許文俊,王錫淮

(上海海事大學(xué)物流工程學(xué)院,上海 201306)

1 引言

粒子群優(yōu)化PSO(Particle Swarm Optimization)算法是Kennedy等[1,2]于1995年提出的一種生物啟發(fā)式算法。PSO模擬鳥群和魚群的覓食行為,通過群體中個體的自身認(rèn)知和個體之間的信息交流來實現(xiàn)在解空間內(nèi)的尋優(yōu)操作。PSO具有收斂性好、結(jié)構(gòu)簡單、需要設(shè)置的參數(shù)少等優(yōu)點,一經(jīng)提出就得到了國內(nèi)外研究人員的關(guān)注,現(xiàn)已在微電網(wǎng)運行優(yōu)化[3]、圖像處理[4]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[5]和調(diào)度問題[6]等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。但是,PSO在應(yīng)用中也暴露出不少缺點,如:容易陷入局部最優(yōu)、收斂速度慢、搜索精度不高和魯棒性較差等[7]。針對PSO的不足,國內(nèi)外研究人員進(jìn)行了大量研究,對PSO進(jìn)行了諸多改進(jìn)與優(yōu)化。Zhang等[8]針對PSO收斂速度慢的問題,提出基于黑洞機制的PSO——RBHPSO(Random Black Hole Particle Swarm Optimization)算法,通過黑洞的吸引使粒子快速到達(dá)全局最優(yōu)附近,增強了算法的全局探索能力。蔣麗等[9]為了提高PSO的群體多樣性、改善算法易陷入局部最優(yōu)等缺陷,在二階振蕩PSO的振蕩環(huán)節(jié)采用互不相同的參數(shù)取值來調(diào)節(jié)PSO的全局和局部搜索能力,進(jìn)一步提高算法的尋優(yōu)能力。胡錦帆等[10]提出了基于單純形搜索的PSO,通過自適應(yīng)策略確定PSO的慣性權(quán)重,同時利用單純形搜索來引導(dǎo)粒子的搜索方向,提高了PSO的收斂速度和求解精度。Mahfouf等[11]在PSO中引入了自適應(yīng)慣性權(quán)重和加速因子,增強了PSO的全局搜索能力,同時為算法跳出局部最優(yōu)提供了有效的機制。Du等[12]針對PSO收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)的問題,提出了一種基于Levy飛行機制的改進(jìn)自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法,通過Levy飛行的跳躍幫助算法逃離局部最優(yōu),增強了PSO的收斂速度與收斂精度。

為了克服PSO收斂速度慢、易早熟收斂的問題,本文提出了基于變尺度黑洞和種群遷徙的PSO——IRBHPSO(Improved Random Black Hole Particle Swarm Optimization)算法。其思路是引入變尺度黑洞來平衡全局探索和局部尋優(yōu)的權(quán)重;引入基于混合策略的位移系數(shù),增強算法在迭代前期的收斂速度和迭代后期的局部尋優(yōu)能力;把基于種群遷徙的蝴蝶優(yōu)化算法BOA (Butterfly Optimization Algorithm)[13]作為局部算子融入PSO中,改善了PSO收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)的問題?；?2個基準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行仿真實驗以及Wilcoxon秩和檢驗。實驗結(jié)果表明,本文所提IRBHPSO改善了PSO收斂速度慢、易早熟收斂的問題,增強了PSO的全局探索能力和局部尋優(yōu)能力,驗證了IRBHPSO的優(yōu)越性和本文所提改進(jìn)策略的有效性。

2 粒子群優(yōu)化算法

2.1 基本粒子群優(yōu)化算法

PSO采用的是速度-位置搜索模型,PSO忽略掉粒子的質(zhì)量與體積,按照一定速度飛行,根據(jù)自身經(jīng)驗與群體經(jīng)驗更新速度與位置[14]。在每次迭代過程中,粒子都會向著2個最優(yōu)粒子移動,一個是粒子本身在迭代過程中搜尋到的最優(yōu)點,即個體最優(yōu)pbest,另一個是所有粒子在迭代過程中搜尋到的最優(yōu)點,即全局最優(yōu)gbest。所有粒子的速度和位置分別按照式(1)和式(2)更新:

v(t+1)=

ωv(t)+c1r1(pbest-x(t))+c2r2(gbest-x(t))

(1)

x(t+1)=x(t)+v(t+1)

(2)

其中,v(t)和v(t+1)分別為粒子在第t次和第t+1次迭代時的速度;x(t)和x(t+1)分別為粒子在第t次和第t+1次迭代時的位置;pbest為粒子的個體最優(yōu)位置;gbest為粒子的全局最優(yōu)位置;ω為慣性權(quán)重;c1和c2為學(xué)習(xí)因子;r1和r2為[0,1]的隨機數(shù)。

2.2 黑洞機制

黑洞機制保留原位置更新策略,同時引入一種新的位置更新策略,通過黑洞吸引概率P在2種位置更新策略中選擇。新的位置更新策略在以全局最優(yōu)gbest為球心、R為半徑的區(qū)域內(nèi)設(shè)定一個假想黑洞,以黑洞吸引概率P表示黑洞對粒子吸引的能力。對于[0,1]的隨機數(shù)L,如果L

(3)

其中,gbest為全局最優(yōu),R為黑洞的半徑,L和r3為[0,1]的隨機數(shù),P為黑洞吸引概率。

3 改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法

3.1 變尺度黑洞

黑洞機制通過假想黑洞的吸引使得粒子快速移動至全局最優(yōu)附近,從而實現(xiàn)算法的快速尋優(yōu)。黑洞機制增強了算法的全局探索能力,但該策略會使粒子過早到達(dá)全局最優(yōu)附近,增加粒子陷入局部最優(yōu)的可能性。RBHPSO雖然提高了PSO的收斂速度,但是并未改善PSO易早熟收斂的問題。綜上,本文提出變尺度黑洞來平衡全局探索和局部尋優(yōu)的權(quán)重,變尺度黑洞具體實現(xiàn)如式(4)所示:

(4)

其中,Rstart和Rend分別為變尺度黑洞半徑Rc的迭代初始值和迭代最終值;t為當(dāng)前迭代次數(shù);T為算法最大迭代次數(shù)。

變尺度黑洞機制對黑洞半徑進(jìn)行改進(jìn),使其可以隨著迭代次數(shù)的增加而線性減小。變尺度黑洞保留了黑洞機制較強的全局探索能力,同時平衡了算法的全局探索和局部尋優(yōu)的權(quán)重。在迭代前期,粒子被黑洞吸引后,移動至當(dāng)前全局最優(yōu)附近。由于當(dāng)前黑洞半徑較大,則粒子距離當(dāng)前全局最優(yōu)較遠(yuǎn),算法陷入局部最優(yōu)的可能性較低;在迭代后期,當(dāng)粒子被黑洞吸引,粒子移動至全局最優(yōu)附近。由于此時黑洞半徑較小,并且當(dāng)前全局最優(yōu)已經(jīng)非常接近理論最優(yōu),粒子可以在局部區(qū)域內(nèi)仔細(xì)尋優(yōu),算法的局部尋優(yōu)能力得到改善。

3.2 基于混合策略的位移系數(shù)

在PSO的位置更新策略中,粒子位置的系數(shù)始終為1。固定的位移系數(shù)使得在迭代前期,粒子無法以較大的位移進(jìn)行全局搜索,無法快速收斂;在迭代后期,粒子已經(jīng)移動至全局最優(yōu)附近,此時粒子又以較大的步長在全局最優(yōu)附近大幅度移動,易錯過全局最優(yōu)值。位移系數(shù)始終為1會導(dǎo)致算法過度信賴已有解,同時削弱了算法潛在的全局尋優(yōu)能力,放大了PSO局部尋優(yōu)能力弱的缺點。基于上述分析,本文提出一種基于線性遞減和混沌映射的位移系數(shù)β,簡稱基于混合策略的位移系數(shù),基于混合策略的位移系數(shù)具體實現(xiàn)如式(5)～式(9)所示:

β=β1+β2

(5)

(6)

(7)

(8)

x(t+1)=β·x(t)+v(t+1)

(9)

其中,β1為線性遞減的位移系數(shù),β1s為β1的迭代初始值,β1e為β1的迭代最終值,St為正弦混沌映射,β2為基于正弦映射的位移系數(shù),β為基于混合策略的位移系數(shù)。

基于混合策略的位移系數(shù)β受到線性遞減策略和正弦混沌映射的作用,隨著迭代次數(shù)的增加而非線性地減小。在迭代前期,β1較大,β2的比重較小,此時粒子的位移系數(shù)大于1,粒子在解空間內(nèi)快速尋優(yōu),較大的步長可以加速粒子移動至全局最優(yōu)附近,增強算法的收斂能力;在迭代后期,β1較小,β2的比重增大,此時粒子的位移系數(shù)較小,且在一定范圍內(nèi)混沌地變化。粒子以較小的位移在局部范圍內(nèi)仔細(xì)尋優(yōu),提高算法的收斂精度。并且若粒子陷入局部最優(yōu),在β2的作用下,粒子可以借助變化的位移逃離局部最優(yōu),有效增強了算法的局部尋優(yōu)能力。

3.3 種群遷徙的BOA

蝴蝶優(yōu)化算法BOA是Arora等[13]于2019年提出的啟發(fā)式優(yōu)化算法。BOA是受到自然界中蝴蝶通過自身的感知器官分辨食物的位置的啟發(fā)而提出的。BOA參數(shù)少、原理簡單、易于實現(xiàn)。在研究中發(fā)現(xiàn),BOA的收斂速度和尋優(yōu)精度要明顯優(yōu)于PSO[15]的。

BOA中的蝴蝶個體強調(diào)個體本身的搜索,降低了由于精英個體的錯誤引導(dǎo)而導(dǎo)致群體陷入局部最優(yōu)的可能性。但是,BOA缺乏有效的加速收斂機制,導(dǎo)致其收斂速度依然較慢。為了改善PSO收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)等問題,本文提出基于種群遷徙的BOA,將其作為局部算子融入PSO的位置更新公式中,改進(jìn)后的位置更新公式如式(10)～式(13)所示:

x(t+1)=

(10)

f=C·Iγ

(11)

Lt+1=μ·Lt·(1-Lt)

(12)

(13)

其中,rand為[0,1]的隨機數(shù);f為蝴蝶產(chǎn)生的香味;C、I和γ分別為蝴蝶的感覺因子、香味的刺激強度和冪指數(shù);xa(t)和xb(t)分別為隨機生成的第a和第b只蝴蝶在第t次迭代的位置;P1～P3為選擇概率;Lt為logistic映射;μ=4;xp(t+1)為蝴蝶個體經(jīng)過種群遷徙后的位置。

在基于變尺度黑洞的PSO中加入基于種群遷徙的BOA算子,既保留了變尺度黑洞機制較強的全局尋優(yōu)能力,又在BOA的作用下強調(diào)種群中個體自身的尋優(yōu),增強了算法的局部尋優(yōu)能力,克服了PSO易早熟、易陷入局部最優(yōu)的缺點。同時,在種群遷徙的作用下,通過全局最優(yōu)解和更新后的位置引導(dǎo)種群整體向全局最優(yōu)靠近,增加了算法的收斂速度,為算法提供了一種有效的加速收斂機制,增強了算法的全局收斂能力。

這種基于變尺度黑洞、混合策略的位移系數(shù)和以種群遷徙的BOA為局部算子的PSO稱為改進(jìn)RBHPSO,簡稱IRBHPSO。

3.4 算法步驟

本文提出的IRBHPSO尋優(yōu)步驟如下所示:

步驟1種群初始化:隨機生成含有N個粒子的種群,對粒子的速度和位置進(jìn)行初始化。

步驟2根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)計算出粒子的適應(yīng)度值,選擇出個體最優(yōu)和全局最優(yōu)。

步驟3按照式(8)和式(12)更新正弦映射和logistic映射。

步驟4按照式(4)和式(5)更新變尺度黑洞半徑Rc和基于混合策略的位移系數(shù)β。

步驟5粒子按照式(1)和式(10)更新粒子的速度和位置。

步驟6按照式(13)進(jìn)行種群遷徙。

步驟7更新粒子的適應(yīng)度值,并重新選擇個體最優(yōu)和全局最優(yōu)。

步驟8判斷當(dāng)前運算是否滿足停止條件,如果滿足,輸出最優(yōu)結(jié)果,終止運算;若不滿足,則跳轉(zhuǎn)到步驟3繼續(xù)運算。

IRBHPSO算法流程圖如圖1所示。

Figure 1 Flow chart of IRBHPSO圖1 IRBHPSO流程圖

3.5 IRBHPSO的時間復(fù)雜度分析

設(shè)粒子群的規(guī)模為N,算法最大迭代次數(shù)為T,搜索空間的維度為D,根據(jù)IRBHPSO的描述和時間復(fù)雜度的運算規(guī)則,增加變尺度黑洞的時間復(fù)雜度為O(N·D·T);增加基于混合策略的位移系數(shù)的時間復(fù)雜度為O(N·D·T);增加基于種群遷徙的BOA算子的時間復(fù)雜度為O(N·D·T)。所以,IRBHPSO總的時間復(fù)雜度為O(N·D·T)。因此,相較于PSO,IRBHPSO的時間復(fù)雜度并未增加,沒有增加計算負(fù)擔(dān)。

4 實驗與結(jié)果分析

4.1 實驗設(shè)計與基準(zhǔn)測試函數(shù)

為了驗證本文提出的IRBHPSO的優(yōu)越性和改進(jìn)策略的有效性,對12個基準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行仿真實驗。實驗所用基準(zhǔn)測試函數(shù)包括4個單模態(tài)基準(zhǔn)測試函數(shù)、4個多模態(tài)基準(zhǔn)測試函數(shù)和4個復(fù)合基準(zhǔn)測試函數(shù)。各個基準(zhǔn)測試函數(shù)的相關(guān)信息如表1所示。

4.2 算法參數(shù)設(shè)置

本文在Intel?i7-5500 CPU@2.40 GHz, 內(nèi)存為8.00 GB,Windows 10操作系統(tǒng)和MATLAB 2016a的環(huán)境下對文中所提所有算法進(jìn)行仿真實驗。

本文選取PSO、引力搜索算法GSA (Gravitational Search Algorithm)[16]、RBHPSO、BOA和IRBHPSO進(jìn)行仿真實驗。為了使實驗結(jié)果可信、客觀,設(shè)本文所有實驗算法的種群規(guī)模N=30,算法最大迭代次數(shù)T=1000,算法其他主要參數(shù)如表2所示。

4.3 IRBHPSO性能分析

為了驗證IRBHPSO的優(yōu)越性,本節(jié)列出PSO、GSA、RBHPSO、BOA及IRBHPSO在12個基準(zhǔn)測試函數(shù)上獨立運行30次得到的尋優(yōu)結(jié)果的最優(yōu)值(best)、最差值(worst)、平均值(mean)和標(biāo)準(zhǔn)差(std),不同算法的尋優(yōu)結(jié)果對比如表3所示。

4.3.1 IRBHPSO收斂精度分析

從表3可知,在f1、f2、f3、f4、f5、f6、f7、f8和f10上,相較于PSO,IRBHPSO的收斂精度高出多個數(shù)量級,并且IRBHPSO在f7上直接收斂至理論最優(yōu),以上表明IRBHPSO可以有效克服PSO易早熟、易陷入局部最優(yōu)的缺點;在f11和f12上,IRBHPSO和PSO都收斂至理論最小值附近,兩者收斂精度的數(shù)量級相同,表明IRBHPSO和PSO在f11和f12上的收斂能力基本一致。在f9上,IRBHPSO表現(xiàn)較差,PSO的收斂精度高出IRBHPSO的3個數(shù)量級,IRBHPSO未能產(chǎn)生較好的優(yōu)化效果。根據(jù)無免費午餐NFL(No-Free-Lunch)[17,18]定理,在有限的搜索空間,對于任意2種算法,它們的期望性能是相同的,也就是說,針對某個具體的優(yōu)化問題,在該問題上表現(xiàn)好的算法,在其他問題上的表現(xiàn)也可能不盡如人意?；谝陨戏治?IRBHPSO在大部分函數(shù)上的收斂精度均較高,但是在f9上的收斂精度較差,這種現(xiàn)象是可以接受的。綜上所述,本文提出的IRBHPSO可以克服PSO易早熟、易陷入局部最優(yōu)的缺點,有效提高了PSO的收斂精度。

Table 1 Benchmark test functions表1 基準(zhǔn)測試函數(shù)

Table 2 Main parameters of each algorithm表2 算法的主要參數(shù)

相較于RBHPSO,IRBHPSO表現(xiàn)出了優(yōu)良的收斂精度。除f9外,IRBHPSO的收斂精度高于RBHPSO的,表明IRBHPSO的收斂精度相較于RBHPSO的得到了提升。對比其他經(jīng)典尋優(yōu)算法(GSA和BOA),IRBHPSO依舊表現(xiàn)優(yōu)異。在f1、f2、f3、f5、f6、f8和f10上,IRBHPSO的收斂精度提升多個數(shù)量級。在f4、f11和f12上,IRBHPSO的收斂精度與GSA和BOA的基本持平。在f7上,IRBHPSO的收斂精度高于GSA的,但低于BOA的。IRBHPSO僅在f9上的收斂精度低于GSA和BOA的。

綜上所述,IRBHPSO無論是相較于PSO、改進(jìn)PSO(RBHPSO)還是其他尋優(yōu)算法(GSA和BOA),其收斂精度都處于較高水平,表明本文提出的IRBHPSO可以有效克服PSO易早熟、易陷入局部最優(yōu)的缺點,驗證了IRBHPSO在收斂精度上的優(yōu)越性。

Table 3 Comparison of optimization results of PSO and related algorithms表3 PSO與相關(guān)算法尋優(yōu)結(jié)果對比

4.3.2 IRBHPSO收斂速度分析

由于篇幅限制,同時為了直觀展示不同算法的尋優(yōu)過程、比較各算法的收斂速度,本節(jié)選取5種算法對f1、f2、f3、f4、f6、f7和f10的迭代進(jìn)化曲線,如圖2～圖8所示。f1～f4為單峰函數(shù),此類函數(shù)比較容易達(dá)到最優(yōu)值;f6、f7和f10為多峰函數(shù),此類函數(shù)具有較多局部最優(yōu),易使算法過早收斂。對于f1～f4,從圖2～圖5可以直觀看出,IRBHPSO的收斂速度遠(yuǎn)大于PSO、GSA、RBHPSO和BOA的收斂速度,表明IRBHPSO在面對單峰函數(shù)時具有較好的全局收斂能力;對于f6、f7和f10,IRBHPSO依舊表現(xiàn)出了較強的收斂性能。從圖6～圖8可以看出,IRBHPSO的收斂速度快于或約等于其他4種算法的,表明IRBHPSO在面對復(fù)雜函數(shù)時依然可以進(jìn)行很有效的全局尋優(yōu)。

綜上,在單峰函數(shù)和多峰函數(shù)上,IRBHPSO都表現(xiàn)出了較強的全局探索性能,證明IRBHPSO改善了PSO收斂速度慢的問題,增強了算法的全局探索能力,驗證了IRBHPSO在收斂速度上的優(yōu)越性。

Figure 2 Iterative evolution curves of PSO and related algorithms on f1圖2 PSO與相關(guān)算法對f1的迭代進(jìn)化曲線

Figure 5 Iterative evolution curves of PSO and related algorithms on f4圖5 PSO與相關(guān)算法對f4的迭代進(jìn)化曲線

Figure 6 Iterative evolution curves of PSO and related algorithms on f6圖6 PSO與相關(guān)算法對f6的迭代進(jìn)化曲線

Figure 7 Iterative evolution curves of PSO and related algorithms on f7圖7 PSO與相關(guān)算法對f7的迭代進(jìn)化曲線

Figure 8 Iterative evolution curves of PSO and related algorithms on f10圖8 PSO與相關(guān)算法對f10的迭代進(jìn)化曲線

4.3.3 IRBHPSO穩(wěn)定性分析

算法的穩(wěn)定性也是算法尋優(yōu)能力的重要體現(xiàn)。為了進(jìn)一步驗證IRBHPSO的優(yōu)越性,本節(jié)比較了表3中各算法對不同基準(zhǔn)測試函數(shù)運行結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差。

從表3可知,除f9、f11和f12外,在其他基準(zhǔn)測試函數(shù)上,IRBHPSO運行結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差都小于或者約等于PSO運行結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差,表明IRBHPSO具有較好的穩(wěn)定性和魯棒性。在f11和f12上,雖然IRBHPSO的標(biāo)準(zhǔn)差不及PSO的,但是依然保持了較高的水平,IRBHPSO的穩(wěn)定性和魯棒性依舊較好。僅在f9上,IRBHPSO的標(biāo)準(zhǔn)差與PSO的相差較大,穩(wěn)定性差于PSO的。綜上,IRBHPSO在11個基準(zhǔn)測試函數(shù)上都具有較好的穩(wěn)定性,并且在9個基準(zhǔn)測試函數(shù)上的穩(wěn)定性優(yōu)于PSO的,以上表明IRBHPSO的穩(wěn)定性對比PSO的得到了較大的提升。IRBHPSO的良好穩(wěn)定性是因為本文引入的3種改進(jìn)策略平衡了算法的全局探索能力和局部尋優(yōu)能力,使得IRBHPSO在相同的實驗次數(shù)下可以更多次以更高的精度收斂到理想最優(yōu)值附近,提高了算法的穩(wěn)定性,在面對復(fù)雜問題時可以更好地尋優(yōu)。

綜合考慮算法收斂精度、收斂速度以及穩(wěn)定性,在f1、f2、f3、f4、f5、f6、f7、f8和f10上,IRBHPSO的評價指標(biāo)值都優(yōu)于PSO的;在f11和f12上,雖然IRBHPSO的穩(wěn)定性不如PSO的,但是IRBHPSO的收斂精度與PSO的基本相同,仍有較高水平;僅在f9上,IRBHPSO未展現(xiàn)出較好的優(yōu)化效果。以上結(jié)論表明,IRBHPSO克服了PSO收斂速度慢和易早熟、易陷入局部最優(yōu)等缺點,提高了算法的收斂精度和收斂速度,增強了算法的穩(wěn)定性,驗證了IRBHPSO的優(yōu)越性和本文所提改進(jìn)策略的有效性。

4.4 不同改進(jìn)策略對比

為了展示不同的改進(jìn)策略對PSO尋優(yōu)能力的影響,進(jìn)一步驗證所提改進(jìn)策略的有效性。本節(jié)將結(jié)合變尺度黑洞的PSO命名為PSO1,將結(jié)合混合策略位移系數(shù)的PSO命名為PSO2,將結(jié)合種群遷徙的BOA算子的PSO命名為PSO3。選取f1、f2、f5和f6,用PSO、PSO1、PSO2和PSO3分別對f1、f2、f5、f6獨立運行30次,得到各算法對基準(zhǔn)測試函數(shù)運行結(jié)果的平均值(mean)、最優(yōu)值(best)和標(biāo)準(zhǔn)差(std),如表4所示。為了比較改進(jìn)策略對算法收斂速度的影響,本節(jié)列出各算法對不同基準(zhǔn)測試函數(shù)的迭代進(jìn)化曲線,如圖9～圖12所示。

Table 4 Comparison ofoptimization results of PSO and single-strategy improved PSO algorithms表4 PSO與單策略改進(jìn)PSO算法尋優(yōu)結(jié)果對比

考慮算法的收斂精度,由表4可知,除PSO3對f5的優(yōu)化結(jié)果,其他單策略改進(jìn)的PSO對f1、f2、f5和f6的收斂精度相較于PSO的均得到了提升或者持平。同時,從表4還可以看出,PSO1的收斂精度是3種改進(jìn)算法中最差的,但其收斂精度相較于PSO的仍有一定的提升。綜上,PSO1、PSO2和PSO3的收斂精度相較于PSO的都得到了一定的提升,表明本文所提的3種改進(jìn)策略都可以在一定程度上提高算法的收斂精度,驗證了所提改進(jìn)策略的有效性。

考慮算法收斂速度,從圖9～圖12中可以看出,PSO3在f1、f2、f5和f6上收斂速度極快,PSO1和PSO2的收斂速度略優(yōu)于PSO的,表明本文所提改進(jìn)策略可以有效改善PSO收斂速度慢的問題,增強算法的全局尋優(yōu)能力,表明在本文所提3種改進(jìn)策略中,PSO3中的策略在提升算法收斂速度上發(fā)揮了主要作用。

Figure 9 Iterative evolution curves of PSO and single-strategy improved PSO algorithms on f1圖9 PSO與單策略改進(jìn)PSO算法對f1的迭代進(jìn)化曲線

Figure 11 Iterative evolution curves of PSO and single-strategy improved PSO algorithms on f5圖11 PSO與單策略改進(jìn)PSO算法對f5的迭代進(jìn)化曲線

Figure 12 Iterative evolution curves of PSO and single-strategy improved PSO algorithms on f6圖12 PSO與單策略改進(jìn)PSO算法對f6的迭代進(jìn)化曲線

考慮算法穩(wěn)定性,從表4可知,除PSO3對f5運行結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差外,3種改進(jìn)算法運行結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差都低于PSO運行結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差,表明本文所提的改進(jìn)算法比PSO更穩(wěn)定,可以更有效地進(jìn)行尋優(yōu)。雖然PSO3對f5運行結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差較大,但PSO3在f1、f2和f6上的標(biāo)準(zhǔn)差均小于PSO的標(biāo)準(zhǔn)差,表明PSO3中的改進(jìn)策略可以有效提高算法的穩(wěn)定性。所以,從總體上說,3種改進(jìn)策略都可以提升PSO的穩(wěn)定性,驗證了本文所提策略的有效性。

綜上,從3個評價指標(biāo)的實驗結(jié)果可以看出,本文所提的3種改進(jìn)策略都可以在一定程度上提升算法收斂精度、收斂速度和穩(wěn)定性,改善了PSO收斂速度慢和易早熟、易陷入局部最優(yōu)的問題,驗證了本文所提3種改進(jìn)策略的有效性。

4.5 Wilcoxon秩和檢驗

為了進(jìn)一步驗證IRBHPSO的優(yōu)越性和本文所提改進(jìn)策略的有效性,本節(jié)采用Wilcoxon秩和檢驗[19]進(jìn)行統(tǒng)計分析,判斷比較IRBHPSO與其他算法之間是否有顯著性差異。將PSO、GSA、RBHPSO、BOA以及IRBHPSO分別在f1～f12上獨立運行15次,將IRBHPSO的15次尋優(yōu)結(jié)果分別與PSO、GSA、RBHPSO和BOA進(jìn)行Wilcoxon秩和檢驗,設(shè)置顯著水平為0.05。Wilcoxon秩和檢驗結(jié)果分析結(jié)果如表5所示。其中,H為檢驗的結(jié)果,W為顯著性判斷結(jié)果。若H<0.05,W為“+”,表明IRBHPSO的尋優(yōu)結(jié)果顯著性優(yōu)于其他算法的;若H>0.05,W為“-”,表明IRBHPSO的尋優(yōu)結(jié)果與其他算法的無顯著性差異;若H=NaN,W為“”,表明無法進(jìn)行顯著性判斷。

從表5可以看出,在f1、f2、f3、f4、f6和f7上,相較于其他算法,IRBHPSO的尋優(yōu)結(jié)果具有顯著性的優(yōu)勢。對于f5,IRBHPSO的尋優(yōu)結(jié)果與GSA、RBHPSO的相比沒有顯著性優(yōu)勢,但是相較于PSO的仍有顯著性優(yōu)勢,表明IRBHPSO的尋優(yōu)性能依舊優(yōu)于PSO的。對于f8,除RBHPSO的尋優(yōu)結(jié)果,IRBHPSO相較于其他算法的尋優(yōu)結(jié)果均有顯著性優(yōu)勢。對于f9,雖然IRBHPSO與4種算法對比的H值都很小,但這是因為在f9上IRBHPSO的表現(xiàn)較差,導(dǎo)致其他算法的尋優(yōu)結(jié)果顯著優(yōu)于IRBHPSO的,從而使得IRBHPSO與其他算法的尋優(yōu)結(jié)果有顯著性差異。在f10～f12上,IRBHPSO與其他算法對比的H值多為NaN或者大于0.05,這是因為復(fù)合基準(zhǔn)測試函數(shù)的維度都較小,算法容易收斂至理論最優(yōu)附近,導(dǎo)致不同算法的尋優(yōu)結(jié)果差距較小,而實際上所有算法都得到了較好的尋優(yōu)效果。綜上,IRBHPSO在單模態(tài)基準(zhǔn)測試函數(shù)上具有絕對的顯著性優(yōu)勢,在大部分多模態(tài)基準(zhǔn)測試函數(shù)上優(yōu)勢明顯,在復(fù)合基準(zhǔn)測試函數(shù)上有較高的收斂精度。以上結(jié)果表明,IRBHPSO相較于其他算法表現(xiàn)出了更好的尋優(yōu)性能,競爭優(yōu)勢明顯,驗證了IRBHPSO的優(yōu)越性和本文所提改進(jìn)策略的有效性。

Table 5 Results of Wilcoxon rank sum test 表5 Wilcoxon秩和檢驗結(jié)果

5 結(jié)束語

本文提出了一種基于變尺度黑洞和種群遷徙的PSO——IRBHPSO,在PSO的基礎(chǔ)上引入變尺度黑洞來平衡全局探索和局部尋優(yōu)的權(quán)重;在算法位置更新策略中加入基于混合策略的位移系數(shù),增強算法迭代前期的收斂能力和迭代后期的局部尋優(yōu)能力;將基于種群遷徙的BOA作為局部算子加入PSO中,改善了PSO收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)等問題。最后通過對基準(zhǔn)測試函數(shù)的仿真實驗和Wilcoxon秩和檢驗驗證了本文所提IRBHPSO的優(yōu)越性和改進(jìn)策略的有效性。IRBHPSO克服了PSO收斂速度慢和易早熟、易陷入局部最優(yōu)的缺點,在收斂精度和收斂速度上都有明顯的提升,體現(xiàn)出了算法優(yōu)異的全局探索能力和局部尋優(yōu)能力。由于IRBHPSO的研究處于初始階段,接下來將擴展本文算法在實際工程問題中的應(yīng)用,例如IRBHPSO在微電網(wǎng)日調(diào)度運行優(yōu)化、分布式電源配電網(wǎng)動態(tài)重構(gòu)和船舶微電網(wǎng)故障重構(gòu)等任務(wù)中的應(yīng)用。