王 成 張 莉 葉金來(lái)

(解放軍戰(zhàn)略支援部隊(duì)信息工程大學(xué) 信息系統(tǒng)工程學(xué)院,鄭州 450001)

數(shù)學(xué)上把形如a+jb的數(shù)稱為復(fù)數(shù),其中a和b為實(shí)數(shù),j代表虛數(shù)符號(hào)。復(fù)數(shù)概念最早由意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾提出,主要用以輔助一元高次方程的求解[1]。復(fù)數(shù)的出現(xiàn)擴(kuò)充了數(shù)系,豐富了人類的認(rèn)知世界,也深遠(yuǎn)地影響了科技發(fā)展。在量子力學(xué)、流體力學(xué)、電子信息等諸多領(lǐng)域,復(fù)數(shù)都不可或缺。特別是在電子信息領(lǐng)域中,將各類信號(hào)表示為復(fù)數(shù)形式(簡(jiǎn)稱復(fù)信號(hào)),可以簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型,方便技術(shù)研究和產(chǎn)品開(kāi)發(fā),所以復(fù)信號(hào)等概念得到了非常廣泛的應(yīng)用[2]。

復(fù)數(shù)與有理數(shù)、無(wú)理數(shù)不同,它并非直接對(duì)應(yīng)于自然界中的物理量,因而讓人感覺(jué)抽象,甚至在大多數(shù)人的認(rèn)知中,復(fù)數(shù)僅僅是數(shù)學(xué)上的存在[3]。在電子信息類專業(yè)課堂上,雖然經(jīng)常使用如復(fù)變量,復(fù)信號(hào)等概念,但相關(guān)課程并無(wú)章節(jié)專門討論它們的意義,更多是將其作為純粹的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行分析,這往往讓學(xué)生感到困惑。很多學(xué)生認(rèn)為承載信號(hào)的電流電壓等各種物理量必然都是實(shí)數(shù),所以復(fù)信號(hào)并不存在,對(duì)復(fù)信號(hào)的討論也是鏡中月水中花。在本科“信號(hào)與系統(tǒng)”課程中,這一問(wèn)題尤為凸出。一方面該課程包含諸多對(duì)復(fù)信號(hào)的討論,如實(shí)信號(hào)與復(fù)信號(hào)頻域性質(zhì)比較等;而另一方面學(xué)生尚未接觸更深的專業(yè)知識(shí),不易體會(huì)復(fù)信號(hào)的物理意義。

現(xiàn)有本科教育體系中,復(fù)信號(hào)的詮釋主要依托“通信原理”課程,如在介紹正交調(diào)制信號(hào)時(shí),可證明其實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)形式的關(guān)系[4],或在介紹正交接收時(shí)討論復(fù)信號(hào)表達(dá)形式的優(yōu)勢(shì)。但這需要相關(guān)專業(yè)基礎(chǔ),不宜引入“信號(hào)與系統(tǒng)”等基礎(chǔ)課。也有研究借助數(shù)形結(jié)合的方法,從平面幾何出發(fā),以二維旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來(lái)詮釋復(fù)數(shù)的意義[5]。但這仍較抽象,也并非針對(duì)復(fù)信號(hào)等概念設(shè)計(jì)。

本文針對(duì)“信號(hào)與系統(tǒng)”等電子信息類專業(yè)基礎(chǔ)課程中,復(fù)信號(hào)概念的詮釋問(wèn)題,從分析通信信號(hào)的數(shù)學(xué)形式入手,探討復(fù)信號(hào)的由來(lái),最終給出了一種更加簡(jiǎn)便易懂的詮釋思路。新思路首先討論了通信信號(hào)實(shí)數(shù)域的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)形式,結(jié)合實(shí)例分析了實(shí)數(shù)表達(dá)下,各種運(yùn)算的不便之處。最后從工程需要引出復(fù)信號(hào)。上述詮釋主要從常見(jiàn)信號(hào)的數(shù)學(xué)形式出發(fā),對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和專業(yè)知識(shí)要求不高。文章成果為復(fù)信號(hào)概念詮釋提供了更形象和易懂的方法,適用于不同層次的教學(xué)任務(wù)。經(jīng)實(shí)踐,采用本文提供的方法解釋復(fù)信號(hào)后,學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和知識(shí)接受程度都明顯提高,教學(xué)效果良好。

1 通信信號(hào)簡(jiǎn)介

復(fù)信號(hào)首先是一種信號(hào)的表示形式,而信號(hào)的本質(zhì)是信息的載體。以無(wú)線通信為例,現(xiàn)代通信需首先將圖像、語(yǔ)音等信息數(shù)字化,轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制比特序列,然后依據(jù)序列改變電波參數(shù)實(shí)現(xiàn)通信。電波的幅度、頻率和相位都可以用于信息傳輸。最基本的信號(hào)就是讓發(fā)送端改變信號(hào)幅度,接收端依據(jù)當(dāng)前信號(hào)幅度的大小來(lái)判斷所發(fā)送的信息。但信號(hào)的幅度天然有不確定性,即在傳播過(guò)程中,因接收端增益的換擋和信道衰落等,信號(hào)幅度非常容易變化。

對(duì)于接收端而言,實(shí)際中很難分辨信號(hào)幅度的變化是受信息影響還是傳播路徑導(dǎo)致,因此為了保證通信可靠,通信中往往發(fā)送成對(duì)信號(hào),通過(guò)兩信號(hào)幅度的相對(duì)關(guān)系來(lái)傳輸信息,有線通信中的低壓差分信號(hào)和無(wú)線通信中的正交幅度調(diào)制信號(hào)等都是如此。

為方便討論,我們以方波為例。如圖1所示的通信方案,即同時(shí)發(fā)送I(k)和Q(k)兩路信號(hào),兩路信號(hào)強(qiáng)度不為零且基本相等則認(rèn)為通信正常。具體兩路信號(hào)電平都為正代表發(fā)送比特信息“00”;I(k)電平為負(fù),Q(k)電平為正代表“01”;電平都為負(fù)代表“11”;I(k)電平為正,Q(k)電平為負(fù)代表“10”。

圖1 成對(duì)方波信號(hào)傳輸示意圖

為更好描述兩路信號(hào)的相對(duì)強(qiáng)弱關(guān)系,通信中經(jīng)常用到所謂星座圖。上述通信方案的星座圖如圖2所示,橫軸為I(k),縱軸為Q(k)。圖2中的四個(gè)空心圓點(diǎn)(稱“星座點(diǎn)”)分別對(duì)應(yīng)I(k)和Q(k)的四種幅度關(guān)系,可以認(rèn)為每時(shí)刻的信號(hào)總會(huì)落在其中一個(gè)星座點(diǎn)上。

圖2 信號(hào)星座圖

通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn),各星座點(diǎn)與原點(diǎn)連線同右半軸的夾角θ(k)也可以代表發(fā)送信息。即θ(k)取45°、135°、225°和315°,分別對(duì)應(yīng)于四種I(k)和Q(k)的關(guān)系。當(dāng)下典型的數(shù)字通信信號(hào),很多都滿足成對(duì)兩路傳輸?shù)男问?單路信號(hào)也可以看作其特例。

2 復(fù)信號(hào)形式探究

2.1 實(shí)信號(hào)問(wèn)題分析

上述成對(duì)發(fā)送的信號(hào)有兩種基本表示形式。一種是用序列I(k)和Q(k)代表(假設(shè)對(duì)信號(hào)幅度歸一化處理,可以認(rèn)為序列I(k)和Q(k)取值是±1),另一種是用序列θ(k)代表信號(hào),其取值在45°、135°、225°和315°中選擇。

注意這兩種信號(hào)表示方法的數(shù)值都屬于實(shí)數(shù),只是選擇了不同的二維平面坐標(biāo)系,所以可以將其視作實(shí)信號(hào)。結(jié)合圖2可以看出,I(k)和Q(k)的表示方法屬直角坐標(biāo)系,而θ(k)屬極坐標(biāo)系。不同坐標(biāo)下的星座點(diǎn)取值如表1所示。

表1 極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)系下的星座點(diǎn)取值

極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)兩種形式都可以完整描述信號(hào)序列,且可互相轉(zhuǎn)換,轉(zhuǎn)換公式如下

I(k)=cosθ(k),Q(k)=sinθ(k)

(1)

但二者各有優(yōu)勢(shì)和問(wèn)題,這主要是因?yàn)樗鼈冞m應(yīng)于不同的運(yùn)算。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō),極坐標(biāo)形式更易于編碼,而直角坐標(biāo)形式,更方便計(jì)算信號(hào)過(guò)線性系統(tǒng)的輸出。下面分別舉例說(shuō)明。

例1編碼調(diào)整

如因保密,我們需要對(duì)一段信號(hào)簡(jiǎn)單調(diào)整編碼,令01代替00,11代替01,10代替11,00代替10。極坐標(biāo)系下,實(shí)現(xiàn)該運(yùn)算非常容易,設(shè)調(diào)整后信號(hào)序列為θ′(t),則θ′(k) =θ(k)+90°。

但直角坐標(biāo)系下編碼調(diào)整就很繁瑣,需首先判斷不同時(shí)刻信號(hào)序列情況,再通過(guò)公式(2)計(jì)算調(diào)整后的信號(hào)序列[I′(k),Q′(k)]。

(2)

例2卷積計(jì)算

如需要對(duì)信號(hào)濾波,計(jì)算濾波輸出,濾波器的單位序列響應(yīng)為h(k),實(shí)際濾波器多由線性器件組成,所以h(k) 通常用直角坐標(biāo)表示,且數(shù)值為實(shí)數(shù)。

在直角坐標(biāo)下,計(jì)算信號(hào)過(guò)系統(tǒng)的輸出,僅需將把I(k),Q(k)分別卷積h(k)即可。而極坐標(biāo)下,信號(hào)無(wú)法直接計(jì)算與h(k)的卷積,需要首先將極坐標(biāo)信號(hào)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo),卷積計(jì)算后再變換回極坐標(biāo),即按公式(3)計(jì)算濾波輸出θ′(k)。

(3)

上述兩例子說(shuō)明,極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)形式各有優(yōu)劣,那么有沒(méi)有數(shù)學(xué)形式能夠兼顧二者的優(yōu)點(diǎn),可以方便地進(jìn)行卷積計(jì)算和編碼調(diào)整呢?

2.2 復(fù)信號(hào)形式與運(yùn)算

為解決上述問(wèn)題,復(fù)信號(hào)應(yīng)運(yùn)而生。它將兩路信號(hào)分別視作實(shí)部和虛部,用I(k)+jQ(k)來(lái)表示信號(hào)(j代表虛數(shù)符號(hào))[2]。復(fù)信號(hào)所對(duì)應(yīng)的二維平面坐標(biāo)系稱復(fù)平面,復(fù)平面及復(fù)信號(hào)的星座點(diǎn)如圖3所示。

圖3 復(fù)平面信號(hào)星座圖

需要注意的是,復(fù)平面下的星座點(diǎn)(即復(fù)信號(hào)的取值),無(wú)需像直角坐標(biāo)系那樣以二維向量來(lái)表示,直接記作單個(gè)復(fù)數(shù)即可。具體如表2所示。

表2 復(fù)平面下的星座點(diǎn)取值

接著我們檢驗(yàn)復(fù)信號(hào)編碼調(diào)整和卷積運(yùn)算的復(fù)雜度。對(duì)復(fù)信號(hào)按例1中的編碼調(diào)整,可按公式(4)計(jì)算。

I′(k)+jQ′(k)=j[I(k)+jQ(k)]

(4)

對(duì)比公式(2)和(4),明顯復(fù)信號(hào)編碼調(diào)整計(jì)算更加簡(jiǎn)便。公式(4)無(wú)需判斷當(dāng)前信號(hào)取值,直接將復(fù)信號(hào)序列乘以j即可實(shí)現(xiàn)。

接著考慮濾波等需要卷積計(jì)算的場(chǎng)景。對(duì)復(fù)信號(hào)進(jìn)行例2中的濾波,由于h(k)為實(shí)數(shù),則卷積可按公式(5),分別計(jì)算實(shí)部虛部的卷積,再組成復(fù)數(shù)即可。

(5)

對(duì)比公式(3)和(5)不難發(fā)現(xiàn),復(fù)信號(hào)的濾波較極坐標(biāo)下更簡(jiǎn)便。

經(jīng)過(guò)上述分析可發(fā)現(xiàn),信號(hào)的復(fù)數(shù)形式兼有極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)系的優(yōu)點(diǎn),可以方便進(jìn)行各類計(jì)算。而在實(shí)際中用復(fù)信號(hào)代表成對(duì)傳輸?shù)男盘?hào),也簡(jiǎn)化了對(duì)信號(hào)的各類處理和計(jì)算,方便了技術(shù)研究和產(chǎn)品開(kāi)發(fā)。

3 融入教學(xué)思考

在“信號(hào)與系統(tǒng)”的傳統(tǒng)教學(xué)過(guò)程中,缺乏對(duì)復(fù)信號(hào)的詮釋,而為學(xué)生簡(jiǎn)單闡明復(fù)信號(hào)的物理意義,可幫助學(xué)生更好理解相關(guān)內(nèi)容。本文經(jīng)討論發(fā)現(xiàn),復(fù)信號(hào)的物理意義可理解為成對(duì)傳輸信號(hào)的數(shù)學(xué)表述。即物理世界中有大量情況,是通過(guò)兩物理量的相對(duì)關(guān)系來(lái)承載信息的,因而需將兩物理量數(shù)據(jù)一并作為信號(hào)。這種成對(duì)信號(hào)采用復(fù)數(shù)形式表述,能夠方便我們對(duì)其進(jìn)行各種運(yùn)算和處理。

實(shí)際教學(xué)中如有時(shí)間,建議以本文思路,舉例詮釋復(fù)信號(hào)概念,特別說(shuō)明上述物理意義。如課堂時(shí)間不足,建議用作業(yè)、微課等形式給出成對(duì)信號(hào)的實(shí)例,再展示不同數(shù)學(xué)形式下的運(yùn)算,留待學(xué)生自主探索得出結(jié)論。同時(shí)本文主要針對(duì)電子信息類專業(yè)的“信號(hào)與系統(tǒng)”課程教學(xué)。實(shí)際成對(duì)信號(hào)的例子不局限于本文所討論的低壓差分信號(hào),相關(guān)運(yùn)算也不止編碼和卷積。教學(xué)中,可根據(jù)授課對(duì)象和課程內(nèi)容繼續(xù)挖掘類似實(shí)例。

除此之外,也可以在答疑過(guò)程中講解復(fù)信號(hào)。如“信號(hào)與系統(tǒng)”教學(xué)過(guò)程中學(xué)生往往產(chǎn)生這樣的疑問(wèn):復(fù)信號(hào)的處理是否會(huì)增加計(jì)算量?因?yàn)閺?fù)數(shù)乘法和加法計(jì)算都比實(shí)數(shù)運(yùn)算復(fù)雜。而有了上述討論,就可以方便地說(shuō)明復(fù)信號(hào)的各種處理并不會(huì)明顯增加計(jì)算量。因?yàn)樾盘?hào)成對(duì)傳輸才有復(fù)數(shù)形式,對(duì)這類成對(duì)信號(hào)處理,即便按照實(shí)數(shù)處理,其計(jì)算量也是單路信號(hào)的兩倍。

以傅里葉變換為例,對(duì)于本文討論的成對(duì)傳輸?shù)男盘?hào)來(lái)說(shuō),需要分別計(jì)算I(k)和Q(k)各自的傅里葉變換,才能得到信號(hào)整體頻譜。而由傅里葉變換線性性質(zhì)[6]可知

(6)

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)“信號(hào)與系統(tǒng)”等課程中,復(fù)信號(hào)概念抽象不易理解的問(wèn)題,給出了一種簡(jiǎn)明新穎的復(fù)信號(hào)概念的詮釋方法。該方法基于通信中的成對(duì)傳輸信號(hào),通過(guò)實(shí)例分析信號(hào)實(shí)數(shù)表示方式的問(wèn)題,最后說(shuō)明復(fù)信號(hào)表示形式的優(yōu)勢(shì)。

通過(guò)將復(fù)信號(hào)視為成對(duì)傳輸信號(hào)的數(shù)學(xué)表述,本文建立了這一數(shù)學(xué)概念與物理量之間的聯(lián)系。同時(shí)由于傳統(tǒng)課程中并無(wú)相關(guān)討論,本文探討了如何在“信號(hào)與系統(tǒng)”課程中將復(fù)信號(hào)的詮釋融入教學(xué)。該成果可以幫助學(xué)生更好地理解相關(guān)內(nèi)容,提高課堂教學(xué)質(zhì)量。