李 涵，李欣業(yè)，白 斌，錢 毅，桑建兵，李 想

（1.河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300401；2.湖南三一工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院工程機(jī)械學(xué)院，湖南 長沙 410129；3.核工業(yè)理化工程研究院粒子輸運與富集技術(shù)國防科技重點實驗室，天津 300180）

引言

旋轉(zhuǎn)圓柱殼結(jié)構(gòu)在工業(yè)領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛，例如，高速旋轉(zhuǎn)的離心分離器、航空發(fā)動機(jī)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)等。在這些工程裝備中，旋轉(zhuǎn)圓柱殼結(jié)構(gòu)所處的工作條件日趨嚴(yán)苛復(fù)雜，此外，為了進(jìn)一步提高使用性能和工作效率，旋轉(zhuǎn)圓柱殼結(jié)構(gòu)的壁厚呈現(xiàn)出越來越薄的趨勢，這些因素導(dǎo)致其結(jié)構(gòu)振動問題日益凸顯。此外，由于離心力和科氏力以及初始環(huán)向張力的影響，相對于靜止的圓柱殼，旋轉(zhuǎn)圓柱殼會出現(xiàn)特殊的行波振動現(xiàn)象。因此，對旋轉(zhuǎn)圓柱殼結(jié)構(gòu)振動特性的研究具有重要意義。

對旋轉(zhuǎn)圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動分析的求解方法有多種，例如，一些學(xué)者采用Galerkin 法對旋轉(zhuǎn)圓柱殼的自由振動特性進(jìn)行分析［1-5］，同時，微分求積法也常用于旋轉(zhuǎn)圓柱殼的自由振動研究［6-11］。此外，與有限元方法相比，雖然Ritz 法難以分析幾何形狀復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，但其計算過程比較簡單，且能保持較高的精度，因此仍被廣泛應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)圓柱殼的振動特性研究中。例如，李文達(dá)等［12］通過Ritz 法，采用改進(jìn)的傅里葉級數(shù)位移形式，對彈性約束邊界下的旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼結(jié)構(gòu)的自由振動進(jìn)行分析；還有研究利用Ritz 法，采用Gram-Schmidt 多項式構(gòu)成近似函數(shù)，對旋轉(zhuǎn)圓柱殼的自由振動進(jìn)行分析［13-14］；Lei 等［15］運用無單元kp-Ritz 法，對旋轉(zhuǎn)圓柱殼的自由振動進(jìn)行了分析；Qin 等［16］通 過Ritz 法，采 用Chebyshev 多 項式構(gòu)成近似函數(shù)，研究了旋轉(zhuǎn)圓柱殼的自由振動。但是，在上述研究采用Ritz 法對旋轉(zhuǎn)圓柱殼振動特性進(jìn)行求解的過程中，多采用傅里葉級數(shù)和Gram-Schmidt 多項式構(gòu)成近似函數(shù)，較少采用Chebyshev 多項式，而Chebyshev 多項式在數(shù)值運算中具有正交性、快速收斂性和穩(wěn)定性的優(yōu)點［17］，比較適合構(gòu)成近似函數(shù)。

此外，上述研究都未考慮旋轉(zhuǎn)圓柱殼厚度變化的影響，然而在實際應(yīng)用中，為了進(jìn)一步減輕重量，旋轉(zhuǎn)圓柱殼結(jié)構(gòu)有時需要設(shè)計為變厚度的形式，即厚度沿軸向變化。因此，已有學(xué)者對變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼的行波振動特性進(jìn)行了分析。Quoc 等［2］采用Galerkin 法對處在熱環(huán)境下的變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼的振動特性進(jìn)行了研究，但是該研究只考慮了一種厚度變化形式。

基于上述討論，本文將考慮3 種厚度變化形式，并采用Chebyshev-Ritz 方法，比較不同厚度變化形式下旋轉(zhuǎn)圓柱殼的自由振動，討論轉(zhuǎn)速、厚度變化參數(shù)和圓柱殼長徑比等參數(shù)對變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼自由振動的影響，該研究將對旋轉(zhuǎn)圓柱殼結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計具有一定意義。

1 理論建模

為了研究變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼結(jié)構(gòu)的行波振動特性，首先對其進(jìn)行理論建模。如圖1 所示，圓柱殼結(jié)構(gòu)以轉(zhuǎn)速Ω繞其中心軸旋轉(zhuǎn)，其長度為L，平均半徑為R，（x，θ，z）為建立在圓柱殼中曲面上的正交坐標(biāo)系，u，v，w分別為圓柱殼上任意一點沿x，θ，z三個方向上的位移分量。本文假定旋轉(zhuǎn)圓柱殼的厚度h（x）沿其軸向線性變化，如圖2 所示，可分為3 種變化形式，分別記為V1，V2 和V3。在這3 種不同的厚度變化形式下，圓柱殼上、下表面在坐標(biāo)軸z方向上的坐標(biāo)會發(fā)生變化，具體表達(dá)式如下：

圖1 旋轉(zhuǎn)圓柱殼結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of a rotating cylindrical shell

圖2 變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼的3 種厚度變化形式Fig.2 Three varying forms of thickness for a rotating cylindrical shell with variable thickness

V1 厚度變化形式：

式中h1（x）和h2（x）分別表示圓柱殼上、下表面在坐標(biāo)軸z方向上的坐標(biāo)；h0表示圓柱殼初始厚度，即在x=0 時的厚度；kh表示厚度變化參數(shù)。

V2 厚度變化形式：

V3 厚度變化形式：

1.1 動能與勢能求解

為了對所建模型進(jìn)行固有頻率的求解，本文采用Chebyshev-Ritz 法對變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，因此首先需給出圓柱殼的動能方程與勢能方程。

旋轉(zhuǎn)圓柱殼上任意一點的速度向量可以表示為：

式中r表示旋轉(zhuǎn)圓柱殼在坐標(biāo)系（x，θ，z）上的任意一點的位移向量，可以表示為r=ui+vj+wk，其中，i，j，k 分別為沿x，θ，z方向的單位向量為r的一階導(dǎo)數(shù)。

旋轉(zhuǎn)圓柱殼的動能計算公式為：

式中ρ表示密度。

然后，將公式（4）代入公式（5），得到旋轉(zhuǎn)圓柱殼的動能方程為：

根據(jù)Sanders 殼理論，旋轉(zhuǎn)圓柱殼上任意一點的應(yīng)變可以表示為：

旋轉(zhuǎn)圓柱殼的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表示為：

其中，E為材料彈性模量，μ為材料泊松比。

由旋轉(zhuǎn)圓柱殼結(jié)構(gòu)的變形引起的應(yīng)變能可描述為：

由離心力引起的旋轉(zhuǎn)圓柱殼的應(yīng)變能表達(dá)式為［19］：

因此，變截面旋轉(zhuǎn)圓柱殼的總勢能方程可以表示為：

1.2 固有頻率及模態(tài)振型求解

在上一小節(jié)得到的旋轉(zhuǎn)圓柱殼動能方程與勢能方程的基礎(chǔ)上，本小節(jié)利用Chebyshev-Ritz 方法求解旋轉(zhuǎn)圓柱殼固有頻率及模態(tài)振型，并給出求解過程。

首先，旋轉(zhuǎn)圓柱殼結(jié)構(gòu)的位移場可表示為：

式中w1為旋轉(zhuǎn)圓柱殼的固有頻率；n為旋轉(zhuǎn)圓柱殼行波模態(tài)的環(huán)向波數(shù)；U（x），V（x）和W（x）為模態(tài)函數(shù)，在本文中，這些模態(tài)函數(shù)通過Chebyshev 多項式和其對應(yīng)的邊界函數(shù)的乘積近似展開，具體公式為：

式中ai，bj和ck為未知系數(shù)；nmax表示在計算中被截斷的項數(shù)；Pi(ξ)，Pj(ξ)和Pk(ξ)為第一類Chebyshev 表達(dá)式，可以用三角函數(shù)的形式表示為：

通過Chebyshev 多項式可以以較低的計算成本實現(xiàn)較快的收斂速度，并保持較高的精度，但是它定義在區(qū)間［-1，1］上，并在區(qū)間［-1，1］上才具有正交性，所以需要進(jìn)行坐標(biāo)變換，即ξ=2x/L-1。fu(ξ)，fv(ξ)和fw(ξ)表示沿ξ方向的邊界函數(shù)，這些邊界函數(shù)需要滿足相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)圓柱殼的幾何邊界條件，具體表達(dá)式如表1 所示。

表1 不同邊界條件下的邊界函數(shù)Tab.1 The boundary function for different boundary conditions

其次，由公式（6）和（12）可獲得變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼的能量表達(dá)式為：

根據(jù)瑞利原理，最可能的近似值通過使關(guān)于未知系數(shù)的能量表達(dá)式Π最小而被確定，因此對能量表達(dá)式Π關(guān)于未知系數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)運算：

然后，公式（17）可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為矩陣形式下的特征值問題：

式中P為由未知系數(shù)組成的特征向量，即旋轉(zhuǎn)圓柱殼的振型，表達(dá)式為：

K為剛度矩陣，M1和M2為質(zhì)量矩陣，具體表達(dá)式分別為：

其中，各矩陣的第i行、第j列元素分別為：

式中i0=d=h（x），Q66=G。求解方程（18），即可得到與固有頻率相對應(yīng)的振型。

2 數(shù)值結(jié)果與討論

本節(jié)首先將計算結(jié)果與文獻(xiàn)［18］和［20］中的結(jié)果進(jìn)行對比，并對其收斂性進(jìn)行研究，以驗證本文建模方法的準(zhǔn)確性與收斂性，然后通過參數(shù)研究分析變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼的自由振動行波特性。在本文中，除特別提及外，旋轉(zhuǎn)圓柱殼的長度L=1 m，初始厚度h0=0.02 m，厚度變化參數(shù)kh=0.5，密度ρ=1072 kg/m3，彈性模 量E=172 GPa，剪切模 量G=4.2 GPa，泊松比μ=0.31，平均半徑R=0.2，轉(zhuǎn)速Ω=25 r/s，無量綱頻率參數(shù)w*=wR，無量綱轉(zhuǎn)速Ω*=ΩR，下標(biāo)“b”和“f”分別表示后行波與前行波。

2.1 比較與收斂研究

為了驗證本文建模方法的準(zhǔn)確性與收斂性，本小節(jié)進(jìn)行了兩個算例研究。

2.1.1 算例1

如表2 所示，分別給出了兩端固定（C-C）邊界條件下厚度均勻的旋轉(zhuǎn)圓柱殼的后行波和前行波無量綱頻率參數(shù)，并與文獻(xiàn)［20］中的結(jié)果進(jìn)行了對比，而且還進(jìn)行了收斂性研究，列出了不同截斷項數(shù)下的計算結(jié)果。在本算例中，旋轉(zhuǎn)圓柱殼的長徑比L/R=10，厚徑比h/R=0.05，泊松比μ=0.3，無量綱頻率參數(shù)w*=wR，無量綱轉(zhuǎn)速Ω*=，這里Ω*取0.0025。

2.1.2 算例2

如表3 所示，算例2 給出了兩端簡支（S-S）邊界條件下厚度均勻的旋轉(zhuǎn)圓柱殼的固有頻率（Hz），并與文獻(xiàn)［18］中的結(jié)果進(jìn)行了對比。本算例中，圓柱殼長度L=0.256m，平均半徑R=0.16 m，厚度h=0.0025m，彈性模量E=110 GPa，泊松比μ=0.31，密度ρ=4480 kg/m3，軸向半波數(shù)m=1，轉(zhuǎn)速Ω=20000 r/min。

表3 旋轉(zhuǎn)圓柱殼固有頻率的比較Tab.3 Comparisons of natural frequencies for a rotating cylindrical shell

由表2 可知，本文得出的結(jié)果與文獻(xiàn)［20］中的結(jié)果基本相符，研究表明計算結(jié)果隨著截斷項數(shù)nmax的增加而收斂到某一個值，當(dāng)截斷項數(shù)為11 時，計算結(jié)果已經(jīng)收斂到一個足夠準(zhǔn)確的數(shù)值，因此在下列計算中截斷項數(shù)nmax取11。

表3 的結(jié)果顯示，本文所用建模方法得到的結(jié)果與文獻(xiàn)［18］中的結(jié)果基本吻合，而且最大誤差保持在1%以下。

總之，上述兩個算例，驗證了本文建模方法的正確性與收斂性。

2.2 參數(shù)研究

為了得到不同厚度變化形式下變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼的振動特性，本節(jié)在兩端簡支的邊界條件下，討論了不同的厚度變化形式、轉(zhuǎn)速、厚度變化參數(shù)、圓柱殼長徑比對變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼自由振動行波特性的影響，結(jié)果如圖3～6 所示。

圖3 變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼的無量綱頻率參數(shù)隨環(huán)向波數(shù)n 的變化情況Fig.3 Variation of the nondimensional frequency parameter for a rotating cylindrical shell with variable thickness with respect to the circumferential wave number n

圖3 表示不同厚度變化形式下變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼的無量綱頻率參數(shù)和隨環(huán)向波數(shù)n的變化情況。圖中V0 表示kh為0，即旋轉(zhuǎn)圓柱殼的厚度是均勻的，在x軸方向上保持不變。

由圖3 可知，所有厚度變化形式下的旋轉(zhuǎn)圓柱殼的無量綱頻率參數(shù)和都隨環(huán)向波數(shù)n的增加而增加，并且V0 厚度變化形式下的旋轉(zhuǎn)圓柱殼無量綱頻率參數(shù)值最大，V1 厚度變化形式下的無量綱頻率參數(shù)值最小。當(dāng)不考慮特殊的V0 厚度變化形式時，V2 厚度變化形式下的旋轉(zhuǎn)圓柱殼的無量綱頻率參數(shù)值高于其他兩種厚度形式下的無量綱頻率參數(shù)，且比較接近V0 厚度變化形式下的無量綱頻率參數(shù)值。從圖3 中還可以明顯看出，4 種厚度變化形式下的旋轉(zhuǎn)圓柱殼的無量綱頻率參數(shù)隨著環(huán)向波數(shù)n的增加先由相同的初始值分散后又收斂于同一數(shù)值。

圖4研究了當(dāng)轉(zhuǎn)速分別為0，25 和50 r/s 時，旋轉(zhuǎn)圓柱殼在3 種厚度變化形式下的無量綱頻率參數(shù)和隨厚度變化參數(shù)kh的變化情況。由圖4 可以看出，不同轉(zhuǎn)速以及不同厚度變化形式下的變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼的無量綱頻率參數(shù)都隨著厚度變化參數(shù)kh的增大而逐漸減小，其中，V2 厚度變化形式下的無量綱頻率參數(shù)的變化最小，且明顯小于其他兩種厚度變化形式下的無量綱頻率參數(shù)的變化。此外，由圖4 還可以發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)速對無量綱頻率參數(shù)隨厚度變化參數(shù)kh增加而減小的變化趨勢幾乎無影響。

圖4 變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼的無量綱頻率參數(shù)隨厚度變化參數(shù)kh的變化情況Fig.4 Variation of the nondimensional frequency parameter for a rotating cylindrical shell with variable thickness with respect to the thickness variation parameter kh

為了進(jìn)一步研究轉(zhuǎn)速對變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼自由振動的影響，圖5 給出了變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼的無量綱頻率參數(shù)w*隨轉(zhuǎn)速Ω的變化情況，圖中BW 表示后行波，F(xiàn)W 表示前行波。由圖5 可知，變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼的后行波無量綱頻率參數(shù)隨轉(zhuǎn)速的增加而逐漸增大，而前行波無量綱頻率參數(shù)隨轉(zhuǎn)速的增加而逐漸減小，其中V0 厚度變化形式下的前行波無量綱頻率參數(shù)值和后行波無量綱頻率參數(shù)值在不同轉(zhuǎn)速下都是最大的，其次是V2 厚度變化形式。

圖5 變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼的無量綱頻率參數(shù)隨轉(zhuǎn)速Ω 的變化情況（kh=0.5）Fig.5 Variation of the nondimensional frequency parameter for a rotating cylindrical shell with variable thickness with respect to the rotational velocity Ω（kh=0.5）

最后，研究了幾何參數(shù)對變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼的無量綱頻率參數(shù)的影響。圖6 給出了變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼的無量綱頻率參數(shù)隨長徑比L/R的變化情況。

圖6 變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼的無量綱頻率參數(shù)隨長徑比L/R的變化情況Fig.6 Variation of the nondimensional frequency parameter for a rotating cylindrical shell with variable thickness with respect to length-to-radius ratio L/R

由圖6 可以看出，變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼的無量綱頻率參數(shù)隨長徑比L/R的增大而逐漸減小，具體而言，當(dāng)長徑比小于3 時，無量綱頻率參數(shù)隨長徑比L/R的增大而迅速減小，當(dāng)長徑比大于3 時，無量綱頻率參數(shù)隨長徑比L/R的增大而緩慢減小。而且，V0 厚度變化形式下的無量綱頻率參數(shù)值在不同長徑比下仍然是最大的，其次是V2 厚度變化形式，V1厚度變化形式下的無量綱頻率參數(shù)值最小，且與V3厚度變化形式下相近。

3 結(jié)論

（1）通過比較與收斂研究，驗證了建模方法的正確性與收斂性，證明了本文模型可以有效的預(yù)測變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼結(jié)構(gòu)的自由振動行為。

（2）在3 種厚度變化形式下旋轉(zhuǎn)圓柱殼的行波頻率都隨環(huán)向波數(shù)n的增加而增加，當(dāng)不考慮均勻厚度時，V2 厚度變化形式下的旋轉(zhuǎn)圓柱殼行波頻率高于其他兩種厚度形式下的行波頻率。此外，4 種厚度變化形式下的旋轉(zhuǎn)圓柱殼行波頻率隨環(huán)向波數(shù)n的增加先由相同的初始值離散后又收斂于同一數(shù)值。

（3）不同轉(zhuǎn)速以及不同厚度變化形式下的變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼的行波頻率隨厚度變化參數(shù)kh的增大而逐漸減小，其中，V2 厚度變化形式下的行波頻率變化程度最小，且明顯小于其他兩種厚度變化形式下行波頻率的變化，此外，變厚度旋轉(zhuǎn)圓柱殼的行波頻率隨長徑比L/R的增大而逐漸減小。