馬林林，薛建陽(yáng)，張錫成

（1.中北大學(xué)土木工程系，山西 太原 030051；2.西安建筑科技大學(xué)土木工程學(xué)院，陜西 西安 710055）

1 概述

古建筑木結(jié)構(gòu)是中華文明的重要組成部分，具有極高的歷史、文物、藝術(shù)和科學(xué)價(jià)值［1］。然而木材具有易腐朽老化、易開裂等缺點(diǎn)，由于遭受地震、臺(tái)風(fēng)等一系列自然災(zāi)害以及火災(zāi)、戰(zhàn)亂等諸多人為因素的影響，加之長(zhǎng)久以來的保護(hù)不力，現(xiàn)存的古建筑木結(jié)構(gòu)均有一定的殘損，如腐朽老化、榫卯松動(dòng)等（見圖1）。而榫卯節(jié)點(diǎn)作為結(jié)構(gòu)中的關(guān)鍵受力構(gòu)件，對(duì)整體結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能影響較大［2］，節(jié)點(diǎn)的松動(dòng)會(huì)降低結(jié)構(gòu)的承載能力、加速結(jié)構(gòu)的破壞甚至直接導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的倒塌。因此，亟需對(duì)考慮節(jié)點(diǎn)松動(dòng)的殘損木結(jié)構(gòu)的抗震性能進(jìn)行評(píng)估。

圖1 古建筑木結(jié)構(gòu)殘損類型Fig.1 The damage types of ancient timber structures

近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)古建筑木結(jié)構(gòu)的研究主要集中在不考慮木材腐朽老化、節(jié)點(diǎn)松動(dòng)等殘損的完好木構(gòu)件和結(jié)構(gòu)。賀俊筱等［3］對(duì)木柱進(jìn)行了擬靜力試驗(yàn)，研究了高徑比對(duì)各抗震性能指標(biāo)的影響，并建立了木柱荷載位移簡(jiǎn)化模型。薛建陽(yáng)等［4］對(duì)縮尺比為1∶1.33 的通榫節(jié)點(diǎn)進(jìn)行了低周往復(fù)加載試驗(yàn)，得到了節(jié)點(diǎn)的彎矩-轉(zhuǎn)角滯回曲線、剛度退化、變形及耗能性能，并通過ABAQUS 軟件對(duì)其進(jìn)行了數(shù)值模擬分析。謝啟芳等［5］對(duì)叉柱造式斗栱進(jìn)行了豎向加載試驗(yàn)，得到了斗栱節(jié)點(diǎn)的豎向荷載-變形關(guān)系曲線，分析了斗栱節(jié)點(diǎn)的變形特征、豎向壓縮剛度和豎向荷載傳遞規(guī)律。Crayssac 等［6］對(duì)不同填充方式的燕尾榫木構(gòu)架進(jìn)行了低周往復(fù)加載試驗(yàn)，定量分析了填充墻對(duì)木構(gòu)架破壞模式、剛度和強(qiáng)度及耗能性能的影響，結(jié)果表明：帶填充墻的木構(gòu)架具有較高的承載力、剛度和耗能性能。宋曉濱等［7］對(duì)縮尺比為1∶5 的傳統(tǒng)塔式木結(jié)構(gòu)進(jìn)行了振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)，通過模態(tài)分析和系統(tǒng)識(shí)別得到了木塔的動(dòng)力特性，得到了木塔的破壞形態(tài)，分析了其在不同地震作用下的動(dòng)力響應(yīng)和層間剪力分布等。有關(guān)木材腐朽、榫卯松動(dòng)、斗栱傾斜等殘損古建筑木結(jié)構(gòu)的研究相對(duì)較少。張利朋等［8］通過數(shù)值模擬分析研究了殘損梁柱構(gòu)件的受力性能，建立了木材的彈塑性損傷本構(gòu)模型，模擬了木梁試驗(yàn)，驗(yàn)證了本構(gòu)模型的正確性。Ogawa 等［9］基于日本古建筑木結(jié)構(gòu)帶縫隙榫卯連接的低周往復(fù)荷載試驗(yàn)，提出了以榫卯間縫隙為參數(shù)的榫卯連接力學(xué)性能的評(píng)估方法，并用試驗(yàn)結(jié)果對(duì)此評(píng)估方法進(jìn)行了驗(yàn)證。馬林林等［10］對(duì)考慮榫卯松動(dòng)古建筑木結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)榫卯松動(dòng)對(duì)古建筑木結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性及響應(yīng)影響較大。Xue 等［11］基于古建筑木結(jié)構(gòu)完好斗栱的豎向加載試驗(yàn)和水平往復(fù)加載試驗(yàn)，采用ABAQUS 有限元軟件分析了整體傾斜對(duì)斗栱力學(xué)性能的影響。

現(xiàn)有研究對(duì)不考慮殘損的古建筑木結(jié)構(gòu)進(jìn)行了深入系統(tǒng)的分析，而針對(duì)考慮木材腐朽、榫卯松動(dòng)、斗栱傾斜等殘損古建筑木結(jié)構(gòu)的研究卻鮮有報(bào)道［8-11］。課題組基于完好（不考慮榫卯節(jié)點(diǎn)松動(dòng)）古建筑木結(jié)構(gòu)試驗(yàn)［12］，得到了其破壞特征、模態(tài)參數(shù)、動(dòng)力時(shí)程響應(yīng)曲線，采用OpenSees 分析軟件建立了其有限元計(jì)算模型，對(duì)比驗(yàn)證了計(jì)算模型；基于此，建立了考慮節(jié)點(diǎn)松動(dòng)的殘損模型，以地面峰值加速度（PGA）和最大層間位移角作為地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)和反應(yīng)參數(shù)對(duì)模型進(jìn)行增量動(dòng)力分析（IDA），通過對(duì)各模型進(jìn)行地震概率需求分析研究了殘損模型的地震易損性，從概率的角度對(duì)殘損古建筑木結(jié)構(gòu)的抗震性能進(jìn)行評(píng)估，為古建筑木結(jié)構(gòu)災(zāi)后的損傷評(píng)估和震害預(yù)測(cè)提供理論依據(jù)。

2 古建筑木結(jié)構(gòu)振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)

2.1 模型設(shè)計(jì)

振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)選取西安某景區(qū)二等材古建筑木結(jié)構(gòu)為原型，依據(jù)清工部《工程做法則例》，制作了1 個(gè)單層單跨木結(jié)構(gòu)模型?？紤]到實(shí)驗(yàn)室振動(dòng)臺(tái)的臺(tái)面尺寸、承載能力及試件制作的便利性，選取模型的縮尺比為1∶3.52。由振動(dòng)臺(tái)結(jié)構(gòu)模型相似理論可得試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷闹饕锢硐嗨脐P(guān)系，如表1 所示。模型平面尺寸為1400 mm×1400 mm，高為2355 mm，自下而上依次為臺(tái)基、柱架層、斗栱層、屋蓋等四個(gè)結(jié)構(gòu)層次。柱礎(chǔ)為經(jīng)打磨的青石且具有與原型相同的粗糙度，每個(gè)柱礎(chǔ)由4 個(gè)地腳螺栓固定在臺(tái)面上，柱架中的梁柱節(jié)點(diǎn)采用燕尾榫連接，木構(gòu)架平擺浮擱于柱礎(chǔ)之上，斗栱平坐于柱頭的平板枋上，屋蓋自重由2400 mm×2400 mm×250mm混凝土板代替，混凝土板質(zhì)量為3.6 t，試驗(yàn)?zāi)Ｐ统叽缂捌浼?xì)部構(gòu)造如圖2 所示。木構(gòu)架采用俄羅斯紅松制作，其材料性能指標(biāo)如表2 所示。

表1 模型動(dòng)力相似系數(shù)Tab.1 Dynamic similarity coefficient of the model

表2 材料性能指標(biāo)Tab.2 Performance indices of wood

圖2 試驗(yàn)?zāi)Ｐ图捌涑叽纾?2］（單位：mm）Fig.2 Test model and its dimensions［12］（Unit：mm）

2.2 地震波的選取

依據(jù)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50011—2010）相關(guān)規(guī)定，原型結(jié)構(gòu)抗震設(shè)防烈度為8 度（設(shè)計(jì)基本加速度為0.2g），設(shè)計(jì)地震分組為第一組，所在場(chǎng)地為二類場(chǎng)地。由原型結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)防烈度、所在場(chǎng)地類別及其自身動(dòng)力特性可選取2 條天然波（El Centro波、Taft波）和1條人工波（蘭州波）作為試驗(yàn)輸入激勵(lì)，當(dāng)輸入地面峰值加速度（PGA）不大于0.40g時(shí)，依次輸入PGA 為0.07g，0.10g，0.20g，0.30g和0.40g的3 種地震 波，當(dāng)PGA超過0.40g時(shí)，僅輸入PGA 為0.50g，0.60g，0.80g和0.90g的El Centro 波。

2.3 測(cè)點(diǎn)布置

為獲得試驗(yàn)?zāi)Ｐ透鹘Y(jié)構(gòu)層次的動(dòng)力響應(yīng)，分別在枋、平板枋、柱頭、柱腳和振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面布置了5 個(gè)速度傳感器、7 個(gè)位移傳感器和15 個(gè)加速度傳感器，詳細(xì)布置如圖3 所示。

圖3 測(cè)點(diǎn)布置Fig.3 Layout of measure points

2.4 試驗(yàn)現(xiàn)象

當(dāng)PGA 小于0.07g時(shí)，模型無可見損壞。當(dāng)PGA 為0.20g時(shí)，模型開始輕微擺動(dòng)，柱根部出現(xiàn)明顯旋轉(zhuǎn)。在PGA 為0.30g的情況下，觀察到柱腳開始在礎(chǔ)石上滑動(dòng)，模型的振動(dòng)幅度顯著增加。此外，榫頭從卯口中拔出3 mm，木材發(fā)出劈裂聲。當(dāng)PGA 為0.40g時(shí)，大斗開始出現(xiàn)一定滑移。之后，隨著PGA 的增加，榫頭的拔出量、柱腳和大斗的滑移逐漸增加，直至模型倒塌。試驗(yàn)結(jié)束后發(fā)現(xiàn)卯口劈裂，柱頭饅頭榫開裂。斗栱除整體滑移外，其他部件均無明顯變形。試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷钠茐哪Ｊ饺鐖D4 所示。

圖4 古建筑木結(jié)構(gòu)破壞模式［12］Fig.4 Failure modes of ancient timber structures［12］

3 古建筑木結(jié)構(gòu)有限元模型的驗(yàn)證

3.1 有限元模型的建立

采用OpenSees 有限元程序建立完好古建筑木結(jié)構(gòu)分析模型，各構(gòu)件的單元選取、材料定義、參數(shù)設(shè)置等如下：

模型中柱和枋取為彈性梁柱單元，其彈性模量取為木材順紋彈性模量。柱腳與柱礎(chǔ)連接采用水平滑動(dòng)支座單元模擬，該單元具有沿x和y軸（振動(dòng)臺(tái)加載方向?yàn)閤軸，水平面內(nèi)垂直于x軸方向?yàn)閥軸，柱的軸向?yàn)閦軸）的平動(dòng)剛度及繞x，y和z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。通過將繞x，y和z軸轉(zhuǎn)動(dòng)方向的材料（uniaxialMaterial Elastic）的彈性模量設(shè)置為1，反映柱腳的轉(zhuǎn)動(dòng)。沿x和y軸的摩擦模型為庫(kù)侖摩擦，摩擦系數(shù)μ取為0.33［13］。設(shè)局部剪切方向上的初始剛度為klnit，如圖5所示。其中，F(xiàn)x和Fy分別為 沿x和y軸的局部剪切力，F(xiàn)z為支座的豎向力。

圖5 局部剪切方向上的初始剛度Fig.5 Initial stiffness in the direction of local shear

燕尾榫節(jié)點(diǎn)作為一種典型的節(jié)點(diǎn)形式（見圖6），可傳遞彎矩、剪力及軸力，用零長(zhǎng)度單元模擬。因榫頭嵌固于卯口中，且節(jié)點(diǎn)不易發(fā)生平面外的扭轉(zhuǎn)和轉(zhuǎn)動(dòng)，因此，僅考慮節(jié)點(diǎn)繞y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，材料取為單軸自復(fù)位材料（uniaxialMaterial SelfCentering Material），其本構(gòu)關(guān)系如圖7 所示。其中，k1和k2分別代表零長(zhǎng)度單元材料的初始剛度和屈服后剛度；sigAct 代表零長(zhǎng)度單元的屈服荷載；epsSlip 和epsBear 分別代表零長(zhǎng)度單元的滑移變形和最大變形。結(jié)合燕尾榫節(jié)點(diǎn)擬靜力試驗(yàn)結(jié)果［14］，可得該材料的各參數(shù)值。

圖6 燕尾榫節(jié)點(diǎn)構(gòu)造圖Fig.6 Nodal structure diagram of dovetail tenon

圖7 單軸自復(fù)位材料的本構(gòu)關(guān)系Fig.7 Constitutive relation of uniaxial self-resetting material

斗栱采用兩節(jié)點(diǎn)連接單元模擬，僅考慮繞y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，材料取為單軸滯回材料（uniaxialMaterial Hysteretic Material），其本構(gòu)關(guān)系如圖8所示。其中k0為兩節(jié)點(diǎn)連接單元材料的初始剛度。結(jié)合斗栱擬靜力試驗(yàn)結(jié)果［11］，可得該材料的各參數(shù)值。完好古建筑木結(jié)構(gòu)有限元模型如圖9 所示。

圖8 單軸滯回材料的本構(gòu)關(guān)系Fig.8 Constitutive relation of uniaxial hysteretic material

圖9 完好古建筑木結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.9 FEM of intact ancient timber structure

3.2 模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

采用OpenSees 對(duì)完好古建筑木結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，得到其前兩階自振周期和頻率，如表3 所示。

表3 計(jì)算模型的自振周期及頻率Tab.3 Natural vibration periods and frequencies of calculation model

由表3 可知，計(jì)算模型前兩階振型的自振周期比試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷拇?.16%，計(jì)算模型的自振頻率比試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷男?.8%，主要是因?yàn)橛?jì)算模型忽略了平板枋對(duì)整體結(jié)構(gòu)剛度的貢獻(xiàn)，且未考慮混凝土板對(duì)斗栱層的限制，致使計(jì)算模型整體剛度小于試驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

由完好計(jì)算模型的動(dòng)力時(shí)程分析可得其加速度時(shí)程曲線和相對(duì)位移時(shí)程曲線，將計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖10 所示。

圖10 完好模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比圖Fig.10 Comparison diagram of calculated results and test results of intact model

由圖10 可知，計(jì)算模型和試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷募铀俣取⑾鄬?duì)位移時(shí)程曲線走勢(shì)大致相同，兩者的加速度和相對(duì)位移的最大值出現(xiàn)在同一時(shí)刻。當(dāng)PGA 達(dá)到0.20g時(shí)，榫卯連接發(fā)生較大轉(zhuǎn)角，試驗(yàn)?zāi)Ｐ统霈F(xiàn)較大相對(duì)位移，柱腳和連接處木材產(chǎn)生明顯的擠壓變形，試驗(yàn)?zāi)Ｐ彤a(chǎn)生較大的損傷，而有限元計(jì)算未考慮該類損傷，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生一定的誤差，但誤差相對(duì)較小。

綜上可知，計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，兩者的模態(tài)參數(shù)相差較小，時(shí)程曲線基本一致，一定程度上驗(yàn)證了計(jì)算模型的正確性。

4 殘損木結(jié)構(gòu)地震易損性分析

4.1 殘損有限元模型的建立

基于完好計(jì)算模型，按2.1 節(jié)中的步驟建立考慮榫卯節(jié)點(diǎn)松動(dòng)的殘損有限元模型，其中節(jié)點(diǎn)的松動(dòng)通過減小榫頭長(zhǎng)度來實(shí)現(xiàn)，如圖11 所示。依據(jù)《古建筑木結(jié)構(gòu)維護(hù)與加固技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)》（GB/T 50165—2020）中的相關(guān)規(guī)定，將殘損程度定義為榫頭松動(dòng)量與榫頭高度的比值，殘損程度依次取為0，6.7%，13.3%，20.0%和26.7%。為減小計(jì)算量將每個(gè)模型中各榫卯節(jié)點(diǎn)的殘損程度取為同一值，其對(duì)應(yīng)的計(jì)算模型分別為CS-1，CS-2，CS-3，CS-4和CS-5。

圖11 松動(dòng)燕尾榫節(jié)點(diǎn)Fig.11 Node of looseness dovetail tenon

殘損計(jì)算模型中的榫卯節(jié)點(diǎn)仍由零長(zhǎng)度單元模擬，僅考慮節(jié)點(diǎn)繞y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，材料取為單軸自復(fù)位材料，其本構(gòu)關(guān)系如圖7 所示。依據(jù)松動(dòng)燕尾榫節(jié)點(diǎn)擬靜力試驗(yàn)結(jié)果［14］，可得零長(zhǎng)度單元各參數(shù)值，如表4 所示。除此之外，殘損模型各單元取值與完好模型相同。

表4 殘損模型中零長(zhǎng)度單元各參數(shù)值Tab.4 Each parameter value of zerolength element in damage model

4.2 地震波的選取與調(diào)幅

為了體現(xiàn)地震的隨機(jī)性，充分考慮不同地震的差異，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行增量動(dòng)力分析（IDA）時(shí)，基于大樣本實(shí)測(cè)強(qiáng)震記錄的選取方法，主要按以下原則選擇地震動(dòng)：（1）地震震級(jí)應(yīng)大于6.5 級(jí)；（2）震源類型為走滑或者逆沖斷層，場(chǎng)地為巖石或硬土場(chǎng)地；（3）震中距大于10 km；（4）避免來自于同一地震事件的地震波多于2 條，使選用的地震波具有更廣泛的適用性［15］。

依據(jù)ATC-63（2008）報(bào)告，選用太平洋地震工程研究中心的22 條遠(yuǎn)場(chǎng)地震動(dòng)對(duì)殘損古建筑木結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震易損性評(píng)估，各地震動(dòng)基本信息及其加速度反應(yīng)譜分別如表5 和圖12 所示。

表5 地震動(dòng)基本信息［15］Tab.5 Basic information of ground motions［15］

圖12 地震波的加速度反應(yīng)譜Fig.12 Acceleration response spectrum of seismic waves

4.3 殘損木結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)的量化

依據(jù)結(jié)構(gòu)的地震損壞狀況，可將其在地震作用下的震害分為：基本完好、輕微損壞、中等破壞、嚴(yán)重破壞和倒塌5 個(gè)等級(jí)，兩個(gè)等級(jí)間的狀態(tài)稱為極限狀態(tài)，即性能水準(zhǔn)，是指建筑結(jié)構(gòu)在遭受某一抗震設(shè)防水準(zhǔn)的地震作用下可能出現(xiàn)的最大程度破壞［16］，文獻(xiàn)［17］詳細(xì)敘述了古建筑木結(jié)構(gòu)各性能水準(zhǔn)的破壞特征。

結(jié)構(gòu)的性能水準(zhǔn)可由其反應(yīng)參數(shù)確定，本文依據(jù)古建筑木結(jié)構(gòu)振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)現(xiàn)象，結(jié)合文獻(xiàn)［15］和［17］，以結(jié)構(gòu)的最大層間位移角作為損傷指標(biāo)，其震害等級(jí)和極限狀態(tài)的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)分別如表6 和7所示。

表6 各震害等級(jí)的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)Tab.6 Evaluation standard of each earthquake damage level

表7 各極限狀態(tài)的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)Tab.7 Evaluation standard of each limit state

4.4 殘損結(jié)構(gòu)IDA 分析

對(duì)各模型進(jìn)行動(dòng)力彈塑性時(shí)程分析，以PGA 作為強(qiáng)度指標(biāo)（IM），以層間位移角作為響應(yīng)指標(biāo)（DM），可獲得各模型的IDA 曲線，如圖13 所示。

圖13 殘損模型IDA 曲線Fig.13 IDA curves of damage model

由圖13 可知，時(shí)程分析初期，輸入地震動(dòng)的PGA 較小，各模型明顯處于彈性階段，對(duì)于同一模型，各地震動(dòng)的IDA 曲線有一定差異，隨著PGA 的增大，各殘損模型的層間位移角不斷變大，該差異不斷變大。大體上，隨著PGA 的增大，各模型層間位移角的增幅先增大后減小，即IDA 曲線的斜率先增大后減小，主要是因?yàn)楣沤ㄖ窘Y(jié)構(gòu)柱腳連接為典型的平擺浮擱形式，當(dāng)輸入地震波的PGA 較小時(shí)，柱腳連接處未產(chǎn)生滑移，模型處于彈性狀態(tài)，模型層間位移角隨PGA 的增大基本呈線性增長(zhǎng)；之后，模型開始進(jìn)入塑性階段，此時(shí)柱腳的滑移較小，模型層間位移角隨PGA 的增大顯著增大，隨PGA 的繼續(xù)增大，柱腳連接處開始產(chǎn)生明顯滑移，致使通過柱腳傳至上部結(jié)構(gòu)的地震作用增幅逐漸減小。

隨著殘損程度的增大，同一地震動(dòng)下模型的位移響應(yīng)不斷增大，其層間位移角不斷變大，體現(xiàn)為模型的IDA 曲線逐漸向左移動(dòng)，主要是因?yàn)殡S殘損程度的增大，其轉(zhuǎn)動(dòng)剛度不斷減小，致使模型整體抗側(cè)剛度減小，柱架頂部和屋蓋處的位移響應(yīng)變大，柱架頂部和屋蓋處的位移增大。

圖14 給出了殘損模型在地震作用下最大層間位移角的分布情況，其中水平虛線從上至下依次為：CP，LS，IO 和OP4 種極限狀態(tài)，由上至下的5 個(gè)區(qū)域分別為：倒塌、嚴(yán)重破壞、中等破壞、輕微損壞和基本完好。

圖14 殘損模型最大層間位移角分布Fig.14 The distribution of maximum interlayer displacement angle of damage model

由圖14 可知，完好模型在8 度多遇地震作用下，模型最大層間位移角處于基本完好和輕微損壞階段；在8 度基本地震作用下，模型處于輕微損壞和中度破壞階段；在8 度罕遇地震作用下，模型處于中度破壞和嚴(yán)重破壞階段。

隨著殘損程度的增大，在8 度多遇地震作用下，模型最大層間位移角開始進(jìn)入中度破壞階段；在8度基本地震作用下，模型由輕微損壞和中度破壞逐漸進(jìn)入嚴(yán)重破壞階段；在8 度罕遇地震作用下，模型由中度破壞和嚴(yán)重破壞階段逐漸進(jìn)入倒塌階段。

4.5 概率需求分析

以模型結(jié)構(gòu)最大層間位移角θmax為DM，以PGA 為IM，可得殘損古建筑木結(jié)構(gòu)的地震概率需求模型：

式中a和b為系數(shù)，可由線性回歸獲得。

將式（1）取對(duì)數(shù)，可得下式：

可得其均值m和標(biāo)準(zhǔn)差δ，分別如下式所示：

設(shè)結(jié)構(gòu)的能力參數(shù)為C，其對(duì)數(shù)值的平均值為mC，標(biāo)準(zhǔn)差為δC，則結(jié)構(gòu)易損性模型可表示為在不同地震作用下結(jié)構(gòu)反應(yīng)D超過結(jié)構(gòu)抗震能力C的概率，如下式所示：

若函數(shù)Z=C-D，則Z也服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，平均值mZ=mC-mD，標(biāo)準(zhǔn)差δZ=，可知結(jié)構(gòu)損傷失效概率Pf為：

式中Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

可知特定階段結(jié)構(gòu)的破壞概率Pm為［18］：

4.6 地震易損性曲線分析

將圖14 中數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)，并進(jìn)行線性回歸，可得各模型的概率地震需求函數(shù)和回歸函數(shù)的決定系數(shù)，如圖15 所示。

圖15 殘損模型lnθmax-ln（PGA）的線性回歸分析Fig.15 Linear regression analysis for ln（θmax）-ln（PGA）of damage model

由圖15 可知，殘損古建筑木結(jié)構(gòu)各模型回歸概率地震需求函數(shù)的決定系數(shù)介于0.83578～0.85761，較接近1，表明線性回歸函數(shù)與數(shù)據(jù)點(diǎn)具有較高的相關(guān)度。

模型CS-1～CS-5 的概率地震需求函數(shù)依次為：

依次將式（9）～（13）與式（8）聯(lián)立，可得模型CS-1～CS-5 在各性能點(diǎn)下的易損性公式分別為：

由式（14）～（18）查表可得殘損古建筑木結(jié)構(gòu)模型超越各性能點(diǎn)的概率，如圖16 所示。同時(shí)將其轉(zhuǎn)化為在8 度小震（0.07g）、8 度中震（0.20g）和8 度大震（0.40g）作用下的破壞概率，如表8 所示。

表8 各殘損模型超越性能點(diǎn)的概率Tab.8 Probability of exceeding performance point of each damage model

圖16 殘損模型地震易損性曲線Fig.16 Seismic fragility curves of damage model

由圖16 可知，各模型OP 與IO 兩個(gè)極限狀態(tài)相距較近，其曲線斜率最大，說明模型最易進(jìn)入進(jìn)輕微損壞階段，之后，較易進(jìn)入中等破壞階段。各模型IO 與LS 兩個(gè)校限狀態(tài)相距較遠(yuǎn)，說明在中等破壞階段，模型有較好的變形能力，因古建筑木結(jié)構(gòu)具有較好的整體性，協(xié)調(diào)變形的能力較強(qiáng)，阻止結(jié)構(gòu)進(jìn)入嚴(yán)重破壞階段的能力較強(qiáng)。隨PGA 的增大，模型在各性能點(diǎn)下的超越概率不斷增大。

隨著殘損程度的增大，在8 度多遇地震（0.07g）作用下，模型由處于基本完好和輕微損壞階段開始處于輕微損壞和中度破壞階段，模型CS-1～CS-5 處于中度破壞的概率依次為0.041，0.097，0.174，0.240和0.302，表明當(dāng)節(jié)點(diǎn)殘損程度達(dá)到13.3%時(shí)，結(jié)構(gòu)發(fā)生中度破壞的概率為0.174，不符合《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50011—2010）中“小震不壞”的抗震設(shè)防要求；在8 度基本地震（0.20g）作用下，模型由主要處于輕微損壞和中度破壞階段開始處于中度破壞和嚴(yán)重破壞階段，模型CS-1～CS-5 處于嚴(yán)重破壞的概率依次為0.031，0.072，0.129，0.182 和0.249，表明當(dāng)節(jié)點(diǎn)殘損程度達(dá)到13.3%時(shí)，結(jié)構(gòu)發(fā)生嚴(yán)重破壞的概率為0.129，不符合《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50011—2010）中“中震可修”的抗震設(shè)防要求；在8度罕遇地震（0.40g）作用下，模型由主要處于中度破壞和嚴(yán)重破壞階段開始處于嚴(yán)重?fù)p壞和倒塌階段，模型CS-1～CS-5 處于倒塌的概率依次為0.020，0.040，0.069，0.102 和0.147，表明當(dāng)節(jié)點(diǎn)殘損程度達(dá)到20% 時(shí)，結(jié)構(gòu)發(fā)生倒塌的概率為0.102，不符合《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50011—2010）中“大震不倒”的抗震設(shè)防要求。因此，當(dāng)古建筑木結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)殘損程度達(dá)到13.3%時(shí)，殘損結(jié)構(gòu)已不滿足現(xiàn)有規(guī)范對(duì)結(jié)構(gòu)抗震設(shè)防的要求，必須及時(shí)對(duì)其進(jìn)行加固和修復(fù)。

5 結(jié)論

本文基于增量動(dòng)力分析對(duì)殘損古建筑木結(jié)構(gòu)的抗震性能進(jìn)行了較為系統(tǒng)的評(píng)估，可得以下結(jié)論：

（1）計(jì)算模型與試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷闹饕B(tài)參數(shù)相差小于10%，柱腳和柱頭動(dòng)力時(shí)程響應(yīng)曲線基本一致，表明了計(jì)算模型分析的合理性和正確性。

（2）隨著PGA 的增大，各模型的層間位移角不斷變大，且層間位移角的增幅先增大后減小，隨殘損程度的增大，同一地震動(dòng)下模型的層間位移角不斷變大。

（3）通過對(duì)各模型lnθmax-ln（PGA）數(shù)據(jù)點(diǎn)的線性回歸，得到了模型的概率地震需求函數(shù)，其決定系數(shù)介于于0.83578～0.85761，較接近1，表明線性回歸函數(shù)與數(shù)據(jù)點(diǎn)具有較高的相關(guān)度。

（4）各模型最易進(jìn)入輕微損壞階段，較易進(jìn)入中度破壞階段，IO 與LS 兩個(gè)極限狀態(tài)相距較遠(yuǎn)，表明在中等破壞階段，模型具有較好的變形能力。當(dāng)古建筑木結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)殘損程度達(dá)到13.3%時(shí)，殘損結(jié)構(gòu)已不滿足現(xiàn)有規(guī)范對(duì)結(jié)構(gòu)抗震設(shè)防的要求，必須及時(shí)對(duì)其進(jìn)行加固和修復(fù)。