孫成佳 靳艷飛? 張艷霞

(1. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院力學(xué)系, 北京 100081)(2. 西安科技大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系, 西安 710054)

引言

隨著物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展,無(wú)線傳感器得到廣泛的應(yīng)用.為了充分發(fā)揮無(wú)線傳感器的潛力,需要一種可持續(xù)的電源在惡劣情況下為傳感器供電.振動(dòng)能量采集為這一問(wèn)題提供了解決方案[1-2].振動(dòng)在自然環(huán)境中普遍存在,例如:海洋平臺(tái)受到的隨機(jī)波浪載荷、路面不平度對(duì)運(yùn)動(dòng)車輛的作用、強(qiáng)地震引起的地面運(yùn)動(dòng)等,且真實(shí)環(huán)境振動(dòng)中隨機(jī)性是普遍存在的,因此亟需針對(duì)隨機(jī)振動(dòng)下非線性俘能器的動(dòng)力學(xué)開(kāi)展研究.傳統(tǒng)的線性諧振式振動(dòng)俘能器的頻帶窄,無(wú)法滿足實(shí)際應(yīng)用需求[3].為了充分采集環(huán)境中的隨機(jī)振動(dòng)能量,研究者考慮了結(jié)構(gòu)的非線性因素,提出非線性俘能器擴(kuò)大頻帶寬度,提高系統(tǒng)的俘能特性[4-7],其中非線性雙穩(wěn)態(tài)俘能器相比于單穩(wěn)態(tài)俘能器可以產(chǎn)出更高的輸出功率,極大地提高俘能效率[8-11].振動(dòng)俘能器通常有電磁式、壓電式、靜電式,為了提高能量采集器的性能,研究人員將不同類型能量采集技術(shù)進(jìn)行融合.壓電-電磁混合式俘能器由于具有功率密度高、轉(zhuǎn)換效率高、適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)[12]受到了許多研究人員的關(guān)注.Yang等[13]開(kāi)發(fā)了一種基于懸臂梁結(jié)構(gòu)的壓電-電磁混合式能量采集器,并通過(guò)改進(jìn)微加工線圈的設(shè)計(jì)和制造,減少了采集器的附加尺寸和重量.Hafizh等[14]設(shè)計(jì)了一種壓電與電磁轉(zhuǎn)換模塊相結(jié)合的采集器,成功完成了水流動(dòng)能到電能的轉(zhuǎn)換,并研究了不同擾動(dòng)流體形狀對(duì)發(fā)電性能的影響.Javed等[15]提出了一種壓電-電磁能量采集裝置,并提出了系統(tǒng)的耦合動(dòng)力學(xué)模型,分析了壓電振動(dòng)采集器和電磁振動(dòng)采集器的外接負(fù)載阻值對(duì)起振速度、耦合阻尼、頻率以及輸出功率的影響.Zhang等[16]利用數(shù)值方法分析了Lévy噪聲作用下三穩(wěn)態(tài)壓電-電磁能量采集系統(tǒng)的隨機(jī)分岔和隨機(jī)共振現(xiàn)象.因此,壓電-電磁混合式振動(dòng)能量采集系統(tǒng)可以有效發(fā)揮二者的優(yōu)勢(shì),提高了環(huán)境振動(dòng)能量轉(zhuǎn)換效率和俘能效果,并具有更高的環(huán)境適應(yīng)性.

雙穩(wěn)態(tài)混合式振動(dòng)俘能器已被證明是改善能量采集性能的較好解決方案,但是如果非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)或控制不當(dāng),可能會(huì)誘發(fā)復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,如分岔現(xiàn)象等[17-18].通過(guò)引進(jìn)控制方法,可以進(jìn)一步改善環(huán)境隨機(jī)激勵(lì)和壓電懸臂非線性振動(dòng)的相互作用[19-20].從振動(dòng)控制的角度,時(shí)滯反饋控制可以調(diào)整系統(tǒng)的非線性振動(dòng)并優(yōu)化系統(tǒng)性能, 使系統(tǒng)穩(wěn)定性增強(qiáng)[21-23].Jin等[24-25]在具有時(shí)滯狀態(tài)反饋的Duffing振子的研究中證明,選擇適當(dāng)?shù)臅r(shí)滯參數(shù)和反饋增益可以提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能.Belhaq等[26]研究了一種延遲非線性微機(jī)電系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)存在一種適當(dāng)?shù)臅r(shí)滯參數(shù)組合可以使周期內(nèi)能量采集效率最大化.Yang等[27]發(fā)現(xiàn)時(shí)滯反饋控制可以增強(qiáng)隨機(jī)共振現(xiàn)象,從而獲得更顯著的系統(tǒng)響應(yīng)和更高的輸出功率.Jin等[28]利用多尺度方法研究了窄帶隨機(jī)激勵(lì)下具有時(shí)滯狀態(tài)反饋的Duffing型能量采集器,確定了適當(dāng)?shù)臅r(shí)滯和反饋增益組合使得系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)化率和平均輸出電壓極大的提高.可見(jiàn),時(shí)滯反饋控制已成為提高振動(dòng)能量采集效率的理想解決方案,并受到廣泛關(guān)注.然而,大多數(shù)研究集中于時(shí)滯反饋控制下的壓電能量采集器,而揭示時(shí)滯反饋控制下混合式振動(dòng)能量采集器的復(fù)雜動(dòng)態(tài)行為具有重要意義.

本文考慮雙穩(wěn)態(tài)壓電-電磁能量采集器的非線性特性,建立了集中參數(shù)型機(jī)電耦合時(shí)滯反饋控制方程,利用色噪聲模擬環(huán)境激勵(lì),基于能量包線的隨機(jī)平均法得到系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)輸出的解析解表達(dá)式,分析了時(shí)滯、反饋增益、色噪聲等對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和俘能的影響,并通過(guò)蒙特卡洛方法驗(yàn)證了理論方法的有效性.

1 雙穩(wěn)態(tài)壓電-電磁俘能器的時(shí)滯動(dòng)力學(xué)方程

考慮如下具有時(shí)滯狀態(tài)反饋控制的機(jī)電耦合的混合式雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)俘能系統(tǒng),其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示.

該混合式雙穩(wěn)俘能器包括一個(gè)耦合到電路的機(jī)械振蕩器,可通過(guò)壓電模塊將振動(dòng)的機(jī)械能轉(zhuǎn)換為電能;一個(gè)固定線圈,振蕩器一端的永磁體與線圈產(chǎn)生相對(duì)位移從而產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì);以及一個(gè)時(shí)滯狀態(tài)反饋控制器,設(shè)計(jì)為線性位移和速度的時(shí)滯

圖1 雙穩(wěn)態(tài)壓電-電磁混合式俘能系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The schematic diagram of a bistable piezoelectric and electromagnetic hybrid energy harvester

圖2 混合式能量采集器中壓電和電磁單元的等效電路Fig.2 The equivalent model of the piezoelectric and electromagnetic elements for hybrid energy harvester

(1)

(2)

(3)

<ξ(t)>=0

其中D為噪聲強(qiáng)度,c為噪聲相關(guān)時(shí)間.

在下面的分析中,除特殊說(shuō)明外,選取如下的參數(shù)值:β=0.02,κ1=0.3,κ2=0.3,α1=0.05,α2=0.05,δ1=3,δ2=3,D=0.005,c=0.03.

2 系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)分析

2.1 能量包線隨機(jī)平均法

根據(jù)能量包線的隨機(jī)平均法[29],引入廣義調(diào)和函數(shù),系統(tǒng)的位移和速度可以表示為

X(t)=A[H(t)]cos{ω[H(t)]t+φ(t)}+

(4)

sin{ω[H(t)]t+φ(t)}

(5)

根據(jù)總能量H的不同,系統(tǒng)存在三種不同的周期運(yùn)動(dòng):右側(cè)勢(shì)阱內(nèi)的振動(dòng)(i=1)、 左側(cè)勢(shì)阱內(nèi)的振動(dòng)(i=2)和兩勢(shì)阱間的大范圍往復(fù)振動(dòng)(i=3).由式(2)和式(3),此時(shí)電壓、電流可近似表示為[30]

(6)

(7)

其中

(8)

將式(8)代入式(6)和式(7)可得電壓與電流表達(dá)式

(9)

(10)

結(jié)合式(9)和式(10),可將系統(tǒng)(1)解耦后的方程寫為

(11)

這里

μcos[ω(H)τ1]-νω(H)cos[ω(H)τ2]

此時(shí)勢(shì)能和總能量函數(shù)為

(12)

(13)

方程(11)中依賴于能量的頻率ω(H)的表達(dá)式為

(14)

其中xa和xb分別為不考慮時(shí)滯影響下系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)位移的最小值和最大值.由于勢(shì)能函數(shù)的表達(dá)式(12)中含有未知的頻率ω(H),此時(shí)可以利用迭代法對(duì)方程(14)進(jìn)行求解得到頻率[31],如圖3所示.

由公式(13)可得如下運(yùn)動(dòng)方程

(15)

(16)

系統(tǒng)的能量是慢變量,則能量過(guò)程是一個(gè)慢變過(guò)程,可近似為一維馬爾可夫過(guò)程,利用能量包絡(luò)線的隨機(jī)平均法可得對(duì)應(yīng)的伊藤方程為

dH=m(H)dt+σ(H)dB(t)

(17)

其中,B(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),m(H)和σ(H)為平均后的漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù).

這里,時(shí)間平均為

(18)

其中N0為歸一化常數(shù).

(19)

根據(jù)式(9)和(19)可得均方電壓表達(dá)式

(20)

同理可得均方電流和功率表達(dá)式

(21)

E(P)=κ1α1E(V2)+κ2α2E(I2)

(22)

2.2 系統(tǒng)響應(yīng)分析

(a) 解析解(a) The theoretical result of the joint SPD

(b) 數(shù)值解(b) The numerical result of the joint SPD

下面主要根據(jù)理論結(jié)果(22)來(lái)討論時(shí)滯大小與反饋增益系數(shù)對(duì)于系統(tǒng)平均輸出功率的影響.圖5(a)給出了系統(tǒng)平均輸出功率E[P]隨τ1、τ2的增大而變化的曲線.對(duì)于固定的反饋增益系數(shù),當(dāng)τ1,τ2在[0,4]范圍內(nèi)變化時(shí),E[P]在點(diǎn)(τ1,τ2)=(1.4,2)處達(dá)到最大值.即,當(dāng)反饋增益系數(shù)固定時(shí),可以通過(guò)選取最優(yōu)的τ1,τ2使得系統(tǒng)的平均輸出功率達(dá)到最大,實(shí)現(xiàn)混合式俘能器的動(dòng)態(tài)性能的提高.在圖5(b)中,取τ1=0,μ=0,分析速度時(shí)滯反饋控制對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響.由圖可見(jiàn),隨著τ2的增加,E[P]呈現(xiàn)周期性的變化.若τ2=1固定,此時(shí)負(fù)速度時(shí)滯反饋控制下系統(tǒng)的E[P]明顯高于正速度時(shí)滯反饋的情形;若取τ2=2.5,正速度時(shí)滯

圖5 不同時(shí)滯和反饋增益下系統(tǒng)的平均輸出功率

反饋控制下系統(tǒng)的E[P]明顯高于負(fù)速度時(shí)滯反饋的情形;當(dāng)τ2=2.0時(shí),正、負(fù)速度時(shí)滯反饋控制下的平均輸出功率相等,即E[P]=10-3.因此,速度時(shí)滯反饋控制的效果依賴于時(shí)滯的選取.在圖5(c)中,固定τ1=1.4,μ=0.01,討論E[P]隨τ2和v的變化趨勢(shì).通過(guò)對(duì)曲線的觀察發(fā)現(xiàn),對(duì)于固定的τ2=2.5,隨著速度反饋增益系數(shù)的增大,E[P]增大.因此,可以通過(guò)選取τ2和v使系統(tǒng)平均輸出功率達(dá)到最大,例如:說(shuō)明位移時(shí)滯與速度時(shí)滯反饋控制的共同作用效果優(yōu)于單一速度時(shí)滯反饋控制的情形.

3 結(jié)論

隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境激勵(lì)下非線性俘能器的動(dòng)力學(xué)研究已成為機(jī)械、力學(xué)、材料、電子等諸多學(xué)科領(lǐng)域關(guān)注的重要問(wèn)題.由于非線性結(jié)構(gòu)特性的引入,在隨機(jī)激勵(lì)下振動(dòng)俘能系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生一些新的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,此時(shí)振動(dòng)俘能器的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)分析顯得尤為重要.本文針對(duì)色噪聲激勵(lì)下雙穩(wěn)態(tài)壓電-電磁混合式俘能系統(tǒng),提出了通過(guò)線性位移和速度時(shí)滯反饋控制來(lái)提高系統(tǒng)的響應(yīng)和采集效率.首先,建立了壓電-電磁混合式雙穩(wěn)態(tài)俘能器的動(dòng)力學(xué)方程,基于能量包線的隨機(jī)平均法推導(dǎo)出系統(tǒng)輸出響應(yīng)的解析表達(dá)式,包括:系統(tǒng)平穩(wěn)聯(lián)合概率密度、均方電壓、均方電流、平均輸出功率.然后,利用蒙特卡洛方法得到系統(tǒng)輸出響應(yīng)的數(shù)值解,通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)平穩(wěn)聯(lián)合概率密度均具有雙峰結(jié)構(gòu)完全,理論解與數(shù)值解一致,說(shuō)明理論結(jié)果的正確性.最后,分析了時(shí)滯與反饋增益系數(shù)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響,研究結(jié)果表明:存在最優(yōu)的時(shí)滯與反饋增益組合,使得系統(tǒng)的平均輸出功率最大.此外,通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)位移時(shí)滯與速度時(shí)滯反饋的聯(lián)合作用比單個(gè)速度時(shí)滯反饋更有利于提高系統(tǒng)的俘能效率.