胡平山 丁浩亮 馮漾漾 嚴 波

1.上海交通大學材料科學與工程學院,上海,2000302.航天材料及工藝研究所,北京,100076

0 引言

曲線的偏置操作常用于復雜型面的工裝模具設計[1]、數(shù)控加工的刀軌控制[2-3]、智能機器人的行走路徑規(guī)劃[4]等領域。在增材制造過程中,偏置線段是無交叉無重疊的連續(xù)線段,與平行線掃描方式相比能保持加工過程的連續(xù),掃描效率更高,并能解決邊界處臺階效應。因此研究合適的增材制造路徑規(guī)劃策略,能使零件成形精度更高和表面質(zhì)量更佳[5-6],并能影響加工過程溫度場和應力場分布,決定成形零件的力學性能。但針對復雜零件的高效且穩(wěn)定的輪廓偏置算法一直是增材制造路徑規(guī)劃研究的難點。

當前偏置算法包括圖形算法和圖像算法兩類。圖形算法基于拓撲關系的線段偏置[7],利用有向線段的集合表征自由曲線,通過線段端點的偏置來控制線段的移動。YANG等[8]提出利用截面邊界進行偏置得到填充線段的方法,對重疊部分進行合并,對尖銳頂點進行特殊處理,與光柵式掃描相比,掃描時間和零件表面質(zhì)量均得到了改善。ELBER[9]通過分析偏置線段是否發(fā)生反向來判斷曲線的局部自交。LEE等[10]使用圓環(huán)沿基曲線掃掠,計算圓環(huán)是否和基曲線發(fā)生干涉來檢測是否發(fā)生自交。PERSON[11]提出子區(qū)域劃分法Voronoi圖法,將平面區(qū)域劃分成多個子區(qū)域,之后在子區(qū)域中進行偏置,避免了復雜的互交判斷。FELKEL等[12]提出通過多邊形的拓撲骨架來分析幾何形狀,并利用骨架的等分線計算區(qū)域的偏置填充曲線,完全回避了線段的偏置計算。

圖像算法一般基于頂點的離散偏置[13],將原始曲線細分為點集,對每個頂點進行偏置之后將頂點擬合為線段。CHEN[14]將輪廓線離散為點,再進行基于圖像的擴張和輪廓環(huán)的重新識別,以避免異常問題,算法具有很好的穩(wěn)定性。李俊杰[1]通過在原始線段上選取參考點并利用漸進迭代的方式獲取偏置軌跡。JIN等[15]利用非均勻有理B樣條曲線對偏置掃描路徑進行擬合,進一步提高偏置邊界的精度和加工產(chǎn)品的表面質(zhì)量。

以上兩種算法各有優(yōu)劣:圖形算法的優(yōu)勢在于方法直觀,運行效率高,而缺點便是需要處理復雜的相交情況;圖像算法則能更加魯棒地實現(xiàn)偏置,避免異常情況的處理,但運行速度緩慢,且在輪廓復雜區(qū)域難以正確高效處理小環(huán)路徑。

針對復雜零件,本文提出一種基于線段拓撲關系的輪廓偏置算法,研究對偏置算法穩(wěn)定性影響較大的環(huán)相交問題和尖角問題,并進行了實驗驗證。

1 偏置算法模型

1.1 總體框架

算法的基本原理是:對于經(jīng)切片處理得到的簡單填充區(qū)域,由一個外環(huán)和若干內(nèi)環(huán)組成,實現(xiàn)外環(huán)的向內(nèi)偏置更新,依次處理環(huán)的相交和干涉異常情況,得到無重疊無干涉的有效路徑環(huán),進行環(huán)的光順處理消除路徑上的極端尖角,提高算法的穩(wěn)定性,重復以上過程直到區(qū)域完全填充,算法流程如圖1所示。

1.2 偏置異常處理

由于曲線形狀的復雜性,偏置結(jié)果常常包含環(huán)的相交,一方面會導致輪廓的失真,成形件的表面特征缺失,另一方面會出現(xiàn)內(nèi)部填充的欠熔覆和過熔覆問題,影響零件力學性能,更嚴重的是使曲線偏離正常拓撲關系,算法計算出現(xiàn)失穩(wěn)和崩潰。因此需要對偏置異常情況進行分析,提出基于線段拓撲的多環(huán)處理算法流程,如圖2所示。

圖2 偏置異常處理流程圖

1.2.1環(huán)相交的形成機理

目前大多數(shù)理論證明環(huán)的相交是由于曲線局部曲率小于偏置距離,邊界發(fā)生翻轉(zhuǎn)造成的干涉現(xiàn)象。對偏置過程中線段端點的移動進行數(shù)學建模,研究偏置過程中端點的移動如何影響線段的空間拓撲關系。

圖3定義直線和相鄰兩直線的夾角分別為θ和α,線段偏置距離為H,左右兩端點分別為PL和PR,其中PR經(jīng)過偏置之后得到P′R,而線段的長度記為L,由于兩端點移動的差異,線段的長度發(fā)生變化。

圖3 線段相交數(shù)學分析

由幾何關系可以得到右端點在直線方向上的相對移動距離:

(1)

同理計算左端點的移動距離ΔdL,當兩者的移動距離之和大于線段長度L即

ΔdR+ΔdL>L

(2)

時,線段偏置后反向。

考慮線段的方向,定義沿環(huán)方向相鄰兩線段方向向量的偏轉(zhuǎn)為逆時針時,兩線段之間的夾角角度是正值,此時PR的偏置點為向左移動,ΔdR為正值;而沿環(huán)方向相鄰兩線段方向向量的偏轉(zhuǎn)為順時針的線段夾角角度為負值,此時PR的偏置點向右移動,ΔdR為負值。在圖3中,θ和α均為正值,式(2)可以調(diào)整為左右兩端點移動的相對距離絕對值:

(3)

如圖4所示,將滿足線段發(fā)生翻轉(zhuǎn)分為兩種,計算相鄰線段的夾角θ和α,當相鄰線段的方向向量叉乘為正時夾角為正值,叉乘為負時夾角為負值。當相鄰兩線段的偏轉(zhuǎn)方向相同時,目標線段如果發(fā)生翻轉(zhuǎn),相鄰線段會提前相交,在局部形成自交環(huán),如圖4a所示。當相鄰兩線段的偏轉(zhuǎn)方向相反時,目標線段如果發(fā)生翻轉(zhuǎn),相鄰線段仍然經(jīng)過翻轉(zhuǎn)線段后并不會在局部形成自交環(huán),如圖4b所示。

1.2.2異常分類和環(huán)失效識別

根據(jù)異常出現(xiàn)的原因可以大致分為:第一類自交問題、第二類自交問題、干涉問題和特殊相交情形。

圖5 第一類自交異常

第二類自交異常(圖6)也稱為全局自交,是兩條不相鄰線段的最小距離小于偏置距離,在偏置之后出現(xiàn)相互干涉的情況。

圖6 第二類自交異常

干涉問題(圖7)。對于復雜的圖形邊界,當外環(huán)(實線)向內(nèi)不斷偏置,到達某一時刻和內(nèi)環(huán)(虛線)發(fā)生相交,內(nèi)環(huán)邊界成為外環(huán)邊界的一部分。

(a)偏置前 (b)偏置中 (c)偏置后

特殊相交(圖8):在復雜局部特征的偏置中,局部區(qū)域的線段長度與偏置距離相比較小,導致多條線段的多次翻轉(zhuǎn)。圖8所示兩環(huán)均是逆時針方向,其中被包含的環(huán)為無效環(huán)。

圖8 特殊情形

通過以上分類討論,確定了每種異常的產(chǎn)生原因和特點,設計了相應的環(huán)失效判據(jù):

(1)由于當前操作的環(huán)為外環(huán),初始旋向為逆時針,因此,若識別目標的旋轉(zhuǎn)方向為順時針則屬于異常分類中的前三類。

(2)理想的邊界為無相交無干涉的外環(huán),通過判斷當前區(qū)域內(nèi)環(huán)的包含關系,被包含的環(huán)屬于異常分類中的第四類。

(3)計算環(huán)內(nèi)坐標值得最大值和最小值,面積過小的環(huán)形區(qū)域為冗余加工區(qū)域。

1.3 偏置尖角問題

實際的圖形邊界復雜多樣,往往是許多的短線段連接而成,相鄰短線段斜率可能相近,也可能相差很大,如圖9中Ⅰ、Ⅱ兩區(qū)域中所示。Ⅰ區(qū)域的直線是由一系列斜率相近的短線段連接而成,Ⅱ區(qū)域在局部出現(xiàn)相鄰線段的方向接近相反而構成尖角特征,導致在激光加工時出現(xiàn)冗余行程。

圖9 未光順化的邊界

1.3.1尖角對算法穩(wěn)定性的影響分析

算法穩(wěn)定性是偏置算法設計的首要目標,需要保證算法在任何情形下均能保持計算的合理性以及結(jié)果的可靠性。在圖3中,頂點PR到P′R的移動距離Δd可以使用偏置距離H和鄰邊的夾角θ表示:

Δd=H/cos(0.5θ)

(6)

將頂點偏置距離和夾角的關系表示為表1,可以發(fā)現(xiàn)隨著偏轉(zhuǎn)角度的增大,Δd會急劇增大。

表1 頂點偏置距離和偏置夾角關系

圖10和圖11所示分別為原始圖形(圖9)經(jīng)過一次偏置和兩次偏置后的結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)圖9中的尖角被區(qū)域偏置后逐漸放大,而在偏置過程中形成的極端尖角會在圖11中造成偏置過程的崩潰。

圖10 第一次偏置結(jié)果

圖11 第二次偏置結(jié)果

圖10尖角特征的形成機理可以分為圖中所示A、B、C區(qū)域中的三種情形。

A區(qū)域中的尖角特征來自基線上已經(jīng)存在的特征,如圖9中局部放大圖所示,此區(qū)域相鄰線段偏轉(zhuǎn)角度約170°,由表1可知該頂點的偏置距離大概為線段偏置距離H的11.5倍,從而在偏置線局部形成放大后的尖角。

B區(qū)域的局部放大如圖12所示,實線為偏置之前的原始線段,虛線為偏置之后的邊界線,由于線段P2P3和線段P6P7的翻轉(zhuǎn),在偏置線上出現(xiàn)極端尖角,符合1.2.1節(jié)中提出的相交分析理論,由于左右端點的相對運動,原本偏轉(zhuǎn)角度極小的短線段產(chǎn)生方向的翻轉(zhuǎn),成為偏轉(zhuǎn)角度極大的尖角。

圖12 B區(qū)域尖角放大圖

圖13是C區(qū)域的局部放大圖,實線為偏置前的原始線段,虛線為偏置后的邊界線,由于偏置過程中的相交現(xiàn)象導致原本不相鄰的線段變成相鄰的線段。

圖13 C區(qū)域尖角放大圖

1.3.2修補式光順處理

為解決以上尖角問題,提出通過增加線段調(diào)整偏轉(zhuǎn)角度的修補式光順處理方案。如圖14所示,當前判斷的線段BC與集合中最后的線段AB的夾角為θ,判斷超出上邊界:

圖14 修補式光順方案

θ≥θmax

(7)

在兩線段上取lBE=lCE得到等腰三角形BEC,計算新線段和集合末尾線段AB的夾角:

從而保證了處理后的線段夾角β一定屬于合理角度范圍β<θmax。

對圖9原始數(shù)據(jù)光順處理之后再次偏置,得到結(jié)果如圖15所示,由于修補式光順方案保證了偏置曲線上任意鄰邊之間偏轉(zhuǎn)角度θ∈(10°,120°),頂點的偏置距離不超過線段偏置距離的兩倍,不會出現(xiàn)圖11中過長的移動,保證了算法穩(wěn)定運行。圖16所示為兩次偏置的優(yōu)化結(jié)果。

圖15 第二次偏置結(jié)果(修正后)

圖16 最終優(yōu)化結(jié)果

2 算法實例分析

2.1 CGAL幾何圖形庫偏置對比

對于二維曲線的偏置,CGAL幾何圖形庫提供了一種基于多邊形骨架的輪廓偏置算法?；贑GAL庫編寫計算程序?qū)D9進行骨架偏置計算,偏置距離為0.5,得到結(jié)果如圖17所示。

圖17 基于CGAL算法的結(jié)果

分析發(fā)現(xiàn),圖17中存在以下問題:

(1)路徑中存在大量角度變化巨大的相鄰線段,造成激光器加工過程中的急停和變向,掃描速度的不均勻影響加工效率,出現(xiàn)粉末過燒。

(2)頂點的移動距離差異較大,填充區(qū)域粉末燒結(jié)不均勻,會導致零件力學性能降低。

(3)填充區(qū)域被分割為多個獨立區(qū)域,需要增加區(qū)域之間的過渡連接線。

采用光順處理算法對原始曲線進行處理后,再次使用CGAL的骨架輪廓偏置進行計算,并和本文算法計算結(jié)果對比,結(jié)果如圖18所示,分析時間成本如表2所示。

表2 程序運行時間對比

(a)優(yōu)化的CGAL算法 (b)本文算法

與本文算法的偏置結(jié)果進行比較,兩者形狀基本一致,本質(zhì)是頂點沿著鄰邊夾角的角平分線移動,CGAL算法采用更加稠密的計算步長生成骨架,避免了偏置后線段自交的出現(xiàn),而本文的算法采用固定的偏置距離,離散并簡化計算過程,但需要重點研究環(huán)自交問題處理。而與CGAL算法的偏置計算時間相比,本文算法具有顯著的效率優(yōu)勢,更符合加工需要。

比較圖17和圖18a中的結(jié)果差異,CGAL偏置算法依賴于圖形骨架生成,對原始曲線的局部特征非常敏感,偏置結(jié)果差異性較大;采用本文光順化處理算法能優(yōu)化邊界曲線,使生成的骨架更加合理,偏置掃描線更加符合選取激光融化工藝的需求。

2.2 掃描效率分析

目前常用的掃描路徑規(guī)劃方式還有平行線掃描、分區(qū)掃描、分形掃描等,根據(jù)各自成形特點適用于不同結(jié)構特征的零件,因此對平行線掃描(圖19)、分區(qū)掃描(圖20)和輪廓掃描(圖21)進行實驗對比分析。

(a)全局圖 (b)局部放大圖

(a)全局圖 (b)局部放大圖

(a)全局圖 (b)局部放大圖

平行線掃描是最樸素的掃描方式,沿著某確定的方向順序填充截面區(qū),并根據(jù)掃描線奇偶調(diào)整方向進行往返運動掃描,算法簡單,容易實現(xiàn),但激光器會頻繁跨越型腔。

分區(qū)掃描則是在平行線掃描基礎上,按照一定規(guī)則將零件截面劃分成多個小區(qū)域,將每個區(qū)域單獨規(guī)劃后依次連接得到整體的掃描路徑,解決了平行線掃描頻繁跨越型腔的空行程問題,并可以通過在不同小區(qū)域采用不同的方向使各向異性和翹曲變形降低。

針對三種掃描路徑對上述零件進行實驗設計,分別對加工過程中的轉(zhuǎn)彎次數(shù)m、啟停次數(shù)n、打印總長度Ltol進行統(tǒng)計,結(jié)果如表3所示?？梢钥闯?平行線掃描方式由于存在跨越型腔的運動,掃描線長度最長,并且激光器需要頻繁的啟停操作;分區(qū)掃描方式將區(qū)域劃分為簡單連通區(qū)域,減少了無效行程,掃描線總長度最短,但是存在頻繁轉(zhuǎn)彎;而輪廓掃描的掃描線長度較短,同時保持了較少的激光器轉(zhuǎn)彎次數(shù)和啟停次數(shù),是最優(yōu)的掃描方式。

表3 三種掃描方式結(jié)果對比

3 結(jié)論

本文研究了選區(qū)激光熔化的輪廓偏置路徑規(guī)劃算法,從偏置向量的計算、偏置異常情況處理和偏置光順處理三個方面進行設計,并探究了環(huán)相交異常和尖角問題的產(chǎn)生機理,分析其對算法穩(wěn)定性的影響,并提出相應的解決方法,實現(xiàn)高效穩(wěn)定的偏置計算。通過實驗分析得到以下結(jié)論:

(1)與現(xiàn)有的CGAL算法庫中偏置算法相比,本文算法結(jié)果計算準確,時間成本低,更加符合選區(qū)激光熔化工藝需要。

(2)與其他掃描方式相比,本文算法結(jié)果的路徑長度、轉(zhuǎn)彎次數(shù)和啟停次數(shù)均較低,能保證較高的加工效率。