徐晨晨，葉國菊，劉 尉*，史芳芳，趙大方

（1.河海大學(xué)理學(xué)院,江蘇 南京 210098；2.湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北 黃石 435002）

模糊集理論在許多研究領(lǐng)域都發(fā)揮著重大的作用，如決策、模糊信息的處理等。模糊環(huán)境下的風(fēng)險(xiǎn)分析，又稱模糊風(fēng)險(xiǎn)分析，越來越受到研究者的歡迎。文獻(xiàn)[1]首先在生產(chǎn)系統(tǒng)中引入了模糊風(fēng)險(xiǎn)分析，其中涉及的參數(shù)是發(fā)生故障的概率和損失的嚴(yán)重程度。不同時(shí)期的研究人員提出了各種解決風(fēng)險(xiǎn)分析的方法[2-6]，一般情況下，將這些風(fēng)險(xiǎn)分析問題所涉及的參數(shù)表示為語言術(shù)語，通常用模糊數(shù)來表示。這就需要對這些模糊數(shù)進(jìn)行排序，以便更適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行決策。文獻(xiàn)研究[2-6]表明，隨著時(shí)代的發(fā)展，各種排序方法層出不窮。不幸的是，沒有公認(rèn)的模糊數(shù)的排序方法。人們發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有的方法有時(shí)無法解釋模糊數(shù)的排序順序，因此，需要合乎邏輯的排序方法是極其重要的。許多研究者在模糊數(shù)的排序方面做出了巨大的貢獻(xiàn)，提出了越來越多有效的方法。自1976 年以來，已有30 多個(gè)模糊數(shù)的排序指標(biāo)被提出[3-19]。

這里，本文對已有的一些排名方法進(jìn)行簡單的回顧，不同的模糊數(shù)的排序方法是基于不同的概念和定義。Yager[7]采用了模糊數(shù)質(zhì)心的概念。Wang 等[8]對質(zhì)心公式進(jìn)行了修正，提出了一種廣義的模糊數(shù)排序方法。但是文獻(xiàn)[8]中的方法無法區(qū)分具有面積補(bǔ)償?shù)哪：龜?shù)，因此，Yu 等[9]改進(jìn)了文獻(xiàn)[8]中的方法。此外，該方法已被推廣用于不同類型的模糊數(shù)進(jìn)行排序。Chen 等[10]提出了一種考慮正邊面積、負(fù)邊面積和廣義模糊數(shù)高度的方法。然而，當(dāng)模糊數(shù)對稱且核相同時(shí)，該方法無法區(qū)分這些模糊數(shù)。Chen 等[11]又提出了一種考慮模糊數(shù)的高度和支撐，對不同高度和不同支撐的廣義模糊數(shù)排序的方法。然而，該方法無法區(qū)分具有面積補(bǔ)償?shù)哪：龜?shù)。文獻(xiàn)[12]提出了一種基于參考函數(shù)角度的模糊數(shù)排序方法。然而，具有精確值的模糊數(shù)不具有角度的概念；因此，該方法在這種情況下無法區(qū)分。Rezvani 等[13]提出了一種利用模糊數(shù)Mellin 變換得到的方差指數(shù)對梯形模糊數(shù)排序的方法。由于具有精確值的模糊數(shù)不存在方差，因此，該方法在這類模糊數(shù)中無法區(qū)分它們。Wang 等[8]首次提出了L-R 偏離度的思想，之后Asady[14]重新定義了L-R 偏離度，但是保留了Wang等[8]方法中的所有缺陷。因此，需要新的方法克服現(xiàn)有方法的這些局限性和缺點(diǎn)。最近，Cheng 等[16]使用了Yager[7]提出的黃金法則代表值的概念并對它進(jìn)行了推廣，提出了一種新的模糊數(shù)排序方法。Barazandeh 等[17]利用模糊數(shù)的左、右高度不同，提出了一種對廣義模糊數(shù)進(jìn)行排序的新方法。之后，Patra[18]借助廣義梯形模糊數(shù)的均值、面積和周長，提出了一種廣義梯形模糊數(shù)的排序方法。此外，在模糊數(shù)的排序指標(biāo)中引入模糊數(shù)的值的計(jì)算公式能夠產(chǎn)生良好的結(jié)果，如Chutia 等[19]利用模糊數(shù)的值和模糊度的計(jì)算公式，對區(qū)間2 型模糊數(shù)進(jìn)行了排序。但是當(dāng)模糊數(shù)的值計(jì)算結(jié)果相等時(shí)，該方法就無法對這些模糊數(shù)和它們所對應(yīng)的像進(jìn)行正確的排序。

鑒于以上情況，本文提出了一種基于模糊數(shù)的值以及左、右偏離度的排序方法，并引入了一個(gè)參數(shù)λ來衡量排序指標(biāo)是否包含偏離度。接著，利用模糊數(shù)和它們的像之間的各種關(guān)系，討論了所提出方法的自反性、反對稱性和傳遞性等性質(zhì)，從而驗(yàn)證了該方法的合理性。最后，通過數(shù)值例子與其他排序方法進(jìn)行比較表明，該方法在所有情況下優(yōu)于其他方法，克服了傳統(tǒng)的排序方法無法對某些模糊數(shù)排序的局限性。

1 預(yù)備知識

定義1[2]設(shè) R是實(shí)數(shù)集。若A:R →[0,1]滿足以下條件：

1)A是正規(guī)的模糊集，即?x0∈R 使得A(x0)=1；

2)A是凸模糊集，即對任意的x＞y＞z，有A(y)≥A(x)∧A(z)；

3)A是上半連續(xù)函數(shù)，即對 ?x0∈R，?ε ＞0，?δ ＞0使得當(dāng) |x-x0|＜δ 時(shí)，有A(x)＜A(x0)+ε；

定義2[4]設(shè)A=(a,b,c,d;ω)∈E1是一個(gè)廣義的模糊數(shù)，其隸屬函數(shù)定義為

定義3[4]設(shè)A=(a,b,c,d;ω)∈E1是一個(gè)廣義的梯形模糊數(shù)，其隸屬函數(shù)定義為

其中，0 ≤ω ≤1。

如果 ω=1，則A=(a,b,c,d;1)是正規(guī)梯形模糊數(shù)。如果ω=1并且b=c，則是正規(guī)三角模糊數(shù)。

定義4[5]設(shè)A=(a,b,c,d;ω)∈E1，則稱-A=(-d,-c,-b,-a;ω) 是A的像。

定義5[6]設(shè)A=(a,b,c,d;ω)∈E1，s:[0,1]→[0,1]是關(guān)于y的函數(shù)，則A的值定義為

定義6[5]設(shè)Ai=(ai,bi,ci,di;ωi)，i=1,2,···,n，?1是非常小的正數(shù)，則Ai的傳遞系數(shù)定義為

定義7[4]設(shè)Ai=(ai,bi,ci,di;ωi)，i=1,2,···,n，則Ai關(guān)于amin和dmax的左、右偏離度定義為

2 主要結(jié)論

本節(jié)提出了一種利用值和左、右偏離度對模糊數(shù)排序的新方法，并給出了一些重要的引理和定理來驗(yàn)證該方法的合理性。

定義8設(shè)Ai=(ai,bi,ci,di;ωi)，i=1,2,···,n，則Ai的排序指標(biāo)定義為

其中，

定義9設(shè)Ai,Aj∈E1，定義以下序關(guān)系

引理 1設(shè)A=(a,b,c,d;ω)∈E1，則VA=-V-A。

證明：由式子(3)可知

證明：由定義 6 可知

將x代替為-y得，

證明：設(shè)Ai?Aj，則

由引理 1、引理 2 和引理3 可得

因此，可以分3 種情況討論。

定理 2設(shè)A，B，C是任意3 個(gè)模糊數(shù)，有以下結(jié)論成立：

1）A?A。(自反性)

2）A?B，B?C，則A?C。(傳遞性)

3）如果A?B，B?A，當(dāng)且僅當(dāng)A～B。(反對稱性)

證明：1）結(jié)論顯然。

2）設(shè)A?B，B?C，其中A，B排序指標(biāo)中的參數(shù)λ 記為λ1，B，C排序指標(biāo)中的參數(shù) λ 記為λ2，證明可以分為以下4 種情況進(jìn)行討論。

①當(dāng) λ1=λ2=0 時(shí)，DA≥DB且DB≥DC。因?yàn)棣?=λ2=0，所以VA≥VB，VB≥VC，VA≥VC。因此，DA≥DC，A?C。

②當(dāng) λ1=λ2=±1時(shí)，DA≥DB且DB≥DC。因?yàn)棣?=λ2=±1，所以VA=VB，VB=VC，可以得到

則有

因此，DA≥DC，A?C。

③當(dāng) λ1=±1，λ2=0時(shí)，DA≥DB且DB≥DC。因?yàn)棣?=±1，λ2=0，所以V(A)=V(B)，V(B)≠V(C)，可以得到V(B)≥V(C)，V(A)≥V(C)。因此，DA≥DC，A?C。

④當(dāng) λ1=0，λ2=±1時(shí)，DA≥DB且DB≥DC。因?yàn)棣?=0，λ2=±1，所以V(A)≠V(B)，V(B)=V(C)，可以得到V(A)≥V(B)，V(A)≥V(C)。因此，DA≥DC，A?C。

3）設(shè)A?B，B?A，則DA≥DB，DB≥DA。因此，DA=DB，A～B。

3 數(shù)值例子

例1：假設(shè)有一個(gè)正規(guī)模糊數(shù)A=(0.1,0.2,0.2,0.3;1.0)和一個(gè)非正規(guī)的模糊數(shù)B=(0.1,0.2,0.2,0.3;0.8)。很顯然，從人類的直覺角度來說，由于這兩個(gè)模糊數(shù)具有相同的支撐，并且B的高度為0.8，所以人們更認(rèn)為A大于B。通過各種方法對這兩個(gè)模糊數(shù)進(jìn)行排序，如表1。從表中可以看出文獻(xiàn)[7]、文獻(xiàn)[14]和文獻(xiàn)[15]的方法無法區(qū)分它們。文獻(xiàn)[8]、文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[13] 可以得到A?B，但是無法區(qū)分它們的像。而利用本文提出的方法，由于DA=0.200 0，DB=0.128 0以及根據(jù)定理1 可知，對這兩個(gè)模糊數(shù)及其像進(jìn)行排序的順序分別為A?B，-A?-B，這是符合人類直覺的。此外，這與文獻(xiàn)[10]、文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[12]的結(jié)果一致。

表1 例1 中的模糊數(shù)排序Tab.1 Ranking of fuzzy numbers in Example 1。

例2：假設(shè)有兩個(gè)具有面積補(bǔ)償?shù)哪：龜?shù)A=(0.1,0.4,0.4,0.5;1.0)和B=(0.2,0.3,0.3,0.6;1.0)，通過各種方法對兩個(gè)模糊數(shù)進(jìn)行排序，如表2。從表中可以看出文獻(xiàn)[10]、文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[12]的方法無法區(qū)分它們。文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[13]可以得到A?B，但是無法區(qū)分它們的像。而利用本文提出的方法，由于DA=0.366 7，DB=1.6667以及根據(jù)定理 1 可知，對這兩個(gè)模糊數(shù)及其像進(jìn)行排序的順序分別為A?B，-A?-B，這與文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[9]的結(jié)果一致。

表2 例2 中的模糊數(shù)排序Tab.2 Ranking of fuzzy numbers in Example 2。

例3：假設(shè)模糊數(shù)A=(0.1,0.2,0.2,0.6;1.0)，B=(0.25,0.275,0.275,0.3;1.0)和C=(0.2,0.3,0.3,0.4;1.0)。通過各種方式對這3 個(gè)模糊數(shù)進(jìn)行排序，如表3。文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]根據(jù)模糊數(shù)的質(zhì)心進(jìn)行推斷，當(dāng)A和C的質(zhì)心相等時(shí)，導(dǎo)致A和C之間的決策難以區(qū)分，這是一種錯(cuò)誤的排序。此外，文獻(xiàn)[8]和[9]的方法表明圖像的排序與這些模糊數(shù)不一致。文獻(xiàn)[10]無法區(qū)分完全不同的模糊數(shù)A和B。雖然，[12]對這些模糊數(shù)進(jìn)行了排序，但他們未能對其圖像進(jìn)行排序。文獻(xiàn)[13]的排序準(zhǔn)則只依賴于模糊數(shù)的方差。從模糊數(shù)來看，我們可以說A的方差大于C，C的方差大于B，因此得出B?C?A的結(jié)論是不正確的。因此，當(dāng)模糊數(shù)具有相同的質(zhì)心和不同的支撐時(shí)，這些方法無法做出正確的決策。然而利用本文提出的方法，由于DA=0.250 0，DB=0.275 0，DC=0.300 0以及定理1 可知，對這些模糊數(shù)及其圖像的排序分別為A?B?C，-A?-B?-C，這種方法得到的結(jié)果是更符合邏輯的并且與文獻(xiàn)[11]、[14]和[15]結(jié)果一致。

表3 例3 中的模糊數(shù)排序Tab.3 Ranking of fuzzy numbers in Example 3。

例4：假設(shè)有另一組簡單的例子A=(1.0,1.0,1.0,1.0;1.0)，B=(1.0,1.0,1.0,1.0;0.8)和C=(1.0,1.0,1.0,1.0;0.5)。直觀上，這些模糊數(shù)的排序應(yīng)該是A?B?C，通過各種方法對這3 個(gè)模糊數(shù)進(jìn)行排序，如表4。從表中可以看出，文獻(xiàn)[7]、文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[13]的方法無法區(qū)分這些模糊數(shù)。文獻(xiàn)[9]、文獻(xiàn)[14]和文獻(xiàn)[15]的方法認(rèn)為這些模糊數(shù)及其圖像是相同的，這是不合邏輯的。此外，即使這些模糊數(shù)不同，但決策者的偏好水平也認(rèn)為這些模糊數(shù)是相同的。因此，表中的大多數(shù)方法不能區(qū)分具有相同支撐的不同高度的精確值模糊數(shù)。由于質(zhì)心點(diǎn)的期望不受模糊數(shù)高度的影響，所以產(chǎn)生了這種限制。然而，本文提出的方法可以克服這些限制，對這些模糊數(shù)及其圖像的排序分別為A?B?C和-C?-B?-A，這是符合人類直覺，是合乎邏輯的并且與文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[11]結(jié)果一致。

表4 例4 中的模糊數(shù)排序Tab.4 Ranking of fuzzy numbers in Example 4 。

4 結(jié)論

通過回顧可以看出，現(xiàn)有的排序方法大都不能對某些模糊數(shù)進(jìn)行排序。因此，提出了一種基于模糊數(shù)的值以及左、右偏離度的新排序方法。在第4 節(jié)中描述的數(shù)值例子展示了所提出的方法如何在各種情況下優(yōu)于其他方法。在例1 中，該方法可以清晰地對具有相同支撐和不同核的模糊數(shù)進(jìn)行排序。從例2 中我們可以看出，現(xiàn)有的大多數(shù)方法無法對兩個(gè)具有面積補(bǔ)償?shù)哪：龜?shù)進(jìn)行排序，而本文中提到的方法可以對這兩個(gè)模糊數(shù)以及它們的圖像作出正確的排序。在例3 中，當(dāng)模糊數(shù)具有相同的質(zhì)心和不同的支撐時(shí)，大多數(shù)方法無法對其做出正確的排序，但是利用本文的方法可以得到合乎邏輯的排序。此外，在例4 中該方法還可以對不同高度且具有精確值的模糊數(shù)進(jìn)行排序，這些模糊數(shù)在大多數(shù)的研究中常常被忽略。從以上例子可以看出，在排序方法中引入模糊數(shù)的值和左、右偏離度是非常合理的，并且得到的結(jié)果也完全符合人類的直覺，克服了傳統(tǒng)的排序方法無法對某些模糊數(shù)進(jìn)行排序的局限性。