文/白 靈
學生面對的各種數(shù)學問題可以簡單地分為兩類:一類是直接運用已有知識便可順利解答的問題;另一類是不能直接運用已有知識解答的問題。對于后者,學生往往需要不斷轉化形式,把它歸結為能夠解決的問題,這就是轉化思想。通過本節(jié)課的學習,學生需要掌握小數(shù)除法的計算方法,提高應用四則運算解決實際問題的能力,達到對算理的深度理解。
小數(shù)除法可以解決整數(shù)除法中不能解決的問題,而除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法又是學習小數(shù)除法的基礎。這部分內容的基本教學思路是讓學生經(jīng)歷從直觀運算到算法運算的探索過程,也就是從借助小數(shù)的現(xiàn)實模型“元、角、分”進行直觀運算,過渡到脫離直觀進行豎式運算。豎式計算的探索能幫助學生深刻感悟從未知轉化為已知的思維方式,因此本節(jié)課的關鍵詞為“轉化”。那么,如何把除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法轉化為整數(shù)除法呢?如何借助直觀現(xiàn)實模型,讓學生理解除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法可以轉化為整數(shù)除法來進行計算呢?如何讓學生最終達到理解除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的算理,掌握除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的算法呢?
“打掃衛(wèi)生”是北師大版數(shù)學五年級(上冊)第一單元“小數(shù)除法”的第二課,主要研究小數(shù)除以整數(shù),除到被除數(shù)末尾有余數(shù)需要添0 后繼續(xù)除,以及整數(shù)除法中含有余數(shù),能夠繼續(xù)除的問題。這部分內容的教學主要是引導學生探索除數(shù)是整數(shù),需要在余數(shù)中補0 的小數(shù)除法的計算方法,并結合“元、角、分”的背景理解補0 的意義。
針對本節(jié)課的內容,北師大版教材結合問題解決的過程安排了三個問題:(1)解答“18.9÷6”,借助元、角、分的生活經(jīng)驗和前一節(jié)課的學習經(jīng)驗,理解小數(shù)除法的計算過程;(2)借助元、角、分理解小數(shù)除法豎式計算的過程,理解算理,解決余數(shù)補0 的問題;(3)動態(tài)呈現(xiàn)學生解答“26÷4”的學習過程,解決整數(shù)除法中含有余數(shù),如何繼續(xù)除下去的問題。
“打掃衛(wèi)生”一課是在學生學習了解決除到被除數(shù)的末尾無余數(shù),商不需要補0 的情況后進行學習的。前一節(jié)課的學習提供了知識基礎和活動經(jīng)驗,為本節(jié)課的學習奠定了基礎。
學習本節(jié)課時,由于對算理理解不深刻,學生經(jīng)常會把商的小數(shù)點點錯位置或漏點,對“商的小數(shù)點要與被除數(shù)的小數(shù)點對齊”這一知識點也是機械套用,似懂非懂。為突破此難點,在教學中,教師要引導學生弄清楚關鍵問題:在小數(shù)除法中,商包含整數(shù)部分和小數(shù)部分,商的整數(shù)部分就是被除數(shù)除以除數(shù)的整數(shù)部分的結果,是已學過的整數(shù)除法,所以商的小數(shù)點要與被除數(shù)的小數(shù)點對齊;商的小數(shù)部分是余數(shù)部分除以除數(shù)所得的結果,計算的策略仍沿襲整數(shù)除法的策略,即高一級的計數(shù)單位不夠除時,就要對計數(shù)單位細分,轉化為低一級的計數(shù)單位繼續(xù)除,直至得到結果。所以,小數(shù)點的作用就是指出個位的位置。
(1)結合情境,探索除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法(被除數(shù)需要補0 后繼續(xù)除)的計算方法,并能正確進行豎式計算。(2)借助已有知識,理解在余數(shù)中補0 的意義,滲透轉化的數(shù)學思想。(3)在解決簡單問題的過程中,能結合具體情境進行小數(shù)除法的估算。
引導學生理解并掌握小數(shù)除以整數(shù)(除到被除數(shù)末尾有余數(shù),需要添0 后繼續(xù)除)的計算方法,以及整數(shù)除法中含有余數(shù),能夠繼續(xù)除下去的問題。
“學校要進行大掃除,班委會買回來這么多清潔工具(如圖1)??匆豢矗隳芴岢鲆粋€用除法解決的數(shù)學問題嗎?”
圖1
在學生表達的過程中,教師應鼓勵他們把話說完整,同時將問題逐條寫在黑板上。
設計意圖:用貼近學生生活的情景引入,直接清晰,便于學生在整理信息、提出問題的過程中迅速聚焦本課的研究問題。
1.探究小數(shù)除以整數(shù)(除到被除數(shù)末尾有余數(shù),需要添0 后繼續(xù)除)的計算方法
核心問題:買6 把笤帚共花了18.9 元,每把笤帚多少元?
(學習方式:嘗試估算→獨立精算→交流分享→回顧小結)
(1)獨立列式,嘗試估算。
(2)每把笤帚的價格在3~4 元之間,那到底是多少元呢?獨立算一算,將你的想法記錄在學習單上,把你是怎樣轉化的用鉛筆標出來。學生呈現(xiàn)如下:
(3)學生完成后進行全班交流,教師在巡視過程中關注不同算法,可以按以下順序進行展示。
展示1:利用“元、角、分”的現(xiàn)實模型計算。
追問:0.9 元也是9 角,這里為什么要轉化為90分而不是9 角呢?
小結:當把“元”轉化成“角”做單位依然不能整除時,可以轉化成“分”做單位,也就是轉化成更小的計數(shù)單位,可以繼續(xù)除下去,如下所示:
展示2:借助前一節(jié)課的學習經(jīng)驗,呈現(xiàn)豎式計算的一部分。
追問1:這里的余數(shù)“3”表示什么?
追問2:當“3÷6”除不盡時,可以轉化為更小的計數(shù)單位繼續(xù)除,想一想,怎樣繼續(xù)算下去?
追問3:結合剛才的轉化過程,繼續(xù)算一算。
(4)通過精確計算,得到每把笤帚3.15 元,對比估算的結果,你有什么發(fā)現(xiàn)?
(5)通過探索,當豎式計算出現(xiàn)余數(shù)時,怎樣就能繼續(xù)算下去?
小結:遇到除不盡時,在余數(shù)的后面添0 后繼續(xù)除,實際意義就是將余數(shù)轉化為更小的計數(shù)單位,繼續(xù)除下去。
設計意圖:在解決問題的過程中,注重讓學生經(jīng)歷小數(shù)除法計算方法的探究過程,在交流的過程中,引導學生把算法表述清楚,并及時抓住關鍵處追問,讓學生感受轉化思想的重要意義和作用。
2.探索整數(shù)除法中含有余數(shù),能夠繼續(xù)除下去的問題
核心問題:4 個簸箕共26 元,每個簸箕多少元?
(學習方式:獨立計算→交流分享→算法對比→回顧小結)
(1)獨立列式,用豎式算一算。
在學生獨立完成后,教師展示以下錯誤算法:
追問1:“每個簸箕65 元”為什么不對?
追問2:這個豎式哪里出了問題?
追問3:通過上節(jié)課的學習,我們知道商的小數(shù)點要和被除數(shù)對齊,這里的被除數(shù)沒有小數(shù)點,是不是不需要對齊?
(2)你能借助“元、角、分”的現(xiàn)實模型,用橫式記錄計算的過程嗎?
(3)觀察橫式和豎式(如圖2),說一說它們之間的聯(lián)系。
圖2
小結:原來這兩種方法是相通的,豎式和橫式都記錄了我們計算的過程,只是記錄的方式不同而已。
(4)整數(shù)除法計算時,五年級探討的豎式計算,與二年級用豎式計算有什么不同?
(5)整數(shù)除法有余數(shù)時,如何繼續(xù)除下去?
小結:整數(shù)除法有余數(shù)時,也可以在余數(shù)添0 繼續(xù)除,商的小數(shù)點和被除數(shù)的對齊,小數(shù)點隱藏在個位的右下角。
設計意圖:在解決問題的過程中,學生在上一環(huán)節(jié)已經(jīng)積累了在余數(shù)補0 繼續(xù)計算的經(jīng)驗,能繼續(xù)算下去。教師順著學生思維不斷追問引發(fā)思辨,引導學生發(fā)現(xiàn)橫式和豎式計算之間的聯(lián)系,使他們加深對豎式計算算理的理解,逐步突破小數(shù)除法計算的難點。
練習1:獨立思考,個別匯報、交流(如圖3)。
圖3
練習重點:(1)關注學生的估算意識,有意識地讓學生先估算再精算,提高學生的估算能力,培養(yǎng)學生的數(shù)感;(2)鼓勵學生再次經(jīng)歷探索除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的計算方法的過程,使學生能結合情境解釋除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法豎式的實際含義,加深理解。
練習2:獨立完成,同桌說一說豎式中每一步的意思(如圖4)。
圖4
練習重點:加深對除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法豎式的理解。
設計意圖:練習部分完全采用教材中的習題,在交流和匯報的環(huán)節(jié),關注學生對算理的理解,給學生足夠的時間,讓學生在練習中充分了解“在哪里添0”“為什么可以添0”“添0 之后怎么繼續(xù)算”等問題,幫助學生繼續(xù)感受轉化思想的普遍意義,實現(xiàn)算理和算法的真正融通。
問題:同學們,通過今天的探索,你有什么收獲?你對小數(shù)除法有了哪些新的認識?你還有哪些問題?
總結:(1)在除數(shù)是整數(shù)的情況下,不論被除數(shù)是整數(shù)還是小數(shù),凡是高位上的數(shù)字或余數(shù)不夠除時,只需把它轉化成低位上的數(shù),也就是在余數(shù)的末尾添0 后繼續(xù)算下去,小數(shù)點在個位的右下角;(2)將未知轉化為已知,把復雜轉化為簡單,是解決數(shù)學問題的常見策略,也是重要的數(shù)學思想方法。
設計意圖:經(jīng)歷了算法探索、算理分析之后,適時提供總結、建構的機會,能讓學生對學習過程和學習內容進行歸納梳理,形成整體印象,實現(xiàn)對本課所學知識及思想方法的深度理解。
本節(jié)課順應學生的思維特點,通過對核心問題的討論,逐步幫助學生理解算理;通過精心設計的追問讓探究更具層次性;通過合理的引導鼓勵學生完整地表達,讓學生思維可視化,使學生在解決問題的過程中,逐步體會轉化思想。