段雅麗, 程 藝

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,合肥 230026)

0 引 言

中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)是中國科學(xué)院所屬的一所以前沿科學(xué)和高新技術(shù)為主,兼有醫(yī)學(xué)、特色管理和人文學(xué)科的理工類全國重點大學(xué).學(xué)校堅持高起點、寬口徑培養(yǎng)新興、邊緣、交叉學(xué)科的尖端科技人才.基礎(chǔ)課程的教學(xué)對于人才的培養(yǎng)至關(guān)重要.微積分(或稱高等數(shù)學(xué))是理工科大學(xué)最重要的基礎(chǔ)課程之一,也是占用學(xué)時最長、學(xué)分最高的課程,在學(xué)生培養(yǎng)中具有舉足輕重的作用.該課程所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)分析思想,邏輯推理方法,處理問題的技巧及整個思維方法,在后期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和科研工作中起著特別重要的作用.在中國科學(xué)技術(shù)大學(xué),關(guān)于微積分的課程分為數(shù)學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)分析和非數(shù)學(xué)專業(yè)的微積分,并分別有各自的教材.從1958年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)成立,華羅庚先生作為副校長兼數(shù)學(xué)系主任,親自給數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生講授微積分課程,歷屆的校、院、系領(lǐng)導(dǎo)都對非數(shù)學(xué)專業(yè)的微積分課程的建設(shè)工作極為重視.經(jīng)過幾代人多年的探索實踐,逐漸形成了一套獨(dú)具特色的教材體系和教學(xué)模式.

隨著社會的發(fā)展,社會對人才需求的變化,高校擴(kuò)招促進(jìn)高等教育大眾化,高校的學(xué)生數(shù)大幅增加,學(xué)生的興趣和就業(yè)取向越來越多元化.鑒于這種情況,作為大學(xué)理工科各專業(yè)必修的微積分課程,既不可能繼續(xù)按照專業(yè)進(jìn)行“細(xì)分”,更不能因為“通識性”而“泛化”.當(dāng)前,高等院校普遍采取“按學(xué)科大類招生”的做法,并給予學(xué)生在校學(xué)習(xí)期間“自主選擇專業(yè)”的機(jī)會.一些高校開設(shè)了各類“理科實驗班”或“英才班”等,試圖體現(xiàn)“前期淡化專業(yè),尊重學(xué)生選擇,強(qiáng)化基礎(chǔ)訓(xùn)練”的教育理念.

中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)無疑走在了上述改革的前列.多年來,針對少年班、創(chuàng)新班、英才班的培養(yǎng)特點和培養(yǎng)目標(biāo),如何上好數(shù)學(xué)分析課程,是幾代人用心思考的問題.在常庚哲、史濟(jì)懷、徐森林等老一輩教師打下基礎(chǔ)上,筆者學(xué)校從本世紀(jì)初,開始探索“分層教學(xué)”模式[1-3],逐步形成了針對少年班、創(chuàng)新班、英才班培養(yǎng)特點和教學(xué)要求的數(shù)學(xué)分析B課程.為了進(jìn)一步打通全校學(xué)生自主轉(zhuǎn)專業(yè)分析類數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課替代的通道,中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院將數(shù)學(xué)分析B課程的開設(shè),推廣至面向全校非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生.宏觀上采用分層教學(xué)理念,設(shè)計不同難度的分析類課程,達(dá)到了因材施教的目的.下面從數(shù)學(xué)分析B課程的設(shè)置與發(fā)展、分層設(shè)計及教學(xué)實踐情況進(jìn)行逐一介紹.

1 課程設(shè)置與發(fā)展

自2000年起,中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)本科生學(xué)制由五年改為四年,以前上三個學(xué)期的高等數(shù)學(xué)被統(tǒng)一安排在第一學(xué)年,總計12個學(xué)分,240個學(xué)時.在此改革過程中,對少年班數(shù)學(xué)課程也提出新要求.“少年班”和“教學(xué)改革試點班”(“零零班”)組成“少年班學(xué)院”,這個群體的特殊性不僅在招生上有別于現(xiàn)行的高考制度,更重要的是在人才培養(yǎng)上,采取更加科學(xué)和靈活的方式.其培養(yǎng)特色就是在堅持基礎(chǔ)知識“寬、厚、實”的原則下,學(xué)生入學(xué)后不分專業(yè),在一年級或二年級以后根據(jù)個人興趣和志向,在全校范圍內(nèi)自主選擇專業(yè).2003年,中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)把在少年班試點取得的經(jīng)驗和做法推廣到全校.這樣,中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)的學(xué)生不但按大類招生入學(xué),進(jìn)校一年后還可以跨學(xué)科自主調(diào)整專業(yè).這些改革激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性,發(fā)揮了學(xué)生的特長,體現(xiàn)了“因材施教”的教育理念.但是,這些改革舉措對課程體系結(jié)構(gòu)提出了新要求,尤其是按專業(yè)設(shè)置基礎(chǔ)課程的傳統(tǒng)已經(jīng)不能適應(yīng)上述改革的需要.

2005年,中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系組成了專門的課程組,開始嘗試在數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析和非數(shù)學(xué)專業(yè)微積分之間,開設(shè)一種“分層”模式的同類課程——數(shù)學(xué)分析B,不同于數(shù)學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)分析A.2005年開始在少年班、教改試點班試行,2012年擴(kuò)展到創(chuàng)新班,2017年擴(kuò)展到各專業(yè)英才班.本課程較好地體現(xiàn)了因材施教、循序漸進(jìn)的原則,既契合了各專業(yè)拔尖人才培養(yǎng)需要,又滿足了學(xué)生自主選擇或調(diào)整專業(yè)的需要,體現(xiàn)了“分層教學(xué)”的思想,探索個性化培養(yǎng),提供可選擇空間.對選擇數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生,較好解決了課程和知識的銜接問題,保證專業(yè)課學(xué)習(xí)所具備的數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ);對選擇非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生,提高了數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)水平,開闊了視野.課程整體水平較高,結(jié)構(gòu)設(shè)計合理,具有較強(qiáng)的可操作性和輻射示范作用.在該課程的助力下,少年班、創(chuàng)新班和英才班畢業(yè)生中考取研究生比例一直保持在80%左右,也產(chǎn)生了一批基礎(chǔ)學(xué)科領(lǐng)域后起之秀.

為了順應(yīng)全校學(xué)生自主選擇專業(yè)的需要,順應(yīng)不分專業(yè)講授基礎(chǔ)課程的發(fā)展趨勢,以及減少不同專業(yè)選擇之間學(xué)生選課的混亂情況,尤其近年來學(xué)校開設(shè)一些新興專業(yè),如數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)信息安全和量子信息安全、人工智能、微電子、核科學(xué)與技術(shù)等等專業(yè),都需要堅實的數(shù)理基礎(chǔ).2019年面向全校非數(shù)學(xué)學(xué)院所有班級,數(shù)學(xué)分析B與傳統(tǒng)的非數(shù)學(xué)專業(yè)微積分課程并軌.

數(shù)學(xué)分析B(B1,B2,B3),和數(shù)學(xué)分析A(A1,A2,A3)都是講授三個學(xué)期,16(=6+6+4)學(xué)分,320(=120+120+80)個學(xué)時,修完這兩個系列的課程都可以在大學(xué)二年級第二學(xué)期進(jìn)入數(shù)學(xué)學(xué)院進(jìn)一步的專業(yè)學(xué)習(xí).對于大學(xué)一年級的新生,如果對自己以后專業(yè)和興趣不明確的學(xué)生,選數(shù)學(xué)分析B就是不錯的選擇.如果在第一學(xué)年結(jié)束后,不轉(zhuǎn)入數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)習(xí),就不必修數(shù)學(xué)分析B3.對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣不大且數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較弱的學(xué)生,還可以選微積分(Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ),就是之前的基礎(chǔ)微積分課程,分別在秋季、春季和夏季學(xué)期上,12(=5+5+2)個學(xué)分,總280(=120+120+40)個學(xué)時.

當(dāng)然選擇修哪個系列的分析類課程,在新生入學(xué)數(shù)學(xué)考試成績也很關(guān)鍵,尤其是成績后大約10%的同學(xué)要進(jìn)入微積分班.經(jīng)過一學(xué)年學(xué)習(xí),成績突出還想轉(zhuǎn)學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè),需要再修數(shù)學(xué)分析B3.也就是數(shù)學(xué)分析B1,B2和微積分I,II,III相當(dāng),可以替代.這樣學(xué)生可以在全校范圍內(nèi)自主轉(zhuǎn)專業(yè)時,數(shù)學(xué)分析B打通了分析類數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課替代的通道.鑒于該課程日臻成熟,筆者學(xué)校在新一輪“一流本科教育質(zhì)量提升計劃”中,從2020年開始將數(shù)學(xué)分析B和同樣采取分層設(shè)計理念的線性代數(shù)推廣到全校各專業(yè),努力打造全校公共基礎(chǔ)課的兩支重要支柱.

2 課程的分層設(shè)計

目前,數(shù)學(xué)分析A選用的教材為常庚哲、史濟(jì)懷教授編著的《數(shù)學(xué)分析教程》[4],分為上、下兩冊,授課對象是數(shù)學(xué)類專業(yè)的學(xué)生;數(shù)學(xué)分析B課程,選用的教材為程藝、陳卿、李平教授編著的《數(shù)學(xué)分析講義》[5],分別是第1,2,3冊,共3冊,對應(yīng)三個學(xué)期的教材; 微積分選用的教材是中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)微積分課程組編寫的《微積分學(xué)導(dǎo)論》[6],分為上、下兩冊.三個系列,教材不同,學(xué)生基礎(chǔ)不同,但要最終達(dá)到在同專業(yè)類學(xué)生有相同數(shù)學(xué)能力的基本要求.

由于中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)生生源廣泛性,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差異性,興趣多元性,就需要課程組兼顧各方面的因素.既要按照學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不同對同一類課程分層,就是“課程分層”,又要適應(yīng)不同興趣志向的學(xué)生自主選專業(yè)的靈活性,還要確保他們具有扎實和系統(tǒng)的微積分基礎(chǔ)知識,更要確保選擇數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生具有較強(qiáng)的分析能力,就需要把課程內(nèi)容從“分塊式”(如圖1)改為“分層級”(如圖2),即“內(nèi)容分層級”.

圖1 數(shù)學(xué)分析分塊體系 圖2 數(shù)學(xué)分析B分層體系

數(shù)學(xué)分析B課程分為“兩個層級”,即“基礎(chǔ)層級”(Basic Mathematical Analysis簡稱 BMA)和“提高層級”(Advanced Mathematical Analysis簡稱 AMA).“基礎(chǔ)層級”主要面向理工科一年級所有學(xué)生.開設(shè)在第一學(xué)期(數(shù)學(xué)分析B1)和第二學(xué)期(數(shù)學(xué)分析B2).緊扣微分、積分這一主線,系統(tǒng)介紹微積分基本內(nèi)容,突出微積分基本思想,內(nèi)容和演算,滿足理工科所有學(xué)生的需求.保證學(xué)生能夠順利進(jìn)入非數(shù)學(xué)的專業(yè)學(xué)習(xí).“提高層級”主要面向選擇數(shù)學(xué)專業(yè),或?qū)?shù)學(xué)要求較高的理論性專業(yè)或新興專業(yè),或?qū)?shù)學(xué)特別感興趣的學(xué)生.開設(shè)在第三學(xué)期(數(shù)學(xué)分析B3),是 BMA 的提升,具有一定的系統(tǒng)性.更加注重嚴(yán)謹(jǐn)性、理論性,為選擇數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生打下堅實的現(xiàn)代分析基礎(chǔ),拓展視野與后續(xù)課程保持更好銜接.數(shù)學(xué)分析B課程體系結(jié)構(gòu)按照循序漸進(jìn)的原則,有利于初學(xué)者掌握基礎(chǔ)知識,并逐步深入,同時完善與其他課程銜接的連貫性,滿足不同專業(yè)學(xué)生的需要.

數(shù)學(xué)分析B系列的教材《數(shù)學(xué)分析講義》就是按照分層級結(jié)構(gòu)編寫的,既保證各章節(jié)內(nèi)容的邏輯性,還保證整體水平不降低;既保證基礎(chǔ)層級的相對完整性,又使得提高層級在內(nèi)容、方法和觀念的廣度和深度上有所提高.選擇非數(shù)學(xué)類專業(yè)的學(xué)生,在完成第1,2冊的學(xué)習(xí)之后,已具備甚至超過傳統(tǒng)微積分或高等數(shù)學(xué)的知識水平,可不再修第3冊.對于選擇數(shù)學(xué)類專業(yè)的學(xué)生,要繼續(xù)學(xué)習(xí)第3冊,可使數(shù)學(xué)分析的水平總體達(dá)到甚至超過通過傳統(tǒng)方式所達(dá)到的水平.該課程從設(shè)置結(jié)構(gòu)和內(nèi)容分層級越來越完善.

3 課程教學(xué)實踐

自2020年以來,全校開設(shè)數(shù)學(xué)分析B1,B2的課堂共16個,可線上線下同步教學(xué),每節(jié)課都有錄播課,可隨時回放.每個課堂都是2至3個助教(都是數(shù)學(xué)專業(yè)的研究生或博士生),他們隨堂聽課,隨時在線答疑,每周都有習(xí)題課.總之,配有完善的助教輔導(dǎo)團(tuán)隊.現(xiàn)在本課程的課堂實行不置課,全校一年級學(xué)生可以在選課時間段內(nèi)自由選課堂,每個課堂幾乎包含了全校各個學(xué)院和專業(yè)的學(xué)生,大家既可以相互交流,又可以為以后交叉研究建立聯(lián)系.數(shù)學(xué)分析B3課堂有2個,其中不乏有一些酷愛數(shù)學(xué),且數(shù)學(xué)基礎(chǔ)非常扎實的學(xué)生,有的甚至在丘成桐大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中獲得很好的成績,將繼續(xù)數(shù)學(xué)理論或應(yīng)用的研究工作.課程組的授課老師來自各個不同的數(shù)學(xué)專業(yè)方向,從事著不同的科研課題,把各自領(lǐng)域研究的問題與經(jīng)典微積分的聯(lián)系,在課堂上和課外介紹給學(xué)生,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)以致用的素養(yǎng),提高他們學(xué)習(xí)興趣、開闊視野,這也是中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)建校的優(yōu)良傳統(tǒng).

當(dāng)然也有一些專業(yè)的學(xué)生,比如生命學(xué)院和化學(xué)學(xué)院,可能由于本學(xué)院課程設(shè)置原因,實驗多,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時間不足,不能及時完成作業(yè),跟不上老師的節(jié)奏,導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析比較吃力,掛科率高.課程組的建議是這部分學(xué)生直接選微積分系列的課程,而且每學(xué)期初前兩周是可以自由選課堂及個性化選課,這也是學(xué)校因材施教的舉措,還不影響后期選課和轉(zhuǎn)專業(yè).不管是學(xué)校層面,還是學(xué)院、系層面,對本科生的選課和轉(zhuǎn)專業(yè)給予很大的自由度和支持力度,這也是中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)的辦學(xué)特色.

本課程是大學(xué)一年級基礎(chǔ)的課程之一,一直以來深受學(xué)生歡迎,學(xué)生評價較高.在每學(xué)期學(xué)生評價中,始終處于全校所有課程的前列.近年來,數(shù)學(xué)分析課程組組長李平教授主持了“英才班數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)與研究”及2019年“非數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析和微積分教學(xué)團(tuán)隊建設(shè)”的省級教學(xué)項目.陳卿教授主持了“微積分類課程國家級教學(xué)團(tuán)隊建設(shè)”及“國家級精品資源共享課程建設(shè)”項目.程藝教授2005年主持了“大學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng)體系建設(shè)與實踐”項目,并獲國家教學(xué)成果將二等獎,2019年“微積分和數(shù)學(xué)分析”課程建設(shè),及2023年國家一流課程數(shù)學(xué)分析B的建設(shè),逐步推動“分層教學(xué)”模式的改革,努力把該課程打造成一流人才培養(yǎng)的精品課.

4 結(jié) 論

數(shù)學(xué)分析B課程是順應(yīng)教學(xué)改革,探索“分層教學(xué)”模式的過程中,開設(shè)的分析類課程.本課程是覆蓋面最廣、學(xué)時最長、學(xué)分最多、難度最大、結(jié)構(gòu)最復(fù)雜的公共基礎(chǔ)課程,面向全校一年級全體本科生.以“前期不按專業(yè)分類、尊重學(xué)生專業(yè)選擇、強(qiáng)化數(shù)理基礎(chǔ)訓(xùn)練”為指導(dǎo)思想,為大學(xué)一、二年級學(xué)生搭建一個堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)平臺,滿足學(xué)生選擇不同專業(yè)的需求.從課程的設(shè)置與發(fā)展、分層設(shè)計及教學(xué)實踐情況看,本課程很好地體現(xiàn)了“因材施教、循序漸進(jìn)”的教育理念,遵循“學(xué)其所愛,愛其所學(xué)”的學(xué)習(xí)主旨.既契合了各專業(yè)拔尖人才培養(yǎng)需要,又能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和主動性,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力,使學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)思想和方法融合于其專業(yè)領(lǐng)域,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力,使其成為社會各領(lǐng)域的復(fù)合型、交叉型、創(chuàng)新型人才.希望本課程的改革經(jīng)驗?zāi)転楦嗟脑盒Ｌ峁┙梃b作用.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.