盧曉雨

? 江蘇省無錫市東林中學(xué)

求線段的長度是初中幾何的基礎(chǔ)問題.解這類題目要綜合考慮線段的位置關(guān)系,通過題干信息的提取,采用合適的方式進(jìn)行求解.

1 利用等面積法

等面積法是指用不同方式表示同一平面圖形的面積,通過面積的相互轉(zhuǎn)化或面積與邊、角關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化,而使問題得到解決的方法.對于三角形而言,就是指利用三角形的面積自身相等的性質(zhì),或根據(jù)等高(底)的兩個三角形的面積之比等于對應(yīng)底邊(對應(yīng)高)的比等進(jìn)行解題的一種方法.利用等面積法解題具有便捷、快速的特點(diǎn).解題思路大致為:①根據(jù)已知條件通過面積的相互轉(zhuǎn)化或面積與邊、角關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化,用不同方式表示同一三角形的面積;②通過題中已知條件進(jìn)行運(yùn)算即可求出所求線段長度[1].具體解題思路和步驟如以下例題所示.

例1如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,CD是斜邊AB上的高,求CD的長度.

圖1

分析：首先根據(jù)題中已知條件,可知在一個直角三角形中∠C=90°,以及AC和BC的長度,從而可求得AB的長,又根據(jù)CD是斜邊AB上的高,通過面積與邊、角關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化,最后進(jìn)行運(yùn)算即可求出所求CD長度.

解：∵∠C=90°,AC=4,BC=3,

∴AB=5.

又CD為斜邊AB上的高,

∴S△ABC=AC·BC=AB·CD.

∴4×3=5CD.

例2如圖2,已知△ABC中,AD是△ABC的中線,AD=4,BC=6,AC=5,P是AB邊上的一點(diǎn)﹐且△PBD是以BP為底的等腰三角形,求線段AP的長度.

圖2

分析：首先根據(jù)題中已知條件,可得AD⊥BC.再根據(jù)面積相等可得DH長度.同理,可得BH長度.最后根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì),得到PH=HB,求出PB長度,從而求出線段AP長度.

解：過D作DH⊥AB,垂足為H.

∵AC2=AD2+CD2,

∴∠ADC=90°.

∴AD⊥BC.

在△ABD中,根據(jù)面積相等可得

在Rt△BDH中,求得

根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì),得

PH=HB,AB=AC=5.

2 利用勾股定理

已知直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,則a2+b2=c2.因此,在直角三角形中,已知任意兩邊長,可求第三邊長.構(gòu)造出直角三角形,用勾股定理建立方程求線段長度的解題思路大致為:①根據(jù)已知條件構(gòu)造直角三角形;②利用勾股定理建立方程;③通過計算求出所求線段長度[2].具體解題思路和步驟如以下例題所示.

例3如圖3,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,CD是斜邊AB上的高,求CD的長度.

圖3

分析：首先根據(jù)題中已知條件,可知在一個直角三角形中,∠C=90°,以及AC和BC的長度,從而可求得AB的長.再設(shè)BD=x,表示出AD.又因?yàn)镃D是斜邊AB上的高,最后利用勾股定理建立方程,通過計算即可求出所求線段CD的長度.

解：∵∠C=90°,AC=4,BC=3,

∴AB=5.

設(shè)BD=x,則AD=5-x.

∵CD為斜邊AB上的高,

∴在Rt△ADC與Rt△BDC中,有

CD2=AC2-AD2=BC2-BD2.

∴42-(5-x)2=32-x2.

圖4

分析：首先根據(jù)題中已知條件,設(shè)CE=x,CD=y,再表示出AC和BC,最后利用勾股定理建立方程,通過計算即可求出所求線段AB的長度.

解：設(shè)CE=x,CD=y,

∴AC=2x,BC=2y.

∴在Rt△ACD與Rt△BCE中,有

(2x)2+y2=25,
(2y)2+x2=40.

∴x2+y2=13.

∴AB2=AC2+BC2=4x2+4y2=52.

3 利用相似

利用相似求線段長度是根據(jù)邊角關(guān)系發(fā)現(xiàn)相似三角形的模型,從而通過運(yùn)算得到所求線段長度.解題思路大致為:①根據(jù)已知條件構(gòu)造出相似三角形;②設(shè)相應(yīng)線段為x,建立方程;③通過計算即可求出所求線段長度.具體解題思路和步驟如以下例題所示.

例5如圖5,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,Rt△MPN中,∠MPN=90°,點(diǎn)P在AC上,PM交AB于點(diǎn)E,PN交BC于點(diǎn)F,當(dāng)PE=2PF時,求線段AP的長度.

圖5

圖6

解：如圖6,作PQ⊥AB于點(diǎn)Q,PR⊥BC于點(diǎn)R,則

∠PQB=∠QBR=

∠BRP=90°.

∴四邊形PQBR是矩形.

∴∠QPR=90°=∠MPN.

∴∠QPE=∠RPF.

∴△QPE∽△RPF.

∴PQ=2PR=2BQ.

∵PQ∥BC,

∴AQ∶QP∶AP=AB∶BC∶AC=3∶4∶5.

設(shè)PQ=4x,則AQ=3x,AP=5x,BQ=2x.

∴2x+3x=3.

∴AP=5x=3.

根據(jù)上述不同的求線段長度例題的分析,可以得到求線段長度的基本方法有等面積法、利用勾股定理以及利用相似等.針對不同類型問題,采取相應(yīng)的解題方法進(jìn)行解答.在解題過程中,應(yīng)加強(qiáng)對問題條件的分析應(yīng)用,借助已知條件和相關(guān)性質(zhì)去靈活解答,以此提高解題效率.同時,也希望同學(xué)們謹(jǐn)記各方法的注意事項,記住各方法的適用條件,在考試中靈活加以運(yùn)用,避免出現(xiàn)錯誤.