杜繼煒,朱佳樂,陶宇繁,楊 慧

(河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室,燕山大學(xué),秦皇島 066009)

0 引言

彈性鉸鏈[1]是一種擁有折展功能的廣義鉸鏈,它們利用其薄殼結(jié)構(gòu)的大撓度變形能力和彈性儲能性能來實現(xiàn)其功能,近年來逐步應(yīng)用于航天領(lǐng)域,能夠有效的降低空間機構(gòu)的質(zhì)量和能耗。在空間折展機構(gòu)中,彈性鉸鏈的穩(wěn)定性直接決定著整個機構(gòu)的穩(wěn)定性。由于單帶簧彈性鉸鏈穩(wěn)定性較低,無法直接應(yīng)用于太空折展機構(gòu)中,將穩(wěn)定性較低的單帶簧彈性鉸鏈以不同的形式組合起來可以構(gòu)成多帶簧彈性鉸鏈,可以大大提高折展機構(gòu)的可靠性以及穩(wěn)定性。

Dewalque等[2]研究了涉及折疊和特定類型的柔性帶簧結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)了其彎曲方向、數(shù)值阻尼等參數(shù)對帶簧動力特性及彎曲性能的影響。研究了帶狀彈簧[3]的幾何非線性復(fù)雜現(xiàn)象,以及屈曲、褶皺和遲滯等高度幾何非線性特性對帶簧動力學(xué)特性的影響。Soykasap等[4]研究了一種用于超薄外殼空間可展開反射器的彎曲大型帶簧。研究了不同尺寸參數(shù)的帶簧在折疊過程中的行為。得到了曲率、長度、厚度、夾角等參數(shù)下的峰值力矩、穩(wěn)態(tài)力矩和應(yīng)變水平。Fernandez等[5]提出了一種簡單的薄型高應(yīng)變復(fù)合材料撓曲大變形彎曲試驗方法。研究了利用圖像處理和全場應(yīng)變測量來評估代表測量方法的假設(shè)和非線性運動學(xué)方程。Fulton等[6]對具有彈性鉸鏈的折紙折疊航天器結(jié)構(gòu)展開了動力學(xué)分析,研究了通過驅(qū)動應(yīng)變能鉸鏈實現(xiàn)折紙折疊結(jié)構(gòu)的自由展開過程。Yang等[7]研究了一種具有蜂窩拓撲結(jié)構(gòu)的帶簧,推導(dǎo)出了該種帶簧的彎矩計算公式,并得到了影響該結(jié)構(gòu)帶簧的敏感參數(shù),估計了其彎矩變化趨勢和反向屈曲過程中的臨界彎矩值。Thaker等[8]對柔性復(fù)合帶簧彎曲性能的數(shù)值綜合進行了研究,找出了折疊CFRP帶簧的力矩與旋轉(zhuǎn)關(guān)系,得到了正、反向彎曲的矩轉(zhuǎn)關(guān)系。Ma等[9]對溝槽、橢圓孔和矩形孔三種缺口型柔性關(guān)節(jié)的折展性能進行了數(shù)值對比研究。選取多種指標,對不同幾何參數(shù)下的關(guān)節(jié)性能尤其是關(guān)節(jié)滯回行為進行了評價。Walker等[10]分析了折痕條的等感彎曲行為。求出了帶材變形隨其截面漸進開口角的函數(shù),獲得了特定帶材曲率的平衡截面形狀,并預(yù)測出了帶簧的力學(xué)行為。Hector等[11]提出了一種具有橫向彎曲帶和獨立可調(diào)性能的材料,并研究了該種材料帶簧結(jié)構(gòu)的能量耗散情況。Zhang[12]等確定了一種用于桁架的形狀記憶聚合材料的力學(xué)性能,并研究了該材料在不同環(huán)境條件下的彈性模量等參數(shù)。

1 太陽能電池板間彈性鉸鏈失穩(wěn)力矩建模

彈性鉸鏈驅(qū)動的九宮格太陽陣裝星示意圖如圖1所示,每側(cè)太陽能電池陣包含9塊面板,每塊面板尺寸為1 m×1 m,相鄰面板之間通過彈性鉸鏈進行驅(qū)動展開。

圖1 太陽陣裝星示意圖

由于不同太陽板板間所需展開力矩不同,因此對于不同的太陽板間鉸鏈有不同的組合形式,太陽板板間鉸鏈分布示意圖如圖2所示。

圖2 太陽能板間鉸鏈分布示意圖

文章主要針對太陽板1、2間的鉸鏈分布形式進行研究,對于其他種組合形式鉸鏈可按同一研究過程分析。

設(shè)2塊太陽板間按一定距離放置6塊相同的彈性鉸鏈,鉸鏈1與太陽板中心線之間距離、鉸鏈2與太陽板中心線之間的距離、鉸鏈3與太陽板中心線之間距離分別為l1、l2、l3,得到彈性鉸鏈板間分布圖如圖3所示。

圖3 彈性鉸鏈分布示意圖

假設(shè)于太陽板中間施加作用力F時,該機構(gòu)臨界失穩(wěn)。該機構(gòu)的剛度取決于整個機構(gòu)中剛度最薄弱的部分?？紤]到電池陣的模態(tài)約束,彈性鉸鏈的剛度遠小于太陽能電池板的剛度,因此研究整個機構(gòu)的失穩(wěn)載荷只需要對彈性鉸鏈的失穩(wěn)情況進行研究。

基于壓桿穩(wěn)定理論[13],一端固定一端自由壓力桿臨界力為

(1)

對向彈性鉸鏈的截面示意圖如圖4所示。單個帶簧橫截面的最小慣性矩為

圖4 帶簧截面示意圖

(2)

由于作用載荷施加于太陽板中間,將各鉸鏈等效于太陽板中間,根據(jù)平行移軸定理,有

(3)

可得到等效鉸鏈的慣性矩為

I0=6IyC+2A(l12+l22+l32)

(4)

其中,帶簧橫截面面積為

(5)

將式(2)～式(5)代入式(1)可解得該機構(gòu)臨界失穩(wěn)的屈曲載荷為

(6)

2 彈性鉸鏈復(fù)合材料性能參數(shù)及失穩(wěn)力分析

文章所研究彈性鉸鏈材料為碳纖維復(fù)合材料[1]T300,對于每層厚度是0.037 5 mm,按照進行[45°/-45°/-45°/45°]T鋪層構(gòu)成的 4 層復(fù)合材料整體彈性模量Ex=Ey= 34.99 GPa。

選定九宮格太陽池陣列相關(guān)參數(shù)為:彈性鉸鏈長度l=126 mm、橫截面半徑R=17.8 mm、中心角α=75°、厚度t=0.12 mm,將以上參數(shù)帶入式(6)即可求解出彈性鉸鏈臨界載荷為

Fcr≈10.465 N

由此可知,當折展機構(gòu)中間作用載荷F超過10.456 N時,該機構(gòu)會產(chǎn)生屈曲失穩(wěn)現(xiàn)象。

3 對向多帶簧彈性鉸鏈仿真與優(yōu)化

采用有限元分析軟件ABAQUS建立對向彈性鉸鏈機構(gòu)的模型圖如圖5所示。

圖5 對向彈性鉸鏈機構(gòu)裝配模型圖

設(shè)置結(jié)構(gòu)基本幾何參數(shù)為:簧片總長度l=126 mm,簧片間距離Se=16 mm,中心角α=75°,彈性鉸鏈厚度t=0.12 mm,太陽板尺寸為1 m×1 m,鉸鏈1到太陽板中間距離l1=375 mm、鉸鏈2到太陽板中間距離l2=135 mm、鉸鏈3到太陽板中間距離l3=115 mm,示意圖如圖3所示。

設(shè)置模型類型為三維、可變性,形狀為拉伸、殼體。選取中心角α為75°,簧片間距Se為16 mm,截面半徑R為17.8 mm,繪制截面示意圖如圖4所示。設(shè)置拉伸長度為126 mm,密度為8×10-9kg/m3,楊氏模量為50 000 MPa,泊松比為0.35劃分網(wǎng)格單元為4 mm,得到單個彈性鉸鏈的網(wǎng)格劃分結(jié)構(gòu)圖如圖6所示。

圖6 單個鉸鏈網(wǎng)格劃分結(jié)構(gòu)圖

設(shè)置多帶簧彈性鉸鏈尺寸:鉸鏈1、鉸鏈6到太陽板中間的距離l1=375 mm,鉸鏈2、鉸鏈5到太陽板中間的距離l2=125 mm,鉸鏈3、鉸鏈4到太陽板中間的距離l3=115 mm。最終獲得對向彈性鉸鏈機構(gòu)的裝配模型圖如圖5所示。

在對向單層彈性鉸鏈左端設(shè)置參考點RP1,在彈性鉸鏈右端設(shè)置參考點RP2,參考點RP1、RP2分別釋放繞y軸旋轉(zhuǎn)的自由度、沿z軸移動的自由度和繞y軸旋轉(zhuǎn)的自由度。通過施加運動耦合約束把周圍區(qū)域與參考點進行運動關(guān)聯(lián),設(shè)置參考點的運動來模擬夾持端的加載,并利用動力、顯示求解器對模型進行求解。

對彈性鉸鏈上下2表面附加大小為1×10-6MPa的粘性載荷,并設(shè)置約束令鉸鏈夾持端左右部分分別與參考點RP1、RP2耦合,得到載荷約束附加及耦合參考點設(shè)置圖如圖7所示。

圖7 載荷約束附加及耦合參考點設(shè)置圖

最終實現(xiàn)對向彈性鉸鏈一端固定一段游動的收展仿真。彈性鉸鏈機構(gòu)收展圖如圖8所示。

圖8 彈性鉸鏈機構(gòu)收展圖

4 準靜態(tài)折展機構(gòu)建模

當確定任務(wù)要求之后,需要綜合考慮展開峰值力矩以及最大收展應(yīng)力來對彈性鉸鏈機構(gòu)進行設(shè)計。通常認為,折展機構(gòu)的展開容易程度與展開峰值力矩的大小成正比,但隨著展開峰值力矩越大也會增大對折展機構(gòu)的沖擊;最大展開應(yīng)力越小,折展過程中對鉸鏈的損傷就越小,鉸鏈可收展的次數(shù)越多。為了建立對向單層彈性鉸鏈準靜態(tài)折展性能參數(shù)的數(shù)學(xué)模型,需要計算足夠的樣本點。在優(yōu)化過程中,對于優(yōu)化問題輸入輸出關(guān)系的確定是非常復(fù)雜的。若以上述有限元模型為輸入,在計算過程中不但效率低,而且極有可能出現(xiàn)計算失敗的情況。

多項式響應(yīng)面近似法[14]是利用經(jīng)驗公式或者數(shù)值分析,基于已有的設(shè)計樣本點的響應(yīng)值構(gòu)造出目標值的函數(shù)表達式。由微積分可知,任何函數(shù)都可分段用多項式來逼近,多項式響應(yīng)面近似法是使用廣泛的一種獲得代理模型的方法,其近似多項式表達式如式(7)所示。

(7)

由于對向單層彈性鉸鏈準靜態(tài)折疊的特殊性,采用有限元仿真對樣本點進行計算,利用四次多項式建立代理模型。對于對向單層彈性鉸鏈,選取中心角、簧片間的距離作為設(shè)計變量,樣本點采用2因子5水平實驗設(shè)計,中心角變化范圍為70°～90°,兩簧片間的距離變化范圍為15 mm～17 mm。借助有限元模型,得到25組設(shè)計樣本點,得到仿真結(jié)果如表1所列。

表1 對向彈性鉸鏈準靜態(tài)收展仿真值

鑒于高次多項式需要更多的仿真樣本點[1],而多次多項式又無法提供足夠的計算精度,最常用的多項式次數(shù)為四次多項式,其表達式近似如式8所列

1,x1,x2…xn,

x12,x1x2,…,x1xn…,xn2,

x13,x12x2,…,x12xn,x1x22,…,x1xn2,…,xn3

x14,x13x2,…,x1xn3,x12x22,…

(8)

多項式代理模型包含交叉項,從而確保其具有更高計算精度。多項式系數(shù)可以通過最小二乘法得到

b=(ΦTΦ)-1(ΦTy)

(9)

式(9)中b=(β1,β2…βn),矩陣Φ為

(10)

式(10)中,M——仿真樣本點個數(shù)。

多項式系數(shù)可以通過最小二乘法得到,通過表1中的彈性鉸鏈收展仿真值,得到對向單層彈性鉸鏈準靜態(tài)展開穩(wěn)態(tài)力矩和最大應(yīng)力的代理模型為

M=1.441 613×107-5.358 827×106l+

3.859 084×105a+6.962 212×105l2-

8.514 631×104la+1.373 716×103a2-

3.479 625×104l3+3.999 436×103l2a+

2.557 226×102la2-28.725 376a3+

6.893 969×102l4-1.293 669×102l3a+

14.182 062l2a2-2.949 001la3+0.236 808a4

(11)

σmax=4.595 117×103-1.305 801×103s+

31.898 446a+1.279 436×102s2-

2.236 476sa-0.383 002a2-5.443 032s3+

6.858 699×10-2s2a+1.472 532×10-2sa2+

2.237 851×10-3a3+0.086 460s4-

1.200 065×10-3s3a-7.070 991×10-5s2a2-

5.347 537×10-5sa3-4.302 058×10-6a4

(12)

對于獲得的近似表達式,必須判定其準確性,常用的判定參數(shù)為復(fù)相關(guān)系數(shù)R2,偏差RE,修正的負相關(guān)系數(shù)Radj2和均方根誤差RMSE。

(13)

(14)

(15)

(16)

其中,yi為有限元分析值,SSE為均方,SST為殘余均方和。

(17)

(18)

表3 擬合結(jié)果判定參數(shù)表

圖9 對向彈性鉸鏈穩(wěn)態(tài)力矩及簧片間距的響應(yīng)面圖

圖10 對向彈性鉸鏈最大收展應(yīng)力對中心角及簧片間距的響應(yīng)面圖

5 幾何參數(shù)影響

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)可以得到對向單層彈性鉸鏈折疊穩(wěn)態(tài)力矩Md隨中心角變化曲線,如圖11所示。由圖11可知,中心角越大,穩(wěn)態(tài)力矩也越大,中心角從70°變化到90°時,穩(wěn)態(tài)力矩增加了87.9%～127.2%。

圖11 彈性鉸鏈折疊穩(wěn)態(tài)力矩Md隨中心角變化曲線圖

圖12為準靜態(tài)最大應(yīng)力Sf隨中心角的變化曲線,由圖12可知,中心角越大,準靜態(tài)最大應(yīng)力Sf越大,當中心角從70°變化到90°時,最大應(yīng)力增加了22.1%～57.1%。

圖12 彈性鉸鏈準靜態(tài)最大應(yīng)力Sf隨中心角的變化曲線圖

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)可以得到對向單層彈性鉸鏈折疊穩(wěn)態(tài)力矩Md以及最大應(yīng)力隨簧片間距的變化曲線,由圖13可知,Se越大,帶簧穩(wěn)態(tài)力矩Md也越大,簧片間距離從15 mm增加到17 mm時,穩(wěn)態(tài)力矩增加了0.9%～27.1%。

圖13 彈性鉸鏈折疊穩(wěn)態(tài)力矩Md隨簧片間距變化曲線圖

根據(jù)表1中數(shù)據(jù)可得到準靜態(tài)最大應(yīng)力Sf隨簧片間距離Se變化曲線,由圖14可知,當簧片間距離從15 mm變化到17 mm時,準靜態(tài)最大應(yīng)力增加了0.6%～17.6%。

圖14 彈性鉸鏈最大應(yīng)力隨簧片間距的變化曲線圖

6 準靜態(tài)多目標優(yōu)化

基于多目標優(yōu)化軟件ISIGHT,利用NSGA-Ⅱ算法進行多目標優(yōu)化。設(shè)置種群數(shù)量為100,迭代代數(shù)設(shè)置為120,Md和Sf的比例因子分別設(shè)置為0.1和1.0,權(quán)重因子均設(shè)置為1.0,其中,選取擬合度為9的優(yōu)化結(jié)果進行進一步分析優(yōu)化篩選,結(jié)果如表4所列。

表4 優(yōu)化篩選結(jié)果

根據(jù)表2數(shù)據(jù)可得到彈性鉸鏈收展最大應(yīng)力Sf關(guān)于中心角α的變化曲線如圖15所示,由圖15可知,對向彈性鉸鏈收展最大應(yīng)力在0.32 GPa～0.34 GPa區(qū)間變化,并在中心角為76°左右時有明顯降低。

圖15 彈性鉸鏈收展最大應(yīng)力Sf關(guān)于中心角α變化曲線圖

對向彈性鉸鏈穩(wěn)態(tài)力矩隨中心角α變化曲線如圖16所示,由圖16可知,隨著中心角α的增大穩(wěn)態(tài)力矩Md呈上升趨勢,并在中心角α趨于76°后獲得較大值。

圖16 彈性鉸鏈穩(wěn)態(tài)力矩隨中心角α變化曲線圖

對向彈性鉸鏈穩(wěn)態(tài)力矩Md隨簧片間距離Se變化曲線如圖17所示,隨著簧片間距Se的變化,穩(wěn)態(tài)力矩在9 000 N·mm～11 000 N·mm之間變化,且當Se為16.2 mm左右時,穩(wěn)態(tài)力矩獲得較大值。

圖17 彈性鉸鏈穩(wěn)態(tài)力矩Md隨簧片間距離Se變化曲線圖

彈性鉸鏈收展最大應(yīng)力Sf隨簧片間距Se變化曲線如圖18所示,隨著簧片間距的增大,鉸鏈收展最大應(yīng)力在0.32 GPa～0.34 GPa區(qū)間變化,當Se接近16 mm時,Sf獲得最大值后隨著簧片間距的增大逐漸減小。

圖18 彈性鉸鏈收展最大應(yīng)力Sf隨簧片間距Se變化曲線圖

由圖15～圖18分析可知,當中心角在76°左右時,穩(wěn)態(tài)力矩Md達到最大值,更容易驅(qū)動機構(gòu)展開。此時折疊最大應(yīng)力處于較小值,可以有效減小對機構(gòu)的破壞性,增加折展次數(shù)。當簧片間距離Se在16.2 mm左右時,Md達到最大值,且Sf處于可接受范圍內(nèi)。因此,選取第3組優(yōu)化結(jié)果作為優(yōu)化參數(shù)。利用有限元分析軟件ABAQUS對該參數(shù)進行建模仿真,得到仿真后準靜態(tài)穩(wěn)態(tài)力矩Md為10 080.9 N·mm,Sf為0.343 4 GPa。

計算得準靜態(tài)穩(wěn)態(tài)力矩Md的相對誤差為7.8%,最大應(yīng)力Sf的相對誤差為0.98%,二者相對均小于10%,如表5所列。由此可見,該結(jié)果符合要求且具有較高的可行性。最終選擇優(yōu)化結(jié)構(gòu)為中心角為76°,簧片間距離Se為16.2 mm。

表5 誤差分析表

7 結(jié)論

文章對九宮格超彈太陽池陣列板折展性能進行了仿真與優(yōu)化,推導(dǎo)出了彈性鉸鏈機構(gòu)的臨界失穩(wěn)載荷,有效估計出了該機構(gòu)抵抗外界載荷的能力,即當外界載荷超過10.465 N時,機構(gòu)有失穩(wěn)風(fēng)險。提高了九宮格超彈太陽池陣列板的運行穩(wěn)定性?；谝延袇?shù)建立對向單層彈性鉸鏈的有限元模型,研究了對向彈性鉸鏈的穩(wěn)態(tài)力矩以及收展最大應(yīng)力,得到了彈性鉸鏈驅(qū)動機構(gòu)展開的能力、可折展次數(shù)以及對機構(gòu)的破壞性。對模型進行了參數(shù)化優(yōu)化設(shè)計以及響應(yīng)面分析,得到了使機構(gòu)獲得最大穩(wěn)態(tài)力矩的同時擁有較小收展最大應(yīng)力的最佳的幾何參數(shù),即中心角為76°,簧片間距離Se為16.2 mm。并通過建立有限元模型成功驗證了優(yōu)化結(jié)果的可行性。