基準(zhǔn)。后來，A. E. Rodin等[17-18]研究了脈沖星時的維納濾波算法，發(fā)現(xiàn)在弱紅噪聲條件下，該算法優(yōu)于加權(quán)算法。為了更好地研究和應(yīng)用毫秒脈沖星計時特性，三大獨(dú)立的脈沖星計時陣從2012年起逐步建立，分別是Parkes脈沖星計時陣（Parkes Pulsar Timing Array，PPTA）[19-20]、歐洲脈沖星計時陣（European Pulsar Timing Array，EPTA）[21]和北美納赫茲引力波天文臺（North American Nanohertz Observatory for Gravitational Wave，NANOGrav）[22]。為了提高計時精度以更好地探測引力波，這三個脈沖星計時陣聯(lián)合構(gòu)成了國際脈沖星計時陣（International Pulsar Timing Array，IPTA）[23]。除了探測引力波，這些計時陣的數(shù)據(jù)也被用于脈沖星時間方面的研究。G. Hobbs、W. Coles和D. J. Reardon等[24-26]利用頻率論思想研究了脈沖星計時陣鐘差的紅噪聲，測量了原子時的波動并構(gòu)建了脈沖星時標(biāo)。2014年，K. J. Lee等[27]指出最優(yōu)化脈沖星時間尺度的構(gòu)建其實就是脈沖星計時噪聲的測量及相關(guān)波形估計問題，并提出貝葉斯隨機(jī)波形估計算法。 L. Lentati、K. J. Lee和R. N. Caballero等[28-29]把貝葉斯算法應(yīng)用到脈沖星時間的問題上來，分析了計時噪聲。R. Píriz和G. Hobbs等[30-31]利用貝葉斯算法，基于脈沖星計時陣構(gòu)建了脈沖星時間。由于脈沖星計時陣發(fā)布數(shù)據(jù)時間間隔較長，R. Píriz和G. Hobbs等給出的事后紙面時間在較長的時間跨度上預(yù)報時間的精度會嚴(yán)重下降，而脈沖星鐘則需要望遠(yuǎn)鏡在較短的時間跨度（如一周）上定期進(jìn)行計時觀測以實現(xiàn)持續(xù)預(yù)報高精度時間。EPTA在2018年啟動了“PulChron”研究項目[30]，針對18顆毫秒脈沖星進(jìn)行精確的計時觀測，目的是為了驗證脈沖星時標(biāo)服務(wù)于現(xiàn)有原子鐘系統(tǒng)尤其是伽利略導(dǎo)航時間系統(tǒng)的有效性和可行性。這是真正意義上的脈沖星鐘項目。然而，他們構(gòu)建脈沖星鐘的具體算法是不公開的，國內(nèi)需要獨(dú)立地開展研究。

南山26 m射電望遠(yuǎn)鏡于20世紀(jì)90年代開始進(jìn)行脈沖星計時方面的研究，是國內(nèi)最早的。通過對300余顆脈沖星的脈沖到達(dá)時間（time of arrival，TOA）進(jìn)行長期監(jiān)測，初步形成了自主的星歷表。從2017年9月起，500 m口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（FAST）[32]逐步進(jìn)行脈沖星高精度計時方面的研究，目前的結(jié)果表明，計時精度比國際平均水平高出10倍以上[33]。從21世紀(jì)初開始，中國科學(xué)院國家授時中心在脈沖星時間尺度領(lǐng)域取得了一些成果[34-42]，此外洛南40 m望遠(yuǎn)鏡也從2018年開始在L波段開展單偏振脈沖星計時觀測并取得了成果。昆明40 m射電望遠(yuǎn)鏡（KM 40 m）對PSR J0437-4715、PSR J1713+0747 和 PSR J1909-3744等毫秒脈沖星開展了S波段（圓極化）的計時觀測，取得了初步的計時結(jié)果，PSR J0437-4715的計時精度達(dá)到500 ns左右。2019年，李志玄等[43]利用KM 40 m的脈沖星計時數(shù)據(jù)成功估計了2018年8月份前后由于本地原子鐘鏈路切換而造成的原子鐘鐘差的跳變，初步驗證了KM 40 m的脈沖星計時數(shù)據(jù)用于脈沖星鐘構(gòu)建的可行性。

本文首先介紹脈沖星鐘的概念，然后敘述云南天文臺開展的鐘比對和鐘差外推實驗，最后分析和討論實驗結(jié)果，初步實現(xiàn)了計時用的原子鐘鐘差的最優(yōu)估計和高精度外推。

1 脈沖星鐘

脈沖星鐘系統(tǒng)需要脈沖星計時陣，本地原子鐘和相位微躍計等實現(xiàn)，系統(tǒng)框圖如圖1所示。圖中“天線”接收到的信號經(jīng)過放大和整形送到數(shù)字接收機(jī)中進(jìn)行消色散、周期折疊和數(shù)據(jù)格式化存儲，存儲的數(shù)據(jù)通過標(biāo)準(zhǔn)的脈沖星數(shù)據(jù)處理流程形成脈沖星的TOA。由于數(shù)字接收機(jī)鎖相到本地原子鐘，因此TOA以本地原子鐘為參考。針對多顆脈沖星的TOA可以開展本地原子鐘時間和頻率誤差估計，其結(jié)果通過伺服器反饋到相位微躍計上，以形成低相位噪聲的、融合原子鐘與脈沖星數(shù)據(jù)的新的鐘信號（1 PPS和10 MHz）。經(jīng)過分配器緩沖后輸出供外界使用。

圖1 脈沖星鐘系統(tǒng)框圖

具體過程主要分成兩步。第一步是構(gòu)建脈沖星計時陣，獲得高精度的TOA。

脈沖星計時是利用望遠(yuǎn)鏡觀測獲取多顆計時精度較高的毫秒脈沖星發(fā)出的脈沖到達(dá)望遠(yuǎn)鏡的時間，主要影響因素包括地球自轉(zhuǎn)、太陽系星歷表、太陽風(fēng)、信號傳播路徑上的星際介質(zhì)的色散和散射、引力波背景、脈沖星自行和脈沖星的雙星效應(yīng)（對于脈沖雙星）等。脈沖星計時是扣除上述效應(yīng)后通過脈沖到達(dá)與脈沖星相對靜止的太陽系質(zhì)心系（binary celestial reference system，BCRS）的相位的預(yù)報實現(xiàn)的，相位多項式表示為

第二步是利用計時數(shù)據(jù)對計時鐘信號進(jìn)行譜估計，實現(xiàn)鐘差信號的最優(yōu)估計和外推。

利用貝葉斯估計，脈沖星計時殘差可以用于研究計時噪聲的統(tǒng)計特性，如頻譜，功率譜以及噪聲類型等。貝葉斯參數(shù)估計把噪聲模型分為3類：TOA的不確定度調(diào)制的白噪聲，紅噪聲和色散量（dispersion measure，DM）噪聲[31]。鐘信號的建模是脈沖星時間溯源原子時間的基礎(chǔ)?；谪惾~斯估計，鐘信號被構(gòu)建成平穩(wěn)的紅噪聲過程，符合冪律譜，鐘信號的冪律譜可表示為[31]

2 鐘比對實驗與分析

2.1 鐘比對實驗

為了進(jìn)行脈沖星鐘算法的研究，我們開展了兩部原子鐘的對比和鐘差外推等試驗。利用相位微躍計、高精度頻率計和云南天文臺現(xiàn)有的硬件設(shè)備，筆者搭建了測試系統(tǒng)，如圖2所示。

試驗系統(tǒng)由兩臺氫原子鐘、一臺頻率計、一臺相位微躍計及控制與采集計算機(jī)組成。頻率計和相位微躍計的基本性能參數(shù)分別列于表1和表2。兩臺氫原子鐘分別由上海天文臺和俄羅斯生產(chǎn)，下文分別以氫鐘S和氫鐘R表示。

實驗的目的是通過相位微躍計鎖相到原子鐘信號，監(jiān)視鎖相后信號的時間與另外一臺原子鐘的差異，從而理解經(jīng)過相位微躍計后鐘差的總噪聲。具體來講，把氫鐘R的秒信號和10 MHz正弦信號注入到相位微躍計中，經(jīng)過相位微躍計鎖相之后，比對相位微躍計輸出的秒信號和氫鐘S輸出的秒信號；每隔1 h采集一次二者的比對值，每次連續(xù)讀取300次秒信號比對數(shù)據(jù)（10 s孔徑），計算機(jī)實時記錄數(shù)據(jù)采集的時間信息和秒信號的比對值。

注：氫原子鐘S是上海天文臺自研的，氫原子鐘R是俄羅斯生產(chǎn)的

表1 頻率計性能參數(shù)

表2 相位微躍計性能參數(shù)

2.2 實驗結(jié)果與分析

在2022年9月上旬至12月下旬期間，筆者采集了100多天的原始鐘差數(shù)據(jù)，如圖3所示。

圖3 原始鐘差數(shù)據(jù)

圖4 扣除鐘頻差和鐘頻率導(dǎo)數(shù)后的鐘差測量值和利用自主研發(fā)的clk_dqc軟件清除鐘差測量跳變后的數(shù)據(jù)

3 鐘差外推實驗與分析

最優(yōu)波形估計是鐘差外推的基礎(chǔ)。為了構(gòu)造最優(yōu)波形估計器，筆者需要對數(shù)據(jù)做一次K-L分解，尋找函數(shù)的稀疏支撐空間的基。作為第一步嘗試，筆者對數(shù)據(jù)進(jìn)行了周期圖法譜分析，對處理后的鐘差數(shù)據(jù)的直接譜分析見圖5（a）。數(shù)據(jù)顯示出典型的紅噪聲特征。然而由于紅噪聲譜比較陡，大量的高頻信號泄露到低頻成分處，即譜指數(shù)被周期圖法限制在≥-2的區(qū)域，因此直接周期圖譜估計是有偏的，數(shù)值無法直接使用。此外，數(shù)據(jù)存在一個2.5天左右顯著的周期信號和一些1天、半天等較弱的周期信號。由于兩個獨(dú)立運(yùn)行的原子鐘鐘差與GPS沒有關(guān)系，筆者初步分析認(rèn)為1天和半天的信號是環(huán)境變化所導(dǎo)致的，目前尚未找到2.5天周期信號的來源。

鑒于周期圖法無法直接從數(shù)據(jù)中測量紅噪聲譜，筆者又嘗試了白化-黑化處理方法。這種方法雖然會損失信噪比，但是能夠處理比-2譜指數(shù)更加陡峭的信號。針對上述的時間差數(shù)據(jù)，筆者利用標(biāo)準(zhǔn)的加窗譜分析方法[47]計算了功率譜密度，計算中使用的是Hamming窗函數(shù)。由于頻率差等于時間差的時間導(dǎo)數(shù)，因此時間差功率譜密度可以直接轉(zhuǎn)換成頻率差的功率譜密度[48]，計算結(jié)果見圖5（b），圖中展示的頻差功率譜進(jìn)一步驗證了這個結(jié)果，頻差的低頻段（10-2～10-1day-1）仍舊展現(xiàn)出很強(qiáng)的紅噪聲。因此原始鐘差的低頻功率譜指數(shù)應(yīng)該陡于-2。

圖5 鐘差信號的功率譜和頻差信號的功率譜

注：Efac是白噪聲改正系數(shù)，Ared是紅噪聲的時域RMS值（對數(shù)），αred是特征譜指數(shù)

獲得鐘差統(tǒng)計模型后，筆者研究了鐘差的最優(yōu)估計和最優(yōu)外推。X. P. Deng等[49]研究了最優(yōu)外推和內(nèi)插的算法，K. J. Lee等[27]給出了類似算法并得到了完整的估計誤差，并證明，可以僅利用時域數(shù)據(jù)開展最優(yōu)估計和外推而無需借助頻域的結(jié)果，并且時域估計和維納濾波會給出同樣形式的結(jié)果。在鐘差的統(tǒng)計模型基礎(chǔ)上，筆者構(gòu)造了針對40 m望遠(yuǎn)鏡觀測數(shù)據(jù)的最優(yōu)估計器和外推器。應(yīng)用到實測數(shù)據(jù)后的結(jié)果如圖7所示。為了驗證自研軟件的外推能力，僅使用前半部分?jǐn)?shù)據(jù)來生成最優(yōu)鐘差估計數(shù)據(jù)。計算結(jié)果顯示，在輸入數(shù)據(jù)的區(qū)間內(nèi)，最優(yōu)估計相對于原始測量值，大幅度降低了測量噪聲，噪聲水平降低了8倍左右；而在輸入的數(shù)據(jù)的區(qū)間外，外推的結(jié)果和實測的結(jié)果符合很好，即在短期（數(shù)天量級，長于72 h）即使沒有觀測數(shù)據(jù)，仍舊可以利用統(tǒng)計外推器對鐘進(jìn)行足夠精度的修正。

注：離散點是圖4（b）數(shù)據(jù)中扣除線性項和二次項的結(jié)果，其中黃色部分用于最優(yōu)估計器的輸入數(shù)據(jù)；藍(lán)色曲線是最優(yōu)鐘差估計和外推數(shù)據(jù)

4 結(jié)語

本文首先介紹了脈沖星鐘的實現(xiàn)過程，即利用望遠(yuǎn)鏡進(jìn)行計時觀測，獲得足夠的計時數(shù)據(jù)，基于貝葉斯方法研究計時噪聲，建立計時鐘的鐘差噪聲模型，最終實現(xiàn)保持原子鐘短期穩(wěn)定性的和脈沖星時間長期穩(wěn)定性的脈沖星鐘。然后，文章敘述了云南天文臺有關(guān)脈沖星鐘的研究進(jìn)展：① 先導(dǎo)實驗平臺的搭建及鐘差、頻差自動化測量平臺的搭建；② 鐘差的自動測量、記錄和壞數(shù)據(jù)點清除；③ 鐘差的譜估計技術(shù)的探索，證實了依靠貝葉斯方法能夠?qū)崿F(xiàn)有效譜估計；④ 完成了鐘差信號的最優(yōu)估計和外推，實現(xiàn)了約8倍的噪聲削減和長于72 h的數(shù)據(jù)外推預(yù)報能力。

筆者下一步將搭建脈沖星鐘平臺，利用上文中鐘差信號的最優(yōu)估計和外推算法，建立脈沖星計算時所用原子鐘的鐘差噪聲模型，在相鄰兩次脈沖星計時觀測之間預(yù)報未來一段時間原子鐘的鐘差修正值，編寫伺服軟件，通過伺服軟件調(diào)控相位微躍計實時修正原子鐘，實現(xiàn)脈沖星鐘。

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Research on atomic clock comparison for pulsar time

HUANG Yu-xiang1,2,3, LEE Ke-jia4,5, HAO Long-fei1,3,*, LI Zhi-xuan1,3, XU Yong-hua1,3, SHEN Fa-xin1,2,3, WANG Min1,3, CHENG Xiang-ming1,2,3,6

(1. Yunnan Observatories, Chinese Academy of Sciences, Kunming 650216, China;2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China;3. Key Laboratory for the Structure and Evolution of Celestial Objects, Chinese Academy of Sciences, Kunming 650216, China;4. Department of Astronomy, School of Physics, Peking University, Beijing 100871, China;5.National Astronomical Observatories, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100101, China;6. Engineering Laboratory on Applied Astronomical Technology of Yunnan, Kunming 650216, China)

Millisecond pulsars are the stable “celestial clock”. Based on the properties of millisecond pulsars, a new pulsar-based time scale can be established to maintain a long-term stable timescale. Pulsar timing and pulsar clocks are investigated with several millisecond pulsars, using the Kunming 40-meter radio telescope. We had built the experimental platform of pulsar clock and carried out experiments including comparison of atomic clocks and forecast of clock differences. The validation of the Bayesian approach in clock difference spectrum estimation was verified that is proved as an effective method for clock difference estimation and extrapolation.

millisecond pulsars; pulsar clock; Bayesian estimation

黃玉祥, 李柯伽, 郝龍飛, 等. 面向脈沖星時的原子鐘鐘差研究[J]. 時間頻率學(xué)報, 2023, 46(3): 206-216.

10.13875/j.issn.1674-0637.2023-03-0206-11

2023-02-24；

2023-05-25；

haolongfei@ynao.ac.cn

國家SKA計劃資助項目（2020SKA0120100）；云南省科技廳對外科技合作專項資助項目（02003AD150010）；國家重點研發(fā)計劃資助項目（2022YFC2205203）；國家自然科學(xué)基金資助項目（12073076；12173087；12041303；12063003）