楊志恒 YANG Zhi-heng；陳攀 CHEN Pan；駱湘勤 LUO Xiang-qin；孫傳海 SUN Chuan-hai；吳德漢 WU De-han

（北京城建勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限責(zé)任公司，北京 100029）

0 引言

地鐵車站構(gòu)造復(fù)雜，其所處土層環(huán)境往往也很復(fù)雜，因計(jì)算機(jī)條件的限制，常采用二維模型進(jìn)行地下結(jié)構(gòu)抗震分析，為更深入研究地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)規(guī)律，分析不同地震動(dòng)場(chǎng)的綜合影響，采用地下結(jié)構(gòu)三維整體模型進(jìn)行研究是很有必要的[1]。同樣的原因，充分研究地下結(jié)構(gòu)與鄰近地表結(jié)構(gòu)（群）的相互作用問(wèn)題[2]和“城市效應(yīng)”問(wèn)題[3]時(shí)都需要建立三維有限元模型。

雖然個(gè)人計(jì)算機(jī)硬件發(fā)展較十年前有較大進(jìn)步，但三維土層-結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析模型的自由度很大，在運(yùn)算的時(shí)候就會(huì)出現(xiàn)運(yùn)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)和內(nèi)存不足的情況。因此，三維模型高效快速計(jì)算問(wèn)題，是土層-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力相互作用分析模型推廣應(yīng)用所需要解決的關(guān)鍵問(wèn)題之一[4]。

在快速高效計(jì)算方法發(fā)展方面，姜忻良研究了混合約束模態(tài)子結(jié)構(gòu)法[5]。馮青松探索了約束模態(tài)綜合法在商用軟件ANSYS 平臺(tái)上的實(shí)現(xiàn)[6]。

以上研究成果均表明約束模態(tài)子結(jié)構(gòu)法能在保證計(jì)算精度的前提下有效提高計(jì)算效率。因該類型的子結(jié)構(gòu)需求解n 階廣義特征值問(wèn)題，對(duì)于大型結(jié)構(gòu)，其迭代求解仍然花費(fèi)較多的計(jì)算時(shí)間，若采用Ritz 向量代替模態(tài)向量可以進(jìn)一步提高計(jì)算效率，因?yàn)楂@得Ritz 向量?jī)H需解n 階線性代數(shù)方程組。本文探索基于Ritz 向量法在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中應(yīng)用的可行性。

1 理論分析

Ritz 向量法先假設(shè)有這樣一組比結(jié)構(gòu)系統(tǒng)主模態(tài)集[Φm]相對(duì)來(lái)說(shuō)更為有效的Ritz 向量基[X]=[x1，x2，…，xm]，則根據(jù)Rayeigh-Ritz 法，系統(tǒng)的位移動(dòng)力響應(yīng)可表示為：

通過(guò)遞推求解可獲得一組比模態(tài)向量更為有效的Ritz 向量基，遞推求解步驟如下：

首先，根據(jù)外荷載{f（s）}求解得到擬靜力反應(yīng){y1}：

將{y1}對(duì)質(zhì)量陣[M]歸一化后求得第一個(gè)Ritz 向量{x1}：

按照這種方法產(chǎn)生m 個(gè)Ritz 向量后，就可得出廣義質(zhì)量矩陣[M*]和廣義剛度矩陣[K*]。廣義矩陣[C*]由廣義質(zhì)量和剛度矩陣線性組合而成。該方程可由逐步積分法求解。

將以上求解結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)的方法稱之為Ritz 向量法，本文簡(jiǎn)稱為MRV 法。

2 算例

本文關(guān)于MRV 法是通過(guò)自編代碼實(shí)現(xiàn)的，為驗(yàn)證自編代碼的正確性，以商用軟件ANSYS 的常規(guī)有限元法的計(jì)算結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)比自編程序的計(jì)算結(jié)果，同時(shí)對(duì)比了本文方法與常規(guī)有限元法計(jì)算量差別。

2.1 懸臂梁算例

某懸臂梁橫截面尺寸為0.3m*0.5m，長(zhǎng)2.8m，如圖1所示。彈性模量為7.3E8N/m2，密度1820kg/m3，泊松比0.25。用六面體八結(jié)點(diǎn)等參元離散該梁，其有限元網(wǎng)格如圖2 所示，模型共有840 個(gè)單元，1400 個(gè)自由結(jié)點(diǎn)，4200個(gè)自由度。

圖2 有限元網(wǎng)格

表1 列出了懸臂梁前12 階頻率值。商用軟件ANSYS給出的模態(tài)結(jié)果是采用Lanczos 法求解的，其中MRV 法取12 個(gè)Ritz 向量進(jìn)行計(jì)算，從表1 可以看出，MRV 法求得的前6 階低階頻率值有9 個(gè)以上的精確的有效數(shù)字，說(shuō)明該方法自編代碼正確。關(guān)于此懸臂梁的模態(tài)計(jì)算，常規(guī)有限元法需要4200 個(gè)自由度，而MRV 法僅需12 個(gè)自由度就能達(dá)到滿意精度。

表1 懸臂梁前12 階頻率 單位：Hz

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的計(jì)算精度，下面以人工地震波為激勵(lì)，計(jì)算該懸臂梁梁端時(shí)程反應(yīng)，并與ANSYS 計(jì)算結(jié)果對(duì)比。（圖3）

圖3 MRV 法和ANSYS 計(jì)算結(jié)果對(duì)比

運(yùn)用MRV 法時(shí)，分4 種情況：分別取10、12、20 和30個(gè)Ritz 向量。將原系統(tǒng)降階后的運(yùn)動(dòng)方程如式（2），其中阻尼矩陣中的質(zhì)量矩陣比例系數(shù)取1.5259，剛度矩陣比例系數(shù)取0.0015。運(yùn)用NewMark 法求解該運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，積分系數(shù)γ 和β 分別取0.25 和0.5。計(jì)算結(jié)果列于表2。

表2 MRV 法計(jì)算結(jié)果

表2 列出了懸臂梁在人工基巖波豎向激勵(lì)下，梁端豎向位移與加速度的地震反應(yīng)。從表中數(shù)據(jù)可以看出，MRV法計(jì)算結(jié)果與ANSYS 計(jì)算結(jié)果接近，取10 個(gè)Ritz 向量計(jì)算時(shí)，位移結(jié)果有5 個(gè)相同的有效數(shù)字；加速度結(jié)果有3個(gè)相同的有效數(shù)字，加速度誤差僅為0.15%。

2.2 地下結(jié)構(gòu)算例

選用雙層雙柱島式地鐵車站為研究對(duì)象。地面至車站頂?shù)木嚯x為2m，車站寬20m，高11.54m，中跨寬6m，側(cè)跨寬6.3m，上層高3.5m，下層高6.24m。頂板、側(cè)墻0.8m 厚，底板厚0.9m，中柱截面為0.6m×0.8m。車站橫截面如圖4所示。不考慮土體的非線性特性接觸非線性。

圖4 地鐵車站標(biāo)準(zhǔn)段橫截面

模型深度范圍取至基巖面處，即深度取230m，水平方向長(zhǎng)度取2320m，場(chǎng)地土層性質(zhì)見(jiàn)表3。有限元網(wǎng)格示意圖詳見(jiàn)圖5。

表3 場(chǎng)地土物理力學(xué)參數(shù)

圖5 二維模型有限元網(wǎng)格示意圖

三維模型土體部分采用八節(jié)點(diǎn)六面體等參元離散，中柱部分為三維梁?jiǎn)卧x散。約束模型底部結(jié)點(diǎn)的所有自由度，作為地震輸入激振面。選用kobe 波和汶川波作為激勵(lì)，計(jì)算地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)。為評(píng)價(jià)MRV 法的計(jì)算精度，也列出了ANSYS 的計(jì)算結(jié)果如表4。

表4 地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)

表4 列出了在kobe 波和WC 波作用下地下結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)。從表中數(shù)據(jù)可以看出，MRV 法計(jì)算結(jié)果精度較高，相對(duì)于ANSYS 計(jì)算結(jié)果，誤差最大不超過(guò)7%，但計(jì)算自由度僅為ANSYS 計(jì)算自由度的1/10 左右。這說(shuō)明MRV法在地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析中能極大提高計(jì)算效率。

3 結(jié)論

本文分別以懸臂梁和一地鐵車站為算例，采用MRV法與ANSYS 有限元軟件兩種計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算，對(duì)比了MRV 法與ANSYS 的計(jì)算結(jié)果，得出如下結(jié)論：

①采用ANSYS 軟件運(yùn)用Lanczos 法求解結(jié)構(gòu)模態(tài)特性，常規(guī)有限元法需要4200 個(gè)自由度，然而采用MRV 法求結(jié)構(gòu)模態(tài)僅需12 個(gè)自由度就能達(dá)到滿意精度。

②懸臂梁在人工基巖波豎向激勵(lì)下，MRV 法計(jì)算結(jié)果與ANSYS 計(jì)算結(jié)果非常接近，取10 個(gè)Ritz 向量計(jì)算時(shí)，位移結(jié)果有5 個(gè)相同的有效數(shù)字；加速度結(jié)果有3 個(gè)相同的有效數(shù)字，加速度誤差僅為0.15%。

③MRV 法能有效求解大規(guī)模地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)問(wèn)題，在僅用約1%普通有限元法自由度的情況下，計(jì)算誤差不超過(guò)7%。