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        四個(gè)函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用

        2023-11-15 20:04:48張志剛

        張志剛

        [摘? 要] 針對(duì)《普通高中教科書·數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》(人教A版)中的一道比較對(duì)數(shù)大小的習(xí)題,學(xué)生提出構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性解題的想法. 研究者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)y=logxa,y=log(x+a),y=xlogxa,y=等函數(shù)展開(kāi)探究,利用其單調(diào)性比較對(duì)數(shù)(式)的大小,為解題提供了新鮮視角.

        [關(guān)鍵詞] 構(gòu)造法;函數(shù)單調(diào)性;比較大??;類比推理

        復(fù)習(xí)“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”模塊時(shí),筆者引領(lǐng)學(xué)生回顧《普通高中教科書·數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》(人教A版)(下文簡(jiǎn)稱“課本”)第141頁(yè)的一道習(xí)題:

        比較下列各題中三個(gè)值的大?。海?)log6,log6,log6;(2)log23,log34,log45.

        兩小問(wèn)均比較底數(shù)互不相同的對(duì)數(shù)的大小,具有一定的思維難度.以第(2)問(wèn)為例,先看教學(xué)用書的解答:

        教學(xué)用書采用的是作差法:先利用對(duì)數(shù)換底公式將對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為常用對(duì)數(shù),然后利用基本不等式等工具通過(guò)多次放縮完成大小比較.解答過(guò)程稍顯煩瑣.

        對(duì)此有學(xué)生提出:在第(1)問(wèn)中,三個(gè)對(duì)數(shù)具有“底數(shù)變化,真數(shù)為定值6”的結(jié)構(gòu)特征,能否構(gòu)造函數(shù)y=log6,根據(jù)其單調(diào)性判斷大小呢?在第(2)問(wèn)中,三個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)都在變化,且每個(gè)對(duì)數(shù)中的底數(shù)與真數(shù)均相差1,能否構(gòu)造函數(shù)y=log(x+1),根據(jù)其單調(diào)性判斷大小呢?

        如此靈感,是在已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上展開(kāi)豐富聯(lián)想,實(shí)現(xiàn)思維正遷移的結(jié)果. 在“指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)”的教學(xué)中,分析和解答“例3”時(shí),學(xué)生學(xué)習(xí)構(gòu)造函數(shù)y=1.7x和y=0.8x,利用函數(shù)的單調(diào)性判定兩數(shù)的大?。辉凇皩?duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)”的教學(xué)中,分析和解答“例3”時(shí),學(xué)生又學(xué)習(xí)構(gòu)造函數(shù)y=logx和y=logx,利用函數(shù)的單調(diào)性判定兩數(shù)的大小. 受此啟發(fā),學(xué)生類比聯(lián)想到函數(shù)y=log6和y=log(x+1),利用其單調(diào)性解題,符合學(xué)生的思維規(guī)律和認(rèn)知特點(diǎn). 因此,筆者鼓勵(lì)并協(xié)助學(xué)生對(duì)此深入研究,將函數(shù)y=log6抽象為y=logxa(x>0,x≠1,且a>0,a為定值),它不屬于基本初等函數(shù)的范疇,是學(xué)生素未謀面的“新面孔”,如何研究它的單調(diào)性呢?將y=log(x+1)抽象為y=log(x+a)(x>1,且a為正常數(shù)),能否類似討論它的單調(diào)性呢?

        探索函數(shù)y=logxa的單調(diào)性

        上述討論過(guò)程綜合應(yīng)用了不等式的性質(zhì)和代數(shù)式的變形公式等,而通過(guò)代數(shù)運(yùn)算(變形)證明數(shù)學(xué)命題對(duì)學(xué)生而言是相對(duì)陌生的.除此之外,還有其他渠道可以考察函數(shù)y=logxa(a>1)的單調(diào)性嗎?

        我們知道,導(dǎo)數(shù)定量刻畫了函數(shù)的局部變化,是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大(?。┲档刃再|(zhì)的基本方法,因而也是解決諸如增長(zhǎng)率、膨脹率、效率、密度、速度、加速度等實(shí)際問(wèn)題的基本工具,是微積分的核心內(nèi)容之一,還是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念.在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中,學(xué)生已經(jīng)積累了利用導(dǎo)數(shù)探求簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),于是筆者打算引導(dǎo)學(xué)生用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)y=logxa(a>1)的單調(diào)性:

        顯然,當(dāng)0<a<1時(shí),f′(x)>0,則f(x)在(0,1)和(1,+∞)上分別單調(diào)遞增. 可見(jiàn),無(wú)論0<a<1還是a>1,函數(shù)y=logxa(x>0,x≠1,且a>0,a為定值)在(0,1)和(1,+∞)上具有相同的單調(diào)性.

        例1 (2013年高考新課標(biāo)Ⅱ理數(shù)第8題)若a=log36,b=log510,c=log714,則(? )

        A. c>a>b B. b>c>a

        C. a>c>b D. a>b>c

        交換例1的條件和結(jié)論,設(shè)計(jì)成例2.

        例2 若實(shí)數(shù)a,b,c滿足log2<log2<log2,則下列關(guān)系不可能成立的是(? )

        A. a<b<c B. b<a<c

        C. c<b<a D. a<c<b

        下面,繼續(xù)用導(dǎo)數(shù)探求y=log(x+a)(x>1,且a為正常數(shù))的單調(diào)性.

        探求函數(shù)f(x)=log(x+a)的單調(diào)性

        研究函數(shù)f(x)=xlogxa的單調(diào)性

        函數(shù)f(x)=xlogxa(x>0,x≠1,a>1)的單調(diào)性也可以用來(lái)判定對(duì)數(shù)(式)的大小關(guān)系.

        例3 (2017年高考全國(guó)卷Ⅰ理數(shù)第11題)設(shè)x,y,z為正數(shù),且2x=3y=5z,則(? )

        A. 2x<3y<5z B. 5z<2x<3y

        C. 3y<5z<2x D. 3y<2x<5z

        當(dāng)0<a<1時(shí),可類似進(jìn)行研究,如例4.

        例4 (2016年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)第8題)若a>b>1,且0<c<1,則(? )

        A. ac<bc ? B. abc<bac

        C. alogbc<blogac ? D. logac<logbc

        解析 易知選項(xiàng)A,B錯(cuò)誤.

        追求解題過(guò)程由復(fù)雜到簡(jiǎn)單,追求思維過(guò)程由表及里、由淺入深,是數(shù)學(xué)工作者解題研究的一項(xiàng)基本任務(wù).在解題教學(xué)中,教師要注重引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、概括、聯(lián)想、推理、證明、交流等思維活動(dòng),敏銳捕捉解題靈感,優(yōu)化解題技能方法,增加題目的“附加值”. 尤其要注重培養(yǎng)學(xué)生的“質(zhì)疑”意識(shí),鼓勵(lì)學(xué)生提出新想法、發(fā)現(xiàn)新規(guī)律、發(fā)展新理論.本文正是從學(xué)生的一個(gè)新想法出發(fā),引領(lǐng)學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)考察四個(gè)新函數(shù)的單調(diào)性,為判定對(duì)數(shù)(式)大小找到了統(tǒng)一簡(jiǎn)捷的解決之道. 當(dāng)然,我們還要繼續(xù)深入研究:函數(shù)的奇偶性、增長(zhǎng)率(衰減率)、凹凸性等是怎樣的?函數(shù)的圖象是哪種形態(tài)的?在實(shí)際問(wèn)題的解決中有何應(yīng)用價(jià)值?

        參考文獻(xiàn):

        [1] 人民教育出版社,課程教材研究所,中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心. 普通高中教科書教師教學(xué)用書·數(shù)學(xué)·必修第一冊(cè)(A版)[M]. 北京:人民教育出版社,2019.

        [2] 項(xiàng)武義. 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)講義叢書:基礎(chǔ)代數(shù)學(xué)[M]. 北京:人民教育出版社,2004.

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