譚建軍，李 浩，冉 峯，朱才朝，宋朝省，李祖鋒

（1.重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044；2.重慶工商大學智能制造服務國際科技合作基地，重慶 400067）

引言

在“十四五”期間，中國風電補貼國家政策將全面取消，對風電機組度電成本提出了嚴苛要求，而發(fā)展10 MW 及以上超大功率風電機組是降低度電成本的有效措施之一［1］。具有多行星輪功率分流的風電齒輪箱被廣泛應用于風電機組中傳遞兆瓦級功率，是極為重要的傳動裝置。為了滿足更大功率的傳遞需求，風電齒輪箱行星輪系內(nèi)齒圈和行星架等構件尺寸將會設計得更大，行星輪數(shù)量也將增多，容易在隨機氣動轉矩作用下產(chǎn)生過大的系統(tǒng)振動噪聲和動載荷，增大疲勞失效風險。因此，開展計入結構柔性的風電齒輪箱行星輪系動力學特性研究具有重要意義。

國內(nèi)外學者圍繞行星輪系動力學建模、固有特性和動態(tài)響應等開展了深入研究，取得了諸多有益的研究成果。Lin 等［2］利用行星輪系動力學模型分析了軸承支撐剛度、齒輪副嚙合剛度等設計參數(shù)對系統(tǒng)固有頻率與模態(tài)動能的影響，發(fā)現(xiàn)了模態(tài)躍遷現(xiàn)象。Eritenel 等［3］分析了行星輪系自由振動模態(tài)，將行星輪系振動模態(tài)歸納為三類振動模式，即中心構件扭轉、中心構件平移和行星輪振動模式。Guo等［4-5］考慮時變嚙合剛度、非線性齒面接觸和軸承游隙等時變參數(shù)激勵，分析了行星輪系非線性振動特性。Zhai 等［6］考慮時變行星架裝配誤差，建立了多級行星輪系動力學模型，分析了行星輪系動態(tài)嚙合力。?ztürk 等［7］以彈性力學為基礎建立了行星輪系純扭轉動力學模型，研究了輪齒修形對行星輪系振動特性的影響。為了提高行星輪系動力學模型計算精度，Parker 等［8］將內(nèi)齒圈視為彈性連續(xù)體，建立行星輪系彈性-集中參數(shù)混合動力學模型，分析了行星輪非均布對系統(tǒng)固有特性的影響，在常見的三類振動模式［3］基礎之上，發(fā)現(xiàn)了內(nèi)齒圈的彎曲振動模式。Fan 等［9］、Guan 等［10］采用殼理論 和Timoshenko 梁理論計算內(nèi)齒圈結構柔性，建立行星輪系殼/梁單元-集中參數(shù)混合動力學模型，分析了內(nèi)齒圈動態(tài)變形和系統(tǒng)固有特性。Kahraman 等［11］采用有限元法建立了行星輪系準靜態(tài)分析模型，分析了內(nèi)齒圈柔性對構件動應力和變形的影響。張俊等［12］將連續(xù)體柔性內(nèi)齒圈離散為多段等效虛擬彈簧連接的剛性內(nèi)齒圈段，研究了內(nèi)齒圈柔性對系統(tǒng)固有特性的影響。許華超等［13］采用平面梁單元建立彈性邊界柔性直齒內(nèi)齒圈的振動分析模型，分析了組合激勵下系統(tǒng)固有特性。魏靜等［14］采用軸系單元將內(nèi)齒圈和行星架進行離散化建模，研究了內(nèi)齒圈和行星架結構柔性對多級行星輪系動態(tài)嚙合力的影響。為了考慮復雜結構幾何特征，Abousleiman 等［15］、Portron 等［16］考慮內(nèi)齒圈柔性，采用有限元法建立了行星輪系有限元-集中參數(shù)混合動力學模型，分析了系統(tǒng)振動特性。Betta?eb 等［17］、Guilbert 等［18］將模態(tài)綜合法引入到定軸齒輪動力學建模中，有效提高了建模精度，并降低了系統(tǒng)自由度。隨后，許華超等［19］采用有限元-集中參數(shù)混合方法建立計入傳動軸和機匣結構柔性的直升機主減速器混合動力學模型，研究了機匣結構對系統(tǒng)振動特性的影響。

目前，行星輪系動力學建模方法可以大致劃分為集中參數(shù)模型［2-7，12］、混合模型［8-10，13-19］和有限元模型［11］。集中參數(shù)模型側重于對系統(tǒng)固有特性、激勵機理及動態(tài)載荷分配等進行初步分析，在建模時常將齒輪、軸和軸承簡化為一體，以簡單徑向、彎曲和扭轉剛度代替彈性軸的復雜受載狀況。此類模型未計入內(nèi)齒圈、行星架和箱體等構件的彈性變形，整體計算精度不高?；旌夏Ｐ桶?殼單元-集中參數(shù)混合模型和有限元-集中參數(shù)混合模型，由于此類建模方法在集中參數(shù)模型的基礎之上計入了內(nèi)齒圈、行星架和傳動軸等構件的彈性變形，整體計算精度得到提高。相比于梁/殼單元-集中參數(shù)混合模型，有限元-集中參數(shù)混合模型可以考慮復雜的結構幾何特征，適用性更好，但多用于恒定轉速下的振動分析，少有文獻關注計入內(nèi)齒圈結構柔性的行星輪系變速變載動力學建模。此外，集中參數(shù)模型和混合模型常將齒輪副多輪齒嚙合簡化為等效單點嚙合，以簡單的綜合嚙合剛度代替復雜的多輪齒嚙合過程，造成在求解輪齒動載荷時精度不高。有限元模型可以考慮復雜結構幾何特征，并能較好地模擬輪齒接觸狀態(tài)，全面反映行星輪系各構件受載狀況，但此類模型建模過程復雜、計算量龐大、系統(tǒng)級建模分析困難，一般不適用于動態(tài)設計場合。

綜上所述，為了提高變速變載工況下風電齒輪箱行星輪系動力學性能的預測精度，針對常規(guī)梁/殼單元無法考慮復雜構件幾何特征、計算精度低和大規(guī)模有限元計算量大、系統(tǒng)級建模分析困難的問題，基于有限元-集中參數(shù)混合模型，提出一種計入結構柔性的行星輪系變速動力學建模方法。以某型5 MW 級風電齒輪箱低速級行星輪系為研究對象，采用有限元縮聚理論對內(nèi)齒圈和行星架進行建模，并將齒輪嚙合副常規(guī)等效單點嚙合細化至多對輪齒嚙合，建立能夠反映復雜構件幾何特征、輪齒動載荷且適用于變速運行的行星輪系動力學模型，為風電齒輪箱行星輪系動態(tài)設計提供理論基礎。

1 行星輪系動力學建模

1.1 子結構縮聚單元

由于實際工程結構往往較為復雜，整體結構有限元模型節(jié)點自由度數(shù)量龐大，造成計算效率低、收斂慢等問題，因此常采用子結構縮聚方法消除“整體單元”中除需要保留節(jié)點以外的所有節(jié)點自由度，將子結構系統(tǒng)矩陣規(guī)?？s減至可接受的維度。

建立如圖1 所示的行星架（c）和內(nèi)齒圈（r）有限元模型，根據(jù)其結構特征，在其連接位置、軸承支撐和內(nèi)齒圈輪齒處設置縮聚點，包括行星架的驅動力矩（縮聚點1）、軸承支撐（縮聚點2 和3）和銷軸（縮聚點4～8）；內(nèi)齒圈的輪齒（縮聚點1～93）、箱體連接（縮聚點94 和95）和螺栓連接（縮聚點96～120）。定義如圖2 所示的O-XYZ為原點固定在內(nèi)齒圈中心的絕對坐標系；orj-xrjyrjzrj為原點固定在內(nèi)齒圈輪齒縮聚點和螺栓連接縮聚點的絕對坐標系，且與O-XYZ平行；oc-xcyczc為原點固定在行星架中心并隨其轉動的隨動坐標系；ocpi-xcpiycpizcpi為原點固定在銷軸縮聚點并隨行星架轉動的隨動坐標系，且與oc-xcyczc平行。此外，內(nèi)齒圈縮聚點94 和95 參照O-XYZ；行星架縮聚點1～3 參照oc-xcyczc。Rc為太陽輪到行星輪的中心距離，?pi為行星輪i的位置角。

圖1 有限元縮聚模型Fig.1 Finite element condensation model

圖2 縮聚點坐標系定義Fig.2 Definition of coordinate systems of condensation points

內(nèi)齒圈輪齒縮聚點設置在每個輪齒節(jié)圓且位于齒寬中心位置處，則根據(jù)角度可以計算出任意內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點在O-XYZ中的坐標如下式所示：

式中Rmr為內(nèi)齒圈節(jié)圓半徑；?rj為內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點j的位置角。

同理可得螺栓連接縮聚點坐標，不再詳述。

通過柔性多點約束（MPC）［20］將縮聚點與對應的界面節(jié)點進行連接，采用固定界面模態(tài)綜合法對行星架和內(nèi)齒圈進行子結構縮聚，可得縮聚后構件χ（χ=r，c）在自身參考坐標系下的位移向量為：

可得縮聚后行星架和內(nèi)齒圈的自由振動方程為：

1.2 嚙合與支撐單元

采用如圖3 所示的廣義坐標系對太陽輪和行星輪進行建模，包括太陽輪隨動坐標系os-xsyszs和行星輪隨動坐標系opi-xpiypizpi，xpi和ypi分別為行星輪徑向和切向方向。行星輪中心與對應的行星架銷軸縮聚點重合，行星架縮聚點轉動自由度（υ取值參考圖1（b））參照O-XYZ，其余自由度參照oc-xcyczc和ocpi-xcpiycpizcpi（見1.1 節(jié)）。Rbs，Rbp和Rbr分別為太陽輪、行星輪和內(nèi)齒圈的基圓半徑。圖4 所示為行星輪系嚙合副中輪齒動態(tài)嚙合點Mc在嚙合平面上的位置。

圖3 行星輪系嚙合副Fig.3 Meshing gear pairs in the planetary gear train

圖4 行星輪系嚙合平面Fig.4 Meshing plane of the planetary gear train

1.2.1 嚙合單元

基于δspi(Mc)和(Mc)，可得太陽輪-行星輪i嚙合副、內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點j-行星輪i嚙合副在嚙合點Mc處時，各構件6 個自由度廣義位移向嚙合線方向轉化的投影矢量分別如下式所示［22］：

然而，在文獻［2-14，17-19］中太陽輪-行星輪嚙合副和內(nèi)齒圈-行星輪嚙合副常采用等效綜合嚙合剛度將嚙合副中多輪齒嚙合過程簡化為等效單點嚙合，其嚙合剛度矩陣Ksp(Mc)和Krp(Mc)分別如下式所示：

式中Np為行星輪數(shù)量；Λ為定位矩陣，即將嚙合剛度矩陣擴展至整個系統(tǒng)矩陣；Kspi和Krpi分別為太陽輪-行星輪i嚙合副、內(nèi)齒圈-行星輪i嚙合副的綜合嚙合剛度；Vspi和Vrpi為對應的嚙合向量，并未細化至每對嚙合輪齒。

嚙合阻尼矩陣Csp(Mc)和Crp(Mc)的形式分別與式（7）和式（8）相同，其中嚙合阻尼采用經(jīng)驗公式計算，見文獻［23］。

基于式（7）和（8），按照“化整為零”的思想，將齒輪副綜合嚙合剛度按照其重合度等效分解到每對嚙合輪齒上，同時為了模擬每對嚙合輪齒從嚙入到嚙出的狀態(tài)變化，引入輪齒嚙合判斷系數(shù)和可得：

式中Nr為內(nèi)齒圈齒數(shù)；為太陽輪-行星輪i嚙合副中參與嚙合的第l對齒嚙合剛度；為第j個內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點在內(nèi)齒圈-行星輪i嚙合副中對應參與嚙合的第l對齒嚙合剛度；ceil(?)為朝正無窮大方向取整；ξ為重合度；為太陽輪-行星輪i嚙合副中參與嚙合的第l對輪齒嚙合向量；為內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點j-行星輪i嚙合副中參與嚙合的輪齒嚙合向量。

式中l(wèi)spi∈[1，ceil(ξspi)]，lrpi∈[1，ceil(ξrpi)]。

在嚙合區(qū)內(nèi)（見圖4），嚙合點從嚙入到嚙出剛好經(jīng)歷一個單對齒嚙合剛度變化周期，可得：

式中Tspi和Trpi為單對齒嚙合剛度變化周期；pbt為基圓節(jié)距。

1.2.2 支撐單元

行星架銷軸縮聚點與行星輪通過軸承支撐單元耦合，但銷軸縮聚點的參考坐標系與行星輪節(jié)點不一致，需要采用旋轉矩陣Tcp［26］將銷軸縮聚點的廣義位移向量轉換至坐標系opi-xpiypizpi：

基于式（15），可得銷軸縮聚點與對應行星輪節(jié)點的耦合剛度矩陣Kcp為：

1.3 軸段單元

結合如圖5 所示的太陽輪軸結構特征，采用計入剪切變形影響的修正Euler-Bernouli 梁單元［27］，建立軸段梁單元動力學方程。其中，第J個梁單元包括2 個節(jié)點，每個節(jié)點考慮6 個自由度，定義在自身參考坐標下的廣義位移向量為：

圖5 太陽輪軸段單元建模Fig.5 Modeling of sun shaft segment

可得第J個梁單元自由振動方程為：

1.4 激振力單元

齒形誤差是齒輪制造加工中產(chǎn)生的典型高頻誤差，在齒輪嚙合過程中表現(xiàn)為周期性位移激勵，可以通過三坐標測量機等儀器實測獲取。本文僅考慮單齒切向偏差，其與齒輪嚙頻相關，將其視作簡諧函數(shù)［23］，可得齒輪副嚙合誤差表達式為：

此外，結合式（9）和（10），可得由內(nèi)齒圈虛擬振動線位移Rbr產(chǎn)生的激振力矩陣為：

同理，可得由齒輪嚙合誤差產(chǎn)生的誤差激振力矩陣，不再詳述。

1.5 系統(tǒng)耦合模型

根據(jù)如圖6 所示的太陽輪、內(nèi)齒圈、行星架和行星輪節(jié)點自由度及其耦合關系，定義系統(tǒng)節(jié)點在自身參考坐標下的廣義位移向量為：

圖6 行星輪系耦合模型Fig.6 Coupling model of the planetary gear train

將太陽輪、內(nèi)齒圈、行星架和行星輪的質量矩陣、剛度矩陣與阻尼矩陣按照式（21）所示順序進行組裝，建立行星輪系動力學模型：

式中Msys，Ksys和Csys分別為系統(tǒng)質量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣；Fsys為系統(tǒng)激振力矩陣，包括輸入扭矩（Tin）、誤差激勵、內(nèi)齒圈虛擬振動線位移激勵和負載（Tout），其中負載根據(jù)太陽輪轉速對轉速-轉矩運行特性曲線進行插值得到［29］。

行星輪系動力學模型，共計138 個節(jié)點+120 階內(nèi)部節(jié)點保留模態(tài)，948 個自由度。

由于模型自由度數(shù)量較大，造成行星輪系動力學模型求解困難，本文采用精細積分法（PIM）［30］求解式（22），計算各節(jié)點振動位移和振動速度，步長取為1×10–5。

2 結果分析與討論

某型5 MW 級海上風電齒輪箱低速級行星輪系齒輪參數(shù)和軸承支撐剛度分別如表1 和2 所示，時變嚙合剛度和嚙合誤差如圖7 所示。其中，嚙合剛度和軸承支撐剛度采用ROMAX 軟件在額定工況下計算得到，齒輪選用5 級精度。

表1 行星輪系齒輪參數(shù)Tab.1 Gear parameters in the planetary gear train

表2 軸承支撐剛度Tab.2 Bearing supporting stiffness

圖7 時變嚙合剛度和嚙合誤差Fig.7 Time-varying meshing stiffness and meshing error

2.1 模型驗證

在額定工況下（Tin=4×106N?m），當行星架分別動態(tài)旋轉至2π/10 rad 和2π/5 rad 時，行星輪、內(nèi)齒圈和太陽輪的瞬態(tài)受力平衡位置如圖8 所示，其中紅色線表示變形后的狀態(tài)，藍色線表示原始狀態(tài)。圖9 所示為在行星架3D 有限元模型中，當A-A 處縮聚點固定時，在行星架銷軸縮聚點施加順時針（正視B-B 平面）切向力后行星架靜態(tài)變形，模擬當行星架逆時針旋轉時銷軸縮聚點變形后的狀態(tài)。

圖8 行星輪系各構件瞬態(tài)受力平衡位置Fig.8 Transient forced equilibrium position of each component in the planetary gear train

從圖8 中可知，行星輪切向位置變化與行星架旋轉方向（逆時針旋轉）相反，這與圖9 所示的有限元模型銷軸切向變形趨勢較為吻合，其主要原因是由于行星輪主要傳遞周向力矩，造成行星輪沿切向的受力較大。此外，內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點的受力平衡位置整體呈“五角星”形狀，且會隨著行星架逆時針旋轉。這是由于內(nèi)齒圈同時與5 個行星輪嚙合，導致內(nèi)齒圈受擠壓變形。太陽輪徑向的受力平衡位置變化很小，其主要原因是由于行星輪徑向對稱布置，同時由于斜齒輪軸向分力相對于徑向分力較小，內(nèi)齒圈、行星架和太陽輪的軸向受力平衡位置變化較小。

2.2 嚙合副變速表征變量

在恒定輸入扭矩（Tin=4×106N?m）和扭矩突變工 況（Tin=4×106→2×106→4×106N ?m，Tin=4×106→0.2×106→4×106N?m）下，行星架轉速變化如圖10 所示，對應的恒定輸入扭矩工況下內(nèi)齒圈-行星輪嚙合副變速表征變量（和）如圖11 所示。從圖10 中可知，當輸入扭矩恒定時，初始階段行星架轉速逐漸增加，隨后達到額定轉速（輸入轉速11.27 r/min）并趨于穩(wěn)定波動；當輸入扭矩驟減時，行星架轉速隨之降低，而當扭矩恢復時，其逐漸增速至額定轉速，同時還可以觀察到扭矩跌落幅值越大，行星架轉速波動也越大。從圖11 中可知，隨著行星架轉角增大，內(nèi)齒圈齒數(shù)序號逐漸增大，表明內(nèi)齒圈輪齒依序參與嚙合；并且由于多行星輪嚙合存在相位差異，造成嚙合副變速表征變量的初始位置沿內(nèi)齒圈均勻分布。此外，嚙合副變速表征變量曲線的兩側邊緣出現(xiàn)了明顯的周期性“毛刺”，這是由于內(nèi)齒圈-行星輪嚙合副重合度為非整數(shù)時造成的同時參與嚙合的齒數(shù)周期性變化。

圖10 行星架轉速變化Fig.10 Changes of carrier rotation speed

圖11 內(nèi)齒圈-行星輪嚙合副變速表征變量Fig.11 Characteristic variables for describing the variable speed process of meshing gear pairs of ring gear-planetary gear

為了進一步分析內(nèi)齒圈輪齒嚙合狀態(tài)的變化規(guī)律，分別提取了內(nèi)齒圈-行星輪1 嚙合副載荷、內(nèi)齒圈輪齒沿x向的振動位移，分別如圖12 和13 所示。從圖12 中可知，隨著行星架轉角增加大，內(nèi)齒圈-行星輪1 同時參與嚙合的齒數(shù)在2 和3 之間周期性波動，并且各輪齒動載荷先增大后減小，整體變化趨勢與單對齒嚙合剛度相似（如圖7 所示）。從圖13 中可知，隨著行星架轉角增加，內(nèi)齒圈輪齒振動位移出現(xiàn)明顯的循環(huán)波動，間隔相位為2π/5 rad，這是由于內(nèi)齒圈同一輪齒先后與不同行星輪嚙合；當行星架轉角一定時，內(nèi)齒圈所有輪齒振動位移整體呈原點對稱分布，其主要原因是內(nèi)齒圈輪齒動載荷方向（沿嚙合線方向）與對應的局部坐標系之間的夾角會隨著行星架轉動而周期性變化。

圖12 內(nèi)齒圈-行星輪1 嚙合副載荷Fig.12 Meshing gear pair loads of ring gear-planetary gear 1

圖13 內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點沿x 向的振動位移Fig.13 Vibration displacements of ring gear tooth nodes in the x-direction

2.3 穩(wěn)態(tài)工況

2.3.1 構件振動

當Tin=4×106N?m 時，太陽輪、行星輪和內(nèi)齒圈振動位移分別如圖14～16 所示。其中，全柔模型表示本文模型（式（22）），剛性模型則是將式（22）中太陽輪軸、內(nèi)齒圈等構件視作剛體，但仍保留行星輪系多輪齒動態(tài)嚙合關系。從圖14～16 可知，考慮構件結構柔性后，太陽輪、行星輪和內(nèi)齒圈振動位移幅值出現(xiàn)了不同程度增大。其中，內(nèi)齒圈振動位移變化最為明顯，呈現(xiàn)大幅低頻波動（相鄰行星輪相位與圖13 相似）和高頻振動（齒輪嚙頻）的疊加特征；內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點1 的最大振動位移峰值出現(xiàn)在y向，其次依次為x向和z向，分別為118.4，36.8 和12.5 μm，并且觀察到x向振動位移峰值位置超前于y向和z向。其主要原因是隨著行星架逆時針旋轉，當行星輪與內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點1 剛好嚙合時，沿著嚙合線方向的輪齒動載荷在內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點1 處x向的投影量達最大，使得x向振動位移最早出現(xiàn)峰值；隨著行星架轉角繼續(xù)增加，輪齒動載荷在y向的投影量逐漸增至最大值，隨后出現(xiàn)振動位移峰值，并且在整個嚙合過程中，輪齒動載荷沿y向的投影分量大于x向的投影分量。

圖14 太陽輪振動位移Fig.14 Vibration displacements of sun gear

圖15 行星輪1 振動位移Fig.15 Vibration displacements of planetary gear 1

圖16 內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點1 振動位移Fig.16 Vibration displacements of ring gear tooth node 1

2.3.2 輪齒載荷

圖17 和18 分別為不同建模方式對太陽輪-行星輪1 和內(nèi)齒圈-行星輪1 嚙合副載荷的影響。其中，剛度分解表示根據(jù)嚙合剛度幅值（如圖7 所示），將全柔模型計算得到的動態(tài)嚙合力分解到各輪齒上，進而得到輪齒動載荷，如下式所示：

圖17 太陽輪-行星輪1 嚙合副載荷Fig.17 Meshing gear pair loads of sun gear-planetary gear 1

圖18 內(nèi)齒圈-行星輪1 嚙合副載荷Fig.18 Meshing gear pair loads of ring gear-planetary gear 1

從圖17，18 中可知，相較于剛度分解模式下的輪齒動載荷，考慮多輪齒動態(tài)嚙合狀態(tài)后，其輪齒動載荷峰值更大，且更偏向于左側。因此若將動態(tài)嚙合力直接按照嚙合剛度幅值簡單地分解到各輪齒上，容易低估輪齒動載荷幅值。在同一對內(nèi)齒圈-行星輪i嚙合副中，多輪齒嚙合點沿嚙合線方向等間隔分布，此時嚙合點越靠近從動輪（內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點），內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點彈性變形在該處的投影分量將會越?。词剑?）中θrj叉乘系數(shù)更小），使得對應的嚙合副相對位移更大，加之時變嚙合剛度作用，造成相較于剛性模型，考慮構件柔性后，內(nèi)齒圈-行星輪嚙合副的輪齒動載荷峰值會朝左側偏移（嚙入起始點側）。因此，考慮內(nèi)齒圈結構柔性有助于獲取更為準確的內(nèi)齒圈-行星輪的齒輪動載荷分布。

2.3.3 均載系數(shù)

為了描述整個行星輪系因外載荷變動、構件變形、時變嚙合剛度與傳動誤差等動態(tài)參數(shù)激勵引起的均載性能變化，行星輪系均載系數(shù)的計算式為［31］：

計算結果如圖19 所示。從圖19 中可知，相較于剛性模型，考慮構件柔性后，行星輪均載系數(shù)增大。這是由于相較于全柔模型，剛性模型的內(nèi)齒圈被簡化為集中質量點，其振動位移幅值偏?。ㄈ鐖D16 所示），且無法計算因輪齒動載荷造成的內(nèi)齒圈局部擠壓變形（如圖8（a）所示），造成計算得到的內(nèi)齒圈與5 個行星輪之間的動態(tài)嚙合力較為理想。分析結果表明，若采用內(nèi)齒圈-行星輪嚙合副的動態(tài)嚙合力計算行星輪均載系數(shù)（式（24）），建議在模型中考慮內(nèi)齒圈結構柔性。

圖19 行星輪均載系數(shù)Fig.19 Load-sharing coefficient of planetary gear

2.4 變速變載工況

由于風速的隨機性，風電齒輪箱需要在變速變載工況下長期運行。為了驗證本文模型適用于變速變載工況，通過預設輸入扭矩產(chǎn)生突變，獲取構件振動位移、輪齒載荷以及均載系數(shù)。輸入扭矩預設過程：①t≤1 s 時，Tin=4×106N?m；② 1 s

2.4.1 構件振動

圖20～22 分別為扭矩突變工況下太陽輪、行星輪和內(nèi)齒圈的振動位移。從圖20～22 中可知，當輸入扭矩驟跌時，各構件的瞬態(tài)振動位移幅值明顯降低；全柔模型和剛性模型均可以較好地計算太陽輪和行星輪的瞬態(tài)振動響應；相較于剛性模型，全柔模型可以計算得到更為詳細的內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點瞬態(tài)振動響應，有助于指導內(nèi)齒圈結構優(yōu)化設計。

圖20 太陽輪振動位移Fig.20 Vibration displacements of sun gear

圖21 行星輪1 振動位移Fig.21 Vibration displacements of planetary gear 1

圖22 內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點1 振動位移Fig.22 Vibration displacements of ring gear tooth node 1

2.4.2 輪齒載荷

圖23 和24 分別為扭矩突變工況下太陽輪-行星輪1 和內(nèi)齒圈-行星輪1 嚙合副載荷的變化情況。從圖23，24 可知，在全柔模型中，輸入扭矩跌落會降低輪齒動載荷，且不同輪齒動載荷降幅存在差異，太陽輪-行星輪1 的輪齒動載荷分別降至-177.3 和-188 kN?m，內(nèi)齒圈-行星輪1 的輪齒動載荷分別降至-202.5 和-110.8 kN?m，這意味對應的輪齒已發(fā)生脫齒，且容易產(chǎn)生反向接觸。剛性模型計算得到的太陽輪-行星輪嚙合副瞬態(tài)載荷變化與全柔模型計算結果差異較?。挥捎趦?nèi)齒圈結構柔性會吸收部分因沖擊載荷引起的輪齒節(jié)點振動，造成剛性模型計算得到的內(nèi)齒圈-行星輪嚙合副中部分輪齒瞬態(tài)載荷略大于全柔模型計算結果。此外，相比于全柔模型計算結果，剛度分解模式下各輪齒動載荷均大于零，表明該方法不適用于計算變速變載工況下的輪齒動載荷。

圖23 太陽輪-行星輪1 嚙合副載荷Fig.23 Meshing gear pair loads of sun gear-planetary gear 1

圖24 內(nèi)齒圈-行星輪1 嚙合副載荷Fig.24 Meshing gear pair loads of ring gear-planetary gear 1

2.4.3 均載系數(shù)

圖25 所示為扭矩突變工況下行星輪均載系數(shù)的變化情況。從圖25 可知，扭矩突變會顯著增大行星輪均載系數(shù)，表明此時內(nèi)齒圈與5 個行星輪之間的動態(tài)嚙合力出現(xiàn)了明顯差異。此外，由于柔性內(nèi)齒圈的吸振作用，造成在扭矩突變期間內(nèi)，柔性模型計算得到的行星輪均載系數(shù)明顯小于剛性模型計算結果。因此，在計算變速變載工況下的行星輪均載系數(shù)時，建議考慮內(nèi)齒圈結構柔性，可以提高計算結果精度。

圖25 行星輪均載系數(shù)Fig.25 Load-sharing coefficient of planetary gear

3 結論

本文將行星輪系嚙合副常規(guī)等效單點嚙合細化至多對輪齒嚙合，通過引入嚙合副變速表征變量和內(nèi)齒圈虛擬振動線位移，構建了驅動輪轉角與行星輪系多輪齒嚙合狀態(tài)的映射關系，并基于模態(tài)縮減理論，將內(nèi)齒圈輪齒與彈性支撐進行耦合，建立計入結構柔性的風電齒輪箱行星輪系變速動力學模型，分析了工況變化對嚙合副變速表征變量、構件振動、輪齒載荷和均載系數(shù)的影響，主要結論如下：

（1）當5 個行星輪受力平衡時，行星輪切向變形量方向與行星架旋轉方向相反；內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點瞬態(tài)變形整體呈“五角星”形狀，且會隨著行星架旋轉；行星輪系各構件徑向受力平衡位置變化最大，軸向受力平衡位置變化較小。

（2）在穩(wěn)態(tài)工況下，內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點振動位移呈現(xiàn)大幅低頻波動和高頻振動的疊加特征；行星輪系輪齒動載荷先增大后減小，整體變化趨勢與單對齒嚙合剛度相似；輪齒動載荷會使柔性內(nèi)齒圈產(chǎn)生局部擠壓變形，影響均載性能。

（3）當輸入扭矩跌落時，行星輪系各構件瞬態(tài)振動位移幅值將驟減；扭矩突變會破壞多個行星輪之間的動載荷平衡，惡化均載性能；柔性內(nèi)齒圈可在一定程度上吸收部分因沖擊載荷引起的構件振動，提高行星輪均載性能。

本文方法可以直接考慮傳動構件復雜結構幾何特征與多輪齒嚙合狀態(tài)，避免因簡化處理帶來的精度不足，為實現(xiàn)重載風電齒輪箱行星輪系變速動力學建模、提高動態(tài)特性分析精度提供了一種有效技術手段。