楊元韡

(江蘇省常州高級(jí)中學(xué) 213003)

數(shù)學(xué)檢測(cè)是評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量的重要方式,數(shù)學(xué)檢測(cè)離不開(kāi)具有較高信度、效度和區(qū)分度的高質(zhì)量的試題．因此,試題命制是日常數(shù)學(xué)教學(xué)的重要部分,同時(shí)也是教師重要的基本功之一．試題命制是一項(xiàng)創(chuàng)造性的勞動(dòng),往往需要經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、聯(lián)想、探究、構(gòu)思等一系列復(fù)雜過(guò)程．試題命制主要有基于母題的改編式命制與原創(chuàng)命制兩種類型,相對(duì)而言,基于母題的改編式命制更為容易些,值得一線教師去嘗試．通過(guò)試題的改編式命制,教師往往更能高屋建瓴地看待數(shù)學(xué)問(wèn)題,更能從復(fù)雜的問(wèn)題中析出深刻的背景,因此試題命制是提升教師專業(yè)素養(yǎng)很好的途徑．下文筆者將結(jié)合2022—2023學(xué)年第二學(xué)期常州市教育學(xué)會(huì)學(xué)業(yè)水平檢測(cè)高一數(shù)學(xué)卷的兩道解三角形試題的命制過(guò)程,談一談自己的思考．

1 第1道解三角形試題的命制過(guò)程

母題1 已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=c-2acosB．

(1)證明:B=2A;

母題2 (多選)在△ABC中,若a∶b∶c=4∶ 5∶6,下列結(jié)論中正確的有( ).

A．sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6

B．△ABC是鈍角三角形

C．△ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍

背景挖掘 母題1的第(1)問(wèn)由條件a=c-2acosB證明B=2A,第(2)問(wèn)又給出其他兩個(gè)邊的條件,求三角形面積,母題1是一道比較常規(guī)的解三角形問(wèn)題．母題1給出了B=2A的一個(gè)充分條件a=c-2acosB．母題2的各選項(xiàng)維度不一,但是引起筆者興趣的是選項(xiàng)C(為正確選項(xiàng))．據(jù)此,確定命題背景:邊長(zhǎng)之比為4∶5∶6的三角形的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍．

確定命題背景之后,展開(kāi)聯(lián)想,從不同的角度進(jìn)行嘗試,設(shè)定已知條件與問(wèn)題．

聯(lián)想與構(gòu)思1 以邊的關(guān)系為已知條件,以角的關(guān)系為問(wèn)題,擬定下列試題1．

試題1已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足下列條件中的一個(gè):① sinA∶sinB∶sinC=4∶6∶5;②a=c-2acosB．

若選擇條件(在條件①,②中選擇一個(gè)),求證:B=2A．

聯(lián)想與構(gòu)思2 以角的關(guān)系和部分邊的關(guān)系為已知條件,以求角或求邊為問(wèn)題,擬定下列試題2．

試題2已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且B=2A,3a=2b,c=5．

(1)求cosB的值;

(2)求△ABC的周長(zhǎng)．

試題1,2評(píng)析試題1從兩個(gè)條件中選擇一個(gè)條件(條件的結(jié)構(gòu)不良),雖然維度不同,但試題本身略顯單薄;試題2主要的缺點(diǎn)在于,若將B=2A轉(zhuǎn)化為sinB=sin 2A,就會(huì)出現(xiàn)兩解的情況(兩者不等價(jià)造成的),要進(jìn)行舍解(過(guò)程參見(jiàn)下面定稿試題(1)解析),最后求出周長(zhǎng)．試題2就成為一道有“陷阱”的題目,學(xué)生很可能因?yàn)樗季S縝密性不夠而丟分．筆者對(duì)試題1,2都不滿意．

聯(lián)想與構(gòu)思3 結(jié)合母題2命制了第(1)小問(wèn)后,筆者將試題2的(2)仍作為第(2)問(wèn)．如何消除試題2中的“陷阱”?可讓學(xué)生先證明三角形的唯一性,再去求其周長(zhǎng),使學(xué)生明確取舍這一要求.據(jù)此命制如下定稿試題1,該題不設(shè)“陷阱”,還能從多個(gè)角度加以解決,不禁錮學(xué)生的思維．

定稿試題1(試卷第21題)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足下列條件中的一個(gè)或多個(gè):①a=c-2acosB;②B=2A;③ 3a=2b;④c=5．

(1)若△ABC滿足條件①,求證:△ABC滿足條件②;

(2)求證:同時(shí)滿足條件②,③,④的△ABC是唯一的,并求出其周長(zhǎng)．

解析 (1)由條件①,a=c-2acosB,根據(jù)正弦定理得sinA=sinC-2sinAcosB,因?yàn)锳+B+C=π,所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+ cosAsinB,所以sinA=cosAsinB-sinAcosB=sin(B-A)．因?yàn)?

綜上所述,同時(shí)滿足條件②,③,④的△ABC是唯一的,且a=4,b=6,c=5,故△ABC的周長(zhǎng)為15．

當(dāng)b=6時(shí),a=4,檢驗(yàn)過(guò)程同方法1,得△ABC同時(shí)滿足條件②,③,④;

綜上所述,同時(shí)滿足條件②,③,④的△ABC是唯一的,且a=4,b=6,c=5,故△ABC的周長(zhǎng)為15．

(方法3)先證明條件①與②等價(jià):根據(jù)(1)知,只需證明當(dāng)B=2A時(shí),有a=c-2acosB．

證明如下:因?yàn)锽=2A,所以A=B-A,所以sinA=sin(B-A),所以sinA=sinBcosA- cosBsinA,所以sinA=sin(A+B)-2cosBsinA,又A+B+C=π,所以sinA=sinC-2cosBsinA,根據(jù)正弦定理,a=c-2acosB.

綜上所述,同時(shí)滿足條件②,③,④的△ABC是唯一的,且a=4,b=6,c=5,故△ABC的周長(zhǎng)為15．

評(píng)析定稿試題1從內(nèi)容層面考查了正弦定理、余弦定理等數(shù)學(xué)基本知識(shí),從能力層面考查了轉(zhuǎn)化與化歸、推理與論證、數(shù)學(xué)計(jì)算等能力．本題入口較寬,方法多樣,可以從兩角相等出發(fā),利用兩角的正弦值相等或兩角的余弦值相等去尋找邊的方程,有效地訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.方法1、方法2中,利用正弦值相等出現(xiàn)多解的原因是B=2A與sinB=sin 2A并不等價(jià),前者是后者的充分不必要條件,檢驗(yàn)時(shí)舍去的情形恰是B+2A=π的情形;方法3中,根據(jù)第(1)問(wèn)的啟發(fā)進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化;方法4中,利用余弦值相等只有一解的原因是B=2A與cosB=cos 2A是等價(jià)的,其難點(diǎn)主要是解高次方程,可以用猜根的方式求得一解后再用因式分解來(lái)突破．

2 第2道解三角形試題的命制過(guò)程

圖1

(1)若∠BDC=45°,求線段AC的長(zhǎng);

(2)求線段AC長(zhǎng)的最大值．

聯(lián)想與構(gòu)思1 確定了命題背景之后,展開(kāi)聯(lián)想,改編條件,擬定下列試題3．

圖2

(2)試用θ表示對(duì)角線AC的長(zhǎng),并指出θ取何值時(shí)AC的長(zhǎng)最大．

在一次組內(nèi)教研活動(dòng)中,一位同事問(wèn)道:在一個(gè)解三角形問(wèn)題求解結(jié)果中,如果出現(xiàn)平面凹四邊形的情況要不要舍去?筆者一時(shí)難以回答,平面四邊形的確分為平面凸四邊形和平面凹四邊形,而高中階段學(xué)生往往遇到的是平面凸四邊形．

聯(lián)想與構(gòu)思2 同事問(wèn)的問(wèn)題觸發(fā)筆者的靈感,將試題3進(jìn)一步改編．以平面凸四邊形為背景,編擬如下的新情境題．

圖3 圖4 圖5

(1)求cosθ的取值范圍;

(2)試用θ表示對(duì)角線AC的長(zhǎng),并指出θ取何值時(shí)AC的長(zhǎng)最大．

3 對(duì)兩道試題命制過(guò)程的思考

3.1 立足背景,使試題命制的根基更扎實(shí)

在命題之前選好背景,使命制的試題題干中的對(duì)象至少是存在且相容的．有些時(shí)候,我們按照某種演繹推理的方式去解決某個(gè)問(wèn)題時(shí),也能得到相應(yīng)的結(jié)果,但很可能其大前提的條件之間就是自相矛盾的．如果事先選好背景,就可以避免出現(xiàn)這類不易被察覺(jué)的自相矛盾的情形．值得注意的是,選好背景之后還要仔細(xì)推敲,防止出現(xiàn)背景相對(duì)應(yīng)的情形之外還有其他情形,如果需要規(guī)避其他情形的出現(xiàn),命題時(shí)可加一些條件加以限制;如果不需要規(guī)避其他情形的出現(xiàn),則無(wú)需限制．例如,定稿試題1本身不會(huì)出現(xiàn)背景外的情形,因此也沒(méi)有給出額外的限制條件,但是方法1和2因?yàn)檗D(zhuǎn)化的不等價(jià)還是出現(xiàn)了其他情形,需要進(jìn)一步檢驗(yàn)排除．

3.2 積極聯(lián)想,使試題命制的維度更廣闊

根據(jù)背景積極聯(lián)想,應(yīng)盡可能多地進(jìn)行條件預(yù)設(shè)和問(wèn)題預(yù)設(shè),比較每一種預(yù)設(shè)的優(yōu)點(diǎn)與不足,選擇最佳的條件預(yù)設(shè)與問(wèn)題預(yù)設(shè),當(dāng)然這些最佳的預(yù)設(shè)也未必是唯一的．條件與問(wèn)題很多情況下是可以置換的,如交換部分條件與問(wèn)題的位置就可以得到新的問(wèn)題,這種置換常見(jiàn)于教學(xué)中變式題組的問(wèn)題設(shè)計(jì),也可以用于試題的命制．通過(guò)積極聯(lián)想,可以把一個(gè)題目通過(guò)不斷的變形,如置換部分條件與問(wèn)題,如弱化條件、變形引申、問(wèn)題一般化等,生成一個(gè)個(gè)生動(dòng)活潑的“衍生題”,讓試題命制的維度更為廣闊．

3.3 審慎構(gòu)思,使試題命制的預(yù)設(shè)更合理

審慎構(gòu)思,就是要對(duì)命制的試題的每一個(gè)條件與結(jié)論進(jìn)行構(gòu)思,并進(jìn)行細(xì)致入微的審核,避免出現(xiàn)多余條件或缺少條件的情況發(fā)生,還要“仿真模擬”學(xué)生的想法,即要對(duì)學(xué)生審題的過(guò)程、設(shè)計(jì)解題思路的過(guò)程、具體的表達(dá)過(guò)程等環(huán)節(jié)做好預(yù)判,思考學(xué)生如何尋找切入點(diǎn),如何轉(zhuǎn)化條件,如何轉(zhuǎn)換目標(biāo)等．同時(shí)也要注意,避免出現(xiàn)人為的“陷阱”題,讓試題更加有效地測(cè)試學(xué)生的核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力．例如,定稿試題1的唯一性證明目的在于規(guī)避這種“陷阱”的發(fā)生．

3.4 適度融合,使試題命制的內(nèi)涵更豐實(shí)

適度融合,包含知識(shí)之間的適度融合、方法之間的適度融合、情境與問(wèn)題之間的適度融合,等等,這樣可以使命題的內(nèi)涵更加豐實(shí)．例如知識(shí)之間的適度融合、方法之間的適度融合可以讓一題有多用,考查多個(gè)知識(shí)點(diǎn)或多種方法、情境與問(wèn)題之間的適度融合可以考查學(xué)生提取信息、加工信息、處理信息的能力以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力．定稿試題1將母題1和母題2的考查有機(jī)地融合在一起,定稿試題2將新情境植入具體問(wèn)題中,對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸能力的考查更加“濃墨重彩”．值得注意的是,適度融合必須在條件與問(wèn)題的表達(dá)上仔細(xì)推敲,避免出現(xiàn)題目生拼硬湊的現(xiàn)象．