許和乾， 杜 煒， 王菊香

（1．合肥師范學院 數學與統(tǒng)計學院，合肥 230601；2．淮南師范學院 數學與計算科學系，淮南 232001；

3．安徽建筑大學 數理系，合肥 230022）

1 引 言

自上世紀八十年代以來，糾錯碼的發(fā)展更著重于如何把糾錯碼有效地應用到實際中去，解決實際使用中的很多有關問題，其中最重要的是與譯碼問題密切相關的碼的最小距離、重量分布、覆蓋半徑和球半徑等．在精確計算差錯控制系統(tǒng)的譯碼錯誤概率和不可檢錯誤概率時，知道碼的重量分布是必需的．但確定碼的重量分布是一個比計算碼的實際最小距離還要困難的任務．正是由于這些原因，使得對碼的最小距離、重量分布等問題的研究，在編碼理論中一直是一個非常重要的研究課題．

重量計數器是研究碼的重量分布的一種有力工具，利用MacWilliams恒等式可以很容易的從一個碼的重量計數器得到其對偶碼的重量計數器，這大大簡化了某些碼的重量分布的研究過程．在文獻［1］中，MacWilliams首次給出了域Fq上線性碼Hamming重量的MacWilliams恒等式．文獻［2］則對環(huán)Z4上線性碼的各種重量分布進行了系統(tǒng)的闡述，而文獻［3－5］則研究了其它一些不同環(huán)上的Macwilliams恒等式．

對環(huán)F2＋vF2（v2＝v）的研究有很多［6－9］，施敏加等在文獻［10－12］中定義了該環(huán)上的一種Gray映射，研究了該環(huán)上線性碼及其對偶碼的結構和相關性質以及相應的Macwilliams恒等式．本文在此基礎之上，利用離散的Hadamard變換，建立了環(huán)F2＋vF2上線性碼及其對偶碼之間關于對稱重量計數器MacWilliams恒等式，該重量計數器在實際當中便于應用，而該環(huán)上線性碼及其對偶碼之間關于Hamming重量和Lee重量的MacWilliams恒等式則可作為上述結果的進一步推論．

2 基本概念

為方便起見，記環(huán)F2＋vF2為R，R中含有4個元素:0，1，v，1＋v，其中v2＝v．這個環(huán)可以看做域F2上2維向量空間，環(huán)R有且僅有兩個極大理想｛0，v｝和｛0，1＋v｝，因而R是局部環(huán)．環(huán)R的特征為2，v和1＋v是它的兩個零因子．環(huán)R上的線性碼C是指Rn的加法子模．對任意的x＝（x1，x2，…，xn），y＝（y1，y2，…，yn）∈Rn，定義x與y的內積為〈x，y〉＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn．設C是環(huán)R上長為n的線性碼，C的對偶碼定義為C⊥＝｛x∈Rn｜〈x，y〉＝0，?y∈C｝，容易證明C⊥也是環(huán)R上長為n的線性碼．

設C1，C2均為環(huán)R上長為n的線性碼，如果碼C1通過一個坐標置換，必要時將碼元v與1＋v互換，能得到碼C2，則稱C1，C2為環(huán)R上等價的線性碼．環(huán)R上任意一個非零線性碼C都等價于一個由生成矩陣

所生成的線性碼，而對偶碼C⊥的生成矩陣為

更多關于環(huán)F2＋vF2的結果，建議參看文獻［8－12］中相關內容．

3 環(huán)R上線性碼的對稱重量計數器

為了便于在實際中的使用，下面將在環(huán)R中建立一種對稱重量計數器．

在R中，記D0＝｛0｝，D1＝｛v，1＋v｝，D2＝｛1｝．

定義1:碼C的對稱重量計數器定義為:

我們容易得到:

命題1:設C1，C2是R上兩個長為n的線性碼，若C1和C2等價，則它們的對稱重量計數器相同．

定義映射Φ為:對?a＋bv∈R，有Φ（a＋bv）＝（－1）b．

易得如下引理1:

引理1:對?x＝（x1，x2，…，xn），y＝（y1，y2，…，yn）∈Rn，有

Φ（〈x，y〉）＝Φ（x1y1）Φ（x2y2）…Φ（xnyn）．

引理2:設C是R上長為n的線性碼，C⊥為C的對偶碼，則

證明:仿照文獻［5］中的證明易得本引理，此處從略．

定理1:設C是R上長為n的線性碼，C⊥為C的對偶碼，則

由引理1，

Φ（〈x，y〉）＝Φ（x1y1）Φ（x2y2）…Φ（xnyn），又對?Di，

所以

其中s∈D1．

由引理2可知，

經計算，

定理得證．

4 環(huán)R上線性碼的對稱重量計數器與Hamming重量計數器、Lee重量計數器間的關系

設C是R上長為n的線性碼，對?x＝（x1，x2，…，xn）∈R，x的 Hamming重量定義為

引理3［11］:（1）HamC（X，Y）＝sweC（X，Y，Y）；

（2）LeeC（X，Y）＝sweC（X2，XY，Y2）．

證明:在sweC（X0，X1，X2）中，令X0＝X，X1＝X2＝Y，易得結論（1）；令X0＝X2，X1＝XY，X2＝Y2，則易得結論（2）．

推論1:設C是R上長為n的線性碼，C⊥為C的對偶碼，則

證明:根據引理3和定理1，易得本推論．

下面通過一個例子來說明本文結果的主要應用．

例:設C＝｛（0，0），（v，v）｝為環(huán)F2＋vF2上長為2的線性碼，其對稱重量計數器為

根據定理1，易得C⊥的對稱重量計數器

由對稱重量計數器的定義得

二者結果一致．

1 MacWilliams F J．A theorem on the distribution of weights in a systematic code［J］．Bell System Technical Journal，1963，42（1）:79－84．

2 WAN Z X．Quaternary Codes［M］．Series on Applied Mathematics，Vol 8．Singapore:World Scientific Pub Co，1997．

3 朱士信．Zk－線性碼的對稱形式的MacWilliams恒等式［J］．電子學報，2003，25（7）:901－906．

4 余海峰，朱士信．環(huán)F2＋uF2上線性碼及其對偶碼的MacWilliams恒等式［J］．中國科學技術大學學報，2006，36（2）:1285－1288．

5 李雨，陳魯生．環(huán)Fp＋uFp上線性碼的 MacWilliams恒等式［J］．南開大學學報:自然科學版，2010，43（2）:78－84．

6 Bachoc C．Application of coding theory to the construction of modular lattices［J］．Journal of Combinatorial Theory Series A，1997，78:92－119．

7 Dougherty S T，Shiromoto K．Maximum distance codes over rings order 4［J］．IEEE Transactions on Information Theory，2001，47（1）:400－404．

8 Betsumiya K，Harada M．Optimal self－dual codes overF2×F2with Hamming weight［J］．IEEE Transactions on Information Theory，2004，50（2）:356－358．

9 Dougherty S T，Gaborit P，Harada M，et a1．TypeⅣself－dual codes over rings［J］．IEEE Transactions on Information Theory，1999，45（7）:2345－2360．

10 施敏加，朱士信，吳波．新四元環(huán)上線性碼的研究［J］．合肥工業(yè)大學學報，2008，31（11）:1878－1881．

11 施敏加，朱士信，李平．環(huán)F2＋vF2上線性碼的Mac－Williams恒等式［J］．計算機應用研究，2008，25（4）:1134－1135．

12 ZHU S X，WANG Y，SHI M J．Some result on cyclic code overF2＋vF2［J］．IEEE Transactions on Information Theory，2010，56（4）:1680－1684．