莫 帥 曾彥鈞 王 震 張 偉,

* (廣西大學特色金屬材料與組合結構全壽命安全國家重點實驗室,南寧 530004)

? (廣西大學機械工程學院,南寧 530004)

** (直升機傳動技術國防科技重點實驗室,南京 210016)

引言

人字齒輪可消除斜齒輪嚙合過程中附加軸向載荷,增大重合度,使嚙合更平穩(wěn),因此常用于武裝直升機動力傳輸系統(tǒng)中.對人字齒輪系統(tǒng)非線性動力學特性進行分析,探究各因素對非線性行為影響,找出穩(wěn)定運行區(qū)間,能為齒輪系統(tǒng)設計提供參考.

諸多學者深入探究不同因素對齒輪系統(tǒng)非線性行為影響[1-3].以上學者考慮時變嚙合剛度、軸承游隙、齒側間隙、間隙非線性函數和齒心偏差等因素影響,建立系統(tǒng)非線性動力學方程并求解.肖乾等[4]將齒間滑動及摩擦考慮在內,建立列車齒輪傳動系統(tǒng)模型;莫帥等[5-6]將輪齒裂紋考慮在內,建立小模數變位齒輪故障動力學模型;袁冰等[7]將齒間累積誤差和綜合傳遞誤差引入,建立人字齒輪非線性動力學模型;Mo 等[8-12]建立非正交面齒輪軸承系統(tǒng)模型,研究在不同激勵頻率下系統(tǒng)動力學響應及非線性全局行為演化過程,采用胞映射法研究非正交面齒輪軸承系統(tǒng)多自由度耦合振動模型動態(tài)行為演化過程.Chen 等[13]綜合考慮摩擦、時變剛度對系統(tǒng)沖擊影響,建立齒輪-轉子-軸承系統(tǒng)多自由度非線性動力學模型;Miroslav 等[14]考慮時變嚙合剛度與滾動軸承軸頸和外殼之間的非線性接觸力,建立齒輪傳動非線性動力學模型.諸多學者[15-17]提出動力學模型建立方式,對非線性動力學模型建立有推進作用.

王云等[18]建立了人字齒輪副平移-扭轉振動分析模型,結合混合彈流潤滑理論計算了混合彈流潤滑摩擦因數,并探究其對系統(tǒng)動態(tài)特性影響;Yang等[19]提出一種由軸頸軸承支撐的人字齒輪轉子系統(tǒng)耦合動力學模型,用時間位移圖像、相平面圖和分岔圖從波度類型和波度幅值兩方面研究人字齒輪轉子系統(tǒng)非線性動力學行為;Xu 等[20]在摩擦動力學條件下,通過迭代數值方案提出一種新型HPGS耦合動力學模型,并對考慮齒面摩擦下該系統(tǒng)動力學特性進行研究,得出齒面摩擦與動態(tài)嚙合力關系.Wang 等[21]等學者根據諧波平衡展開法和多尺度法分別推導單穩(wěn)態(tài)能量收集器位移和電壓頻率響應函數,并從實驗測量中確定單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)參數,將其用于諧波平衡和多尺度方法理論解數值研究;Wang 等[22]和Moradi 等[23]分別建立鐵路機車單自由度裂紋齒輪模型和直齒輪副非線性振動模型,采用多尺度方法對共振進行參數化研究,揭示不同因素對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響;諸多學者[24-30]采用不同研究方式,分別對考慮不同因素下系統(tǒng)非線性響應進行研究,使非線性動力學研究方法更加完善.

本文旨在研究高速重載人字齒輪傳動系統(tǒng)非線性振動特性,綜合考慮時變嚙合剛度、傳動誤差、齒側間隙和軸承間隙等因素,建立系統(tǒng)動力學模型,通過控制變量法,探究在不同齒側間隙、嚙合阻尼、嚙合剛度及外部激勵頻率下系統(tǒng)非線性動力學響應,輸出系統(tǒng)時間-位移圖像、時間-速度圖像、空間頻譜圖、空間相圖、小波時頻圖及分岔圖,通過觀測圖像曲線變化趨勢判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定.

1 人字齒輪系統(tǒng)動力學模型

引入傳遞誤差、時變嚙合剛度和齒側間隙等因素,考慮軸承滾動體與內外滾道之間游隙及軸承非線性振動,構建圖1 所示人字齒輪系統(tǒng)多自由度耦合振動模型.

圖1 人字齒輪系統(tǒng)多自由度耦合振動模型Fig.1 Multi-degree-of-freedom coupling vibration model of herringbone gear system

圖中m1,m3,I1和I3分別為右、左兩側主動斜齒輪質量及右、左兩側主動斜齒輪轉動慣量,m2,m4,I2和I4分別為右、左兩側從動斜齒輪質量及右、左兩側從動斜齒輪轉動慣量;mA1和mA2分別為輸入軸和輸出軸右側軸承質量,mA3和mA4分別為輸入軸和輸出軸左側軸承質量;kA1i,kA2i,kA3i,kA4i,cA1i,cA2i,cA3i和cA4i(i=x,y)為各軸承內圈沿坐標軸x向和y向支撐剛度和支撐阻尼;k1i,k2i,k3i,k4i,c1i,c2i,c3i和c4i(i=x,y,z,θ)為齒輪與軸承連接軸段沿坐標軸x向、y向和z向支撐剛度、扭轉剛度及相應阻尼;k13i,k24i,c13i和c24i(i=x,y,z,θ)為中間軸段沿坐標軸各向支撐剛度、扭轉剛度及相應阻尼.

把軸承與旋轉軸視作剛性連接,齒輪、一側軸承與旋轉軸質量集中在其質心,系統(tǒng)考慮24 個自由度

其中,xi,yi,zi,θi(i=1,2,3,4)為各斜齒輪沿坐標軸各向振動與扭轉位移,xAj,yAj(j=1,2,3,4)為各軸承內圈沿坐標軸相應方向位移.

在本研究所用齒輪參數條件下,系統(tǒng)額定負載扭矩為200 N·m,最大工作轉速超過5000 r/min,在高速重載工況下運行,其中,人字齒輪及軸承參數如表1 及表2 所示.

表1 人字齒輪參數Table 1 Parameters of the herringbone gears

表2 軸承參數Table 2 Bearing parameters

系統(tǒng)振動微分方程如下所示

為提升計算精度,以齒輪嚙合線位移替換系統(tǒng)中齒輪扭轉位移,將方程無量綱化,如下所示

式(1)和式(3)中,j取13,當i=1 時,p=3,k=1,v=1;當i=3 時,p=1,k=2,v=3.j取24,當i=2 時,p=1,k=1,v=2;當i=4 時,p=2,k=2,v=4;式(2)和式(4)中,當i=A1時,j=1;當i=A3時,j=3;當i=A2時,j=2;當i=A4時,j=4.

無量綱化方式如下所示

其中,τ表示無量綱時間,ωn表示固有頻率,Km表示嚙合剛度均值,fg為無量綱重力.

2 系統(tǒng)時變激勵

2.1 時變嚙合剛度及嚙合力

定義右側主動與從動斜齒輪嚙合線為嚙合線1,左側主動與從動斜齒輪嚙合線為嚙合線2,αn和β為法面壓力角和螺旋角,e為靜態(tài)傳遞誤差均值,ωm為斜齒輪副嚙合頻率,e(t)為靜態(tài)傳遞誤差,則右側主動斜齒輪和右側從動斜齒輪在嚙合線1 上投影位移可由下式計算

基于此,嚙合力計算方法如下

式中,Km(t)為該斜齒輪副時變嚙合剛度;Cm為該斜齒輪副嚙合阻尼,bm為齒側間隙一半.

根據動力學模型中所建立三維坐標系,將嚙合力分解至x,y,z方向,如下式所示

左側斜齒輪副嚙合力計算方式同理.

根據ISO standard 6336-1-2006 計算右側斜齒輪副時變嚙合剛度,如下式所示

式中,K(t)為斜齒嚙合時變剛度,Km為平均嚙合剛度,Ki為剛度變化幅值,ωm為嚙合頻率,其值等于輸入軸轉速頻率乘以輸入齒輪齒數,? 為初始相位角,εα為端面重合系數,Kc為單對齒輪的嚙合剛度.

左側斜齒輪副時變嚙合剛度可用相同方式計算.取相同參數,嚙合線1 與嚙合線2 時變嚙合剛度曲線變化趨勢相同,如圖2 所示.

圖2 時變嚙合剛度曲線Fig.2 Time-varying meshing stiffness curve

2.2 時變軸承支撐力

軸承用于支撐旋轉構件,其內部軸承力會對系統(tǒng)非線性響應產生影響.人字齒輪系統(tǒng)模型中,軸承載荷計算方式如下所示.

以ωbi和ωbo分別為軸承內、外圈繞旋轉軸軸線轉動角速度,由于外圈固定于軸承座,故ωbo=0.滾動體與軸承內、外圈接觸點處線速度vbi和vbo,滾動體個數為Zb,軸承內、外圈半徑分別為rbi和rbo,滾動體公轉角速度ωbn及位置角θi(t)計算方式如下所示

軸承未因受力發(fā)生形變時,內、外圈曲率中心分別為Obi和Obo,曲率半徑分別為rbi和rbo,滾動體與內、外圈初始接觸角均為γi;軸承受力變形后,內、外圈曲率中心變?yōu)?接觸角變?yōu)?因軸承外圈固定于軸承座,故受力時其曲率中心位置不變,軸承內圈曲率中心由Obi變化到.以l′為外圈曲率中心中心距,δ為滾動體變形,c為軸承徑向游隙,為滾動體變形后與軸承內圈接觸角,上述各項參數計算公式為

式中,x和y分別為軸承內圈沿坐標軸相應方向振動位移.

引入Heaviside 函數,以H(δ)表示,忽略滾動體及保持架慣性,Frb為滾動體徑向受力,Kb為滾動體與滾道接觸剛度,軸承內圈在坐標系各方向受力由下式計算

3 人字齒輪系統(tǒng)非線性動力學響應

選取額定輸入轉矩為150 N·m,探究改變不同系統(tǒng)參數時,系統(tǒng)動力學響應變化趨勢.考慮到工程實際情況,在模型建立過程中,左、右斜齒輪副動態(tài)嚙合誤差激勵波動幅值不同,嚙合線1 和嚙合線2 動力學響應曲線變化趨勢存在差異.

3.1 不同轉矩下系統(tǒng)響應

本部分探究輸入轉速為6000 r/min 時,人字齒輪傳動系統(tǒng)在不同輸入轉矩下非線性響應.為更直觀反映振動曲線數值,將嚙合線1 和嚙合線2 無量綱時間-位移曲線各點數值乘以bm,無量綱時間-速度曲線各點數值乘以ωnbm,繪制不同阻尼系數下系統(tǒng)響應,如圖3所示.通過分析圖3(a)和圖3(b)可以看出,改變Tin值將改變振動位移曲軌跡變化趨勢.圖3(c)和圖3(d)表明系統(tǒng)運動速度隨時間變化關系,結合空間相圖及龐加萊映射點可知,當Tin緩慢增加時,系統(tǒng)運動從穩(wěn)定單周期運動逐漸變?yōu)殡p周期運動、多周期運動和混沌運動,且振幅逐漸增大,在此過程中,嚙合線1 振動速度峰值為5.2 μm/s,嚙合線2 振動速度峰值分別為0.27 μm/s,0.33 μm/s,4.5 μm/s 和5.3 μm/s.

圖3 不同轉矩下系統(tǒng)響應Fig.3 System response under different torque

3.2 不同嚙合阻尼下系統(tǒng)響應

本部分探究輸入轉速為6000 r/min、輸入轉矩為150 N·m 時,人字齒輪傳動系統(tǒng)在不同嚙合阻尼系數下非線性響應.為更直觀反映振動曲線數值,將嚙合線1 和嚙合線2 無量綱時間-位移曲線各點數值乘以bm,無量綱時間-速度曲線各點數值乘以ωnbm,繪制不同阻尼系數下系統(tǒng)響應,如圖4 所示.通過分析圖4(a)和圖4(b)可以看出,改變ξm值將改變振動位移曲軌跡變化趨勢.圖4(c)和圖4(d)表明系統(tǒng)運動速度隨時間變化關系,結合空間相圖及龐加萊映射點可知,當ξm緩慢增加時,系統(tǒng)運動從穩(wěn)定單周期運動逐漸變?yōu)殡p周期運動和多周期運動,且振幅逐漸增大.

圖4 不同阻尼系數下系統(tǒng)響應Fig.4 System response under different damping coefficients

3.3 不同齒側間隙下系統(tǒng)響應

保持系統(tǒng)其他參數不變,改變bm值,分別觀察嚙合線1 和嚙合線2 非線性位移.為更直觀反映振動曲線數值,將嚙合線1 和嚙合線2 無量綱時間-位移曲線各點數值乘以bm,無量綱時間-速度曲線各點數值乘以ωnbm,繪制不同阻尼系數下系統(tǒng)響應,如圖5 所示.從圖5(a)和圖5(b)可以看出,改變bm值將改變振動位移曲線的軌跡趨勢.結合空間相圖及龐加萊映射點可知,在不同bm值下,嚙合線1 和嚙合線2 運動狀態(tài)總體變化趨勢相同,當bm緩慢增大時,嚙合線振動位移從穩(wěn)定單周期運動逐漸變?yōu)殡p周期運動以及多周期運動,波動幅度逐漸增大.當齒側間隙從1 μm 變化至4 μm 時,嚙合線1 穩(wěn)定單周期振動速度峰值為0.23 μm/s,混沌運動及多周期運動振動速度峰值為0.25 μm/s 和0.53 μm/s,嚙合線2 穩(wěn)定單周期振動速度峰值為2.5 μm/s.

圖5 不同齒側間隙下系統(tǒng)響應Fig.5 System response under different backlashes

3.4 不同嚙合剛度下系統(tǒng)響應

本部分探究在不同嚙合剛度下系統(tǒng)非線性響應.為更直觀反映振動曲線數值,將嚙合線1 和嚙合線2 無量綱時間-位移曲線各點數值乘以bm,無量綱時間-速度曲線各點數值乘以ωnbm,繪制不同阻尼系數下系統(tǒng)響應,如圖6 所示.通過分析圖6(a)和圖6(b)可以看出,改變Km值將改變振動位移曲線的軌跡趨勢.空間相圖及龐加萊映射點表示,當Km緩慢增加時,龐加萊映射點集由散亂無序點變化為相軌跡線上兩點,最終變化為相軌跡線上一點,表明嚙合線上投影振動位移起初為混沌運動狀態(tài),隨后逐漸變?yōu)楸吨芷谶\動狀態(tài),最后當嚙合剛度突破一定閾值時,系統(tǒng)趨于穩(wěn)定,做單周期運動.如圖6(c)和圖6(d)所示,在穩(wěn)定運動狀態(tài)下,嚙合線1 穩(wěn)定單周期振動速度峰值為0.43 μm/s,混沌運動及多周期運動振動速度峰值為0.8 μm/s 和0.33 μm/s,嚙合線2 穩(wěn)定單周期振動速度的峰值為0.45 μm/s.

圖6 不同嚙合剛度下系統(tǒng)響應Fig.6 System response under different meshing stiffness

3.5 不同外部激勵頻率下系統(tǒng)響應

改變外激勵頻率,當輸入轉速逐漸增大至10 000 r/min 時,嚙合線1 運動空間頻譜如圖7(a)所示.由圖可知,當激勵頻率約為0.6 時,振動頻率呈現(xiàn)單一峰值狀態(tài),表明系統(tǒng)處于穩(wěn)定單周期運動狀態(tài).當激勵頻率約為1 時,振動頻率出現(xiàn)兩個峰值,幅值分別為0.3 和0.6,表明系統(tǒng)處于倍周期或多周期運動狀態(tài).同時,當激勵頻率約為1.25 和1.68 時,出現(xiàn)較多混沌頻率,表明系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài).此外,圖7(b)為空間狀態(tài)下相平面圖和龐加萊截面圖,系統(tǒng)運動狀態(tài)轉變過程為: 從穩(wěn)定單周期運動狀態(tài)逐漸走向倍周期分岔運動狀態(tài)和混沌運動狀態(tài),最終重新回到穩(wěn)定周期運動狀態(tài).

圖7 嚙合線1 空間頻譜圖及空間相圖Fig.7 Spatial spectrum and spatial phase diagram of meshing line 1

通過小波變換方法分析嚙合線上振動位移,如圖8 所示.當ωe=0.7 時,嚙合線上振動位移主要由0.1ωe組成,幅值約為0.28.當ωe=1 時,嚙合線位移主振頻率為0.8ωe和分量1.6ωe,系統(tǒng)處于倍周期運動狀態(tài).當ωe=1.55 時,除頻率為0.25ωe外,還出現(xiàn)較多混沌頻率,幅值集中在0.05 左右,此時系統(tǒng)在做混沌運動.當ωe=2.2 時,嚙合位移主要由0.35ωe組成.幅值約為0.12,對應系統(tǒng)穩(wěn)定單周期運動狀態(tài).

圖8 嚙合線1 小波變換時頻圖Fig.8 Meshing line 1 time-frequency diagram of wavelet transform

為進一步研究外部激勵頻率對系統(tǒng)動態(tài)特性影響,表征系統(tǒng)混沌運動狀態(tài),判別系統(tǒng)運動,繪制分岔參數為ωe時系統(tǒng)分岔圖與李雅普諾夫指數圖,如圖9 所示.圖中的數據表明,當ωe<0.7 時,最大李雅普諾夫指數小于0,系統(tǒng)振動位移變化周期與嚙合周期一致,運動狀態(tài)為穩(wěn)定單周期運動;當ωe在0.7～1.2 之間時,系統(tǒng)振動位移變化周期為嚙合周期2 倍,系統(tǒng)做倍周期運動;當ωe在1.2～1.3 之間時,系統(tǒng)振動位移變化周期為嚙合周期4 倍,系統(tǒng)處于周期4 運動狀態(tài);當ωe在1.3～1.72 之間時,最大李雅普諾夫指數大于0,系統(tǒng)振動位移變化不再具有周期性,表明系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài);當ωe在1.72～1.88 之間時,系統(tǒng)振動位移變化周期為嚙合周期二倍,系統(tǒng)做倍周期運動.當ωe>1.88 時,最大李雅普諾夫指數降到0 線以下,此時系統(tǒng)所處運動狀態(tài)為穩(wěn)定單周期運動.

圖9 嚙合線1 系統(tǒng)位移分岔圖及最大李雅普諾夫指數圖Fig.9 Displacement bifurcation diagram and maximum Lyapunov exponent diagram of meshing line 1

改變外激勵頻率,當輸入轉速逐漸增大至10 000 r/min 時,嚙合線2 運動空間頻譜如圖10(a)所示.由圖可知,當激勵頻率小于0.7 時,頻譜圖上只出現(xiàn)單個主共振峰,振動幅值最大值為0.7,表明系統(tǒng)在做穩(wěn)定單周期運動;當無量綱激勵頻率約為1.21 和1.75 時,系統(tǒng)振動頻率出現(xiàn)多值現(xiàn)象,表明系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài).此外,圖10(b)為空間相平面圖和龐加萊截面圖.圖中信息表示,當無量綱激勵頻率ωe從0 開始增大至2 時,系統(tǒng)運動狀態(tài)由穩(wěn)定單周期運動狀態(tài)過渡至多周期運動狀態(tài),隨后陷入混沌運動狀態(tài),在經歷倍周期運動狀態(tài)后,最終轉變回單周期運動狀態(tài),此時系統(tǒng)又趨于穩(wěn)定.

圖10 嚙合線2 空間頻譜圖及空間相圖Fig.10 Spatial spectrum and spatial phase diagram of meshing line 2

通過小波變換方法分析齒輪傳動系統(tǒng)嚙合線1 上振動位移變化趨勢,如圖11 所示.當ωe=0.6 時,坐標軸各向投影至嚙合線上振動位移主要由0.1ωe組成,幅值約為0.27,表明系統(tǒng)穩(wěn)定.當ωe=1.45 時,除頻率為0.23ωe外,還出現(xiàn)較多混沌頻率,幅值集中在0.1 左右.當ωe=2.1 時,嚙合位移主要由0.35ωe組成,幅值約為0.12,對應系統(tǒng)穩(wěn)定單周期運動狀態(tài).

圖11 嚙合線2 小波變換時頻圖Fig.11 Meshing line 2 time-frequency diagram of wavelet transform

圖11 嚙合線2 小波變換時頻圖 (續(xù))Fig.11 Meshing line 2 time-frequency diagram of wavelet transform(continued)

為進一步研究外部激勵頻率對系統(tǒng)動態(tài)特性影響,表征系統(tǒng)混沌運動狀態(tài),判別系統(tǒng)運動,繪制分岔參數為ωe時系統(tǒng)分岔圖及李雅普諾夫指數圖,如圖12 所示.圖中的數據表明,當ωe<0.63 時,系統(tǒng)進行穩(wěn)定單周期運動;當ωe在0.63～1.13 之間時,最大李雅普諾夫指數小于0,系統(tǒng)做倍周期運動;當ωe在1.13～1.25 之間時,系統(tǒng)處于周期4 運動狀態(tài);當ωe在1.25～1.75 之間時,系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài),此時,最大李雅普諾夫指數上升,突破0 線;當ωe在1.75～1.9 之間時,系統(tǒng)做倍周期運動.當ωe>1.9 時,最大李雅普諾夫指數降至負值,表明系統(tǒng)已經脫離混沌運動,進入穩(wěn)定單周期運動.

圖12 嚙合線2 系統(tǒng)位移分岔圖及最大李雅普諾夫指數圖Fig.12 Displacement bifurcation diagram and maximum Lyapunov exponent diagram of meshing line 2

4 結論

通過對高速重載人字輪非線性動力學分析得到如下結論.

(1)引入軸承游隙、齒側間隙和動態(tài)嚙合誤差激勵等因素,建立人字齒輪系統(tǒng)非線性動力學模型,通過控制變量法分析齒側間隙對系統(tǒng)非線性特性影響,結果表明,當齒側間隙取值范圍為1×10-6～4×10-6m 時,若增大齒側間隙,則系統(tǒng)周期運動穩(wěn)定性降低.

(2)系統(tǒng)其他參數選定為初始參數,在150～300 N·m 范圍內逐漸增大輸入轉矩以及在區(qū)間(0.15,0.3)內逐漸減小嚙合阻尼比時,系統(tǒng)非線性振動由單周期演變?yōu)槎嘀芷诤突煦?為使系統(tǒng)運動處于單周期運動狀態(tài),系統(tǒng)輸入轉矩不宜過高,嚙合阻尼比不宜過低.

(3)通過控制變量法探究嚙合剛度及激勵頻率對系統(tǒng)影響.在1.5×108～6×108N/m 范圍內逐漸增大嚙合剛度時,系統(tǒng)運動狀態(tài)由混沌狀態(tài)經歷多周期運動狀態(tài)后,最終變?yōu)榉€(wěn)定單周期運動狀態(tài).逐漸增大激勵頻率時,系統(tǒng)將經歷周期、準周期、混沌及其他運動狀態(tài).為保證系統(tǒng)穩(wěn)定運行,嚙合剛度不宜過小,激勵頻率不應大于3250 Hz.