陳少華 陳學軍

(北京科技大學應用力學系,北京 100083)

引言

涂層技術廣泛應用于工程構件以提高材料的表面性能,例如在航空領域,涂層技術可以有效延長發(fā)動機零部件的使用壽命[1].隨著服役工況要求的不斷提高,熱端零部件所承受的溫度越來越高,熱載荷作用方式越來越復雜.防護涂層承受的熱應力一旦超過其強度極限,表面將萌生邊緣裂紋.在循環(huán)熱載荷的作用下,邊緣裂紋將繼續(xù)擴展,導致涂層剝落甚至貫穿至基體內(nèi)部[2],嚴重影響涂層的防護性能.基于斷裂力學的觀點,可采用裂紋尖端的應力強度因子表征熱致裂紋擴展驅(qū)動力,從而有效預測和評估裂紋的擴展行為.

作為導熱理論的本構方程,經(jīng)典傅里葉定律建立了熱流密度與溫度梯度之間的線性關系,在處理熱致斷裂問題上發(fā)揮了重要作用[3-4].然而,傅里葉導熱方程隱含了無限大熱傳播速度的假定,適用于熱作用時間較長的傳熱過程.而對于極端傳熱過程(極高/低溫、微時空尺寸等),經(jīng)典傅里葉導熱模型的求解結(jié)果會出現(xiàn)偏差.Maurer 等[5]對薄板進行脈沖激光加熱后,表面溫度比傅里葉定律模型預測的溫度高約300 K;Tzou[6]的實驗表明,當時間尺度低至ps/Hs 或空間尺度低至μm/nm 時,傅里葉定律模型不再精確;Qiu 等[7]通對金屬涂層脈沖激光沖擊,實驗得到的反射率變化與采用傅里葉定律計算所得的數(shù)據(jù)相背離.

在對傅里葉導熱模型進行修正以描述上述瞬態(tài)熱傳導過程的研究中,考慮時滯效應的C-V (Cattaneo-Vernotte)模型[8]得到了廣泛使用.Wang 等[9-11]基于此模型得到了溫度場和熱應力場的解析解,評估了帶裂紋薄板和圓柱體的熱沖擊性能;Chen 等[12]基于C-V 模型獲得了熱彈性半無限板裂紋附近的瞬態(tài)熱應力場,并研究了相應的熱致斷裂問題.然而,C-V 模型自身也存在局限性,Ahmadikia 等[13]分析了受周期性邊界條件的C-V 傳熱模型,調(diào)節(jié)熱沖擊位置等參數(shù),發(fā)現(xiàn)弛豫時間對溫度場的分布有較大影響,并指出在某些不穩(wěn)定邊界條件下,雙曲導熱方程可能違背熱力學第二定律.

最近,分數(shù)階微積分已成功應用于眾多工程領域.大量文獻[14-20]表明: 分數(shù)階微分算子定義中的積分項充分體現(xiàn)了系統(tǒng)函數(shù)發(fā)展的歷史依賴性,是描述極端傳熱現(xiàn)象的有力工具,相比經(jīng)典傅里葉定律和C-V 導熱理論,分數(shù)階導熱模型可以更精確地描述極端傳熱機理,并有效解決奇異性問題.通過對分數(shù)階的階次α在有效范圍內(nèi)的取值,可以將熱擴散形式分為亞擴散(0 <α<1)、正常擴散(α=1)、超擴散(1 <α<2)和彈道擴散(α=2)[21].基于分數(shù)階導熱模型,Povstenko 等[22-24]提出準靜態(tài)非耦合的熱彈性理論,研究了各類熱載荷下薄板、圓柱體和球體等均質(zhì)材料的傳熱機理.此外,通過數(shù)值分析解釋了亞擴散和超擴散之間的區(qū)別,并指出當α=1 時,分數(shù)階導熱可以退化為傳統(tǒng)傅里葉導熱模型.文獻[25-28]基于分數(shù)階導熱模型分析了預置裂紋均質(zhì)材料的熱致斷裂問題,并評估了分數(shù)階導熱模型的可靠性.

雖然基于分數(shù)階導熱模型的熱致斷裂問題已有研究,但其研究對象主要集中于均質(zhì)材料,對涂層-基體復合材料的相關研究相對較少.因此,本文擬基于分數(shù)階導熱理論,以熱應力強度因子表征邊緣裂紋的擴展驅(qū)動力,研究熱流脈沖作用下涂層邊緣裂紋的擴展行為,為涂層的安全服役及可靠性評估提供理論支持.

1 問題描述

考慮涂層-基體系統(tǒng),涂層厚度為h1,基體厚度為h2,脈沖熱流作用于涂層表面,如圖1(a)所示.建立笛卡爾坐標系,x軸設定為厚度方向,y軸設定在涂層和基體的界面處.為簡單起見,假定兩種材料都是均勻的、各向同性的,涂層和基體完好接觸,忽略熱彈性耦合效應、慣性效應以及溫度對力學性能的影響.

圖1 涂層-基體模型Fig.1 Coating-substrate model

由于對稱性,溫度場與y坐標無關,基于Caputo分數(shù)階導熱理論[29],建立涂層-基體的溫度場控制方程如下

式中,θi=Ti-T0,其中Ti(i=1,2)分別為涂層和基體的溫度,T0為初始溫度.D為熱擴散率,其量綱為m2/sα.下標i=1,2 分別對應涂層和基體,t為時間.α為分數(shù)階階次,當α=1 時,分數(shù)階導熱模型退化為經(jīng)典傅里葉導熱模型.

Caputo 分數(shù)階算子由下式給出

式中,Γ(·)為Gamma 函數(shù),n為(α+1)的整數(shù)部分,熱流密度與溫度的關系滿足

式中,q為熱流密度,k為導熱系數(shù),為R-L(Riemann-Liouville)算子,定義如下[30]

初始條件為

邊界條件由下式給出

式中,Q0為冷卻熱流密度,δ (t)為狄拉克函數(shù).

假設界面完好接觸,溫度場和熱流密度在界面處均連續(xù),即

2 溫度場

根據(jù)分數(shù)階導數(shù)的拉普拉斯積分變換法則[30],對時間t作變換(t→s)

式中,θ?(x,s)為拉普拉斯變換后的溫度場.

考慮初始條件式(5)和式(6),式(1)拉普拉斯積分變換后如下

由式(3)和式(10)得

對式(13)作拉普拉斯積分變換得

式中,為拉普拉斯變換后的熱流密度.

同理可得

利用有限余弦積分變換法則[31]對式(12)作空間變量x的變換(x→ξm)得

涂層區(qū)域上(-h1≤x≤0)變換如下

將式(7)、式(8)、式(14)和式(15)代入式(17)和式(18)可得

將式(19)和式(20)代入式(16)并整理后得

對式(21)有限余弦逆變換可得

為確定界面處的熱流密度q(0,t),采用三角級數(shù)求和公式[32],即

利用上述公式對式(22)求和可得

由式(9)可得

聯(lián)立式(24)、式(25)和式(26)得到

基于Tauberian 近似定理,對熱傳導求解問題中較小的時間值,拉普拉斯變換中的指數(shù)項相比常數(shù)項會迅速衰減,因此指數(shù)項可以忽略不計,以得到一個更容易數(shù)值處理的解析解[33],由此可認為

將式(27)近似處理可得

式(24)和式(25)作同樣近似處理,并將式 (8)代入得

最后,利用Mainardi 拉普拉斯積分逆變換法則[34]對式(29)作逆變換得到溫度場如下

式中,M(α;z)是Mainardi 函數(shù),即

3 熱應力場

涂層表面無面力(見圖1(a)),因此 σxx=0.由熱彈性平衡方程,可得下式

式中,σ 為應力,E為彈性模量,μ 為泊松比,ε 為應變,p為熱膨脹系數(shù).

式中,ε0和 ρ 均為待定常數(shù),可根據(jù)熱應力自平衡條件確定,即

平面應變條件下,涂層和基體在y方向的熱應力為[35]

式中,ε0(t)和 ρ (t)均為與時間t相關的待定參數(shù),表達式見附錄A 中的式(A1).

4 熱應力強度因子

涂層承受的熱應力一旦超過其強度極限,其表面將萌生邊緣裂紋.必須指出,多數(shù)情況下涂層表面分布群體裂紋,為簡單起見,本文僅考慮單條邊緣裂紋,該裂紋與涂層表面垂直,且裂紋尖端位于涂層之內(nèi)(a

根據(jù)疊加原理及權函數(shù)理論[36-37],應力強度因子KI可由權函數(shù)與無裂紋體在假想裂紋位置應力乘積的積分得到,即

式中,η 軸的原點位于裂紋口部,如圖1(b)所示,η=x+h1,σ (η)=-σ1yy,w(η,a)為權函數(shù),其級數(shù)表達式為[38]

式中,Mj為待定系數(shù),通常只需取上式級數(shù)中的前3 項就具有足夠精度[38].因此,M1,M2和M3可通過兩個參考載荷作用下的應力強度因子和一個附加條件確定.

附加條件常取權函數(shù)在裂紋口部(η=0)曲率為0[38],即

兩種參考載荷可分別取作用在裂紋口部的一對集中力P和作用在裂紋面上的均布載荷σ,因此

式中,KIP和KIσ為兩種參考載荷作用下的應力強度因子,FP和Fσ為形狀因子.

聯(lián)立式(37)～式(40),得到M1,M2和M3表達式如下[38]

式(41)中FP和Fσ為待定參數(shù),可以通過有限元方法計算兩種參考載荷下的應力強度因子確定.考慮到涂層厚度遠小于基體厚度,文獻[4]給出了h2/h1=10時FP和Fσ的擬合表達式如下

5 結(jié)果與討論

為簡化分析并得到普適性規(guī)律,本文引入下列無量綱參數(shù)

無量綱溫度沿厚度方向的分布規(guī)律如圖2 所示,圖中無量綱時間 κ 依次為0.75,1 和1.25,其他無量綱參數(shù)=1.5,=1.5,h2/h1=10.由圖可知,溫度分布曲線在界面=1 兩側(cè)呈現(xiàn)不同斜率,這是由于涂層和基體材料性能差異,兩者具有不同的熱阻所致.圖2(a)和圖2(b)分別為分數(shù)階階次α=0.5(亞擴散)和α=1 (經(jīng)典擴散)情形,可以看到脈沖熱流加載后,無量綱溫度沿厚度方向降低.圖2(c)表明,當分數(shù)階階次α=1.5 (超擴散)時,溫度沿厚度分布呈現(xiàn)出先增后減的變化趨勢,這是因為熱流脈沖下的熱波在較短時間內(nèi)突破界面并傳遞到了基體,涂層溫度快速降低,與文獻[21]中所描述的分數(shù)階熱擴散現(xiàn)象一致.

圖2 無量綱溫度 在不同時間 κ 下的分布Fig.2 The distribution of the dimensionless temperature for various timesκ

圖3 無量綱應力 在不同時間 κ 下的分布Fig.3 The distribution of the dimensionless stress for various timesκ

無量綱熱應力強度因子隨無量綱時間 κ 的變化規(guī)律如圖4 所示,其中無量綱參數(shù)h2/h1=10,=1,=1.2,=1.5,=1.25,=1.可以看出,熱應力強度因子在熱流脈沖后的短時間內(nèi)快速增大,達到峰值后開始下降并逐漸趨于平穩(wěn).相對裂紋長度依次取0.25,0.5 和0.75 時,熱應力強度因子的峰值逐漸降低,這是由于熱應力沿厚度急劇衰減(見圖3),從而使較長裂紋裂尖附近的應力水平降低,說明在熱流脈沖下較短裂紋更易擴展.當涂層和基體具有相同的材料屬性和傳熱性能時,退化為均質(zhì)薄板,此時應力強度因子的變化規(guī)律與均質(zhì)板裂紋的變化趨勢一致[28].對比圖4(a)～圖4(c)可知,隨著分數(shù)階階次的增大,熱應力強度因子峰值逐漸提高.圖4(c)為超擴散(α=1.5)情形下的應力強度因子變化規(guī)律,對比圖4(b)可以看出,相同長度邊緣裂紋的應力強度因子峰值均明顯提高,表明采用經(jīng)典傅里葉導熱理論將低估熱載荷的破壞程度.

圖4 應力強度因子的時間歷程Fig.4 The time history of SIF

6 結(jié)論

本文基于Caputo 分數(shù)階導熱模型,采用拉普拉斯積分變換和有限余弦積分變換方法得到了涂層-基體系統(tǒng)在熱脈沖作用下溫度場的封閉解.基于非耦合熱彈性理論和權函數(shù)法確定涂層邊緣裂紋的熱應力強度因子.探討了分數(shù)階階次對溫度場、熱應力場和熱應力強度因子的影響,以及熱應力強度因子隨裂紋長度、時間等的變化規(guī)律.主要結(jié)論如下:

(1)分數(shù)階階次強烈影響涂層-基體系統(tǒng)的熱響應速度以及溫度場和熱應力場;

(2)超擴散(1 <α<2)情形下的裂紋尖端熱應力強度因子峰值高于經(jīng)典擴散(α=1)時的峰值,而亞擴散(0 <α<1)情形下裂尖熱應力強度因子峰值低于經(jīng)典擴散時的峰值;

(3)熱流脈沖作用下,涂層邊緣裂紋越長,裂紋尖端應力強度因子峰值越小.

附錄A

ε0(t)和 ρ (t)的表達式如下[35]

式中