摘?要：在跳擴(kuò)散模型下考慮具有股票情緒和期權(quán)情緒的期權(quán)定價(jià)模型。假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)跳躍的到達(dá)服從泊松過程，跳躍的幅度服從正態(tài)過程，且股票情緒和期權(quán)情緒都服從O-U過程。對所構(gòu)建的模型，求得了歐式期權(quán)定價(jià)解析式。利用上證50ETF看漲期權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究，通過與幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型，帶跳的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型和Heston模型進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)在平穩(wěn)樣本時(shí)期、波動(dòng)樣本時(shí)期和全樣本時(shí)期，文章所提模型在上證50ETF看漲期權(quán)價(jià)格的擬合和預(yù)測誤差均是最小的，以及在隱含波動(dòng)率的擬合和預(yù)測誤差也是最小的，表明文章的模型在平穩(wěn)時(shí)期，非平穩(wěn)時(shí)期以及既有平穩(wěn)時(shí)期又非平穩(wěn)時(shí)期，期權(quán)價(jià)格的擬合和預(yù)測能力以及隱含波動(dòng)率的擬合和預(yù)測能力都是優(yōu)于對比模型的。

關(guān)鍵詞：期權(quán)定價(jià)；股票情緒；期權(quán)情緒；隱含波動(dòng)率

作者簡介：呂建平，博士，講師，研究方向?yàn)榻鹑诠こ膛c風(fēng)險(xiǎn)管理、資產(chǎn)定價(jià)。

一、引言

上證50ETF期權(quán)自發(fā)布以來，其價(jià)格走勢一直受到許多投資者的關(guān)注。期權(quán)價(jià)格是期權(quán)理論的核心內(nèi)容，想要得到更準(zhǔn)確的期權(quán)價(jià)格，則期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)的合理刻畫很關(guān)鍵。在傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)研究中，假定投資者都是理性的和風(fēng)險(xiǎn)中性的，標(biāo)的股票的期望增長率和貼現(xiàn)率都等于無風(fēng)險(xiǎn)利率（Black和Scholes，1973；Rodriguez，?2002；Guo和Yuan，2014）。然而，Klemkosky和Resnick?（1979）和Rubinstein?（1985）的研究發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)期權(quán)定價(jià)模型得到的期權(quán)價(jià)格與實(shí)際市場的期權(quán)價(jià)格存在較大偏差。為了改進(jìn)傳統(tǒng)期權(quán)定價(jià)模型所存在的缺陷，研究者們試圖修改模型的假設(shè)前提，但修正后的模型對于存在的許多問題仍然無法解決。究其原因是這些模型仍然保留著“所有參與者都是理性的”的假定，基于在完全理性的條件下建立的模型與市場的實(shí)際情況是非常不符的。Simon?（1955）認(rèn)為投資者不是完全理性的，當(dāng)然也不是完全不理性的，因此提出了有限理性的假定，他認(rèn)為投資者在做決策時(shí)除了獲得的信息之外，教育背景以及自身的學(xué)識(shí)和計(jì)算能力等都會(huì)影響其判斷與決策，因此投資者并不會(huì)像假設(shè)中所提到的那樣是完全理性的，而是容易受到影響或者產(chǎn)生某種認(rèn)知偏差。在期權(quán)市場中，投資者是非理性的和風(fēng)險(xiǎn)厭惡的。

文獻(xiàn)表明在期權(quán)定價(jià)模型中考慮投資者情緒使得期權(quán)定價(jià)的預(yù)測結(jié)果更貼近實(shí)際金融市場。一些實(shí)證結(jié)果表明，來自期權(quán)市場和股票市場的情緒因子對期權(quán)定價(jià)都有著重要的系統(tǒng)性影響。股票情緒是投資者對未來股票價(jià)格分布信念的總誤差。期權(quán)情緒是投資者對未來期權(quán)價(jià)格分布信念的總誤差。Han?（2008）發(fā)現(xiàn)期權(quán)價(jià)格受到股票情緒的影響，股票情緒的各種指標(biāo)與指數(shù)期權(quán)收益顯著相關(guān)。Sheu和Wei?（2011）使用期貨波動(dòng)率、期權(quán)波動(dòng)率指數(shù)、看跌期權(quán)交易量和未平倉利率等作為期權(quán)情緒來研究這種情緒是如何影響期權(quán)價(jià)格和收益的波動(dòng)。股票投資者不同于期權(quán)投資者，股票市場的重要參與者是個(gè)人投資者，而期權(quán)投資者的機(jī)構(gòu)投資者占比較高。因此，這兩組投資者可能會(huì)受到不同的情緒影響。期權(quán)的價(jià)格在受到期權(quán)市場影響的同時(shí)也受到標(biāo)的股票市場的影響，需要綜合考慮兩個(gè)市場的情況才能更加完善地分析期權(quán)價(jià)格。所以，文章將股票情緒和期權(quán)情緒納入期權(quán)定價(jià)模型。與以往文獻(xiàn)的不同之處在于文章考慮股票情緒和期權(quán)情緒的變化都由兩個(gè)O-U過程進(jìn)行刻畫，并利用上證50ETF期權(quán)數(shù)據(jù)對文章模型與經(jīng)典模型進(jìn)行實(shí)證研究。

二、理論模型的構(gòu)建

（一）股票情緒

Delong等（1990）在股票價(jià)格模型中首次考慮了投資情緒這一因素，發(fā)現(xiàn)積極的投資者情緒會(huì)推動(dòng)股票價(jià)格上漲。Swaminathan（1996）認(rèn)為投資者情緒可用來預(yù)測未來股票收益率，發(fā)現(xiàn)當(dāng)投資者樂觀時(shí)股票價(jià)格上漲，收益率增加。Brown和Cliff（2004）、王美今和孫建軍（2004）發(fā)現(xiàn)投資者情緒變化與股市收益率具有很強(qiáng)正相關(guān)性。

假設(shè)標(biāo)的股票的理性價(jià)格為P（t），令X（t）=ln（P（t）），那么標(biāo)的股票價(jià)格的對數(shù)X（t）滿足如下

dX（t）=μs-12σ2-λm1dt+σdB（t）+dJ（t）（1）

其中dJ（t）=ε（t）dN（t），N（t）是具有固定跳強(qiáng)度λ的泊松過程。ε（t）服從對數(shù)正態(tài)分布，?即，

ln（1+ε（t））～N（μ，δ2），?那么m1=eu+12δ2-1。μs，σ分別表示標(biāo)的價(jià)格理性漂移率和波動(dòng)率，f（S1（t））=aS1（t）?，其中S1（t）為股票情緒，?α＞0為情緒敏感系數(shù)。此外，?期權(quán)情緒為g（S2（t））=bS2（t），b＜0為情緒敏感系數(shù)。情緒Si（t）滿足如下

dSi（t）=-kiSi（t）dt+σidBi（t），i=1，2（2）

其中，ki，σi分別表示情緒均值回復(fù)系數(shù)和波動(dòng)率。此外，dB（t）dB1（t）=ρdt，B2（t）獨(dú)立于任何布朗運(yùn)動(dòng)。如果投資者具有情緒的，?那么在進(jìn)行股票交易時(shí)，?對未來股票價(jià)格的判斷是隨機(jī)變量

lnF（t）=X（t）+f（S1（t））（3）

（二）期權(quán)情緒

傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)模型都假設(shè)投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性的，任何投資的期望回報(bào)是無風(fēng)險(xiǎn)利率。然而，根據(jù)Warner和Pleeter?（2001），Kable和Glimcher（2007），折現(xiàn)率是受主觀觀點(diǎn)影響的。Lawrence等（2007）發(fā)現(xiàn)情緒影響期望折現(xiàn)率，投資者情緒越高，折現(xiàn)率越低，?Yang等（2016）也發(fā)現(xiàn)類似結(jié)果。因此，到期時(shí)間為T，在時(shí)間t受情緒影響的歐式看漲期權(quán)價(jià)格為

U（t）=［e-（r（T-t）+g（S2（T-t）））C（T）］（4）

其中，r是看漲期權(quán)的期望回報(bào)率，?ɡ（S2（t））是看漲期權(quán)情緒，C（T）=（F（T）-K）+。

三、期權(quán)定價(jià)

這一節(jié)來求具有執(zhí)行價(jià)格為K，到期時(shí)間為T在時(shí)間0的歐式期權(quán)價(jià)格的解析式。

命題1?假設(shè)標(biāo)的價(jià)格滿足（1），那么具有執(zhí)行價(jià)格為K，到期時(shí)間為T在時(shí)間0的歐式期權(quán)價(jià)格為?

U=［e-（rT+ɡ（S2（T）））C（T）］

=C1C2

（5）

其中，?C1，C2滿足

C1=em+12N（d1）-KN（d2）（6）

C2=e-（r*（T-t）+bS2（0）e-x2（T-t））+b2σ224x2（1-e-222（T-t））（7）

和

d1=-lnK+mv+v，

d2=-lnK+mv+v

證明：?因?yàn)锽2（t）獨(dú)立于任何布朗運(yùn)動(dòng)，?并與跳過程相互獨(dú)立，?因此

U=［e-（rT+ɡ（S2（T）））］［C（T）］（8）

其中

［C（T）］=［（F（T）-K）+］

=∫∞K（u-K）dH（u）（9）

式（8）中H（u）是受情緒影響的標(biāo)的股票價(jià)格F（T）的分布函數(shù)，u∈［0，∞）。首先，計(jì)算［C（T）］，

［lnF（T）］=X（0）+（μs-12σ2）T+αS1（0）e-k1T，

Var［lnF（T）］=σ2T+α2σ212k1（1-e-2k1T）+2αρσσ1k1（1-e-k1T）

+λ（e2（μ+δ2）-2eμ+12δ2+1）T，

令m=［lnF（T）］，v=Var［lnF（T）］，并定義新的變量：

φ=lnF（T）-mυ，（10）

新的變量φ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，?即，?均值為0，?方差為1?，?其概率密度函數(shù)p（φ）為

p（φ）=12πe-φ22

（11）

通過式（8）、式（9）和式（10）?得到

［C（T）］=∫∞K（u-K）dH（u）

=∫∞lnK-m∞（evφ+m-K）p（φ）dφ

=∫∞lnK-mvevφ+mp（φ）dφ-K

∫∞lnK-mv

P（φ）dφ（12）

因?yàn)?/p>

evφ+mp（φ）=12πe-φ2+2vφ+2m2

=em+v222πe-（φ-v）22

=em+v22p（φ-v）（13）

把式（12）代入式（11）得到?

［C（T）］=em+v22∫∞lnK-mv?ρ（φ-v）dφ

-K∫∞lnK-mv?ρ（φ）dφ（14）

令N（x）表示累積標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率分布函數(shù)，?那么

1-NlnK-mv-v=N-lnK+mv+v，

1-NlnK-mv=N-lnK+mv（15）

通過式（14），式（13）變?yōu)?/p>

［C（T）］=em+v22N（d1）-KN（d2）.（16）

其中

d1=-lnK+mv+v，

d2=-lnK+mv

接下來計(jì)算

［e-（rT+ɡ（S2（T）））］

，?因?yàn)?/p>

［e-（rT+ɡ（S2（T）））］=e-（r*T+bS2（0）e-k2T）+b2σ224k2（1-e-2k2T）

（17）

然后通過（15）和（16），?最終求得歐式期權(quán)解析定價(jià)公式。

四、實(shí)證分析

這一節(jié)將基于文章所提模型，Heston模型，幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型（BS模型）和帶泊松跳過程的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型（BSJ模型）進(jìn)行期權(quán)價(jià)格擬合和預(yù)測以及隱含波動(dòng)率的擬合和預(yù)測來評估文章模型與基準(zhǔn)模型在相應(yīng)擬合和預(yù)測方面的性能。其中Heston（1993）的模型滿足如下過程

dS（t）=μS（t）dt+v（t）S（t）dBs（t）

dv（t）=k（θ-v（t））dt+σvv（t）dBv（t）（18）

其中，?μ為期望回報(bào)率，v（t）為隨機(jī)波動(dòng)率，?且Bs（t）和Bv（t）都是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，dBs（t）dBv（t）=ρ1dt。

（一）數(shù)據(jù)的選取與處理

為了驗(yàn)證文章的模型在歐式期權(quán)定價(jià)的有效性，本節(jié)通過真實(shí)的市場數(shù)據(jù)來進(jìn)行檢驗(yàn)，即考慮上證50ETF看漲期權(quán)數(shù)據(jù)作為實(shí)證研究對象，該期權(quán)數(shù)據(jù)來源于同花順數(shù)據(jù)庫。選取一年期中債國債即期收益率作為理性期望回報(bào)率，數(shù)據(jù)來源于中國債券信息網(wǎng)。圖1顯示的是上證50ETF在2017年3月1日至2018年6月29日的對數(shù)收益率，從圖1可看出對數(shù)收益率在2017?年3月至2017?年10月相對平穩(wěn)，而在2017?年11月至2018年6月波動(dòng)的幅度較大，波動(dòng)幅度大與中美貿(mào)易戰(zhàn)持續(xù)升級(jí)以及人民幣持續(xù)貶值有關(guān)。文章選取上證50ETF看漲期權(quán)2017年3月至2017年10月每周三的期權(quán)數(shù)據(jù)作為平穩(wěn)樣本數(shù)據(jù)，上證50ETF看漲期權(quán)2017年11月至2018年6月每周三的期權(quán)數(shù)據(jù)作為波動(dòng)樣本數(shù)據(jù)。文章選取上證50ETF看漲期權(quán)數(shù)據(jù)2017年3月至2018年6月每周三期權(quán)數(shù)據(jù)作為全樣本數(shù)據(jù)。在以上樣本都用相應(yīng)每周四上證50ETF看漲期權(quán)數(shù)據(jù)來評估模型的預(yù)測能力。在對模型參數(shù)進(jìn)行較準(zhǔn)前，首先需要對期權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選，剔除期權(quán)價(jià)格數(shù)據(jù)缺失以及到期日小于7天。其次剔除不滿足期權(quán)價(jià)格隨執(zhí)行價(jià)格增大而遞減的期權(quán)價(jià)格數(shù)據(jù)。最后還要剔除深度虛值中期權(quán)價(jià)格接近0的期權(quán)數(shù)據(jù)。篩選后，文章得到期權(quán)全樣本數(shù)據(jù)2533個(gè)。表1至表6展示了樣本時(shí)期內(nèi)，不同到期時(shí)間和價(jià)值狀態(tài)所對應(yīng)的上證50ETF看漲期權(quán)數(shù)量和平均價(jià)格，其中m?=?ln（K/F（0））表示期權(quán)的價(jià)值狀態(tài)，ET表示剩余到期時(shí)間。對于看漲期權(quán)來說，m?<?0，m?=?0和m?>?0分別表示實(shí)值期權(quán)，平值期權(quán)和虛值期權(quán)。從表5可知，上證50ETF看漲期權(quán)數(shù)量主要集中于到期時(shí)間120天以內(nèi)，其中到期時(shí)間在60天以內(nèi)的期權(quán)數(shù)量接近一半。從表6可知，到期時(shí)間在120天至150天，以及150至180?天之間期權(quán)的平均價(jià)格較高。

（二）模型校準(zhǔn)目標(biāo)和擬合、預(yù)測指標(biāo)

模型校準(zhǔn)目標(biāo)函數(shù)采用如下誤差平方和（Sum?of?Squared?Error，?SSE），

SSE=∑Nj=1（CModelKj，T-CMarketKj，T）2（19）

其中，CModelKj，Tj和

CMarketKj，Tj

分別表示行權(quán)價(jià)為Kj?到期日為Tj同一期權(quán)的模型報(bào)價(jià)和市場報(bào)價(jià)。模型校準(zhǔn)以式（18）中誤差平方和最小化為目標(biāo)。

模型校準(zhǔn)效果的評價(jià)指標(biāo)主要有平均絕對誤差（Mean?Absolute?Error，?MAE）、?平均相對誤差（Mean?Relative?Error，?MRE）和均方根誤差（Root?Mean?Squared?Error，?RMSE），?其分別定義為

MAE=1N∑Nj=1CModelKj，Tj-

CMarkerKj，Tj

（20）

MRE=1N∑Nj=1CModelKj，Tj-

CMarketKj，Tj

CMarktTj，Kj

（21）

和

RMSE=

1N∑Nj=1（CModelTj，Kj-CMarketKj，Tj）2

（22）

平均絕對誤差越小，模型價(jià)格與期權(quán)價(jià)格越接近，期權(quán)定價(jià)模型的校準(zhǔn)效果就越好。而平均相對誤差能夠消除不同大小期權(quán)價(jià)格的誤差相加所存在的量綱差異問題，從而對期權(quán)校準(zhǔn)評判更為合理。本文采用平均絕對誤差、平均相對誤差和均方根誤差來衡量期權(quán)定價(jià)模型對期權(quán)市場價(jià)格的預(yù)測能力。

（三）參數(shù)校準(zhǔn)及模型擬合和預(yù)測期權(quán)價(jià)格的比較

利用每周三的期權(quán)數(shù)據(jù)對模型參數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn)，表7、表9和表11分別展示了在平穩(wěn)樣本時(shí)期、波動(dòng)樣本時(shí)期和全樣本時(shí)期內(nèi)OPSJ模型、Heston模型、BSJ模型和BS模型參數(shù)平均校準(zhǔn)結(jié)果。表8、表10和表12分別展示了三個(gè)模型在平穩(wěn)樣本時(shí)期、波動(dòng)樣本時(shí)期和全樣本時(shí)期內(nèi)期權(quán)價(jià)格擬合和預(yù)測的平均絕對誤差、平均相對誤差和均方根誤差。從表8可知，OPSJ模型在平穩(wěn)樣本時(shí)期內(nèi)期權(quán)價(jià)格的擬合和預(yù)測的平均絕對誤差、平均相對誤差和均方根誤差在三個(gè)模型中是最小的，這說明OPSJ模型在平穩(wěn)樣本時(shí)期內(nèi)期權(quán)價(jià)格的擬合和預(yù)測上表現(xiàn)的最好。從表10可知，OPSJ模型在波動(dòng)樣本時(shí)期內(nèi)期權(quán)價(jià)格的擬合和預(yù)測的平均絕對誤差、平均相對誤差和均方根誤差在三個(gè)模型中的誤差值是最小的，這說明OPSJ模型在波動(dòng)樣本時(shí)期內(nèi)期權(quán)價(jià)格的擬合和預(yù)測上表現(xiàn)的最優(yōu)。從表12可知，OPSJ模型在全樣本時(shí)期內(nèi)期權(quán)價(jià)格的擬合和預(yù)測的平均絕對誤差、平均相對誤差和均方根誤差在三個(gè)模型中也是最小的，這說明OPSJ模型在全樣本時(shí)期內(nèi)期權(quán)價(jià)格的擬合和預(yù)測上表現(xiàn)最佳。

（四）模型擬合和預(yù)測隱含波動(dòng)率的比較

這一節(jié)將通過上節(jié)在平穩(wěn)樣本時(shí)期，波動(dòng)樣本時(shí)期和全樣本時(shí)期內(nèi)OPSJ模型、Heston模型、BSJ模型和BS模型所得的校準(zhǔn)參數(shù)來擬合和預(yù)測各自模型的隱含波動(dòng)率，并與真實(shí)市場的隱含波動(dòng)率進(jìn)行比較，同樣通過平均絕對誤差、平均相對誤差和均方根誤差來評估期權(quán)定價(jià)模型對期權(quán)市場隱含波動(dòng)率的擬合和預(yù)測能力。表13、表14和表15分別表示在平穩(wěn)樣本時(shí)期、波動(dòng)樣本時(shí)期和全樣本時(shí)期內(nèi)OPSJ模型、Heston模型、BSJ模型和BS模型的隱含波動(dòng)率擬合和預(yù)測的平均誤差。表13可看出，在平穩(wěn)樣本時(shí)期內(nèi)，OPSJ模型擬合和預(yù)測隱含波動(dòng)率的平均誤差在四個(gè)模型中是最小的，表明OPSJ模型在平穩(wěn)樣本時(shí)期內(nèi)擬合隱含波動(dòng)率的能力是優(yōu)于對比模型的。表14可看出，在波動(dòng)樣本時(shí)期內(nèi)，OPSJ模型擬合和預(yù)測隱含波動(dòng)率的平均誤差在四個(gè)模型中的誤差值是最小的，表明OPSJ模型在波動(dòng)樣本時(shí)期內(nèi)擬合和預(yù)測隱含波動(dòng)率的能力是好于其他三個(gè)模型的。表15可看出，在全樣本時(shí)期內(nèi)，OPSJ模型擬合和預(yù)測隱含波動(dòng)率的平均誤差在四個(gè)模型中也是最小的，表明OPSJ模型在全樣本時(shí)期內(nèi)擬合和預(yù)測隱含波動(dòng)率的能力也是優(yōu)于對比模型的。

五、結(jié)論

在傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)模型中考慮股票情緒與期權(quán)情緒，且情緒都服從O-U過程，標(biāo)的資產(chǎn)跳躍的到達(dá)服從泊松過程，跳躍的大小服從正態(tài)分布，針對該模型求得了歐式期權(quán)定價(jià)解析式。利用2017年3月至2018?年6月上證50ETF期權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究，通過與幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型，帶跳的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型和Heston模型進(jìn)行對比發(fā)現(xiàn)，在平穩(wěn)樣本時(shí)期、波動(dòng)樣本時(shí)期和全樣本時(shí)期，OPSJ模型在上證50ETF看漲期權(quán)價(jià)格的擬合和預(yù)測誤差均是最小的，以及在隱含波動(dòng)率的擬合和預(yù)測誤差也是最小的，表明OPSJ模型在平穩(wěn)時(shí)期、非平穩(wěn)時(shí)期以及既有平穩(wěn)時(shí)期又有非平穩(wěn)時(shí)期，期權(quán)價(jià)格的擬合和預(yù)測能力都優(yōu)于對比模型，并且在隱含波動(dòng)率的擬合和預(yù)測能力也是優(yōu)于對比模型。?

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Option?pricing?with?sentiment?under?the?jump-diffusion?model

LYU?Jianping

（Economic?College，?Hunan?Agricultural?University，?Changsha??410128，?China）

Abstract：

The?option?pricing?with?stock?sentiment?and?option?sentiment?under?jump?diffusion?model?is?considered

Assume?that?the?arrival?of?the?underlying?asset?jump?follows?a?Poisson?process，?the?jump?amplitude?follows?a?normal?process，?and?the?stock?sentiment?and?option?sentiment?follow?an?OU?process?The?analytical?formula?of?European?option?pricing?is?obtained?Using?the?50ETF?call?option?data?of?Shanghai?Stock?Exchange?for?empirical?research，?by?comparing?with?geometric?Brownian?motion?model，?geometric?Brownian?motion?model?with?jump?and?Heston?model，?it?is?found?that?in?the?period?of?stable?sample，?the?period?of?fluctuation?sample?and?the?period?of?full?sample，?the?fitting?and?prediction?errors?of?the?model?are?the?smallest?in?the?50ETF?call?option?price?of?Shanghai?Stock?Exchange，?and?the?fitting?and?prediction?errors?in?the?implied?volatility?are?also?the?smallest?It?shows?that?the?proposed?model?is?superior?to?the?comparison?model?in?terms?of?fitting?and?forecasting?ability?of?option?price?and?implied?volatility?in?stable?period，?non-stationary?period?and?both?stable?and?non-stationary?periods

Keywords：Option?Pricing;?Stock?Sentiment;?Option?Sentiment;?Implied?Volatility