譚 馨，牛憲華，馬佳蓓，張司娜

（西華大學(xué)計算機與軟件工程學(xué)院,四川 成都 610039）

數(shù)據(jù)鏈[1-4]最早的雛形是美國軍方于1950 年啟用的半自動地面防空系統(tǒng)。這種以計算機輔助的指揮管理體系使用了各種有線與無線的數(shù)據(jù)鏈。作為指揮控制系統(tǒng)的通信手段，數(shù)據(jù)鏈在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中的作用日益突出。在各個時間段，根據(jù)當(dāng)下的技術(shù)能力以及實際的戰(zhàn)場需求，不同的數(shù)據(jù)鏈被開發(fā)，比如Link4、Link11、Link16、Link22 以及TTNT 等。為了實現(xiàn)未來跨域高能效協(xié)同作戰(zhàn)的應(yīng)用需求，數(shù)據(jù)鏈將朝著優(yōu)異的自組織能力、更大容量、更高速率、安全保密、強抗干擾和防竊聽能力的方向發(fā)展。

數(shù)據(jù)鏈通信網(wǎng)絡(luò)同時存在著多個網(wǎng)絡(luò)參與組。每個不同的網(wǎng)絡(luò)參與組之間，使用了不同的跳頻模式，以實現(xiàn)在相同的時隙內(nèi)進(jìn)行多網(wǎng)傳輸?？梢詫崿F(xiàn)這個功能的原因是，在跳頻系統(tǒng)中，信號的載波頻率在傳輸過程中會不斷地進(jìn)行跳變，跳變的規(guī)則是由偽隨機碼，也就是分配給網(wǎng)絡(luò)參與組的跳頻序列實現(xiàn)。消息的發(fā)送者和接收者使用相同的跳頻序列，就能保證正確地對發(fā)送的信息進(jìn)行調(diào)制和解調(diào)。

跳頻序列具有良好的安全保密性、抗截獲性以及抗干擾性[2]，可以很好地滿足數(shù)據(jù)鏈未來的發(fā)展需求。如何設(shè)計出具有良好性能，能完美應(yīng)用到實際通信系統(tǒng)中的跳頻序列，一直是擴頻研究領(lǐng)域中一個非常重要的方向。

為了準(zhǔn)確地反映跳頻通信的抗干擾程度，漢明相關(guān)函數(shù)被引入，它是用來量化跳頻序列本身以及不同的跳頻序列之間的相互影響程度。換句話說，漢明相關(guān)函數(shù)描述了序列與序列之間的“碰撞”次數(shù)。漢明相關(guān)值越小，說明序列之間的碰撞次數(shù)越小，相互之間的影響也越小，抗干擾的能力就越強。所以，在實際應(yīng)用中，總是希望所使用的跳頻序列集的漢明相關(guān)值盡可能小，其抗干擾的能力就越強；頻隙集數(shù)目也盡可能小，頻點利用率就越高；序列長度盡可能大，使用周期就越長；序列數(shù)目盡可能多，可以允許更多的用戶接入網(wǎng)絡(luò)。但是這些參數(shù)，都不是各自隨意取值的，它們之間存在著一些相互制約的關(guān)系，這種關(guān)系就被稱為跳頻序列的“理論界”。當(dāng)設(shè)計出來的目標(biāo)跳頻序列集需要評判優(yōu)劣，相應(yīng)的理論界就派上了用場，如果剛好取到理論界的臨界值，那么就可以說這種跳頻序列集是具有相應(yīng)的最優(yōu)性質(zhì)的，是符合理論界要求的。所以理論界對跳頻序列的設(shè)計有非常重要的指導(dǎo)意義。

在早些時候，對于跳頻序列的理論界研究多集中在常規(guī)全周期漢明相關(guān)上。隨著研究深入，國內(nèi)外學(xué)者依據(jù)不同的劃分方法，把跳頻序列的漢明相關(guān)函數(shù)劃分成了不同的類別[5-14]。根據(jù)跳頻序列是否循環(huán)使用，漢明相關(guān)被分成了周期漢明相關(guān)和非周期漢明相關(guān)；根據(jù)相關(guān)窗窗口大小是否變化，漢明相關(guān)函數(shù)被分成了部分漢明相關(guān)和常規(guī)漢明相關(guān)；根據(jù)考慮的時延范圍，漢明相關(guān)函數(shù)又被分為了低碰撞區(qū)漢明相關(guān)（無碰撞區(qū)）和全周期漢明相關(guān)。不同的漢明相關(guān)理論界的研究成果如表1所示。

表1 不同漢明相關(guān)的理論界Tab.1 Bounds of different Hamming correlation

一方面，當(dāng)數(shù)據(jù)鏈中的2 個不同的網(wǎng)絡(luò)組進(jìn)行通信時，若是將分配到的跳頻序列循環(huán)使用，則會更容易被監(jiān)聽者破解頻率跳變的規(guī)律，從而增加信息泄露的風(fēng)險。非周期漢明相關(guān)就是用來描述當(dāng)分發(fā)到的跳頻序列并不循環(huán)使用時，用戶間相互干擾的程度。因此在跳頻通信的系統(tǒng)應(yīng)用當(dāng)中，非周期漢明相關(guān)更有利于衡量系統(tǒng)性能。

另一方面，數(shù)據(jù)鏈網(wǎng)絡(luò)中的參與組，一般是在有通信需求發(fā)生時才會與其他參與組進(jìn)行通信，且使用到的跳頻序列的長度往往小于跳頻序列的總長度。同時，因為受到硬件條件等的限制，相較于全周期漢明相關(guān)，相關(guān)窗窗口大小可以變化的部分漢明相關(guān)，更能直觀和全面地描述跳頻通信系統(tǒng)的性能。

綜上所述，與周期漢明相關(guān)相比，非周期漢明相關(guān)和部分漢明相關(guān)更能全面準(zhǔn)確地描述跳頻通信系統(tǒng)的性能，但是非周期和部分漢明相關(guān)界的推導(dǎo)都存在著一定的復(fù)雜性，兩者結(jié)合更是加大了研究的難度；所以關(guān)于跳頻序列非周期部分漢明相關(guān)的理論界，目前得到的成果極少。

1 符號和定義

設(shè)F={f1,f2,···,fq}為一個頻隙集，|F|=q。S是一個大小為M的跳頻序列集，其中每個序列長度為N。對于任意的f1,f2∈F，令

對于任意2 個跳頻序列x,y∈S，x=(x0,x1,···,xN-1)，y=(y0,y1,···,yN-1)。周期漢明相關(guān)H(x,y;τ)和非周期漢明相關(guān)H(x,y;τ)分別定義為：

式中：相對時延 τ=0,1,···,N-1；下標(biāo)i+τ 按模N運算。如果x=y，H(x,y;τ)是周期漢明自相關(guān)函數(shù)，為非周期漢明自相關(guān)函數(shù)；如果x≠y時，H(x,y;τ)是周期漢明互相關(guān)函數(shù)，為非周期漢明互相關(guān)函數(shù)。

另外，跳頻序列集的最大周期漢明自相關(guān)為Ha(S)，最大周期漢明互相關(guān)為Hc(S)，最大周期漢明相關(guān)則用Hm(S)表示。具體定義為：

引理1[5]S是頻隙集F上的由M個跳頻序列組成的跳頻序列集，|F|=q，序列長度為N，現(xiàn)在對G(S)定義為

則可以得到

引理2[5]S是由M個長度為N的跳頻序列組成的集合，頻點個數(shù)為q，那么，

以上是Peng 和Fan 推導(dǎo)出的關(guān)于最大非周期漢明相關(guān)的理論界。

對于跳頻序列集S中任意2 條序列x={x0,x1,···,xN-1}，y={y0,y1,···,yN-1}，在相對時延為τ，0 ≤τ ＜N，相關(guān)窗起始點為j，0 ≤j＜N，相關(guān)窗窗口長度為L，1 ＜L≤N，的周期部分漢明相關(guān)和非周期部分漢明相關(guān)函數(shù)，分別定義為：

其中，i+τ 是 modN運算。當(dāng)x=y時，式(5)和式(6)分別為周期部分漢明自相關(guān)和非周期部分漢明自相關(guān)函數(shù)；當(dāng)x≠y時，式(5)和式(6)分別為周期部分漢明互相關(guān)和非周期部分漢明互相關(guān)函數(shù)。

2 非周期部分漢明相關(guān)引理

設(shè)F={f1,f2,···,fq}是大小為q的頻隙集，令S={x(1),x(2),···,x(M)}是集合F上M個長度為N的跳頻序列的集合。

設(shè)Q={f1,f2,···fq,g1,g2,···,gM}，|Q|=q+M，可以看出，Q是在原來的頻隙集F的基礎(chǔ)上，再新增M個不同的頻隙g1,g2,···,gM，然后得到的一個新的頻隙集。

其中L的取值范圍是1 ≤L≤N。

引理3對于任意的相關(guān)窗長度L，1 ≤L≤N，容易驗證以下關(guān)系成立：

1）當(dāng)0 ≤τ ＜N時，

2）當(dāng)τ=N時，

3）當(dāng)N＜τ ＜2N時，

引理4對于任意2 條長度為N的跳頻序列x,y，在相關(guān)窗窗口長度為L的情況下，它們周期部分漢明相關(guān)的和可以用周期漢明相關(guān)表示，為

其中1 ＜L≤N，0 ≤τ ＜N。

3 非周期部分漢明相關(guān)理論界

定理1在大小為q的頻隙集F上，S是一個由M個長度為N的跳頻序列組成的跳頻序列集，在相關(guān)窗窗口長度為L，相關(guān)窗起始點為j的條件下，有

證明根據(jù)引理4，把周期部分漢明相關(guān)的和用周期漢明相關(guān)表示，為

然后根據(jù)引理1，P(L)的下界，為

根據(jù)引理3，可得

根據(jù) τ的不同取值將P(L)表示為

根據(jù)引理4，把S中序列的周期部分漢明相關(guān)用S中序列的非周期部分漢明相關(guān)表示，為

經(jīng)過計算和驗證，可以得出

簡化為

結(jié)合式(9)，得到

容易得到

證畢。

推論對于任意的相關(guān)窗窗口長度L，當(dāng)q≥M時，有

跳頻序列集非周期部分漢明相關(guān)理論界要求，在某一個給定的相關(guān)窗窗口大小L下，若也是跳頻序列集的最大非周期部分漢明相關(guān)滿足推論，那么該序列集就是部分最優(yōu)的。如果在相關(guān)窗L變化的情況下都滿足最優(yōu)非周期部分漢明相關(guān)，說明此跳頻序列集是嚴(yán)格部分最優(yōu)的。

4 性能分析

下面將通過幾個具體的例子，結(jié)合前面推導(dǎo)出的非周期部分漢明相關(guān)的理論界，進(jìn)行性能分析。

例1令q=5，N=5，M=3，當(dāng)相關(guān)窗長度L，1 ≤L≤N時，根據(jù)推論，可求得此參數(shù)下跳頻序列集的最大非周期部分漢明相關(guān)滿足，特別地，當(dāng)L=N時，

與引理2中的Peng-Fan 界得到的Hm相同。經(jīng)過計算可知，當(dāng)q=5，L=N=5，M=3時，本文推導(dǎo)出的關(guān)于最大非周期部分的理論界是滿足Peng-Fan 界的。

例2當(dāng)q=3，N=5，M=2時，設(shè)跳頻序列集S={S0,S1}，頻隙集F={0,1,2}時，其中

經(jīng)過計算和驗證，當(dāng)相關(guān)窗大小L(1 ≤L≤N)取任意值時，跳頻序列集S的最大非周期部分漢明相關(guān)都與本文推導(dǎo)出的理論界下界相吻合，如圖1 所示。

圖1 S 的最大非周期部分漢明相關(guān)及本文理論界Fig.1 The maximum aperiodic partial Hamming correlation of S and the theoretical bound of it

通過計算之后進(jìn)行比較得到：在相關(guān)窗窗口大小L=N時，跳頻序列集S的最大非周期部分漢明相關(guān)為2，滿足Peng-Fan 界；在相關(guān)窗窗口大小L＜N時，關(guān)于本文的理論界是最優(yōu)的。那么，S就是一個具有嚴(yán)格最優(yōu)非周期部分漢明相關(guān)的跳頻序列集。

例3令q=9，N=26，M=9，根據(jù)推論中的非周期部分漢明相關(guān)理論界，圖2 給出了隨著相關(guān)窗窗口長度L的變化，最大非周期部分漢明相關(guān)的取值情況。

圖2 最大非周期部分漢明相關(guān)Fig.2 Maximum aperiodic partial Hamming correlation

從圖2 分析可知，在以上參數(shù)條件下，隨著相關(guān)窗窗口大小L的增加，根據(jù)推論得到的最大非周期部分漢明相關(guān)的理論最小值呈比較明顯的階梯狀上升趨勢。所以：在設(shè)計具體的跳頻序列集時，當(dāng)相關(guān)窗窗口大小發(fā)生變化，序列集的相應(yīng)最大非周期部分漢明相關(guān)應(yīng)當(dāng)也呈現(xiàn)一個明顯的階梯狀分布的；當(dāng)L取到序列長度N時，就應(yīng)該滿足序列集的非周期漢明相關(guān)的理論界。

5 結(jié)論

本文基于跳頻序列非周期和部分的概念，導(dǎo)出了最大非周期部分漢明相關(guān)關(guān)于序列長度、序列條數(shù)、頻隙集的大小，以及相關(guān)窗窗口長度的理論界。推導(dǎo)的理論界對于跳頻序列的設(shè)計和性能評價有積極的指導(dǎo)作用。