管明杰 茅曉晨

(河海大學 力學與材料學院,南京 211100)

引言

建筑結(jié)構(gòu)在地震、風等動力荷載作用下,會產(chǎn)生較大的振動響應(yīng),導致結(jié)構(gòu)的變形和破壞[1].隨著現(xiàn)代制造技術(shù)的快速發(fā)展,建筑結(jié)構(gòu)更加輕柔化和復雜化,其振動現(xiàn)象日益顯著.例如,摩天大廈中的懸挑、不規(guī)則等設(shè)計會造成結(jié)構(gòu)剛度突變,誘發(fā)大幅的持續(xù)振動[2].為了有效抑制結(jié)構(gòu)的振動水平,人們提出了多種控制方法,如非線性吸振器等.

非線性吸振器能夠有效拓展減振帶寬和提升魯棒性.目前,非線性吸振器的種類和形式不斷更新,如分段線性式[3-4]、碰撞式[5-6]、軌道式[7-9]等.軌道式吸振器通過設(shè)計軌道形狀提供不同形式的非線性作用力,并在土木工程中得到了應(yīng)用.例如,軌道吸振器可以將輸入建筑結(jié)構(gòu)的能量從低階模態(tài)向高階模態(tài)轉(zhuǎn)化,從而快速有效地衰減結(jié)構(gòu)響應(yīng)[7].Lu等人提出了一種軌道非線性能量匯,給出了與質(zhì)量比和軌道形狀相關(guān)的優(yōu)化設(shè)計過程,并在五層鋼框架結(jié)構(gòu)上進行了一系列振動試驗,有效驗證了軌道吸振器的良好減振性能[8].此外,單邊碰撞的軌道非線性吸振器不僅能夠吸收和耗散建筑結(jié)構(gòu)的能量,還可以在結(jié)構(gòu)剛度和輸入能級變化時表現(xiàn)出很強的魯棒性[9].

近年來,主動控制備受關(guān)注,能夠提升控制效果和適應(yīng)復雜工況.在控制過程中,傳感器、濾波器、控制器、作動器等環(huán)節(jié)中存在時滯效應(yīng).Olgac首次提出了時滯動力吸振器的概念[10].徐鑒教授團隊長期從事時滯吸振器的研究,取得了許多重要進展,并得到了實際應(yīng)用[11-13].Zheng等人研究了具有時滯加速度反饋的主動質(zhì)量阻尼器對建筑結(jié)構(gòu)的振動控制問題,給出了控制增益和時滯的參數(shù)空間中的穩(wěn)定區(qū)域[14].Bellizzi等人考察了時滯主動阻尼非線性吸振器,基于復變量平均法和幾何奇異攝動法預測了周期響應(yīng)和準周期響應(yīng).結(jié)果表明,較小的時滯會導致系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生重大變化,如抑制準周期響應(yīng)區(qū)域和降低振動水平[15].Mohanty等人提出了具有時滯反饋的壓電片堆式主動非線性吸振器,給出了基礎(chǔ)簡諧激勵和外擾力共同作用下的振動控制效果,可有效提升安全性和經(jīng)濟性[16].

本文基于軌道型非線性吸振器,引入時滯位移反饋控制,提出一種時滯軌道非線性吸振器,并應(yīng)用于建筑結(jié)構(gòu)的振動抑制.

1 動力學模型

如圖1所示,建筑結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度、阻尼系數(shù)分別為m1,k1,c1,其頂部置放吸振器.吸振器由帶有軌道的小車和小球構(gòu)成,其中m2為小車質(zhì)量,m3為小球質(zhì)量,c3為小球與小車間的阻尼系數(shù).軌道小球視為剛體,可沿軌道自由滑動,其軌道形狀滿足y3(t)=a[x3(t)-x2(t)]4,其中y3為小球的豎向位移,x2和x3分別為小車和小球的水平位移,a為軌道形狀系數(shù)[8].建筑結(jié)構(gòu)和吸振器間的彈簧剛度系數(shù)為k2,阻尼系數(shù)為c2.采用時滯位移反饋控制,控制力取為Ax2(t-τ),其中A為反饋增益系數(shù),τ為時滯量.

圖1 含時滯軌道非線性吸振器的建筑結(jié)構(gòu)Fig.1 A building structure with a nonlinear delayed vibration absorber

系統(tǒng)的總動能T表達式為:

(1)

(2)

根據(jù)拉格朗日方程,則有:

(3)

其中,Qi為外激勵和控制力;D為耗散函數(shù)[17],即

將式(1)和式(2)代入式(3)中,整理后可得:

(4)

系統(tǒng)參數(shù)取為:m1=30kg,k1=2×104N/m,c1=0.05Ns/m,m2=3kg,k2=3470N/m,c2=0.6Ns/m,m3=3kg,a=200m-3,c3=0.8Ns/m[7].激勵幅值f0分別取為1N和10N,當激勵頻率ω=23.5rad/s時計算在t=70T內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng),其中T為外激勵周期.圖2為FT,FT1,FT2以及FT3的變化曲線.如圖2(a)所示,FT的主要部分為FT1,而FT2和FT3在FT中占比很小.如圖2(b)所示,FT2和FT3的影響較大,在FT1,FT2以及FT3的同時作用下,FT在出現(xiàn)了峰值現(xiàn)象,即當相對位移增大到某個值后,FT會隨其的增大而減小,這種現(xiàn)象有助于在發(fā)生較大響應(yīng)時減輕由于作用力過大而造成減振設(shè)備的損害[7].

圖2 不同外激勵幅值作用下非線性力的變化曲線Fig.2 The curve of nonlinear force for different excitation amplitudes

2 幅頻特性

本文采用諧波平衡法(HBM)求解系統(tǒng)動力學響應(yīng)[16].為簡化起見,引入軌道小球相對軌道小車的位移xn(t)=x3(t)-x2(t).方程可改寫為:

(5)

(6)

圖3 主系統(tǒng)的位移幅頻曲線Fig.3 The amplitude-frequency curve of the primary system

圖3為當k2=3470N/m,a=200m-3,f0=10N,A=-80N/m,τ=0.05s時,建筑結(jié)構(gòu)的位移的幅頻曲線.為了驗證諧波平衡法的準確性,采用龍格庫塔法(RKM)進行驗證.由圖3可知,龍格庫塔法與諧波平衡法的結(jié)果在穩(wěn)定周期解的區(qū)域基本吻合,說明兩種方法的結(jié)果相一致.此外,主系統(tǒng)位移幅頻曲線的共振峰向左偏轉(zhuǎn),表現(xiàn)出軟彈簧特性.同時,在共振峰附近出現(xiàn)了不穩(wěn)定的解.

3 參數(shù)討論

采用純被動控制時,考察吸振器參數(shù)對于幅頻曲線的影響情況.如圖4(a)所示,隨著彈簧剛度系數(shù)由3700N/m增大到5200N/m,幅頻響應(yīng)曲線向右移動,并且向左偏轉(zhuǎn)的程度有所減弱.此外,在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi),周期運動的位移振幅的峰值從0.0535m增大到0.0763m,而不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的共振峰幅值從0.2039m增大到0.5665m.圖4(b)給出了不同軌道形狀系數(shù)對應(yīng)的主系統(tǒng)的幅頻曲線.當時,吸振器退化為線性情形.當時,系統(tǒng)的幅頻曲線向左偏轉(zhuǎn),

圖4 不同彈簧剛度系數(shù)k2與軌道形狀系數(shù)a時,主系統(tǒng)的位移幅頻曲線Fig.4 Effects of the spring stiffness k2 and the coefficient of track shape a on the amplitude-frequency curve of the primary system

共振峰附近也出現(xiàn)了不穩(wěn)定解.隨著軌道形狀系數(shù)的增大,幅頻曲線向左偏轉(zhuǎn)的程度也增大.

下面考察位移反饋控制,首先考慮無時滯情形.系統(tǒng)的彈簧剛度系數(shù)k2與軌道形狀系數(shù)a分別取為3470N/m和200m-3,其他參數(shù)保持不變.如圖5所示,反饋增益的值從零變?yōu)?500N/m時,穩(wěn)定周期運動振幅的峰值分別為:0.0477m,0.0431m,0.0379m,0.0387m,0.0347m.不穩(wěn)定的共振峰幅值從0.1658m降低到0.1000m.與無反饋控制相比,受控系統(tǒng)的穩(wěn)定周期運動的幅值的峰值與不穩(wěn)定區(qū)域的共振峰幅值都有所降低.

圖5 不同反饋增益A 的主系統(tǒng)位移幅頻曲線Fig.5 Effects of the feedback gain A on the amplitude-frequency curve of the primary system

圖6 不同時滯下的主系統(tǒng)位移幅頻曲線Fig.6 Effects of the time delay on the amplitude-frequency curve of the primary system

考慮控制中的時滯效應(yīng),而其余系統(tǒng)參數(shù)保持不變.圖6給出了不同時滯量情形下主系統(tǒng)的位移幅頻曲線,其中.如圖6所示,無時滯時,幅頻曲線的共振峰表現(xiàn)出向左偏轉(zhuǎn)特性,并且在共振峰附近出現(xiàn)不穩(wěn)定區(qū)域.當τ=0.01s時,共振峰基本不偏轉(zhuǎn),不穩(wěn)定區(qū)域消失,類似于線性情形.此時,共振峰的幅值降至0.0230m.隨著時滯量的繼續(xù)增大,幅頻曲線的峰值進一步降低,并與龍格庫塔法的計算結(jié)果基本吻合.這說明,引入時滯可以消除幅頻響應(yīng)曲線中的不穩(wěn)定區(qū)域,減弱系統(tǒng)的軟彈簧特性,并可提高振動抑制效果.

圖7 主系統(tǒng)位移隨時滯量變化的分叉圖Fig.7 The bifurcation diagram of the displacement of the primary structure with the change of time delay

圖8 在主結(jié)構(gòu)位移隨外激勵幅值變化的分叉圖Fig.8 The bifurcation diagram of the displacement of the primary system as the excitation amplitude varies

4 結(jié)論

本文提出了一種時滯軌道非線性吸振器,并將其安裝在建筑結(jié)構(gòu)頂部.通過諧波平衡法結(jié)合弧長延拓法給出了幅頻響應(yīng)曲線,并與龍格庫塔法的結(jié)果進行了對比驗證.結(jié)果表明,系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線共振峰會出現(xiàn)向左偏轉(zhuǎn)現(xiàn)象,并且共振峰附近存在不穩(wěn)定區(qū)域.在被動控制時,軌道非線性造成了幅頻曲線共振峰附近的軟彈簧特性與不穩(wěn)定性.考慮時滯反饋控制后,可消除幅頻曲線中的不穩(wěn)定區(qū)域,降低甚至消除共振峰的軟彈簧特性,并能夠降低共振峰的幅值.此外,時滯反饋控制還可有效調(diào)控復雜運動,改善振動抑制效果.