■成都經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校 杜海洋

在學(xué)習(xí)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),其中涉及對(duì)橢圓方程進(jìn)行化簡(jiǎn),課本上呈現(xiàn)出同學(xué)們易懂的通性通法(去根號(hào)化簡(jiǎn)),但過程運(yùn)算量較大,是否還會(huì)有其他路徑化簡(jiǎn)呢? 本文就通過不同視角推導(dǎo)其標(biāo)準(zhǔn)方程,以饗讀者!

1.根據(jù)定義推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

如圖1,取過焦點(diǎn)F1,F2的直線為x軸,線 段F1F2的垂直平分線為y軸,設(shè)P(x,y)為橢圓上的任意一點(diǎn),橢圓的焦 距 是2c(c>0)。則F1(-c,0),F2(c,0)。設(shè)P與F1,F2距離之和等于2a(2a>2c)(常數(shù)),則P={P||PF1|+|PF2|=2a}。

圖1

下面對(duì)此等式進(jìn)行化簡(jiǎn)。

解法1:課本方法(兩次平方去根號(hào))

2.推導(dǎo)感悟

解析幾何其本質(zhì)為“幾何”,如在推導(dǎo)過程中產(chǎn)生不同的表達(dá)形式都隱藏其“幾何”意義,如

當(dāng)x≠±a時(shí),有(定值),其對(duì)應(yīng)《選擇性必修第一冊(cè)》第113頁(yè)例6:動(dòng)點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(4,0)的距離和M到定直線l:的距離的比是常數(shù),求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡。請(qǐng)同學(xué)們自行查閱相關(guān)資料。